倒立摆模型及matlap仿真
倒立摆PID控制及MATLAB仿真
摘要道理摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。
本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。
本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。
关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章自动控制概述 (1)1.1 自动控制概念 (1)1.1.1 开环控制 (1)1.1.2 闭环控制 (2)1.2 自动控制系统的分类 (2)1.2.1 恒值系统、随动系统和程序控制系统 (2)1.2.2 随机系统与自动调整系统 (3)1.2.3 线性系统和非线性系统 (3)1.2.4 连续系统与离散系统 (3)1.2.5 单输入单输出系统和多输入多输出系统 (3)1.2.6 集中参数系统和分布参数系统 (4)1.3 对控制系统的性能要求 (4)1.4 典型环节 (5)1.4.1 比例环节 (5)1.4.2 积分环节 (5)1.4.3 微分环节 (6)1.4.4 惯性环节 (6)1.4.5 时滞环节 (7)第2章 MATLAB仿真软件的应用 (9)2.1 MATLAB的基本介绍 (9)2.2 MATLAB的仿真 (9)2.3 控制系统的动态仿真 (10)2.4 小结 (12)第3章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)3.1 系统组成 (13)3.1.1 倒立摆的组成 (14)3.1.2 电控箱 (14)3.1.3 其它部件图 (14)3.1.4 倒立摆特性 (15)3.2 模型的建立 (15)3.2.1 微分方程的推导 (16)3.2.2 传递函数 (17)3.2.3 状态空间结构方程 (18)3.2.4 实际系统模型 (20)3.2.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (21)第4章 PID控制理论 (23)4.1 PID控制概述 (23)4.2 PID的控制规律 (24)4.3 数字PID控制 (25)4.3.1 位置式PID控制算法 (26)4.3.2 增量式PID控制算法 (27)4.4 常用的PID控制系统 (27)4.4.1 串级PID控制 (27)4.4.2 纯滞后系统的大林控制算法 (28)4.4.3纯滞后系统的Smith控制算法 (29)4.4.4 PID控制原理的特点 (31)4.4.5 PID参数的调整 (31)4.4.6 PID控制回路的运行 (32)第5章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)5.1 PID控制器的设计 (34)5.2 PID控制器设计MATLAB仿真 (36)结论 (41)致谢...................................................................................................... 错误！未定义书签。
直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR
直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。
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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。
首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。
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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。
小车的动能：错误!未找到引用源。
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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。
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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。
对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。
基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真
基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真一．倒立摆模型的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想的实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反应控制中的典型问题：如非线性问题、鲁莽性问题、镇定问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检测新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
二．倒立摆模型的数学建模质量为m的小球固结于长度为L的细杆上（细杆质量不计），细杆和质量为M的小车铰链相接分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转东伟正方向，水平向右为水平方向上的正方向。
当细杆白顺时针想要运动时水平方向施加的里应该是水平相应。
对方程组进行拉普拉斯变化，得到摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：位移X对外力F的传递函数：三．在Matlab中输入得到的反馈矩阵：采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。
首先，在M A T L A B的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值（这里我们设置为[0 0 0.1 0]。
然后运行仿真程序。
得到的仿真曲线从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在θ=0（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下黄线代表位移，紫线代表角度。
