凸包面积和周长的计算

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冲压凸包高度设计标准

冲压凸包高度设计标准冲压凸包高度设计标准冲压凸包是指在冲压过程中，为了增加零件的强度和刚度而在零件表面上凸出的部分。

冲压凸包的高度设计标准是非常重要的，因为它直接影响到零件的性能和质量。

以下是冲压凸包高度设计标准的详细内容：一、冲压凸包的定义冲压凸包是指在冲压过程中，为了增加零件的强度和刚度而在零件表面上凸出的部分。

它通常分为两种类型：一种是在零件的内部形成的凸包，另一种是在零件的外部形成的凸包。

二、冲压凸包的设计原则1.凸包的高度应该与零件的厚度相当，一般不应超过零件厚度的1.5倍。

2.凸包的宽度应该与零件的厚度相当，一般不应小于零件厚度的0.5倍。

3.凸包的形状应该符合零件的使用要求，一般应该是圆形或方形。

4.凸包的位置应该考虑到零件的使用要求和装配要求，一般应该在零件的边缘或角落处。

5.凸包的数量应该根据零件的使用要求和装配要求来确定，一般不应过多。

三、冲压凸包的高度计算方法冲压凸包的高度计算方法通常有两种：一种是按照零件的厚度来计算，另一种是按照零件的强度和刚度来计算。

按照零件的厚度来计算：凸包高度=零件厚度×1.5按照零件的强度和刚度来计算：凸包高度=（零件强度×0.5）÷（凸包宽度×凸包数量）四、冲压凸包的注意事项1.凸包的高度应该符合设计标准，不应过高或过低。

2.凸包的形状应该符合零件的使用要求，一般应该是圆形或方形。

3.凸包的位置应该考虑到零件的使用要求和装配要求，一般应该在零件的边缘或角落处。

4.凸包的数量应该根据零件的使用要求和装配要求来确定，一般不应过多。

5.凸包的加工应该符合加工工艺要求，一般应该采用冲压工艺或模具加工工艺。

总之，冲压凸包的高度设计标准是非常重要的，它直接影响到零件的性能和质量。

设计人员在设计冲压凸包时，应该根据零件的使用要求和装配要求，合理地确定凸包的高度、宽度、形状、位置和数量，以确保零件的性能和质量达到设计要求。

凸包convexhullppt课件

Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长我们先来看一个问题，POJ 1113。题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法：这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法就像一对卡壳卡住凸包旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对踵点的个数不超过3N/2个也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;

凸包及最小外围矩形

题目简述：給出一个平面‎点集S，求一个面积最‎小的矩形使其‎包含S所有的‎点。

预备知识：在求解这道题‎之前我们先要‎了解一些关于‎凸包的知识。

什么是凸包？简单地说，对于一个平面‎点集S，我们把完全包‎含该点集的最‎小的凸多边形‎叫做点集S的‎凸包H。

凸包一个很重‎要的性质就是‎它“凸”的性质。

这个性质对我‎们理解和计算‎凸包都有很大‎的帮助。

I）对点集S中任‎意一点a，当且仅当存在‎直线p过a点‎并使得S中除‎a外所有点均‎在p的一侧，则a为凸包上‎的一顶点。

II）对点集S中任‎意两点a,b，当且仅当S中‎除a,b以外所有点‎都在过点a,b 的直线p的‎一侧，则线段ab为‎凸包上的一条‎边。

III）对点集S中任‎意四点a,b,c,d，当d在三角形‎a bc中（包括边），则d不是凸包‎上的点。

上面的几条关‎于凸包“凸”的性质为我们‎计算凸包提供‎了一个基础。

这里我们将介‎绍两种简单且‎被广泛运用的‎算法――Gift-Wrappi‎n g和Gra‎h am-Scan算法‎。

Gift-Wrappi‎n g算法：通过性质（I），我们可以找到‎一个特殊点，如具有最小y‎坐标且x坐标‎尽可能小的点‎。

将它作为计算‎凸包的第一个‎顶点。

确定了起点后‎，我们就可以通‎过Gift-Wrappi‎n g算法计算‎出点集的凸包‎。

下面的步骤很‎直观的描述了‎这个算法：1）把点集中所有‎点都看成是固‎定在平面上的‎柱子，想象我们在起‎始点柱子上系‎上一根身子。

2）把绳子沿水平‎方向向右拉直‎，并逆时针旋转‎，当绳子碰上一‎根柱子，则对应了凸包‎上的一点3）继续旋转绳子‎，每次确定一个‎凸包上的顶点‎，直至绳子回到‎起点。

图一：Gift-Wrappi‎n g算法计算‎凸包的过程每次通过旋转‎绳子找到下一‎个凸包顶点需‎要对点集中所‎有剩余点进行‎一次比较，所以这一步的时间复‎杂度是O（n）。

每个凸包上的‎顶点都需要进‎行一次旋转操‎作，而最坏情况下‎，凸包顶点个数‎可以和点集个‎数相等，所以整个Gi‎f t-Wrappi‎n g算法的时‎间复杂度是O‎（n2）的。

