矩阵特征值问题
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵特征值问题
§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
第六章_特征值问题与矩阵变换
⎛ − 1 1 0⎞ ⎟ ⎜ 例２ 求矩阵 A = ⎜ − 4 3 0 ⎟的特征值和特征向量 . ⎜ 1 0 2⎟ ⎠ ⎝
解
A的特征多项式为 −1− λ 1 0
2
3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1. −4 当 λ 1 = 2时, 解方程( A − 2 E ) x = 0.由
A − λE =
⎛ − 3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A − 2E = ⎜ − 4 1 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎠ ⎝ 得基础解系
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 1 0 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ p1 = ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
所以kp1(k ≠ 0)是对应于 1 = 2的全部特征向量 λ
若A与B相似 , B与C相似 , 则A与C相似 .
结论.n维线性性空间V上的一些线性变换σ在V的 不同基下的矩阵是相似矩阵。
二、相似矩阵与相似变换的性质
定理6.6:
;
求齐次线性方程组( A − λ E ) x = 0 的一个基础 x 解系
η 1 ,η 2 ,
,η t
可得 A 的属于特征值 λ 的全部特征向量 k 1η 1 + k 2η 2 + + k t η t 其中 k 1 , k 2 , , k t 为不全为零的常数 .
注、 n 次多项式的求根 问题一般并不容易， 在实际问题中常常应用 近似计算公式来求 特征值
6.2、矩阵的相似变换
(一)、相似变换与相似矩阵的性质
一、相似变换与相似矩阵概念
定义1 设A, B都是 n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
第七章—矩阵的特征值问题
1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)
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a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an 2 ann ( 1 )( 2 )( n )
E A ( 1 )( 2 )( n )
A 的 n 个特征向量，则有
4 1 1 2E A 0 0 0 4 1 1
1 p3 4 , 0
r
4 1 1 0 0 0 0 0 0
所以对应于2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
A 3 A 2E A A 3 A 2E 2 A1 3 A 2 E ( A)
则有 ( ) 21 3 2,
1
故 ( A) 的特征值为
a 求对角矩阵A b 的特征值. c
可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是 这些矩阵对角线上的元素.
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3. 特征值和特征向量的性质
性质1：矩阵 A 和 AT 的特征值相同。
虽然 A 与 AT 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.
1 1 例如: A 2 4
所以对应于 1 2 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 4 时，对应的特征向量应满足
4 3 1 x1 0 1 4 3 x 0 2
x1 x2 0, 1 即 解得 x1 x2 ,得基础解系 p2 , 1 x1 x2 0.
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求特征值、特征向量步骤：
Байду номын сангаас
(1) E A 0 or A E 0 求出 即为特征值;
(2) Ax x E Ax 0 或 A E x 0
把得到的每一个特征值 代入上式，
求齐次线性方程组 E Ax 0 的非零解 x 即为所求特征向量。
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二、特征值与特征向量的求法
1. 结论的引入
Ax x x Ax 0 (E A) x 0
若 0 是 A 的特征值， 是 A 的对应于 0 的特征向量， 则有
(0 E A) 0
方程 (0 E A) x 0 有非零解，且 是它的一个非零解
所以 A的特征值为 1 1, 2 3 2.
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当 1 1 时，解齐次方程
( E A) x ， 0
1 1 1 E A 0 3 0 4 1 4
1 得基础解系 p1 0 , 1
所以对应于 2 4 的全部特征向量为 kp2 (k 0).
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例 求矩阵
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
的特征值和特征向量.
解： A的特征多项式 1 1 E A 4 3
1 0
2
0 0
( 2)
比较两端的 n1 的系数，可得
这些 项中 不含
(1)(a11 a22 ann )
(1)( 1 2 n )
即 1 2 n a11 a22 ann .
n n 1
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例
已知矩阵
的特征值为1 1, 2 3 2.