四．总结由实验中可知，倒立摆系统是一个非线性的较复杂的不稳定系统，故要满足故要满足稳定性要求，就得对系统进行线性化近似和稳定控制。
当然我们调节出来的只是一个理想模型，在实际中会更加复杂，稳定性也会更难获得。
在这次实验中掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了MATLAB仿真软件Simulingk的使用，也对系统有了更好的理解。
直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真
直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。
在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。
该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。
本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。
2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。
主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。
由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。
而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。
倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。
系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。
图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真
二级倒立摆的建模与 ＭＡＴＬＡＢ 仿真 刘文斌，等
二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真
刘文斌，干树川 （四川理工学院电子与信息工程系 四川自贡，６４３０００）
取为最小值。设控制输入函数形式为： Ｕ（ｔ）＝ －Ｋｘ（ｔ） （１１） 状态反馈矩阵： Ｋ ＝ Ｒ －１Ｂ Ｔ Ｐ （ １２） 其中，Ｐ 可由 Ｒｉｃｃａｔｉ 微分方程： （１３） 其中， 性能指标函数： （１４）
［Ｊ］．计算机测量与控制，２００６，１４（１２）：１６４１ － １６４２ ５ 张 春，江 明，陈其工等．平行单级双倒立摆系统的建模与滑
模变结构控制［Ｊ］．２００８．１
２３
图１ 二级倒立摆模型
（１）
（２）
（３） 经过线性化如下： （４）
（上接第 ７ 页） ０； ０； ０； ０］； ｐ＝ｅｉｇ（Ａ） ［ｎｕｍ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，１）； ｐｒｉｎｔｓｙｓ（ｎｕｍ，ｄｅｎ） Ｑ＝［１０００ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ １０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ １０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０］； Ｔｃ＝ｃｔｒｂ（Ａ，Ｂ）； ｒａｎｋ（Ｔｃ） Ｔｏ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）； ｒａｎｋ（Ｔｏ） Ｒ＝１； Ｋ＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）； Ａｃ＝［（Ａ－Ｂ＊Ｋ）］； Ｂｃ＝［Ｂ］； Ｃｃ＝［Ｃ］； Ｄｃ＝［Ｄ］； Ｔ＝０：０．００５：２０； Ｕ＝０．２＊ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ（Ｔ））； ［Ｙ，Ｘ］＝ｌｓｉｍ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ，Ｕ，Ｔ）； ｐｌｏｔ（Ｔ，Ｙ（：，１），＇：＇，Ｔ，Ｙ（：，２），＇ －＇，Ｔ，Ｙ（：，３），＇
基于MATLAB-GUI的一级倒立摆控制仿真软件设计
基于MATLAB-GUI的一级倒立摆控制仿真软件设计基于MATLAB/GUI的一级倒立摆控制仿真软件设计摘要：本文介绍了一种基于MATLAB/GUI的一级倒立摆控制仿真软件的设计方法。
倒立摆是一个经典的控制系统问题，通过控制摆杆使其保持垂直状态。
本文使用MATLAB作为仿真平台，并通过GUI界面设计，使得用户可以方便地输入参数、观察系统状态和结果。
通过该仿真软件，可以有效地学习和研究控制系统的设计与应用。
关键词：MATLAB；倒立摆；控制系统；仿真软件；GUI一、引言倒立摆是一种非线性、强耦合且不稳定的控制系统，是控制理论中经典的问题之一。
倒立摆控制系统受到广泛的研究关注，其在机器人、飞行器、自动驾驶等领域有着重要的应用。
为了帮助学习者理解控制系统的原理和特点，设计了一种基于MATLAB/GUI的一级倒立摆控制仿真软件。
二、仿真软件设计1. 系统模型建立使用MATLAB工具箱中的Simulink建立倒立摆的系统模型。
系统包含两个部分：摆杆和电机控制器。
摆杆模型包括质量、长度、角度等参数；电机控制器模型包括电压、电流、转速等参数。
连接两个模块，构建完整的倒立摆控制系统。
2. GUI界面设计使用MATLAB的GUI工具进行界面设计，用户可以通过界面方便地输入参数、选择控制算法和观察系统状态。
界面包括输入参数框、按钮、图表等控件。
3. 控制算法设计通过GUI界面，用户可以选择不同的控制算法，如PID控制、模糊控制、自适应控制等。
根据选择的算法，修改Simulink模型中的控制器参数，并进行仿真分析。
4. 仿真结果可视化在GUI界面中添加图表，可以实时显示倒立摆的角度、位置等参数。
用户可以通过修改参数和算法，观察系统的响应结果并进行分析。
三、应用实例以PID控制算法为例，进行系统仿真。
用户可以通过GUI界面输入摆杆的质量、长度、角度等参数。
选择PID控制算法后，可以调节PID参数的值，观察系统响应和稳定性。
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计一级倒立摆是一个经典的控制系统问题，它由一根杆子和一个在杆子顶端平衡的质点组成。
杆子通过一个固定的轴连接到一个电机，电机可以通过施加力来控制杆子的平衡。
设计一个控制系统来实现对一级倒立摆的稳定控制是一个重要的研究课题。
在这篇文章中，我们将介绍基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计。
我们将首先介绍一级倒立摆的数学模型，并根据模型设计一个反馈控制器。