凸包——精选推荐

凸包算法模型想象在⼀个平⾯上钉下了n个钉⼦。

现在有⼀根橡⽪筋，我们把它撑开，期望在松⼿之后橡⽪筋可以收缩，包住所有的n个钉⼦。

事实上，这正是⼀个凸包。

如下图：引⼊凸包的概念：凸包，定义为周长最⼩的包含点集中所有点的凸多边形。

即使存在某个凹多边形的周长与凸包相等且可以包含所有点，这个凹多边形也⼀定不是凸包。

如下图，这个凹多边形不是该点集的凸包：凸包问题属于计算⼏何，通常可以使⽤Andrew,Graham,Jarvis，斜率逼近等算法求解。

本⽂将着重介绍其中思想通俗、代码简单的Andrew算法。

由于求解凸包需要⼀些前置的计算⼏何知识，本⽂将会介绍⼀些基础计算⼏何知识。

前置知识引进向量的概念。

在数学中，向量指同时具有⼤⼩和⽅向的量，与之相对的量称为数量。

数量只有⼤⼩，没有⽅向。

向量可以⽤⼀条带箭头的线段来形象地表⽰：箭头代表⽅向，线段的长度代表向量的⼤⼩。

如果向量的起点为A，终点为B，则这个向量可以记作→ab。

两个向量→x1,y1和→x2,y2的外积称之为叉积，它的结果是⼀个向量。

叉积的计算⽅法是 (x1y2)−(x2y1) ，记为→x1,y1×→x2,y2。

对于两个向量→ab,→bc，如果它们的叉积>0 ，说明→ab在→bc的顺时针⽅向；如果它们的叉积=0，说明→ab和→bc共线；如果它们的叉积<0，说明→ab在→bc的逆时针⽅向。

算法思想凸包Andrew算法的思想⾮常简单。

我们⾸先把点集按照以x坐标为第⼀关键字，以y坐标为第⼆关键字的⽅式进⾏双关键字从⼩到⼤排序，排序后的第⼀个点就是我们选出的极点。

两个关键字的顺序可以调换。

如下图，点 1 就是该点集的极点。

接着，我们从极点开始逆时针考虑将每⼀个点都加⼊凸包。

显然我们排序后的第⼀个点和最后⼀个点⼀定在凸包上。

从第⼆个点开始，我们假设当前点可以加⼊凸包。

设凸包上此时有m个点，第m−1 个点和第m个点分别是a,b，当前要加⼊凸包的点为c。

凸包知识简要概括（构造凸包）

凸包知识简要概括（构造凸包）什么是凸包，简单来说就是⼀个凸多边形。

场景现在有⼀些点，让你画⼀个包含所有点的圈，要求图形的周长最短，很明显，⽤这些点上的⼀部分点作为节点连城直线是最短的，⽽最后的图形就是⼀个凸多边形。

我们如何来找到凸多边形上的点，第⼀我们可以发现最边缘的点⼀定位于最后的凸包上，例如y值最⼩（最⼤），x值最⼩（最⼤）的点，我们可以利⽤这些点作为我们构造凸包的起点。

⾸先，对所有点进⾏排序，找到y值最⼩的点，如果存在多组y相同，取最左边的点。

找到起点之后，进⾏极⾓排序，就是数学上的⽐较直线的斜率值（k），显然, arctan(k) 就是到x轴的⾓度，起点与其他的点连线求出⾓度值，从⼩到⼤排序，排序出的第⼀个点很显然也在凸包上，因为不存在更右的点。

还可以⽤叉积的⽅法去判断是否在左在右。

1double cross(ff a,ff b,ff c)2 {3return (b.x - a.x)*(c.y-a.y)-(c.x - a.x)*(b.y - a.y);4 }5bool cmp(ff a,ff b)6 {7double m = cross(f[0],a,b);8if(m>0)9return1;10if(m==0&&dis(f[0],a)-dis(f[0],b)<=0)11return1;12return0;13 }//⽤叉积去判断顺序，如果m==0,说明两点在同⼀直线上，则距离近的排在前⾯⽤排好的点⼀个个判断是不是凸包上的点，现在我们有两个数组，⼀个g数组存放凸包上的点，⼀个f数组放排好序的点，刚开始时，g数组上有两个点，起点和排序后的第⼀个点。

现在点是否属于凸包。

设置⼀个cnt值，指向g数组的尾节点。

如果下⼀个点于g[cnt]的连线相对g[cnt]和g[cnt-1]的连线偏左，该点加⼊g数组，cnt++;如果偏右，cnt--,该点继续重复⽐较的步骤，直到找到相对偏左的点（该过程相当于就是删去s数组凸包内的点）当最后⼀个点判断完成后，g数组就储存了从起点逆时针⼀圈凸包上的点求凸包的周长顺序枚举g数组上的点累加dis(g[i],g[i+1]),最后再加上dis(g[cnt],g[0])完整代码1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cmath>4 #include<algorithm>5 #include<cstring>6using namespace std;7struct ff8 {9double x,y;10bool operator < (ff b)const11 {12if(y == b.y)13return x<b.x;14return y<b.y;15 }16 }f[100005],g[100008];double xx,yy;17double dis(ff a,ff b)18 {19return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));20 }21double cross(ff a,ff b,ff c)22 {23return (b.x - a.x)*(c.y-a.y)-(c.x - a.x)*(b.y - a.y);24 }//求叉积25bool cmp(ff a,ff b)26 {27double m = cross(f[0],a,b);28if(m>0)29return1;30if(m==0&&dis(f[0],a)-dis(f[0],b)<=0)31return1;32return0;33 }34int main()35 {36int n;37 scanf("%d",&n);38for ( int i = 0;i<n;++i) scanf("%lf%lf",&f[i].x,&f[i].y);39 sort(f,f+n);//找到最左最下的点40if(n == 1)41 printf("%.2f\n",0.00);42else if(n == 2)43 printf("%.2f\n",dis(f[0],f[1]));44else45 {46 g[0] = f[0];//凸包数组放⼊起点47 xx = g[0].x;48 yy = g[0].y;49 sort(f+1,f+n,cmp);//极⾓排序50 g[1] = f[1];//第⼆个点也在凸包内51int cnt = 1;//指向凸包数组的尾结点52for(int i = 2;i<n;++i)53 {54while(i>=1&&cross(g[cnt-1],g[cnt],f[i])<0)55 cnt--;//如果新加进来的节点相对最后两点连线偏右，减去最后⼀个点，循环判断56 g[++cnt] = f[i];//加⼊新节点57 }58double s = 0;5960for (int i = 1;i<=cnt;++i)61 s+=dis(g[i-1],g[i]);62 s+=dis(g[cnt],f[0]);//计算每条边的长度63 printf("%.2lf",s);64 }65return0;66 }View Code。