第六章 矩阵特征值问题
一、方阵特征值与特征向量的概念 定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向
Ax x 成立， 那么这样的数 称为方阵 A 的特征值；
非零向量 x 称为方阵 A 的对应于特征值 的特征向量. 注意： 量 x 使关系式
关系式 Ax x 是特征值与特征向量满足的条件式， A 由此可知 必须为方阵. 零向量显然满足关系式 Ax x ，但零向量不 是特征向量. 特征向量是非零向量.
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例 求矩阵
2 1 1 A 0 2 0 4 1 3 的特征值和特征向量. 解：A 的特征多项式 2 1 1 2 1 E A 0 2 0 ( 2) 4 3 4 1 3
( 2)(2 2) ( 1)( 2)2
(E A) x 0
的全体非零解就是 A的对应于特征值 的全部特征向量； 齐次方程 (E A) x 0 的基础解系就是对应于 特征值 的全体特征向量的极大无关组.
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练习：
设矩阵A满足 2 I A 0, 则 A必有的一个特征值为________ .
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可计算 A 与 AT 有相同的特征值
1 2, 2 3.
1 但易验证 是 A 对应于特征值2的特征向量, 1 T 但却不是 A 的.
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定理1：设 n 阶方阵 A aij 的 n 个特征值为 1 , 2 , , n 则
1)
3 1 0 2E A 4 1 0 1 0 0
r
1 0 0 0 1 0 0 0 0
所以对应于1 2 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 3 1 时，解齐次方程
， ( E A) x 0
EA
2 1 0 4 2 0 1 0 1
r
1 0 1 0 1 2 0 0 0
1 得基础解系 p2 2 , 1
所以对应于2 3 1的全部特征向量为 kp2 (k 0).
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当 1 2 时，对应的特征向量应满足
2 3 1 x1 0 1 2 3 x 0 2 x1 x2 0, 1 即 解得 x1 x2 , 得基础解系 p1 , 1 x1 x2 0.
1 4
1
2
3
2
( 2)( 2 1) ( 2)( 1)
所以 A的特征值为 1 2, 2 3 1.
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当 1 2 时，解齐次方程 ( 2 E A) x 0 ，
0 得基础解系 p1 0 , 1
令 0，即得 12 n A . 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的 n n 1 展开式中，只有对角元之积含有 和 .
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( a11 )( a22 )( ann ) ( 1 )( 2 )( n )
若f ( A) 0 f ( ) 0. 实际上这里多项式幂可推广为所有整数
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例 设3阶矩阵
A的特征值为 1,1,2, 求 A 3 A 2 E . A的全部特征值之积.
解 方阵 A的行列式=
因为的特征值为 1,1,2 ，全不为0， 所以 A可逆，且 A 2,
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3 1 例 求矩阵 A 1 3 的特征值和特征向量. 解： A 的特征多项式
3 1 E A 1 3 ( 3)2 1 2 6 8
( 2)( 4)
所以 A 的特征值为 1 2, 2 4.
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性质2： A 的特征值是 ， x 是 A 的对应于 的特征向量，则 若
(1) kA 的特征值是 k . ( k 是任意常数) (2) Am 的特征值是 m . ( m 是正整数) (3) 若 A 可逆，则 A1 的特征值是 1 . 1 A 的特征值是 A . 且 x 仍然是矩阵 kA, Am , A1 , A m 1 1 分别对应于 k , , , A 的特征向量。 (4) f ( x ) 为x的多项式，则 f ( A) 的特征值为 f ( ).
r
1 0 1 0 1 0 0 0 0
所以对应于1 1 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 3 2 时，解齐次方程 ( 2 E A) x 0，
1 得基础解系 p2 0 , 4
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方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一.
若 1 和 2 都是属于特征值 的特征向量,则
k11 k2 2 0 也是属于特征值 的特征向量.
即,属于特征值 的特征向量的非零线性组合 仍是 的特征向量. 一个特征向量只能属于一个特征值.
0 E A 0
0
是代数方程 E A 0 的根.
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以 为未知数的一元 n 次方程
E A 0
称为方阵 A 的特征方程. 以 为变元的 n 次多项式 E A ，即
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n f ( ) E A an1 an 2 ann
显然有