高中数学选修2-3教案全集
人教版高中数学选修23全部教案
人教版高中数学选修23全部教案《人教版高中数学选修23全部教案》概述本文内容为人教版高中数学选修23全部教案的解读与总结。
选修23是高中数学课程中的一部分，主要涉及微积分的应用和进一步的函数理论。
第一章绪论本章主要介绍了微积分的基本概念和思想，包括函数、极限、导数和微分等内容。
通过对这些基本概念的学习，可以为后续章节提供必要的基础。
第二章函数的应用该章节主要介绍了函数的一些重要应用，包括函数的最大值和最小值、函数的方程与不等式、函数图象的平移与反射等内容。
通过解决一些实际问题，加深对函数的理解并提高解决问题的能力。
第三章导数的应用本章主要介绍了导数的重要应用，包括导数与函数的增减性、函数的极值与最值、函数的凹凸性与拐点等内容。
这些应用可以帮助学生更好地理解函数的性质和变化规律，并在实际问题中应用导数进行分析和解决。
第四章定积分的应用该章节主要介绍了定积分的应用，包括定积分与面积、定积分与弧长、定积分与体积等内容。
通过学习这些应用，学生可以更加深入地理解定积分的概念和性质，并在实际问题中进行应用。
第五章无穷级数的应用本章主要介绍了无穷级数的应用，包括函数的幂级数展开、函数的泰勒级数展开和无穷级数在物理问题中的应用等内容。
通过学习这些应用，可以加深对无穷级数的理解，并且掌握无穷级数在实际问题中的运用能力。
第六章多元函数微分学的应用该章节主要介绍了多元函数微分学在实际问题中的应用，包括二元函数的极值与条件极值、多元函数的极值与条件极值、拉格朗日乘数法等内容。
通过学习这些应用，可以培养学生运用多元函数微分学解决实际问题的能力。
第七章微分方程的应用本章主要介绍了微分方程在实际问题中的应用，包括可分离变量微分方程、齐次线性微分方程、一阶线性微分方程等内容。
通过学习这些应用，可以培养学生分析和解决实际问题的能力。
第八章空间解析几何与立体几何的应用该章节主要介绍了空间解析几何与立体几何在实际问题中的应用，包括空间中的点、向量、平面等的坐标表示、曲线与曲面的方程、立体几何中的体积与表面积等内容。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
人教课标版高中数学选修2-3：《二项式定理(第1课时)》教案-新版
1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。
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2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。
高中数学全套教案新人教版选修2-3
高中数学全套教案新人教版选修2-31. 前言高中数学是中学教育的重要组成部分，为学生的未来发展打下了坚实的基础。
选修2-3是一门比较重要的数学学科，内容涵盖高中数学的多个领域。
本文将提供一份全套教案，以帮助教师和学生系统地学习和掌握数学知识。
2. 教案概述本教案共包含选修2-3的全部知识点，涉及多个模块。
教案采用新人教版教材，由资深数学教师编写。
教案内容既包含基础知识，也有重点难点。
通过本教案的学习，学生能够充分理解数学知识点所蕴含的思想，提高数学素养。
具体来说，本教案涵盖以下模块：•平面向量–平面向量的定义和性质–平面向量的基本运算–平面向量的数量积–平面向量的应用•空间向量–空间向量的概念及表示–空间向量的基本运算–空间向量的数量积–空间向量的应用•三角函数–角度的概念–弧度制–正弦、余弦和正切函数–三角函数的基本性质–三角函数的应用•导数与微分–导数的概念–导函数与微分–导数的运算法则–函数的局部性质–函数的极值与最值3. 教案优势相比其他教材，该教案具有以下优势：•全面性：该教案囊括了选修2-3学科全部的知识点，包括难度较大的内容。
•深度性：教案融入了大量的例题和习题，可以帮助学生更好地理解知识点。
•简明性：教案的知识点讲解精炼明了，便于教师使用，同时也方便学生掌握。
•实用性：教案内容实用性强，全面涉及各种应用问题。
4. 如何使用教案教师和学生可以按照以下步骤进行教案的使用：1.首先，教师可以先自行阅读教案内容，熟悉教材内容和难点；2.在课堂上，教师可以根据教案，结合教学实际情况，进行教学；3.学生可以通过教案，了解学科知识点的结构和体系，明确知识重点和难点，以及掌握应用技能；4.学生也可利用教案中的习题进行自我测试，帮助自己巩固知识点。
5. 结语本教案是一份高中数学选修2-3的全套教材，涵盖了该学科的全部知识点。
该教案内容全面、深入、简明、实用，能够帮助教师进行有效教学，帮助学生提高数学水平。
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。
高二选修2一3数学教案(优秀5篇)
高二选修2一3数学教案(优秀5篇)高二选修2一3数学教案篇一[学习目标](1)会用坐标法及距离公式证明Cα+β;(2)会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与相互转化；(3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简单的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。
[学习重点]两角和与差的正弦、余弦、正切公式[学习难点]余弦和角公式的推导[知识结构]1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。
其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数(证明过程见课本)2、通过下面各组数的值的比较：①cos(30°—90°)与cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。
我们应该得出如下结论：一般情况下，cos(α±β)≠cosα±cosβ，sin(α±β)≠sinα±sinβ。
但不排除一些特例，如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。
3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。
注意两角和与差的三角函数是诱导公式等的基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例。
高二选修2一3数学教案篇二一、教学目标：1、知识与技能目标①理解循环结构，能识别和理解简单的框图的功能。
②能运用循环结构设计程序框图解决简单的问题。
2、过程与方法目标通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达，解决问题的过程，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
3、情感、态度与价值观目标通过本节的自主性学习，让学生感受和体会算法思想在解决具体问题中的意义，增强学生的创新能力和应用数学的意识。
(完整版)高中数学选修2-3导学案,正规模版2.1
这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4．
《离散型随机变量的分布列》导学案
【学习目标】
1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式；
2．理解并运用两点分布和超几何分布．
新知3：两点分布列：
0
1
称 服从；
称 为
例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
变式：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数 的分布列？
新知4：超几何分布列：
0
1
…
…
※动手试试
练1．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
1在某项体能测试中，跑1km成绩在4min之内为优秀，某同学跑1km所花费的时间 是离散型随机变量吗?如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
2下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；
练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为 ．
（1）写出 可能取的值；
（2）写出 所表示的事件
【当堂检测】
1.下列先项中不能作为随机变量的是（）．
A．投掷一枚硬币 次，正面向上的次数B．某家庭每月的电话费
人教高中数学选修2-3第一章121排列(优质公开课教案)
1．2．1排列上课班别：高二授课教师：教材：人教版选修2—3教学目标：1、知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
2、过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、讲解新课：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
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【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)通过高尔顿板试验,了解正态分布密度曲线的来源
(2)通过事例借助几何直观,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
2.过程与方法
(1)通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线,体验从有限到无限的思想方法
(2) 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质,体会数形结合的方法,增强观察、分析和归纳的能力
3、情感、态度与价值观
(1) 通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
(2)通过原则的学习,充分感受数学的对称美
2学情分析
在必修三的学习中,学生已经掌握了统计等知识,这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。
但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,学生理解比较困难。
3重点难点
重点:1、正态分布密度曲线的特点.