二维凸包模板（凸包重心，周长，面积，直径，最大三角形，最小环绕矩形）

⼆维凸包模板（凸包重⼼，周长，⾯积，直径，最⼤三⾓形，最⼩环绕矩形）#include"string.h"#include"stdio.h"#include"iostream"#include"algorithm"#include"queue"#include"stack"#define M 100009#define N 100009#include"stdlib.h"#include"math.h"#define inf 10000000000000000LL#define INF 0x3f3f3f3f#define PI acos(-1.0)#define eps 1e-10using namespace std;struct node{double x,y;node(){}node(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}node operator +(node p)//向量加法{return node(x+p.x,y+p.y);}node operator -(node p)//向量减法{return node(x-p.x,y-p.y);}double operator *(node p)//向量叉乘{return x*p.y-y*p.x;}double operator ^(node p)//向量点乘{return x*p.x+y*p.y;}node operator /(double p)//向量除法{return node(x/p,y/p);}node operator *(double p)//向量乘法{return node(x*p,y*p);}}p[M],q[M];int cnt,n;double max(double x,double y){return x>y?x:y;}double min(double x,double y){return x<y?x:y;}double cross(node a,node b,node c)//叉积{return (b-a)*(c-a);}double dot(node a,node b,node c)//点积{return (b-a)^(c-a);}double len(node a)//向量长吨{return sqrt(a^a);}double dis(node a,node b)//两点距离{return len(b-a);}int cmp(node a,node b)//极⾓排序{double temp=cross(p[0],a,b);//逆时针排序if(temp>0)return 1;else if(fabs(temp)<eps&&dis(p[0],a)<dis(p[0],b))//⾓度相同则按照距离排序return 1;elsereturn 0;}void input(int n)//输⼊{for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);}void sort_point(int n)//凸包点集的输⼊即排序{int i,k;node start;start=p[0];k=0;for(i=1;i<n;i++){if((start.y>p[i].y)||(fabs(start.y-p[i].y)<eps&&start.x>p[i].x)) {start=p[i];k=i;}}p[k]=p[0];p[0]=start;sort(p+1,p+n,cmp);}void be_weight(int val){int temp=val;n=1;for(int i=1;i<temp;i++){if(fabs(p[i-1].x-p[i].x)<eps&&fabs(p[i-1].y-p[i].y)<eps)continue;p[n++]=p[i];}}void Convex_hull(int n)//求凸包凸包上的点存在q中{int i;if(n==1){q[0]=p[0];cnt=1;}else if(n==2){q[0]=p[0];q[1]=p[1];q[2]=p[0];cnt=2;}else if(n>=3){q[0]=p[n-1];q[1]=p[0];q[2]=p[1];cnt=2;for(i=2;i<n;i++){while(cross(q[cnt-1],q[cnt],p[i])<0)cnt--;q[++cnt]=p[i];}}}double Perimeter(int cnt)//凸包周长{double sum=0;for(int i=1;i<=cnt;i++)sum+=dis(q[i-1],q[i]);return sum;}double Area(int cnt)//凸包⾯积{double sum=0;node p(0,0);for(int i=1;i<=cnt;i++)sum+=cross(p,q[i-1],q[i]);return fabs(sum/2.0);}node barycenter_cur(int n)//原多边形的重⼼{double sum=0;node ret(0.0,0.0);for(int i=2;i<n;i++){double area=cross(p[0],p[i-1],p[i]);sum+=area;ret=ret+(p[0]+p[i-1]+p[i])/3.0*area;}ret=ret/sum;return ret;}node barycenter_now(int cnt)//凸包的重⼼{double sum=0;node ret(0.0,0.0);for(int i=2;i<cnt;i++){double area=cross(q[0],q[i-1],q[i]);sum+=area;ret=ret+(q[0]+q[i-1]+q[i])/3.0*area;}ret=ret/sum;return ret;}double Diameter(int cnt)//旋转卡壳法求凸包的直径即最⼤的点对距离{double maxi=0;int j=1;for(int i=1;i<=cnt;i++){while(fabs(cross(q[i-1],q[i],q[(j+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt])))j++;maxi=max(maxi,dis(q[i-1],q[j%cnt]));maxi=max(maxi,dis(q[i],q[j%cnt]));}return maxi;}double Max_triangle(int cnt)//旋转卡壳法求⾯积最⼤的三⾓形{double maxi=0;int j=1;int k=1;for(int i=1;i<=cnt;i++){while(fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[(k+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])))k++;maxi=max(maxi,fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])));while(fabs(cross(q[i-1],q[(j+1)%cnt],q[k%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])))j++;maxi=max(maxi,fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])));}return maxi/2.0;/*其思路是这样的,定点I,p,q,先I,p固定,让q旋转找到最⼤的⾯积三⾓形,之后,I,q固定,p旋转,找到最⼤的三⾓形⾯积,⽐较记录.然后i++;直到i遍历所有顶点.所求出来的三⾓形就是⾯积最⼤.这⾥的旋转卡壳思想就是固定,旋转.这样的.显然i++后,p,q两点不需要再从i+1,i+2开始,这个好形容,对p,q进⾏取模运算的时候,注意⾃⼰的SP栈指针多⼤.*/}void Min_rectangle(int cnt)//旋转卡壳法求⾯积和周长最⼩的环绕矩形{if(cnt<=2)//输出时注意的地⽅*****{if(cnt==1)printf("%.2lf %.2lf\n",0.0,0.0);elseprintf("%.2lf %.2lf\n",0.0,2*dis(p[0],p[1]));return;}double S=inf,C=inf;int j,k,r;double h,w;j=k=r=1;for(int i=1;i<=cnt;i++){double L=dis(q[i-1],q[i]);while(fabs(cross(q[i-1],q[i],q[(j+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt])))j++;h=fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt]))/L;while(dot(q[i-1],q[i],q[(k+1)%cnt])>dot(q[i-1],q[i],q[k%cnt]))k++;if(i==1)r=k;while(dot(q[i-1],q[i],q[(r+1)%cnt])<=dot(q[i-1],q[i],q[r%cnt]))r++;w=(dot(q[i-1],q[i],q[k%cnt])-dot(q[i-1],q[i],q[r%cnt]))/L;S=min(S,w*h);C=min(C,(w+h)*2);}printf("%.2lf ",S);//输出时注意的地⽅***** printf("%.2lf\n",C);}int main(){while(scanf("%d",&n),n){input(n);//输⼊sort_point(n);//极⾓排序be_weight(n);//去重Convex_hull(n);//求凸包Min_rectangle(cnt);}return 0;}。

