倒立摆系统地建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

1.系统的物理模型

考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图(1)倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g

摆杆的长度：l=1m小车的质量：

M=1kg重力加速度：g=9.8m/2s

摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。

2.系统的数学模型

2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。

为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。

设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有

u l z dt

d m dt z d M =++)sin (22

22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&&

① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&&

② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直

立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θθ

2&项。于是有

u ml z m M =++θ&&&&

)( ③ θθg l z =+&&&&

④ 联立求解可得

u Ml Ml m M u M

M mg z 1)(1

-+=+-

=θθθ&&&&

2.2列写系统的状态空间表达式。

选取系统变量4321,,,x x x x ， []T

x x x x x 4321,,,=则

u Ml

x Ml m M x x x u M

x M mg x x x 1

)(1

34433221-+=

=+-==&&&&

即

[]Cx

x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M

mg

z z dt d x ===+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡

+-

=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000110100)(0

010

0000000

1

1θθ&&& 代入数据计算得到：

[][]0,0001,1010,01100

1000010000

1

==-=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=D C B A T 3.设计控制器

3.1判断系统的能控性和稳定性

[

]

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----==01101110100101101

032B A B

A A

B B

Q k ，rank(k Q )=4,故被控对象完全可控 由特征方程 0)11(22=-=-λλλA I 解得特征值为 0，0，11±。出现大于零的特征值，故被控对象不稳定

3.2确定希望的极点

希望的极点n=4，选其中一对为主导极点1s 和2s ，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点

1.02

1≤=--

ςπξ

σe

p 可得59.0≥ξ，于是取6.0=ξ；取误差带02.0=∆有n

s t ξω4

=

，则 1.67=n ω，闭环

主导极点为22,11ξξω-±-=j s n =-1±0.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的5倍，取154,3-=s

3.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点

状态反馈的控制规律为kx u -=，[]32

1

k k k k k =；状态反馈系统的状态方程为

Bv x BK A x

+-=)(&，其特征多项式为 0122033141010)11()()(k k k k k k BK A I ----+-+=--λλλλλ ⑤

希望特征多项式为

3692.49964.28632)8.01)(8.01()15(2342++++=++-++λλλλλλλj j ⑥

比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵[]92.8154.33492.499.36----=k

4.设计全维观测器

4.1判断系统的能观性

[]

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--==1000

01000010

00

1

)()(32C A C A C A C

Q T T T g ，rank(g Q )=4,故被控对象完全可观 4.2确定观测器的反馈增益

全维观测器的动态方程为GCx Bv x GC A x

++-=)&))(；其特征多项式为