2、正态分布密度曲线所表示的意义.
难点:1、在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布
2、正态分布密度曲线所表示的意义
4教学过程。
高中数学选修2-3精品教案2：2.4 正态分布教学设计
2.4正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源②通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础.但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难. 根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法.通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程.而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性.2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力.（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）⑵归纳分析：引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维.（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣.（如例题2及作业B组题的设置）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情通过对高尔顿板试验进行演示. 教师创设情境，为导入新知做准备.学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考.学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的.教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.研探论证1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表.⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图.⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线.引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距.教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量.通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解.这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡.教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程. 通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程.教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证2．正态曲线：曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：()()()+∞∞-∈⋅=--,,21222,xexxσμσμσπϕ,其中π是圆周率，e是自然对数的底，实数μ和σ（σ＞0）为参数.我们称()xσμϕ,的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.μ与σ分别反映的是均值与标准差.教师提出课题并板书：正态分布教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义.与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源.3．正态曲线对应的解析式中含有两个参数μ和σ.下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响学生研探新知，并进行推理论证.其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维.教师利用几何画板，先后固定参数σ和μ，通过变化参数μ和σ的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言.学生通过观察得到：当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；结合解析式分析知=μ时它是个偶函数，于是参数μ决定了正态曲线的对称轴，0≠μ时的图像可由0=μ时的图像平移得到.（教师板书：曲线是单峰的，它针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度.该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力.关于直线μ=x 对称） 同时得到：曲线在μ=x 时达到峰值πσ21（教师板书）.教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 研 探 论 证⑵固定μ的值，观察σ对图像的影响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可以分析得到：当μ一定时，σ影响了曲线的形状.即：σ越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；σ越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）.综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交.（教师板书）. 最后引导学生由概率知识知：曲线与x 轴之间的面积为1（教师板书）.该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想. 这样的处理很好地突出了重点，突破了难点这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫.4．曲线与x 轴之间的面积为1.根据对称性知，随机变量X 落在对称轴μ=x 两侧的概率都是21.请思考：对于任意一个随机变量X ，如何求出落在给定区间(]b a ,内的概率？引导学生回忆得到：X 落在区间(]b a ,的概率的近似值其实就是在(]b a ,上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数()x ϕ在区间(]b a ,上的定积分.即：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.()()dxx b X a P b a σμϕ,⎰≈≤＜教学环节 教学内容师生互动设计意图研 探 论 证5． 正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X的分布为正态分布，常记作()2,σμN .如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X .教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法.引导学生分析得到，X 所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率.以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识.同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯.6．3σ原则几何画板演示3σ原则：()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数.根据现有知识，无法求()x σμϕ,原函数.得寻求别的方法求概率.教师通过利用几何画板演示随机变量X 落在区间(]σμσμ+-,, (]2,2σμσμ+-与(,3σμ-]3σμ+这三个区间内的概率，引入3σ原则的内容，并指出：在()σμσμ3,3+-区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取 ()σμσμ3,3+-之间的值，简称σ3原则.我们可以利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题.(教师板书3σ原则的内容)学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”.新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难.教师利用几何画板，从数与形上体现了3σ原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解.这为后面3σ原则的应用作了铺垫. Oyx ab()9974.033=+≤-σμσμX P ＜教学环节 教学内容师生互动设计意图 反 馈 矫 正例题1 把一条正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法不正确的是（） A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为正态分布的总体的方差比以曲线a 为正态分布的总体的方差大2 D ．以曲线b 为正态分布的总体的期望比以曲线a 为正态分布的总体的期望大2学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩.教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识.学生易分析知：正态曲线a 经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值（期望）有关.故C 选项的说法不正确.通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解.例题 2 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图： ① 写出X 的分布密度函数； ②求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ ③求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？ ④若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？ 学生相互讨论，根据对称轴可知60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ由8,60==σμ知： ()6852≤X P ＜ ()σμσμ+≤-=X P ＜ 6826.0=()6860≤X P ＜()685221≤=X P ＜ 3413.0=()()4476＜＞X P X P =()[]7644121≤≤-=X P ()9544.0121-=0228.0=通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情.