凸多边形与边长的关系-概述说明以及解释

凸多边形与边长的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在撰写"凸多边形与边长的关系"的长文时，我们首先需要对文章的主题进行概述。

本文将探讨凸多边形的定义、性质以及凸多边形边长与角度、面积之间的关系。

凸多边形是一个非常基础且重要的几何概念，它在我们日常生活和学术研究中都有着广泛的应用。

一个凸多边形是指其内部的任意两点之间的连线都完全位于多边形内部的多边形。

相对于凹多边形而言，凸多边形的内角均小于180度，呈现出更加规则且紧凑的形状。

凸多边形的定义不仅仅限于具有特定的边数或角度大小，我们还需要了解其性质和特征。

通过对凸多边形进行深入研究，我们能够发现一系列关于边长的有趣规律和规定。

本文将重点探讨凸多边形边长与角度以及面积之间的关系。

凸多边形的边长与角度之间存在着密切的联系。

具体而言，我们将探究在什么情况下凸多边形的边长会影响到其内部角度的大小。

我们会讨论各种凸多边形的特殊情况，并研究边长对内角度的变化趋势。

通过深入研究和具体案例的分析，我们希望能够明确凸多边形边长与角度之间的关系，并找出一般规律。

此外，我们还将探讨凸多边形的边长与面积之间的关系。

面积是衡量凸多边形大小的一个重要指标，而边长则直接影响着凸多边形的面积计算。

我们会分析边长对于面积的影响，并探讨其变化规律。

通过具体的例子和数学推导，我们将尝试找到边长与面积之间的普适规律。

通过本文的研究，我们可以更好地理解凸多边形的定义、性质以及边长与角度、面积之间的关系。

这对于几何学的学术研究和实际应用都具有重要意义。

相信通过细致的分析和具体的例子，本文将帮助读者更好地理解凸多边形的特点，并深入探索其与边长的关系。

1.2 文章结构：本文将分为三个部分进行介绍与分析。

首先，在引言部分，将概述本文所要解决的问题，明确文章的目的与意义。

接着，在正文部分，将通过凸多边形的定义和性质来探讨凸多边形与边长的关系。

最后，在结论部分，将总结凸多边形边长与角度以及面积的关系，为读者提供一个全面的认识和理解。

凸包扩展系数-概述说明以及解释

凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。

凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。

在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。

凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。

本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。

1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。

引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。

在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。

通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。

在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。

结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。

1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。

通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。

在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。

同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。

通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。

2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。

其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。

凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。

三维体凸包的计算公式

三维体凸包的计算公式
三维体凸包的计算是一个复杂的几何问题，涉及到凸包、几何计算和算法等领域。

凸包是几何图形中一个重要的概念，它描述的是一个点集中的所有点构成的凸多边形。

三维体凸包的计算通常需要使用到计算机图形学和计算几何的方法。

下面提供一种常见的计算三维体凸包的方法：
1. 顶点选择: 首先，需要确定一个合适的顶点集合来表示三维体。

这个集合
可以是三维体的所有顶点，也可以是其中的一部分顶点。

2. 凸包计算: 对于给定的顶点集合，可以采用扫描算法或者分治算法来计算
凸包。

扫描算法通常采用旋转轴法，将三维体沿着不同的轴旋转，并记录下旋转过程中的极角和极径，最后根据这些信息确定凸包的顶点。

分治算法则将三维体分成不同的子集，分别计算子集的凸包，然后合并得到整体的凸包。

3. 优化: 为了提高计算效率，可以采用一些优化方法，例如使用八叉树等数
据结构来加速近邻点的查找，或者采用空间分割法将三维体分成更小的子集，分别计算后再合并。

需要注意的是，具体的实现方法可能会因为不同的应用场景和需求而有所不同。

此外，三维体凸包的计算是一个NP难问题，当点集数量较大时，计算
时间可能会较长。

因此，在实际应用中，需要综合考虑算法的复杂度、计算精度和实时性等方面的要求。

快速凸包算法

2.5 Graham算法
• 以极端点 pi为初始点， • 依次对相邻三个点pi ，pi+1和pi+2 ，计算pi pi+1×pi+1pi+2
– 如果在z 轴上的投影大于零，即(pi pi+1×pi+1pi+2)z＞0
• 说明在pi+1 处左转弯，多边形在该点上外凸，暂时保留这三点 • 前进一步，同样去判断相邻三个点pi+1，pi+2和 pi+3
– 二面角是指空间中两个相邻接的面在它们的公共边上的内夹角
• 对于任意的多胞形，顶点处的所有多边形内角之和小于2π
– 这是每个顶点处是凸的必要条件，但不是充分条件
3.1 多面体
• 3.1.2 正则多面体
– 只存在五种不同的正多面体
• 正四面体、正六体、正八面体、正十二面体和正二十面体 • 也叫柏拉图体(Platonic solids)，因为柏拉图在他的《蒂迈欧篇 (Timaeus) 》中讨论过它们
3.1 多面体
• 如果把多面体看成厚度为零的多边形围成的空间，第二个条件也可写为
– 多面体表面上任一点，它在表面上的邻域同胚于一个开圆盘，开圆盘是二维的开圆 – 如果一个表面上的每一个点都满足这个条件，那么这个表面就被称为二维流形(2D manifold)
3.1 多面体
• 第３个条件表示顶点和边组成的图是连通的
– 如果(pi pi+1×pi+1pi+2)z ≤0
• 说明在pi+1处右转弯，多边形在该点上内凹，把pi+1点从多边形边界中删除 • 后退一步，同样去判断相邻三个点pi-1，pi和 pi+2
• 时间复杂度为线性O(n)

凸包算法详解

凸包算法详解凸包算法是解决最小生成树问题的一种有效算法，它可以在不生成环的情况下找到树的最好构造。

在计算机科学中，最小生成树问题是广义图论中的一个经典问题，它涉及到如何在给定一个有向图中找到一个最小生成树。

生成树是指保留图中所有节点，但只保留足以生成该节点的所有边的集合。

凸包算法详解主要从两个方面进行阐述：算法原理和实现过程。

一、算法原理凸包算法的基本思想是首先找到一个凸多面体，将该多面体内部的所有点都看作是图中的节点，然后将这些节点按照某种次序连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，凸包算法会根据给定的有向图，找到一个凸多面体，将图中的每个节点都映射到该多面体内部的一个点，然后将这些点连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

凸包算法的时间复杂度为$O(n+m)$，其中$n$是图的节点数，$m$是图的边数。

这个时间复杂度可以通过递归的方式计算，也可以使用静态数据结构来存储。

二、实现过程1.选择一个凸多面体在凸包算法中，我们需要找到一个凸多面体，使得该多面体内部的所有点都适合作为图中的节点。

具体实现过程中，可以使用任意一种搜索算法，如深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来枚举所有的凸多面体。

在搜索的过程中，我们需要记录每个凸多面体的边数，以及该多面体内部的所有节点。

2.将节点连接起来在凸包算法中，我们需要将图中的节点连接起来，以生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，可以按照以下步骤将节点连接起来：（1）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体，并将该节点连接到该凸多面体内部。