然后，我们将使用MATLAB来进行仿真，评估控制系统的性能。
一级倒立摆的数学模型可以通过牛顿第二定律得到。
假设杆子是一个质点，其运动方程可以表示为：ml²θ''(t) = mgl sin(θ(t)) - T(t)其中m是质点的质量，l是杆子的长度，g是重力加速度，θ(t)是杆子相对于竖直方向的偏角，T(t)是电机施加的瞬时力。
为了设计一个稳定的控制系统，我们可以使用PID控制器，其控制输入可以表示为：T(t) = Kp(θd(t) - θ(t)) + Ki∫(θd(t) - θ(t))dt +Kd(θd'(t) - θ'(t))其中Kp，Ki和Kd分别是比例，积分和微分增益，θd(t)是我们期望的杆子偏角，θ'(t)是杆子的角速度。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink来建模和仿真一级倒立摆的控制系统。
我们可以进行以下步骤来进行仿真：1. 建立一级倒立摆的模型。
在Simulink中，我们可以使用Mass-Spring-Damper模块来建立质点的运动模型，并使用Rotational Motion 库提供的Block来建立杆子的旋转模型。
2. 设计反馈控制器。
我们可以使用PID Controller模块来设计PID 控制器，并调整增益参数以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 对控制系统进行仿真。
通过在MATLAB中运行Simulink模型，我们可以观察控制系统的响应，并评估系统的稳定性和性能。
基于MATLAB的旋转倒立摆建模和控制仿真
倒立摆系统作为一个被控对象具有非线性、强耦合、欠驱动、不稳定等典型特点,因此一直被研究者视为研究控制理论的理想平台,其作为控制实验平台具有简单、便于操作、实验效果直观等诸多优点。
倒立摆具有很多形式,如直线倒立摆、旋转倒立摆、轮式移动倒立摆等等。
其中,旋转倒立摆本体结构仅由旋臂和摆杆组成,具有结构简单、空间布置紧凑的优点,非常适合控制方案的研究,因此得到了研究者们广泛的关注[1-2]。
文献[3]介绍了直线一级倒立摆的建模过程,并基于MATLAB 进行了仿真分析;文献[4]通过建立倒立摆的数学模型,采用MATLAB 研究了倒立摆控制算法及仿真。
在倒立摆建模、仿真和研究中大多数研究者常用理论建模方法,也可以利用SimMechanics 搭建三维可视化模型仿真;文献[5]使用SimMechanics 工具箱建立旋转倒立摆物理模型,通过极点配置、PD 控制和基于线性二次型控制实现了倒立摆的平衡控制;文献[6]通过设计的全状态观反馈控制器来实现单极旋转倒立摆SimMechanics 模型控制,表明了SimMechanics 可用于不稳定的非线性系统;文献[7]通过单级倒立摆SimMechanics 仿真,研究了Bang-Bang 控制和LQR 控制对倒立摆的自起摆和平衡控制;文献[8]基于Sim⁃Mechanics 建立了直线六级倒立摆模型,并基于LRQ 设计状态反馈器进行了仿真控制分析。
本文首先采用Lagrange 方法建立了旋转倒立摆的动力学模型,在获得了旋转倒立摆动力学微分方程后建立了s-func⁃tion 仿真模型;然后,本文采用SimMechanics 建立了旋转的可视化动力学模型。
针对两种动力学模型,采用同一个PID 控制器进行了控制,从控制结果可以看出两种模型的响应曲线完全一致,这两种模型相互印证了各自的正确性。
1旋转倒立摆系统的动力学建模旋转倒立摆是由旋臂和摆杆构成的系统,如图1所示,旋臂绕固定中心旋转(角度记为θ)带动摆杆运动,摆杆可以绕旋臂自由转动,角度记为α。
倒立摆系统的建模及MATLAB仿真
(2)
方程 (1) , (2) 是非线性方程 ,由于控制的目的是 保持倒立摆直立 ,在施加合适的外力条件下 ,假定θ 很小 ,接近于零是合理的 。则 sinθ≈θ,co sθ≈1 。在 以上假设条件下 ,对方程线性化处理后 ,得倒立摆系 统的数学模型 :
( M + m) ¨x + mθl¨= f
(3)
Co nference , 1999 :230. [ 2 ] 王沉培 ,周艳红 ,周云飞. 复杂形状刀具磨削运动三维图 形仿真的研究. 中国机械工程 ,1998 ,10 (2) :1232126. [ 3 ] (美) 马尔金 1 S 著. 磨削技术理论与应用 [ M ]1 沈阳 :东 北大学出版社 ,20021
Key words inverted pendulum , model building , simulatio n under t he MA TL AB enviro nment
中图分类号 : TP273 文献标识码 :A
倒立摆系统是 1 个经典的快速 、多变量 、非线 性 、绝对不稳定系统 ,是用来检验某种控制理论或方 法的典型方案 。倒立摆控制理论产生的方法和技术 在半导体及精密仪器加工 、机器人技术 、导弹拦截控 制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开 发利用前景 。因此研究倒立摆系统具有重要的实践 意义 ,一直受到国内外学者的广泛关注 。
的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征
决定 。如果矩阵 K 选取适当 , 则可使矩阵 A - B K
构成 1 个渐近稳定矩阵 ,并且对所有的 x (0) ≠0 , 当
t 趋于无穷时 ,都可使 x ( t) 趋于 0 。称矩阵 A - B K
的特征值为调节器极点 。如果这些调节器极点均位
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置
题目一：考虑如以下图的倒立摆系统。
图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面运动的二维问题。
倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量〔摆杆的质量在摆杆中心〕、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图倒立摆系统设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts≤4s，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性3、设计状态反响阵，使闭环极点能够到达期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进展参数确实定4、用MATLAB 进展程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。
解：1 建立一级倒立摆系统的数学模型1.1 系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。