本例是由课本74页练习2进行变式处理，做到了一题多用. 该环节设置的②③④这三个小问，分别要求学生根据σ3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率.体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度.20 40 60 80100 y π281x O例3 设正态总体落在区间()1,-∞-和区间()+∞,3内的概率相等，落在区间()4,2-内的概率为%74.99，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标.学生分析易知：落在()1,-∞-和()+∞,3内概率相等知1=μ,由区间()4,2-概率为99.74%，知431=+σ,231-=-σ, 即1=σ，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,1.要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果.再一次强化了数形结合的解题思想.教学环节教学内容师生互动设计意图 应用评价1． 正态曲线有哪些具体的特点？2．σ3原则是什么？它对μ、σ取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？ 3．思想方法：数形结合等.4．生活中的正态分布教师引导学生进行课堂小结，自我评价. 学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨.将课堂小结作为自我评价的主阵地.教师结合例子对正态分布进行介绍.通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价.教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法.通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用.思维创新 A 组课本75页 A 组第1题B 组第2题B 组在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值.学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新.教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法.学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.板书设计正态分布1．解析式2．曲线性质⑴⑵⑶⑷⑸3．3 原则例1．例2①②③④例3多媒体投影。
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
2014新编人教A高中数学选修2-3全册教案导学案含答案(可编辑)
2014新编人教A高中数学选修2-3全册教案导学案含答案目录1. 1. 两个原理 11. 2.1 排列的概念 61.2.2 排列应用题 131.2.3组合181.2.4组合应用题231.2.5排列组合综合应用271.2.6排列组合综合应用35§1.3.1 二项式定理42§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质482. 1.1离散型随机变量552.?1.2离散型随机变量的分布列612.?2.1条件概率与事件的相互独立性682.?2.1条件概率与事件的相互独立性712.2.2独立重复实验与二项分布732.2.2独立重复实验与二项分布772. 3.1离散型随机变量的期望 802.3.2离散型随机变量的方差902. 4.1正态分布99小结与复习1103. 1.1回归分析的基本思想及其初步应用1153.1.2回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用1243. 2.1独立性检验的基本思想及其初步应用1273.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用1321. 1. 两个原理【教学目标】准确理解两个原理,弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
【教学重难点】教学重点:两个原理的理解与应用教学难点:学生对事件的把握【教学过程】情境设计1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法?2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法?(请画分析图)3、课件中提供的生活实例。
新知教学引出原理:分类计数原理:完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中有m2种不同的方法,……,在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 Nm1+m2+…+mn种不同的方法.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有Nm1×m2×…×mn种不同的方法。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量及其分布列(第1课时)》教案-新版
2.1 离散型随机变量及其分布列（第1课时）一、教学目标【核心素养】对离散型随机变量及其分布列概念的学习，初步形成从实际问题到数学问题的数学建模思想．【学习目标】1.了解随机变量的概念．2.理解离散型随机变量的概率分布列及其特征．3.学会解答一些简单分布列的运算．【学习重点】离散型随机变量分布列制表．【学习难点】1.正确选取离散型随机变量及概率的运算．2.掌握如何将实际问题划归为离散型随机变量的分布列方法．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1-阅读教材，了解离散型随机变量的的概念及性质．任务2-离散型随机变量分布列的性质及表格的制作．2.预习自测1.已知：①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X ；③某篮球下降过程中离地面的高度X ；④某立交桥经过的车辆数X .其中不是离散型随机变量的是（ ） A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 解：C2.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X 所有可能取值的个数是（ ） A.5 B.9 C.10 D.25 解：B由于本试验属于有放回抽取，所以所有1,2,3,4,5肯能号码都可被抽取到．然后抽取的数字之和是相同值得时候只能看作1次取值．所以最后可能组合就有9组不重复可能取值．3．某一随机变量X 的概率分布列如下表，且2.12=+n m ,则2nm -的值为（ ）A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1 解：B利用概率=∑=ni i p 11．（二）课堂设计问题探究一 、离散型随机变量的定义●活动一 感知随机变量引例：某一时间段内公交站等公交的乘客人数；某固定电话在某时间段内接到的电话数量；一批注入某种毒素的动物在确定时间段内死亡的数量；长途汽车在1000KM 的行驶路程中到达目的地所用的时间等等． 讨论：（1）变量：可变的量；在函数中常见；常用x,y,z 等字母表示一些不确定的数值关系．（2）随机性：偶然性的一种形式；是对某一事件发生的不确定性的描述． （3）离散性：数据的分散性，不具备连续的特征（如:连续型数据-10≤x ≤9；离散型数据：x =-10，-1，0，1，9）． 引入（1）在随机试验的实际结果与数学之间，自然地或人为地建立起一种数学数字对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值对应的任一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用X 、Y 、ξ、η等表示（区别于连续型函数)(x f ）．（2）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值有限多个或无限多个，但可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量（如：掷骰子点6出现的次数X ;抛硬币正面出现的次数N ;流水生产线上发生故障点的个数M ）．注意：①并不是所有的随机变量都能一一列出．例如汽车的使用寿命；从发电站到用户家庭的线路故障点；一天中雷雨天气的发生时间等等．②相反的，如果随机变量可以取定区间内的任意一个数值，这样的变量称之为连续型随机变量．●活动二随机变量类型的判别、选取、取值实例感知，如何在实际情景中选取随机变量：例1.重庆至武汉的高铁路段设立有固定的100个安全检测点，请能否将此监测点看作随机变量？属于离散型或是连续型？如何选取随机变量？例2.三峡大坝水位检测站承担对长江沿岸（0，168m)水位任务检测工作．该水位站检测到的水位数据是否属于随机变量？是连续型或是离散型？例3.一个盒子里面装有5个红球4个黄球3个白球．一次实验中取出依次不放回取出3个球．根据题意如何选取随机变量．例4.在一次关于电视娱乐节目的调查中，对100个家庭进行了调查分析．发现有观看关于娱乐节目、生活节目、电视剧节目、电影节目．请对以上调查结果做出合理的分析，给出随机变量的的选取意见．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果对应的某个函数的自变量．即随机变量的取值实质上是试验所对应的结果数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道具体是哪一个值，也就充分验证了实验结果具有随机性的特征．问题探究二、离散型随机变量的分布列及其性质●活动一列分布列表(1)分布列的定义表示概率在所有试验结果中的分布情况的列表．（2）分布列的表示①设定离散型随机变量X 可能的取值为nx x x ,,,21⋅⋅⋅．②求出X 取定每一个值i x (n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)的概率i i p x X P ==)(． ③列出概率分布表则该表格为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列． ●活动二 结合实例，认知分布列性质思考：分布列的概率问题是否与之前所学概率知识有相通之处？例1.已知随机变量X 的分布列为33)21()(i C i X P == （i =0,1,2,3）则==)2(X P ；详解：83)21()2(323===i C X P点拔：考察组合在概率中的基本算法． 例2.已知随机变量X 的分布列为则x = ．详解：3.0)5.02.0(1)2(=+-==X P ． 点拔：概率的性质．通过以上案例的分析，我们不难发现： 离散型随机变量分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ， ②11ni i p ==∑点拔：1.