（2）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

（3）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

3.递归搜索凸多面体在凸包算法中，我们需要递归地搜索所有的凸多面体，以找到符合要求的凸多面体。

凸包面积和周长的计算

凸包面积和周长的计算凸包是指包围一组点的最小凸多边形，它可以通过一系列点的坐标来确定。

凸包的面积和周长是凸包的两个重要指标，可以用来描述凸包的大小和形状。

一、凸包的面积计算凸包的面积可以通过计算凸包上所有边构成的三角形的面积之和来得到。

具体计算步骤如下：1. 首先，根据给定的一组点，确定凸包的顶点。

可以使用凸包算法如Graham扫描或Jarvis步进等方法来求解凸包的顶点。

2. 然后，通过连接凸包顶点的边，将凸包划分为一系列的三角形。

3. 接下来，计算每个三角形的面积。

可以使用海伦公式或矢量叉积等方法来计算三角形的面积。

4. 最后，将所有三角形的面积进行累加，即可得到凸包的面积。

凸包的面积计算可以用来衡量一组点的分布情况。

当凸包的面积较大时，说明点的分布比较离散；而当凸包的面积较小时，说明点的分布比较集中。

二、凸包的周长计算凸包的周长是指凸包边界上所有边的长度之和。

计算凸包的周长可以通过以下步骤实现：1. 根据给定的一组点，确定凸包的顶点。

2. 连接凸包顶点的边构成凸包的边界。

3. 遍历凸包的边界，计算每条边的长度。

4. 将所有边的长度进行累加，即可得到凸包的周长。

凸包的周长可以用来描述凸包的大小。

当凸包的周长较大时，说明凸包的形状比较复杂；而当凸包的周长较小时，说明凸包的形状比较简单。

凸包面积和周长的计算在计算几何和图形学中有着广泛的应用。

它们可以用来解决许多实际问题，比如计算地理区域的面积和周长、计算物体的外形和边界等。

总结起来，凸包的面积和周长是衡量凸包大小和形状的重要指标。

凸包的面积可以通过计算凸包上所有边构成的三角形的面积之和来得到，而凸包的周长是指凸包边界上所有边的长度之和。

凸包面积和周长的计算在计算几何和图形学中有着广泛的应用，可以用来解决许多实际问题。

通过对凸包面积和周长的计算，我们可以更好地理解和分析凸包的性质和特征，为后续的研究和应用提供参考依据。

平面点集的凸包计算

平⾯点集的凸包计算平⾯点集的凸包可理解为包含所有点的最⼩凸多边形（点可以在多边形边上或在其内）。

这⾥给出⼀种求解⽅法。

⼀、基本思路先找所有点中 y 坐标最⼤最⼩的点P max、P min，所找点必定是凸包上的点；找距离直线P max P min两侧最远的点P1,P0，构成初始三⾓形, ；再对每个三⾓形新⽣成的边（、和、）继续找与改变对应顶点（）不在同⼀侧的最远点。

⼆、算法流程1 找所有点中 y 坐标最⼤和最⼩的点1.1 若找到的点少于两个,return,输出（⽆凸包结构）1.2 若y坐标最⼤最⼩点各只有⼀个记为Pmax,Pmin,找直线PmaxPmin两侧最远的点P1,P0,将构成的三⾓形, 放⼊堆栈TriStack1.3 若找到的点⼤于两个,把这些点能组成的三⾓形放⼊堆栈TriStack2 若TriStack不为空2.1 三⾓形出栈，找三⾓形前两个顶点的对边与该点异侧的最远点2.2 若点存在,边与点组成三⾓形放⼊TriStack2.3 若点不存在,该边存⼊Boundary,返回23 返回 Boundary三、实现代码该算法由matlab实现：1 clc;2 clear;3 N = 74;4 DataPoints = [(1:N)', rand(N, 2).*100];5 plot(DataPoints(:, 2), DataPoints(:, 3), '.');6 % grid on;7 X = DataPoints(:,2);8 Y = DataPoints(:,3);910 %%11 % 根据 y ⽅向最值点确⽴初始三⾓形12 % 找 y 最⼤和最⼩值的点 --------13 [Ymax, Ymax_i] = max(Y);14 [Ymin, Ymin_i] = min(Y);15 PymaxPymin = [X(Ymin_i) - X(Ymax_i), Y(Ymin_i) - Y(Ymax_i)];16 PtNum = N;17 % 找距离直线 PymaxPymin 两侧最远点 --------18 PtNum_p = 1; PtNum_n = 1;19 Dis_p = 0; Dis_n = 0;20for j = 1 : PtNum21 PjPymax = [X(Ymax_i) - X(j), Y(Ymax_i) - Y(j)];22 PjPymin = [X(Ymin_i) - X(j), Y(Ymin_i) - Y(j)];23 Tri_erea = det([PjPymax; PjPymin]);24if Tri_erea < 025if Dis_n < abs(Tri_erea)26 Dis_n = abs(Tri_erea);27 PtNum_n = j;28 end29else30if Dis_p < Tri_erea31 