这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型1.2 建立系统状态空间表达式为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。
这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到u l y dtd m dt d M =++)sin (y 2222θ 〔1〕对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到θθsin )sin y (m 22mg l dtd =+ 〔2〕 方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加适宜的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。
环形倒立摆Adams与Matlab联合仿真实例
机械运动系统设计与实践报告学院：工程学院专业：机械设计及理论姓名：学号：指导教师：2012 年 3 月环形倒立摆Adams与Matlab联合仿真分析一、实践目的1.熟悉和理解环形倒立摆的组成部件及运动原理。
2.通过ADAMS软件对环形倒立摆进行建模，熟练该款软件。
3.通过运用ADAMS导出模块与matlab进行对接处理，熟悉matlab软件的PID运行控制以及掌握simulink的相关设置。
二、实验原理环形倒立摆是通过电机驱动，带动连杆，同时连杆来带动摆杆运动。
中间需要测量的物理参数主要有：连杆的角度、连杆的角速度、摆杆的角度、摆杆的角速度。
通过两个光电编码器进行反馈。
从反馈过程中来调节电机的转速及转向，进而达到摆杆的倒立并保持相对平衡。
下图1即为实验室固高环形倒立摆系统组成框架：图1 环形倒立摆组成框架实验室固高模型使用程序如下：（1）老师给的程序：% this is a new simulation program for new arm-type inverted pendulum % by lgr input on the state of 0 of arm and that of 0 of pendulum% ! CAUTION ,changed base of direction of arm% Suc.clear allclose all%---------------------------------Ma=0.21;Mp=0.062;la=0.133;lp=0.068;La=0.25;Lp=0.19;Ja=5E-3;Jp=5.65E-4;Ca=5.52E-3;Cp=1.69E-4;kt=0.0419;g=9.8;%------------------continuous state equation--------------------ce=[ 1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 Mp*La^2+Ja Mp*La*lp ;0 0 Mp*La*lp Jp ];ca=[ 0 0 1 0 ;0 0 0 1 ;-(Mp*la+Mp*La)*g 0 -(Ca+Cp) Cp ;0 Mp*g*lp Cp -Cp ];cb=[0;0;kt;0];CA=inv(ce)*ca;CB=inv(ce)*cb;C=[1 0 0 0 ; 0 1 0 0];%---------------------------------------------------------------Q=diag([100,10,1,1]);R=1;[f,s,e]=lqr(CA,CB,Q,R);%---------------------------------------------------------------dt=0.005;%sampling timeth_a=0.1 %accdd('Initial angle of arm ',0.1);% ! caution,clock di%rectionth_p=pi;% =accdd('Initial angle of pendulum ',pi);% ! caution,clock dir %ection +d_th_a =0.0;%d_th_p =0.0;%initial values of statesdd_th_a =0.0;%dd_th_p =0.0;%u =0.0;z =0.0;energy =0.0;i =1;%-------------------------- input parameter---------------------alpha =30.0 ; %alpha =accdd('Design Parameter alpha',30.0);energy_d =1.5*Mp*g*lp; %accdd('Desired Energy',1.5*Mp*g*lp);zeta =1 % accdd('Damping Factor',1.0);wc =1 % accdd('Cut Off Frequency',1.0);flag =0;%-------------------------- starting loop ----------------------for i =1:6.0/dtth_a_0 =th_a;%th_p_0 =th_p;%d_th_a_0 =d_th_a;%d_th_p_0 =d_th_p;%dd_th_a_1 =dd_th_a;%dd_th_p_0 =dd_th_p;%if cos (th_p)>=cos(0.2);flag=1;endif flag==0 %----------------------- swimping up ------------------dd_th_a = z-(2*zeta*wc*d_th_a+wc^2*th_a);ydd_temp =-Mp*La*lp*cos(th_a-th_p)*dd_th_a+Mp*La*lp*d_th_a^2*sin(th_a-th_p);dd_th_p =(ydd_temp+Mp*g*lp*sin(th_p)+Cp*d_th_a-Cp*d_th_p)/Jp;d_th_a =d_th_a_0+dd_th_a*dt;d_th_p =d_th_p_0+dd_th_p*dt;th_a =th_a_0+d_th_a_0*dt+dd_th_a*dt^2*0.5;th_p =th_p_0+d_th_p_0*dt+dd_th_p*dt^2*0.5;elseeq_1_1=-Mp*La*lp*d_th_p^2*sin(th_a-th_p)-(Mp*la+Mp*La)*g*sin(th_a);eq_1_2 =-(Ca+Cp)*d_th_a+Cp*d_th_p+kt*u;eq_1_left =eq_1_1+eq_1_2;eq_2_1 =Mp*La*lp*d_th_a^2*sin(th_a-th_p)+Mp*lp*g*sin(th_p);eq_2_2 =Cp*d_th_a-Cp*d_th_p;eq_2_left =eq_2_1+eq_2_2;%-------------------------- calculation of inverse matrix ------------- M11 =Mp*La^2+Ja;M12 =Mp*La*lp*cos(th_a-th_p);M21=Mp*La*lp*cos(th_a-th_p);M22=Jp;M=[M11 M12;M21 M22];MI=inv(M);%-------------------calculation of parameters------------------dd_th_a=MI(1,1)*eq_1_left+MI(1,2)*eq_2_left;dd_th_p=MI(2,1)*eq_1_left+MI(2,2)*eq_2_left;d_th_a= d_th_a_0+ dd_th_a*dt;d_th_p= d_th_p_0+ dd_th_p*dt;th_a= th_a_0+ d_th_a_0*dt+ dd_th_a*dt^2*0.5;th_p= th_p_0+ d_th_p_0*dt+ dd_th_p*dt^2*0.5;energy=0.5*Jp*d_th_p^2+Mp*g*lp*cos(th_p);%energy of pendulumpotential=Mp*g* lp*cos(th_p);kinetic=0.5*Jp*d_th_p^2;%------------------------------------------------------------------------if flag==0error=energy-energy_d;u1=(Mp*La^2+Ja)*dd_th_a+Mp*La*lp*cos(th_a-th_p)*dd_th_p+(Ca+Cp)*d_th_a;u2=Mp*La*lp*d_th_p^2*sin(th_a-th_p)+(Ma*la+Mp*La)*g*sin(th_a)-Cp*d_th _p;u=(u1+u2)/kt;z=alpha*d_th_p*cos(th_p)*error;elseu=-f*[th_a;th_p;d_th_a;d_th_p];end%-----------------Limit input--------------if u>=4.995u=4.995;else if u<=-4.995u=-4.995;endend%----------------------------save data----------------------------accel_th_a(i)=dd_th_a;accel_th_p(i)=dd_th_p;veloc_th_a(i)=dd_th_a;veloc_th_p(i)=dd_th_p;angle_th_a(i)=th_a;angle_th_p(i)=th_p;Energy1(i)=energy;Energy2(i)=kinetic;Energy3(i)=potential;input(i)=u;t(i)=i*dt;end%----------------------------end loop-------------------------------subplot(221);plot(t,angle_th_a);xlabel('time[sec]');ylabel('Angle of Arm [rad]');subplot(222);plot(t,angle_th_p);xlabel('time[sec]');ylabel('Angle of Pendulum [rad]');gridsubplot(223);plot(t,input);xlabel('time[sec]');ylabel('Input');gridsubplot(224);plot(t,Energy1,t,Energy2,':',t,Energy3,'--'); xlabel('time[sec]');ylabel('Energy of Pendulum');控制模型的如图2所示：图2 控制模型控制曲线如图3所示：246-0.4-0.200.20.4time[sec]A n g l e o f A r m [r a d ]246-20246time[sec]A n g l e o f P e n d u l u m [r a d ]246-55time[sec]I n p u t246-0.0500.050.10.15time[sec]E n e r g y o f P e n d u l u m图3 控制曲线三、 A DAMS 建模及参数设置处理 1. 建模此处为了更为清晰的建模，将电机驱动以及连杆、摆杆的模型简化。
倒立摆系统建模及MATLAB仿真
倒立摆系统的建模及MATLAB仿真通过建立倒立摆系统的数学模型,应用状态反馈控制配置系统极点设计倒立摆系统的控制器,实现其状态反馈,从而使倒立摆系统稳定工作。
之后通过MA TLAB 软件中Simulink工具对倒立摆的运动进行计算机仿真,仿真结果表明,所设计方法可使系统稳定工作并具有良好的动静态性能。
倒立摆系统是1个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统,是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义,一直受到国内外学者的广泛关注。
本文就一级倒立摆系统进行分析和研究,建立倒立摆系统的数学模型,采用状态反馈极点配置的方法设计控制器,并应用MA TLAB 软件进行仿真。
1 一级倒立摆系统的建模1. 1 系统的物理模型如图1 所示,在惯性参考系下,设小车的质量为M ,摆杆的质量为m ,摆杆长度为l ,在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ,作用在小车上的水平控制力为f 。
这样,整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3 外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型1. 2 系统的数学模型在系统数学模型中,本文首先假设:(1) 摆杆为刚体。
(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦。
(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。
然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为:方程(1) , (2) 是非线性方程,由于控制的目的是保持倒立摆直立,在施加合适的外力条件下,假定θ很小,接近于零是合理的。
则sinθ≈θ,co sθ≈1 。
在以上假设条件下,对方程线性化处理后,得倒立摆系统的数学模型:1. 3 系统的状态方程以摆角θ,角速度θ',小车的位移x ,速度x'为状态变量,输出为y 。