理解分布列的两大性质，熟练掌握概率的算法及运用它来解决一些实际问题．2.重点理解性质②，对于求取分布列中的某些参数具有重要指导意义． 三、课堂总结 【知识梳理】1.连续型随机变量、离散型随机变量的概念与区别．2.如何在实际问题中筛选出随机变量并建立变量关系．3.离散型随机变量分布列的概率性质：①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ，；②=∑=ni i p 1 1.4.随机变量分布列的表格制作步骤：①选取随机变量的可能取值；②计算随机变量取值对应的概率；③制作概率分布列表格． 【重难点突破】1.若X 是一个随机变量，λ、μ是常数.则有如下情况：μλ+=X Y ;X X Y μλ+=2; 2)(μλ+=X Y ......中的Y 也是一个随机变量．提示：类比于理解函数中x 与f （x ）的对应关系．2.掌握离散型随机变量分布列的两大性质，学会应用其概率特征解决一些参数问题．3.在具体划归分布列的应用中，关键明确变量的取值，正确求取值对应的概率四、随堂检测1.抛掷两颗骰子，如果将所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是（）A.两颗都是4点B.一颗是1点，另一颗是3点C.两颗都是2点D.一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点【知识点：随机变量的概念】解：D2.下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是（）A.B.C.D.【知识点：概率分布列的性质；互斥事件】 解：C3.随机变量X 的概率分布规律为)4,3,2,1()1()(=+==n n n an X P 其中a 是常数，则)2521(<<X P 的值为 ．【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】解：654.设X 是离散型随机变量，其分布列如下表所示.则=q （ ）． A.1 B.221±C.221+D.221-【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】 解：D 五、课后作业 ★基础型 自主突破1.如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是（ ） A.X 取每一个可能值的概率都是非负数； B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【知识点：真假命题；分布列的性质】解：由分布列性质①可知1≥i p ≥0，(n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)，故A 是真命题；分布列性质②=∑=ni i p 1 1 可知B 、C 是真命题．故D 是假命题．2.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A.① B .② C.③ D.①③【知识点：离散型随机变量的定义】解：②中的区间取值是随机的，但是数值是连续的，是不能一一列出的，这样的数据属于连续型随机变量．故选D.3.设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）A .12B .16C .13D .14【知识点:分布列性质】解：由概率分布列性质=∑=ni i p 11可知31,1)4()3()2()1(===+=+=+=a X P X P X P X P 故选C ．4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】解：21,113211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p 故选B ．5、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163B.41C.161 D.165【知识点:互斥事件概率问题；分布列性质】 解：,1632121)4()3()42(43=+==+==≤<X p X p X p 故选A ．6、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点【知识点:离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：一枚骰子可取点数范围从1、2、3、4、5、6；X =2+2=4 或X =1+3=4的讨论组合方式，故选D ．★★能力型 师生共研7.设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k P X k k n λ==⋅=⋯⋯，则 λ= .【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】 解：31,11222223211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p8.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为【知识点:组合；数学思想：分类讨论】解：由于抽取的过程中是不放回取球．可能情况数1035 C ,分类讨论情况如下（不论先后）：①1，2，3.②1，3，4③1，3，5 ④2，3，4 ⑤2，3，5 ⑥3，4，5.⑦4，5，1⑧4，5，2⑨5，1，2⑩4，2，1.故X 的可能取值为3，4，5.9.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【知识点:离散型随机变量；数学思想：转化】解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．★★★探究型 多维突破11、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．【知识点:分布列；数学思想：转化、分类讨论】解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为12、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.【知识点:分布列，互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==87814121=++． 自助餐1.下列随机变量中,不是离散随机变量的是( )A.从10只编号的球 ( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码ξB.抛掷两个骰子,所得的最大点数ξC.[0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD.一电信局在未来某日内接到的 电话呼叫次数ξ【知识点:离散型随机变量】2.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（ ）A.4.06.01⨯-kB.76.024.01⨯-kC.6.04.01⨯-kD.24.076.01⨯-k【知识点:互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：B 若甲投1次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球1次；甲乙两人共投球2次，即概率76.0)4.01)(4.01(4.0)1(=--+==ξP ；若甲投2次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球3次；甲乙两人共投球4次，即概率1824.0)4.01)(4.01(4.0)4.01(4.04.0)4.01()2(=--⋅-+⋅-==ξP ．同理可得出==)(k P ξ76.024.01⨯-k ．3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ）A.0B.21 C.31 D.32 【知识点:对立事件概率】4.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ） A.21B.91C.61D.51【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：D5.已知随机变量ξ的分布列为：),3,2,1(21)(⋅⋅⋅===k k P k ξ，则=≤<)42(ξP （）A.163B.41C.161D.165【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：A6.已知随机变量ξ的概率分布为：则==)10(ξP ( ) A.932 B.1032 C.931 D.1031 【知识点:分布列；数学思想：观察法】解：D7.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ） A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 【知识点:计数原理，独立事件概率；数学思想：组合】解：B8.在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是【知识点:离散型随机变量】解：0,1,2,3.9.设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP ，)146(≤<ξP =【知识点:对立事件、互斥事件概率；数学思想：分类讨论、正反面】 解：31121121121121)8(=+++=>ξP ；65)121121(1)6(1)146(=+-=≤-=≤<ξξP P ．10.已知随机变量ξ的分布列是：=≤≤)42(ξP【知识点:分布列；数学思想：分类讨论】解：0.711.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．【知识点:离散型随机变量】解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．12.设b,c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.（1）设A =},,02|{2R x c bx x x ∈<+-求φ≠A 的概率；（2）设随机变量|,|c b -=ξ求ξ的分布列. 【知识点:二次方程根的判别，对立事件概率；数学思想：分类讨论】 解：b,c 的所有可能取值从1-6.当b =1,c =1,2,3,4,5,6; 08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =2,c =1,2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =3,c =2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ; 当b =4,c =3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =5,c =4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =6,c =5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b .故当φ≠A 时概率18536261=-；5,4,3,2,1,0=ξ其分布列如下：。