Dis_p = Tri_erea;32 PtNum_p = j;33 end34 end35 end3637 % 计算凸包边界 ----------38 TriStack = [];39 TriStack(1, :) = [Ymax_i, Ymin_i, PtNum_p];40 TriStack(2, :) = [Ymax_i, Ymin_i, PtNum_n];41 Boundary = FindBoundary(TriStack, DataPoints);42 hold on;43for i = 1 : size(Boundary, 1)44 plot([X(Boundary(i,1)), X(Boundary(i,2))], ...45 [Y(Boundary(i,1)), Y(Boundary(i,2))], '-');46 end主程序1 function TriPtNum_new = TriFindPt(TriPtNum, DataPoints)2 % 扩展三⾓形的两边3 % TriPtNum [i,j,k]是三⾓形 PiPjP 的顶点序号, 过顶点 P 的两边要扩展4 % DataPoints 是所有点的坐标5 % TriPtNum_new [i,j]是两条扩展边最外侧顶点序号, 若不存在取067 X = DataPoints(:,2);8 Y = DataPoints(:,3);9 % 点 Pi, Pj的对边, 扩展 -------------------10 PjP = [X(TriPtNum(3)) - X(TriPtNum(2)), Y(TriPtNum(3)) - Y(TriPtNum(2))];11 PiP = [X(TriPtNum(3)) - X(TriPtNum(1)), Y(TriPtNum(3)) - Y(TriPtNum(1))];12 PiPj = [X(TriPtNum(2)) - X(TriPtNum(1)), Y(TriPtNum(2)) - Y(TriPtNum(1))];13 % PiPj x PiP, PjPi x PjP, 向量叉积14 PiPjxPiP = det([PiPj; PiP]);15 PjPixPjP = det([-PiPj; PjP]);1617 % 找点 Pi, Pj 的对边距离最远点 ------------------18 PtNum = length(X);19 PtNum_pi = 0; PtNum_pj = 0;20 Dis_pi = 0; Dis_pj = 0;21for k = 1 : PtNum22 % 点 Pi 的对边找最远点23 PkPj = [X(TriPtNum(2)) - X(k), Y(TriPtNum(2)) - Y(k)];24 PkP = [X(TriPtNum(3)) - X(k), Y(TriPtNum(3)) - Y(k)];25 PkPjxPkP = det([PkPj; PkP]);26 % 点 Pj 的对边找最远点27 PkPi = [X(TriPtNum(1)) - X(k), Y(TriPtNum(1)) - Y(k)];28 PkPixPkP = det([PkPi; PkP]);2930if(PiPjxPiP * PkPjxPkP < 0)31 Tri_ereai = abs(PkPjxPkP);32if(Dis_pi < Tri_ereai)33 Dis_pi = Tri_ereai;34 PtNum_pi = k;35 end36 end3738if(PjPixPjP * PkPixPkP < 0)39 Tri_ereaj = abs(PkPixPkP);40if(Dis_pj < Tri_ereaj)41 Dis_pj = Tri_ereaj;42 PtNum_pj = k;43 end44 end45 TriPtNum_new = [PtNum_pi, PtNum_pj];46 end找三⾓形两边外侧最远点1 function Boundary = FindBoundary(TriStack, DataPoints)2 % 从初始三⾓形开始查找边界34 Boundary = [];5while size(TriStack, 1)6 TriPtNum_new = TriFindPt(TriStack(end, :), DataPoints);7 TriPt = TriStack(end, :);8 TriStack(end, :) = [];9if TriPtNum_new(1)10 TriStack(end+1, :) = [TriPt(:, 2:3), TriPtNum_new(1)];11else12 Boundary(end+1, :) = TriPt(:, 2:3);13 end14if TriPtNum_new(2)15 TriStack(end+1, :) = [TriPt(1, 1), TriPt(1, 3), TriPtNum_new(2)];16else17 Boundary(end+1, :) = [TriPt(1, 1), TriPt(1, 3)];18 end19 end确定凸包上的所有边四、运⾏⽰例。