即令:则一级倒立摆系统的状态方程为:2 控制器设计及MATLAB 仿真2. 1 极点配置状态反馈的基本原理图2 状态反馈闭环控制系统极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真第一步是建立单级倒立摆的数学模型。
单级倒立摆可以通过旋转关节将一根质量均匀的细杆与一个平台相连。
细杆的一端固定在平台上，另一端可以自由旋转。
细棒的旋转角度用θ表示，质心的位置用x表示。
根据牛顿力学和杆的动力学方程，可以得到如下数学模型：1.摆杆的运动方程：Iθ'' + mgl sin(θ) = u - F (1)其中，I是摆杆的转动惯量，m是摆杆的质量，g是重力加速度，l是摆杆的长度，u是控制输入（摆杆上的转动力矩），F是摩擦力。
2.质心的运动方程：m(x'' - lθ'²cos(θ)) = F (2)接下来是设计控制器来控制单级倒立摆。
一个常用的控制方法是使用线性化控制理论，其中线性化是将系统在一些工作点附近线性近似。
在这种情况下，将摆杆保持在垂直方向，并使质心静止作为工作点。
线性化系统的转移函数为：H(s) = θ(s)/u(s) = (ml²s² + mg)/(s(ml² + I))为了稳定单级倒立摆，可以使用自动控制理论中的反馈控制方法，特别是状态反馈。
状态反馈根据系统的状态变量来计算控制器输入。
为了设计状态反馈控制器，首先需要判断系统的可控性和可观测性。
根据控制系统理论，如果系统是可控和可观测的，则可以设计一个线性状态反馈控制器来稳定系统。
在MATLAB中，可以使用控制系统工具箱来设计单级倒立摆的控制系统。
首先，通过建立系统的传递函数模型（由线性化系统得到）来定义系统。
然后，使用控制系统工具箱中的函数来计算系统的稳定极点，并确定所需的反馈增益以稳定系统。
最后，可以使用MATLAB的仿真工具来模拟单级倒立摆的响应，并进行性能分析。
在进行仿真时，可以将倒立摆的初始状态设置为平衡位置，并应用一个输入来观察系统的响应。
可以通过调整控制器增益和系统参数来改变系统响应的性能，例如收敛时间、超调量和稳态误差。
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真
单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。
因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。
控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。
为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用 Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。
实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。
该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。
本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。
本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。
讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。
用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。
通过仿真说明控制器的有效性和实现性。
关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；SimulinkDesign of single stage inverted pendulum control systemand Simulink simulationAbstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortcomings of common physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motionof the inverted pendulum, and designs the fuzzy control system of the model. Experimental results show that the operation speed and computer simulation of this kind of fuzzy control combined with algebraic analysis method are improved by the physical feedback control method. This method can effectively improve the performance of a single stage inverted pendulum control system. In this paper, the main work of this paper is to study the fuzzy control of a linear inverted pendulum system, and the Matlab and Simulink to simulate the fuzzy control system of a single inverted pendulum, verify the feasibility of the design. And a mathematical modeling method of an inverted pendulum is described, their differential equations are derived, and the equation of state is linearized. The fuzzy control method and operation steps of single stage inverted pendulum system are discussed. Using Simulink to realize the fuzzy control simulation system of a single inverted pendulum, the response curve of the control of an inverted pendulum system is given. The effectiveness and the implementation of the controller are illustrated by simulation.Keywords: Inverted pendulum; Simulation; Fuzzy control; Motion; modeling; Simulink 引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真毕业论文