数学选修2-3教案
数学选修2-3教案【篇一：高中数学全套教案新人教版选修2-3】高中数学选修2-3修订教案王国昌1.1基本计数原理（第一课时）教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课：问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。
已知当天长途车有2班，列车有3班。
问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法? 第一类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤第一步, 由济南去天津有___种方法第二步, 由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，??由第k种途径有nk种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+??+nk种不同的方法。
1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！ 3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成1标准必须一致、正确。
高中数学选修2-3教案
高中数学选修2-3教案在现代教育体系中，高中数学课程是培养学生逻辑思维和解决实际问题能力的重要环节。
其中，选修2-3作为高中数学的拓展模块，不仅涵盖了更多深入的数学知识，还注重培养学生的应用能力和创新思维。
本文旨在为教师们提供一个关于高中数学选修2-3的教案范本，以供参考和借鉴。
## 教学目标在设计教案之前，首先明确本节课的教学目标：1. 让学生掌握本节课程的核心概念和基本原理；2. 通过实例讲解，帮助学生理解抽象概念的具体应用；3. 引导学生发现问题、分析问题，并尝试解决问题；4. 培养学生的合作学习和沟通能力；5. 激发学生的探索兴趣，鼓励自主学习。
## 教学内容针对高中数学选修2-3的特点，选择适当的教学内容至关重要。
例如，本节课可以围绕“函数与导数”的主题展开，包括以下几个部分：- 函数的概念及其性质；- 导数的定义和计算方法；- 导数在研究函数变化趋势中的应用；- 实际问题中如何运用导数进行优化。
## 教学方法采用多样化的教学方法能够有效提升学生的学习效率和兴趣。
以下是一些建议：- **案例分析法**：引入实际生活中的例子，如物理学中的运动速度问题，经济学中的成本收益分析等，将抽象的数学概念具体化；- **小组讨论法**：让学生分组探讨问题，互相交流思路和方法，培养合作精神；- **启发式教学法**：通过提问引导学生思考，而不是直接给出答案，激发学生的好奇心和求知欲；- **实践操作法**：设置实验或实践活动，使学生通过动手操作加深对知识点的理解。
## 教学过程1. 导入新课：简要回顾上一节课的内容，提出本节课的学习目标和预期效果。
2. 讲解新知：系统阐述函数与导数的基本概念，强调其在实际问题中的应用。
3. 实例演示：结合具体的数学问题，展示如何运用导数解决实际问题，并引导学生发现其中的规律。
4. 学生练习：布置适量的练习题，让学生独立完成或小组合作，巩固所学知识。
5. 总结反馈：教师总结本节课的重点难点，对学生的练习给予及时的反馈和指导。
苏教版高中数学(选修2-3)22《超几何分布》 教案3篇
2.2 超几何分布教学目标1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用． 教学重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用． 教学过程 一．问题情境 1．情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ 二．学生活动以100N =，5M =，10n =为例，研究抽取10件产品中不合格品数X 的概率分 三．建构数学从100件产品中随机抽取10件有10100C 种等可能基本事件．{}2X =表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理有28595C C 种基本事件，根据古典概型， 2859510100(2)C C P X C ==． 类似地，可以求得X 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：其中min(,)l n M =． 一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ．四．数学运用 1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：（1）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．由公式得4541020530700(4;5,10,30)0.029523751C C H C -==≈， 所以获一等奖的概率约为2.95%．（2）根据题意，设随机变量X 表示“摸出红球的个数”，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：324150102010201020555303030(3)(3)(4)(5)0.1912C C C C C C P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++≈， 故中奖的概率为0.1912．例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布(5,2,50)H ．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不 合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即0514248248555050243(1)245C C C C P X C C ≤=+=． 答：该批产品被接收的概率是243245（约为0.99184）． 说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（2）一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X 表示“抽出中奖票的张数”，则X 服从超几何分布(,2,50)H n ，根据公式可得至少有一张中奖的概率11222482485050(1)0.5n n n nC C C C P X C C --≥=+>，解得15n ≥． 答：n 至少为15张．2．练习：课本第51页练习第1，2题． 五．回顾小结：1．超几何分布的特点； 2．超几何分布列的简单应用．六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x 3，…，ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P1+P2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMN C C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n 三、例子例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列. 0 2 课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列超几何分布教学目标 知识与技能：通过实例，理解超几何分布及其特点。
人教课标版高中数学选修2-3：《独立性检验的基本思想及其初步应用(第2课时)》教案-新版
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（第2课时）一、教学目标1.核心素养:通过学习独立性检验的基本思想及其初步应用，初步形成基本的数据分析能力，培养数学运算能力.2.学习目标（1）1.1.1.1 温习利用等高条形图、列联表、独立性检验的基本思想判断分类变量的关系（3）1.1.1.2 理解独立性检验基本思想，区分反证法与独立性检验（3）1.1.1.2 熟练运用独立性检验的基本思想判断分类变量的关系3.学习重点理解独立性检验基本思想，熟练运用独立性检验的基本思想判断分类变量的关系4.学习难点理解独立性检验的基本思想二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P12－P14，思考独立性检验与反证法有何区别？任务2独立性检验的基本思想是什么？2．预习自测1.经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k>3.841时，我们()A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为A与B有关D .没有充分理由说明事件A 与B 有关系 解： A2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22⨯列联表：计算得到2K 的观测值约为7.822.下列说法正确的是（ ）A .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解：C 由随机变量2K 的值,查表知7.8226.6357.879<<,有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故本题答案选C. （二）课堂设计 1.知识回顾（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量成为分类变量. （2）列出两个分类变量的频数表，称为列联表.（3）等高条形图是用来分析两个分类变量之间是否具有相关关系，可以形象、直观地反映两个分类变量之间的总体状态和差异大小，进而判断它们之间是否具有相关关系的图形. 2.问题探究问题探究一 我们主要从几个方面来研究两个分类变量之间有无关系？●活动一 回归旧知，忆分类变量间关系的判断例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？【知识点：分类变量，独立性检验，变量间的关系】详解：根据题中所给数据列出列联表相应的等高条形图如图所示：比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.●活动二对比学习，提炼优缺点根据数据有多大把握判断秃顶与患心脏病是否有关系？在假设的前提下，，所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.点拨：（1）列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系.（2）独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认.问题探究二 什么是独立性检验？利用独立性检验判断两个分类变量的是否有关系的一般过程是什么？ ●活动一 理论学习，提升高度1.定义：利用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. ●活动二 对比学习，提炼方法通过反思例1的解答过程中，你能总结出利用独立性检验判断两个分类变量的是否有关系的一般过程吗？