凸包算法（Graham扫描法）详解

凸包算法（Graham扫描法）详解先说下基础知识，不然不好理解后⾯的东西两向量的X乘p1(x1,y1),p2(x2,y2)p1Xp2如果⼩于零则说明 p1在p2的逆时针⽅向如果⼤于零则说明 p1在p2的顺时针⽅向struct node{double x,y;node friend operator -(node a,node b)//对减法符号进⾏重载{return {a.x-b.x,a.y-b.y};}}p[10000],s[10000];double X(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}这个⽅法很有⽤处。

⽐如判断⼀个点是否在⼀条线段的左边还是右边，可以⽤X乘来判断，或者判断两条线段是否相交接着说说凸包 Graham扫描法1.在平⾯上⼀些散乱的点，⾸先找找到这些点中处于最左下⽅的点for(int i=1;i<=N;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y;int k=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(p[i].y<p[k].y||(p[k].y==p[i].y&&p[i].x<p[k].x))k=i;}swap(p[1],p[k]);2.对这些点进⾏排序。

把按照极⾓(polar angle)从⼩到⼤排序(以 p1为极点)，极⾓相同的点按照到的距离从⼩到⼤排序。

int cmp(node a,node b){double x=X(a-p[1],b-p[1]);//以p[1]为极点，通过X乘来判断if(x>0) return1;//让a处于b的顺时针if(x==0&&dis(a,p[1])<dis(b,p[1]))return1;//⾓度相同看距离return0;}sort(p+2,p+N+1,cmp);3.再开⼀个结构体数组s 来储存凸包最外围的点，也就是结果，这个有点容易让⼈搞迷。

小学六年级上凹凸部分面积和周长

小学六年级上凹凸部分面积和周长引言本文档旨在介绍小学六年级上凹凸部分面积和周长的相关概念和计算方法。

凹凸部分面积和周长是数学中的重要概念，理解和掌握这些知识对于学生进一步研究数学和应用数学非常重要。

凹凸部分面积的计算方法- 面积是一个平面内封闭图形所占的空间大小。

对于凹凸部分，我们可以将其分为多个凸部分，计算每个凸部分的面积，然后将它们加起来即可得到整个凹凸部分的面积。

- 对于规则凹凸图形，我们可以直接使用相应的公式计算面积。

对于不规则凹凸图形，我们可以将其划分为多个凸部分，计算每个凸部分的面积，再将它们加起来。

凹凸部分周长的计算方法- 周长是一个封闭图形的边界长度。

对于凹凸部分，我们可以将其划分为多个凸部分，计算每个凸部分的周长，然后将它们加起来即可得到整个凹凸部分的周长。

- 对于规则凹凸图形，我们可以直接使用相应的公式计算周长。

对于不规则凹凸图形，我们可以将其划分为多个凸部分，计算每个凸部分的周长，再将它们加起来。

例题下面通过一个例题来说明凹凸部分面积和周长的计算方法：问题：图中的凹凸图形被划分为4个凸部分，请计算整个凹凸图形的面积和周长。

图中的凹凸图形被划分为4个凸部分，请计算整个凹凸图形的面积和周长。

![凹凸图形](image.png)解答：- 面积计算：- 对于凸部分1，可以使用矩形的面积公式计算：面积1 = 长1 ×宽1 = 4 × 3 = 12平方单位。