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真摘要：本文根据牛顿力学原理，使用机理建模法对二级倒立摆系统进行了建模与仿真研究。
利用最优化控制理论，研究了线性二次型最优控制器对倒立摆系统进行了有效控制。
基于MATLAB程序的设计、仿真的运行，结果表明，二级倒立摆的数学建模法是切实可行的，而且十分可靠，同时利用LQR 控制器实现了对系统的控制，可以达到系统所需要的稳定性，鲁棒性。
关键词：二次型最优控制；二级倒立摆；MATLAB1 引言倒立摆系统是一个常用的、简单的、典型的可进行控制理论研究的实验平台，很多难以用常规实验研究的控制理论问题，都可以通过倒立摆系统来进行研究从而使这些抽象的控制理论问题，通过该系统可以直观的鲜明的显示出来。
所以倒立摆系统一直是控制领域的热点，并且在这些年来在不断的发展进步对控制理论的研究起到了重要作用。
倒立摆系统是一个典型的不稳定系统，具有多变量、强耦合、非线性等特点。
同时也是仿人类行走机器人和火箭发射飞行的过程调整和直升机飞行等实际运用控制对象的最简模型。
本文建立在牛顿力学定律的基础上，研究对象设置为二级倒立摆，对其进行数学建模，再使用二次型最优控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一个最优状态反馈的矩阵K，然后在通过对Q和R两个加权矩阵的严谨选取从而实现对二级倒立摆系统良好的自动控制。
2 二级倒立摆模型建立一个典型的二级倒立摆系统主要由机械部分和电气装置两部分组成。
机械装置的结构主要由小车、摆杆1、摆杆2及连接轴等组成，电气装置的主要结构是功率放大器、电动机、驱动电路、保护电路等。
其系统的结构如图1所示。
实验假设如下：(1)小车、摆杆1、摆杆2的材料性质都是刚体的。
(2)小车的驱动力和放大器的输出直接的，无滞后的作用于小车上。
(3)忽略实验中过程中出现的不可避免的各种摩擦力如库伦摩擦力等。
图1 二级倒立摆控制系统的结构二级倒立摆的参数设定如表1。
直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真
直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。
在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。
该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。
本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。
2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。
主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。
由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。
而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。
倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。
系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。
图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。
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也是取矽百Ｙ订来进行控制，经过适当调试，当然
也是可以对摆杆和小车进行镇定的，但其运动方程 已经不是公认的式（１）了，甚至其阶次也不止四阶． （下转第２６２页）
万方数据
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 电
机
与
控
制
学
报
第８卷
５
结束语
本文利用刚体的动力学知识建立了任意级旋转
进行了仿真研究，获得了较好的仿真结果，这说明对 旋转式倒立摆实现状态反馈控制是可能的．
当然实验系统上的镇定，与理论上的对式（２）进
行镇定，在定量上还是有一定差异。 以状态反馈为例，设对式（２）进行镇定的控制律 为
“＝Ｋ。０＋ＫｄＯ，Ｋｐ＝１００，Ｋｄ＝２０
（７）
系将摆角０与Ｕ相加，积分后为小车的速率多。图中 已将电机的转速折合成小车的速率多。
对图２的系统来说，因为口回路中有ＰＩ，其比例项的 系数为２０（见式（６）），故与式（７）状态反馈对应的控 制器为 Ｋ鼬（曲＝５＋ｓ （８） 图３是二者在脉冲扰动下的响应曲线．仿真时 是对角加速度指定一个初值，相当于是对摆杆加一 个脉冲的外力（一次敲击）。本例中取ｏ（ｏ）＝０．５ Ｏ／ｓ２． 图２中，实线是系统的响应曲线；虚线是理论上二阶
式倒立摆系统的数学模型。从文中可知，旋转式倒立 摆系统的数学模型可以分为三部分：旋臂的运动微
参考文献：
【ｌ】谢传锋，王琪．动力学（１）嗍．北京：高等教育出版社，１９９９：８１一
［２１何彦彦，沈程智．三级倒立按系统的可控性与可观性分析佣．北
分方程、最后一级摆杆的运动微分方程、中间摆杆的８４． 运动微分方程．这三部分的运动微分方程有一定的 相似性，只是旋臂与直流力矩电机的转轴直接相 连，受到控制输入的作用；而最后一级摆｝杆只有一端 受到作用，其他摆杆则是两端都受到作用力，而且受 力分析完全相同．这在一定程度上降低了任意级数 的倒立摆建模的难度。根据所建数学模型，文中分别 对一级、二级、三级旋转式倒立摆系统进行了相对能
式中ａ＝１／（Ｍ＋ｍ），其余参数同式（１）。
同样是小车一倒摆系统，为什么会有不同的 数学模型呢？它们各自对应什么样的实物系统？ 从实物系统来说，二者的差别在于执行机构．如
０＝“
… ｒ７
（Ｍ＋ｍ）哥－ｔ－ｍｆｃｏｓ００一ｍ１０２ｓｉｎ
（Ｊ＋ｍｌ ２）百＋ｍｌ萝ｃｏｓ
果小车的运动是由直流电机来带动的，那就是大家 都熟知的，标准的四阶运动方程式（式（１））。但是如 果采用的是交流伺服电机，那么系统的运动方程式 就不一样了。虽然现在有各种控制方法嘲可以使加 到电机上的信号．Ｉ，与电机的输出力矩ｆ成线性比例 关系，但是应该指出的是，现在的交流伺服电机都需 要形成一个闭环伺服系统来工作，而小车一倒摆的 控制器实际上是要通过这个电机伺服系统才能带动
京航空航天大学学报，１９呃２２（￥：５４５—５４９．
［３１程俊，王永，黄南晨，等．旋转式倒立摆计算机控镧系统叽．电机与
控制学报，３）０１，剿：２７７—２８０．