一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其2×2列联表为下表：我们构造一个变量：))()()(()(22d b c a d c b a bd ac n K ++++-=，其中d c b a n +++=.利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为两个分类变量有关系：利用上述公式求出2K 的观测值为))()()(()(2d b c a d c b a bd ac n k ++++-=，其中d c b a n +++=.再得出X 与Y 有关系的程度：①如果k >10.828,就有99.9%的把握认为X 与Y 有关系； ②如果k >7.879,就有99.5%的把握认为X 与Y 有关系； ③如果k >6.635,就有99%的把握认为X 与Y 有关系；④如果k >5.024,就有97.5%的把握认为X 与Y 有关系； ⑤如果k >3.841,就有95%的把握认为X 与Y 有关系； ⑥如果k >2.706,就有90%的把握认为X 与Y 有关系； ⑦如果k ≤2.706,就认为没有充分的证据证明X 与Y 有关系.问题探究三 独立性检验的基本思想是什么？ ●活动一 深层思考，得出基本思想通过上述问题，我们可以利用独立性检验来说明两个分类变量是否有关系，相关性有多强.那么为什么可以用独立性检验来判断两个分类变量的相关性呢？其基本思想是什么？独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即：0H ：两个分类变量没有关系成立，在该假设下我们构造的随机变量2K 应该很小，如果由观测数据计算得到2K 的观测值k 很大，则在一定程度上说明假设不合理，即断言0H 不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝0H .如何判断2K 的观测值k 的大小？确定一个正数0k ，当0k k ≥时认为2K 的观测值k 大.此时相应于0k 的判断规则为：如果0k k ≥，则认为“两个分类变量有关系”；否则认为“两个分类变量没有关系”.我们称这样的0k 为一个判断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量没有关系”错误判断为“两个分类变量有关系”的概率为)(02k K P ≥根据随机变量2K 的含义，可以通过)01.0635.6(2≈≥K P 来评价假设的不合理程度，又实际计算出635.6>k ，说明假设不合理的程度约为%99，级两个变量是由关系这一结论成立的可信度为%99. ●活动二 对比提升，区分不同独立性检验的原理与反证法的原理是否一样呢？我们对比可以发现： （1）反证法原理是在假设0H 下，如果推出一个矛盾，就证明了0H 不成立. （2）独立性检验原理是在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.例 2 某高校为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校一年级200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？，其中n a b c d =+++.参考数据：【知识点：分类变量，独立性检验，变量间的关系】详解：其列联表如下故所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关； 点拨：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论.在分析问题时一定要注意这一点，不可对某个问题下确定性结论否则就可能对统计计算得结果作出错误的解释. 3.课堂总结【知识梳理】（1）利用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. （2）独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量2K 应该很小，如果由观测数据计算得到2K 的观测值k 很大，则在一定程度上说明假设不合理.（3）独立性检验的原理与反证法的原理比较：反证法原理是在假设0H 下，如果推出一个矛盾，就证明了0H 不成立；独立性检验原理是在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.【重难点突破】（1）独立性检验是对两个分类变量间是否有关系的一种案例分析方法，其分析方法有：等高条形图法和利用假设检验的思想方法，计算出来一个随机变量2K 的观测值来进行判断（2）独立性检验的基本思想是：①假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.②在此假设下随机变量2K应该很能小,如果由观测数据计算得到2K的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.③根据随机变量2K的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.4.随堂检测1.下列变量中不属于分类变量的是()A.性别B.吸烟C.宗教信仰D.国籍【知识点：分类变量】解：B“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量.2.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出()A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的比为60%【知识点：等高条形图】解：C由等高条形图知：女生喜欢理科的比例为20%，男生不喜欢理科的比例为40%，因此，B、D不正确.从图形中，男生比女生喜欢理科的可能性大些.3.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某区通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘”的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”C.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”D.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”【知识点：独立性检验】解：C因为2.706＜3.030＜3.841所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.4.若两个分类变量X和Y的22⨯列联表为：则认为“X与Y之间有关系”的把握可以达到（）A.95%B.5%C.97.5%D.2.5%【知识点：独立性检验】解：A 根据列联表可以得到有100个样本，且10,40,20,30a b c d ====，代入表达式，得到2 4.7K ≈，2 3.84()051.9P K ≥=.5.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”.利用2×2列联表计算，得K 2＝3.918.经查对临界值表，知P (K 2≥3.814)＝0.05.给出下列结论：①有95%把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.其中正确结论的序号是( )A .①③B .②④C .①D .③ 【知识点：独立性检验】 解：C6.独立性检验所采用的思路是：要研究X ，Y 两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此________，在此假设下构造随机变量K 2.如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________. 【知识点：独立性检验】解：无关系 不成立 （三）课后作业基础型 自主突破1.下列关于等高条形图的叙述正确的是( ).A .从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B .从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C .从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D .以上说法都不对 【知识点：独立性检验】解：C 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A 错.在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B 错.2.如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据是（ ）A . 841.3>kB . 841.3<kC . 635.6>kD . 635.6<k 【知识点：独立性检验】 解： A3.下面关于2K 的说法正确的是（ ）A . 2K 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关B . 2K 的值越大，两个事件的相关性就越大C . 2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推定两个变量不相关D . 2K 的观测值的计算公式是))()()(()(2d b c a d c b a bd ac n K ++++-=【知识点：独立性检验】 解： B4. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.ABCD 【知识点：独立性检验】解：D99.9%的把握认为性别与喜欢数学课有关.5.以下关于独立性检验的说法中，错误的是＿＿＿＿.（填序号） ①独立性检验依据小概率原理； ②独立性检验得到的结论一定正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法. 【知识点：独立性检验】 解： ②能力型 师生共研6.有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得k ≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为（ ）A .95%B .90%C .5%D .10% 【知识点：独立性检验】 解： C7.某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型HINI 流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设0:H “这种疫苗不能起到预防甲型HINI 流感的作用”，并计算()2 6.6350.01P X ≥≈，则下列说法正确的是（ ）A .这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的有效率为B .的可能性得甲型HINIC .“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用” D .“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用” 【知识点：独立性检验】解： C 因为()2 6.6350.01P X ≥≈，这说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型HINI 流感的作用不合理的程度约为99%，所以有认为“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用”，故选C.8.