直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真

直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真

1 引言

倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。

2二级倒立摆系统数学模型

直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。

图1.二级倒立摆系统模型

系统模型建立所用的各参数如下：

应用Lagrange 方程建立的数学模型为

012

221

221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.10

11

...1221212122.11222cos (,,,)0

(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T

0h =[1 0 0]T

()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

3 倒立摆PID控制器系统

PID控制是比例积分微分控制的简称。PID控制是自动控制的发展历程中历史最悠久、生命力最强的基本控制方式。PID控制结构简单，且不需要对系统建立精确的模型。如图2所示为PID控制系统原理框图，由比例、积分、微分三个环节组成。虚线框所示的部分为PID控制器，它是一种线性控制器，其输入是实际给定值r和实际的输出值y所构成的偏差，输出是将这种偏差同时进行比例放大或缩小、微分、积分之后的总和。通过调节这三个环节的参数，可以改善PID控制器的性能。三个环节的参数对PID控制器的性能有着不同的影响。其中，比例环节：通过调节比例系数，可以减小静态误差，但是不能消除静态误差；积分环节：通过调节积分系数，可以消除静态误差，从而可以提高系统的稳态性能；微分环节：通过调节微分系数，可以提高系统的响应速度，改善系统的动态性能，减小最大偏差。

图2PID控制原理图

直线二级倒立摆的是一个单输入多输出的系统，而经典控制理论的主要是研究单输入单输出系统。一般来说，PID控制器是一个单变量控制器，系统中控制器的个数与被控量的个数一一对应关系，所以要使用PID控制器实现对直线二级倒立摆系统控制就需要多个PID控制器。倒立摆系统的控制因素主要包括：小车的位置、摆杆1的偏角和摆杆2的偏角，所以要想倒立摆稳定竖立，就必须对这三个输出量进行闭环控制，因而需要3个PID控制器分别实现对对相应变量的控制。

利用Matlab中极点配置问题函数place，对PID控制器参数进行计算，设积分环节系数为0，三个PID的其他6个参数分别为K1，K2，K3，K4，K5，K6其中K1对应于小车的位移，K2 对应于小车的速度，K3 对应于摆杆1与竖直向上方向的偏角，K4 对应于摆杆1的角速度，K5 对应于摆杆2与竖直向上方向的偏角，K6 对应于摆杆2的角速度。Matlab程序已附上，所得系统阶跃响应

如图3所示。

图3阶跃响应曲线

4 二级倒立摆控制系统的仿真

利用Simulink建构的直线二级倒立摆PID控制仿真结构图，如图4所示。主要包括：输入信号、直线二级倒立摆系统模块、输出观察窗口、PID控制模块等。PID1控制器用来控制小车的位移，PID2控制器用来控制摆杆1的角度，PID3控制器用来控制摆杆2的角度。

图4二级倒立摆PID控制仿真结构图其仿真结果图如图5所示。我们可以看出，仿真结果图和Matlab中阶跃响应曲线相近，虽然小车位移及两摆杆与竖直方向上的夹角的初始值对二级倒立摆的稳定性有较大的影响，其中，摆杆与竖直方向上的夹角对倒立摆的影响最大，但是对于这种不稳定系统采用了PID控制方式，可以取得一定的控制作用，在系统出现一定的超调之后，可以迅速的趋向稳定。

图5 PID控制仿真结果图

5 结束语

本文以直线二级倒立摆为研究对象，分析和建立二级倒立摆数学模型，并利用PID控制器对二级倒立摆进行控制，利用Matlab中极点配置问题函数place确认控制器的参数，并用MATLAB中的Simulink模块对其进行仿真，可以看出，PID控制方式可以取得一定的控制作用，尤其在系统出现一定超调之后可以迅速趋向稳定，保证系统的稳态特性。