【４】张冬军．一类典型的非线性欠冗余机构一倒立摆控制系统研
究时．厶肥：中国科学技术大学，２００３． ［－ｑ孙颖娥．旋转式倒立摆系统的设计与算法研究叼．厶肥：中国科
第３期
倒立摆的模型和控制问题
２４９
系统的响应曲线。图４是与图３实线相对应的带电 机伺服系统的小车运动曲线，小车很快稳定下来。
在的不平衡和传感器死区等原因，当摆角稳定后小 车位置会有缓慢的漂移，这和上面所说的撞向终端 的运动，在性质上是完全不同的。
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第８卷第３期 ２００４年９月
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ＣＯＮＴＲＯＬ
Ｓｅｐｔ．，２００４
倒立摆的模型和控制问题
王广雄１，张静２，
（１．哈尔滨工业大学，黑龙江哈尔滨１５０００１；
罗晶１，许万平１
２哈尔滨理工大学，黑龙江哈尔滨１５００８０）
摘要：小车一倒摆系统常用四阶的运动方程来描述。但如果小车是交流伺服电机来驱动的，交流伺 服电机需要和它的控制系统构成一个闭环系统才能工作，使小车的运动受到约束，系统的动态方程 退化成为二阶。文中对该系统的特性作了详尽的分析，并指出这样的实验装置适合于研究二阶不稳 定对象的镇定问题． 关键词：倒立摆；实验装置；交流伺服电机；数学模型
交流伺服电机驱动的倒立摆
本文要研究的是小车一倒摆系统是用二阶或是
四阶方程式来描述的问题，故采用简化的线性化方 程式以使分析更为简单明了。这时式（１）可写为
（Ｍ＋ｍ）ｙ＋ｍｌＯ＂＝ｕ
Ⅳ＋ｍ１２）移＋ｍｌｊ；－ｍｇｌＯ＝０ 将上两式进行整理，得
服回路仍存在一个非最小相位零点ｚ＋＝√舜
５．４２２。由于系统的带宽要小于非最小相位零点网，所 以虽然电机伺服系统是整个系统的执行机构，但这 （３） 个电机伺服系统的带宽却要小于摆角０回路的带 宽，这和伺服设计的常规做法不一致，也是一切问题 的根源所在。本例中取电机伺服回路过０ｄＢ线的频 率纰＝ｌ ｒａｄ／ｓ，对应的ＰＩ控制器的传递函数为 Ｋｐ．Ｏ）＝２０（１＋１／ｓ） （６）
Ｏ ｔ，ｓ
图４
Ｆｉｇ．４
脉冲扰动下的小车运动
Ｉｍｐｕｌｓｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｔｈｅ∞ｒ
ｏ屯。叫。一
实轴 （ａ）
图５是二者的Ｎｙｑｕｉｓｔ图。图５（ａ）是理论上的二 阶系统加状态反馈的Ｎｙｑｕｉｓｔ图线；图５（ｂ）是带有电 机伺服系统的等效对象加控制器后的Ｎｙｑｕｉｓｔ图 线，即图２中在ａ点处断开的开环回路特性．这个系 统中的等效对象是图２中从鳞到口的那一部分的特 性．由于图２中的ｌ肛环节是在这个等效关系图的反馈 部分，所以等效特性就具有Ｓ项，频率特性在１９＝０
罗
晶（１９６５－），男，副教授，博士，研究方向为控制系统设计；
许万平（１９４８一），男，副教授，研究方向为控制系统设计．
万方数据
电 包括在内一起考虑了。 ３
机
与
控
制
学
报
第８卷
度９的控制律．这个控制律需要通过电机的ＰＩ控制 系统来带动小车．现在这个系统就是一个对倒立的 摆杆进行镇定的系统，这里电机伺服系统和小车是 其执行机构． 上面已经指出，电机的负载是不稳定非最小相位 系统，加上０回路后，因为零点具有不变性，电机伺
０一ｔｏｏｌ ｓｉｎ ０＝０
图１小车一倒摆系统
Ｆｉｇ．１ Ｃａｒｔ・ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐ ｅｎｄｕｌｕｍ ｓｙｓｔｅｍ
小车运动。所以如果用交流伺服电机来驱动，小车 一倒摆系统的运动方程式就应将这个电机伺服系统
收稿日期：２００ｉ４—０５—２４ 基金项目：哈尔滨工业大学重点学科建设基金资助（５４１００１７９） 作者简介：王广雄（１９３３一），男。教授，博士生导师，研究方向为Ｈ。控制理论及应用、控削系统的鲁棒性设计等； 张静（１９６８－），女，副教授，博士，研究方向为鲁棒控制；
论（６ｔ态空间法）和非线性控制理论阁研究的倒摆系 统都是四阶的（见式（１）），而模糊控制［３１、智能控制、学
习控制问中的小车一倒摆系统的变量只有ｐ，其运动 方程式是二阶的嘲：
荐：签堕！二堡翌坐垫垡虫丝二型塑！旦
。４１／３一ａｍｌｃｏｓ２０
ｍ ｗ
２问题的提出
小车一倒摆系统（图１）是一种很普及的实验装 置，其运动方程式也是大家都熟知的【１１：
验结果表明，当摆杆在倒立状态时，如果受到一次敲 击，能很快稳定下来，而且由于此时多＝Ｏ，小车在平 衡点附近也就停了下来．由于系统在受到扰动后，小 车能停下来，所以这样的实验装置可以用来单独研 究摆杆的镇定问题．也就是说，可以用来研究用式 （２）来描述的二阶对象的控制问题．
歹＝一Ｏ．７１３０＋Ｏ．８９ｕ
暴 矧
时为零，其Ｎｙｑｕｉｓｔ图线从原点出发到∞一时逆
时针围绕一ｌ点一圈． 图５的这两条Ｎｙｑｕｉｓｔ图线虽然不一样，但是作 为镇定系统来说，二者的基本特征是相似的：相位裕 度均大于６０。，幅值裕度均为无穷大．二者的响应曲 线虽然不一样，不过一个是反映第三象限（图５ａ）的 特性（∞＞０），响应曲线从正向趋向稳定，一个则是 反映第二象限（中低频段）的特性，其响应曲线从负 向趋向稳定。由于等效对象特性具有ｓ项，使中低频 段的增益下降，缩小了Ｎｙｑｕｉｓｔ图线，故同样情况下 的偏差就较大（图３），但二者的Ｎｙｑｕｉｓｔ图线与一ｌ 点的相对关系是相似的，所以响应曲线都有相类似 的衰减特性． 由此可见，这个由电机伺服系统来驱动的倒摆 对于研究式（２）那类二阶系统的镇定问题来说是适 用的，是一种既简单又实用的实验设备。 这里要说明的是，若小车一倒摆是由直流电机 驱动的，其数学模型是用式（１）的四阶运动方程式来 描述的，如果也把它当作二阶系统（式（２））看待，只 取摆角信号时，那么在镇定摆角０的同时，小车会很快 撞向终端，实验是无法做下去的。只有这种交流伺服 电机驱动的系统，只用０信号就能稳定下来。所以只 要一做实验，这两种类型立即就区分开来了。当然这 里说扰动后小车能稳定下来，实际上则由于可能存 ４
馈，就是输出反馈，由于这个非最小相位零点与不稳 定极点非常接近，单取输出反馈是不能工作的［７，８１，所 以这个电机伺服系统应该将摆角０的反馈回路闭合起
图３脉冲扰动下的响应曲线
Ｆｉｇ．３
来才能进行分析，见图２。图２中的‰④就是倒摆角
万方数据
Ｉｍｐｕｌｓｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ
上面的式（３）也就是式（２）的线性化简化方程．
方程式（３）（４）所描述的只是作用在小车上的力 “到摆角０和小车位移ｙ的运动方程。如果采用交流伺 服电机来带动小车，那么这个力是通过电机的伺服 系统产生的。这里的交流伺服电机确切说是无刷直 流电机，一般需要和控制卡构成闭环系统来工作，其 典型的工作模式是速度模式，即取速度信号（通过码 盘）反馈形成速率伺服系统，而且一般是ＰＩ控制．图２ 是带有这个电机伺服系统的小车一倒摆的控制框 图。图２中的不稳定对象对应于式（３），根据式（４）的关