某企业为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（ ）当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关;当26.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关; 当2 3.841χ<时认为事件A 与B 无关.）A .有99%的把握说事件A 与B 有关 B .有95%的把握说事件A 与B 有关C .有90%的把握说事件A 与B 有关 D .事件A 与B 无关 【知识点：独立性检验】解：A 故有的把握说事件A 与B 有关，所以应选A.探究型 多维突破9.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，从这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，求这3人中“微信控”的人数为2的概率.n =a +b +c +d .参考数据：【知识点：独立性检验,古典概型】 解:（1）由列联表可得所以没有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关.（2）记从（2）中抽取的5人中“微信控”的3人为321,,a a a ，“非微信控”的2人为21,b b ，从中随机抽取3人，所有可能结果：),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(132211231131221121321b a a b b a b a a b a a b a a b a a a a a ， ),,(),,,(),,,(213212232b b a b b a b a a ，共10种；其中“微信控”的人数为2的结果有：),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(232132211231131221121b a a b a a b b a b a a b a a b a a b a a ，共6种，10.NBA 决赛期间，某高校对学生是否收看直播进行调查，将得到的数据绘成如下的2×2列联表，但部分字迹不清：将表格填写完整，试说明是否收看直播与性别是否有关？【知识点：独立性检验,概率统计】解析：所以有99%的把握认为是否收看直播与性别有关，（四）自助餐1.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定推断“X与Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过（）A.0.25B.0.75C.0.025D.0.975【知识点：独立性检验】答案 C2. 关于独立性检验的说法中，错误的是（）A．独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法【知识点：独立性检验】答案 B3.在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲.下列说法正确的是（）A.男、女人患色盲的频率分别为0.038,0.006B.男、女人患色盲的概率分别为19240，3260C.男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D.调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【知识点：独立性检验】解：C4.在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数：）数学成绩与物理成绩之间有把握有关？（）A.90%B.95%C.97.5%D.99%【知识点：独立性检验】解：D5.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得2 5.231K=，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K≥=≥=，则该研究所可以（）A.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【知识点：独立性检验】解：A根据查对临界值表知22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K≥=≥=，故有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，即A正确；6.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关，随机调查了50名学生，得到如下22⨯列联表：那么，认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过（ ） A .001.0 B .005.0 C .1.0 D .025.0 【知识点：独立性检验】解： B 因为8.3>7.879，所以我们认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过005.0. 7.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到如下表数据:根据上述数据分析,我们得出的K 2的观测值k 约为 . 【知识点：独立性检验】解：3.689 由公式可计算得k =错误！未找到引用源。
(精编)人教版高中数学选修2-3全部教案
高中数学教案选修全套人教版选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理小结第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN+=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理 （1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． （2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 nm N ⨯= 种不同的方法. （3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720 种不同的选法．一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A 、B 、C 、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
人教课标版高中数学选修2-3：《正态分布》教案-新版
2.4 正态分布一、教学目标1．核心素养:学习正态分布的过程中，更进一步的体会数形结合思想的作用.培养了学生们直观想象和数学建模的能力.2．学习目标（1）通过道尔顿板重复实验，画出正态分布密度曲线.（2）随机变量取值的概率与面积的关系．（3）3σ原则的探索3．学习重点正态分布曲线的定义及其曲线特点，利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.4．学习难点正态分布的概念及其实际应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P70－P75，思考：正态分布密度曲线的概念？正态分布的概念？任务2思考正态分布密度曲线与x轴之间的面积为多少？2．预习自测1．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是() A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响答案 A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)＝()A.15 B.14 C.13 D.12答案 D解析由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝1 2.3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.12＋p B.12－p C．1－2p D．1－p答案 B解析P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.（二）课堂设计1．知识回顾（1）几何分布.（2）频率分布直方图、折线图.2．问题探究问题探究一重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线●活动一通过道尔顿板重复实验，并画出小球在球槽内的分布曲线.问题探究二随机变量取值的概率与面积的关系．★▲●活动一探讨随机变量取值与面积的关系如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实数a、b(a<b)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间(a，b]上取值的概率．一般地，当随机变量在区间(－∞，a )上取值时，其取值的概率是正态曲线在x ＝a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图(2)．随机变量在(a ，＋∞)上取值的概率是正态曲线在x ＝a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．●活动二 在实际例子中的应用例题1 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】详解： 若X ～N (μ，σ2)，则其密度曲线关于X ＝μ对称，则P (X ≤μ)＝12. 点拨：随机变量取值的概率与面积的关系 问题探究三 3σ原则★▲ ●活动一 3σ原则含义的理解由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是 4.56%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．●活动二 3σ原则的实际应用设X ～N (1,32)，试求(1)P (－2<X ≤4)；(2)P (4<X ≤7)． 【知识点：正态分布的3σ原则；数学思想：数形结合】 详解：因为X ～N (1,32)，所以μ＝1，σ＝3. (1)P (－2<X ≤4)＝P (1－3<X ≤1＋3)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (4<X ≤7)＝12[P (－5<X ≤7)－P (－2<X ≤4)]＝12[P (1－6<X ≤1＋6)－P (1－3<X ≤1＋3)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 点拨：正态分布的3σ原则的反复使用. 3．课堂总结【知识梳理】（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.（2）正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . （3）标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .（4）正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.（5）“3σ”原则. 【重难点突破】（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决. （2）用“3σ”原则解题时，有时需要数形结合来解决. 4．随堂检测1．正态总体N (0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( ) A ．0.46 B ．0.997 4 C ．0.03 D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 D解：P (－2<ξ≤2)＝P (0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4， ∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997 4＝0.002 6.2．若随机变量η服从标准正态分布N (0,1)，则η在区间(－3,3]上取值的概率等于( ) A ．0.682 6 B ．0.954 4 C ．0.997 4 D ．0.317 4 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 C解：μ＝0，σ＝1，∴(－3,3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.997 4.4．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A5．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.2解：由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.6．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解：∵X～N(2.5,0.12)，∴μ＝2.5，σ＝0.1.∴X落在区间(2.4,2.6]中的概率为P(2.5－0.1<X≤2.5＋0.1)＝0.682 6.（三）课后作业基础型自主突破1．ξ的概率密度函数f(x)＝12πe－x－22，下列错误的是()A．P(ξ<1)＝P(ξ>1) B．P(－1≤ξ≤1)＝P(－1<ξ<1) C．f(x)的渐近线是x＝0 D．η＝ξ－1～N(0,1)答案 C2．正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R，其中μ<0的图像是()【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析因为μ<0，所以对称轴x＝μ位于y轴左侧．3．下列说法不正确的是()A ．若X ～N (0,9)，则其正态曲线的对称轴为y 轴B ．正态分布N (μ，σ2)的图像位于x 轴上方C ．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D ．函数f (x )＝12πe －x 22 (x ∈R )的图像是一条两头低、中间高、关于y 轴对称的曲线答案 C解析 并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布，还有些其他分布．4．如下图是正态分布N 1(μ，σ21)，N 2(μ，σ22)，N 3(μ，σ23)相应的曲线，则有( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 A解析 σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”．5．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．与标准差有关 答案 C6．设随机变量ξ～N (2,4)，则D (12ξ)的值等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 【知识点：正态分布】 答案 A解析 ∵ξ～N (2,4)，∴D (ξ)＝4. ∴D (12ξ)＝14D (ξ)＝14×4＝1. 能力型 师生共研7．在正态分布总体服从N (μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( ) A ．方差与标准差B ．期望与方差C ．平均数与标准差D ．标准差与期望 答案 C解析 由正态分布概念可知C 正确．8．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不确定 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 C解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.9．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，则P 的值为( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．不确定与σ无关 答案 C解析 ∵P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，∴C ＝μ，且P ＝12.10．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 答案 C解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 探究型 多维突破13．随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( ) A ．N (aμ，σ2) B ．N (0,1) C ．N (μa ，σ2a ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2) 【知识点：正态分布】 答案 D14．某中学共有210名学生，从中取60名学生成绩如下：【知识点：正态分布】解析 因为x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s 2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5， 以x ＝6，s ≈1.22作为总体预计平均成绩和标准差的估计值，即μ＝6，σ＝1.22， 则总体服从正态分布N (6,1.222)，所以，正态分布的概率密度函数式：μμ，σ(x )＝11.222πe －x －22×1.222 .自助餐1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1 B.32 C ．6 D ．36 答案 C解析 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 A解析 利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.3．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 B解析 由正态密度函数的对称性知P (X >4)＝1－PX2＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B.4．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (|ξ|>3)等于( )A ．0.997 4B ．0.498 7C ．0.974 4D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 D5．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A6．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解析由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案12，0.954 4解析因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝12.而P(－2<ξ<2)＝P(－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.8．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 4.56%解析属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.810．设随机变量ξ～N(3,4)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，求c的值．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由ξ～N(3,4)可知，密度函数关于直线x＝3对称(如下图所示)，又P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，故有3－(c－2)＝(c＋2)－3，∴c＝3.11．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6.∴X>130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．12．设随机变量X服从正态分布X～N(8,1)，求P(5<X≤6)．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由已知得μ＝8，σ＝1，∵P(6<X≤10)＝0.954 4，P(5<X≤11)＝0.997 4，∴P(5<X≤6)＋P(10<X≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P(5<X≤6)＝P(10<X≤11)＝0.0432＝0.021 5.。
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高中数学教案选修全套第一章 计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 nm N +=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 nm N ⨯= 种不同的方法.（3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A 、B 、C 、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3×2=6 .6 种挂法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） .同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .辆汽车上牌照．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．练习1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。