- 对于凸部分2，可以使用梯形的面积公式计算：面积2 = (上底 + 下底) ×高 / 2 = (2 + 5) × 3 / 2 = 7.5平方单位。

- 对于凸部分3，可以使用矩形的面积公式计算：面积3 = 长3 ×宽3 = 6 × 2 = 12平方单位。

- 对于凸部分4，可以使用三角形的面积公式计算：面积4 = 底×高 / 2 = 3 × 2.5 / 2 = 3.75平方单位。

凸包详解

ACM 计算几何之凸包问题整理编辑----Blue Seven1、何谓凸包问题所谓凸包，是指平面上一点集Q ，将其中某些点连起来得到一凸边形，使得满足Q 中的所有的点都在该凸边形内（或其边上），则称该凸边形为点集Q 的凸包(convex hull)。

如上图中灰色线段组成的凸边形即为点集Q={p0，p1，p2，...，p11，p12}的凸包。

一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸边形，既是凸包问题。

形象地说：在一平木板（平面）上钉若干钉子（点），将一橡皮筋套上去后，会把钉子圈起来，形成一个凸边形，即为该点集的凸包。

2、解决凸包问题的常用算法及分析常用来解决凸包问题的算法有Graham 扫描法和Jarvis 步进法。

接下来简单介绍Graham 扫描法(极角序)，至于Jarvis 步进法可参考《算法导论》。

首先我们可以肯定的是，点集Q 中最左下角的一个点P 必是凸包ch ( Q)的一个顶点。

将其记为P0，接着从P0出发，按逆时针方向扫描点集Q 除P0外其余的每一个点，其顺序是依据各点在逆时针方向上相对P0的极角的递增次序。

极角的大小、可以通过计算叉积)(*)(00P P P P j i --来确定：若叉积>0，则说明相对P0来说，Pj 的极角大于Pi 的极角，Pi 先于Pj 被扫描;若叉积<0，则说明Pj 的极角小于Pi 的极角，Pj 先于Pi 被扫描;若叉积=0，则说明两个极角相等。

在这种情况下，由于Pi 和Pj 中距离P0较近的点不可能是凸包的顶点，因此我们只需扫描其中一个与P0距离较远的点。

接下来的问题是如何确定当前被扫描的点Pi(1 < i < n-1)是凸包上的点呢?我们设置一个关于候选点的堆栈S 来解决凸包问题。

初始时P0和排序后的P1,P2作为初始凸包相继人栈。

扫描过程中，Q 集合中的其它点都被推入堆栈一次，而不是凸包ch(Q)顶点的点最终将弹出堆栈。

当算法结束时，堆栈S 中仅包含ch ( Q)的顶点，其顺序为各点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

三年级凹凸题周长面积的解题思路

三年级凹凸题周长面积的解题思路
案例一
1、面积可以用大长方形（等边时为正方形）的面积减去凹下去的小长方形（等边时为正方形）的面积。

长方形的面积公式是：面积=长*宽
2、至于求取周长，可以有两种算法。

一种是一段一段相加，另一种则是大长方形的周长，加上小长方形与大长方形想连的两条边的长度。

案例二
1、面积可以用大长方形（等边时为正方形）的面积减去凹下去的小长方形（等边时为正方形）的面积。

长方形的面积公式是：面积=长*宽
2、周长都是大面积的的周长+凹进去的两个边长。

环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长，也就是图形一周的长度。

周长用字母C表示。

面积的定义：物体所占的平面图形的大小，叫做图形的面积。

案例三
1、已知长方形的长和宽求长方形的周长，可直接用公式：
长方形的周长＝长×2＋宽×2
长方形的周长＝（长＋宽）×2
2、已知正方形的边长求正方形的周长，可直接用公式：
正方形的周长＝边长＋边长＋边长＋边长正方形的周长＝边长×4。

三年级切割凹凸图形周长

三年级切割凹凸图形周长
“凹形”求周长问题可以用平移将其转化为矩形,然后再加上多余的边。

矩形拼接问题,不论是“凹形”还是“凸形”,周长=矩形周长+拼接线×2。

“凹形”求周长问题可以用平移将其转化为矩形，然后再加上多余的边。

矩形拼接问题，不论是“凹形”还是“凸形”，周长＝矩形周长＋拼接线×2。

“凸形”求周长问题通常可以用平移转化为矩形求解，周长=矩形周长+拼接线×2。

“凸型”求面积问题通常可以用1分割法把图形分成两个矩形，分别求解面积然后相加，面积=大矩形面积+小矩形面积。

凸台面积公式

凸台面积公式
凸台的表面积公式：S=πr+πR+πRl+πrl=π(r+R+Rl+rl)。

r－上底半径、R－下底半径、h－高、l—母线=根号下[（R-r）+h]。

凸台的性质：
平行于底面的截面是圆。

过轴的截面是等腰梯形。

同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下面积是整个圆锥面积的1/7.过凸台侧面一点有且只有一条母线。

如果沿一个直角梯形垂直于底边的腰旋转一周，将得到一个凸台。

凸台任意两条母线延长后交于一点。

凸台表面积公式的推导过程
设凸台的上下底面半径分别为r'，r，母线长为l。

则其侧面展开图是一个扇环，小扇形的弧长为2πr'，大扇形的弧长为2πr。

设小扇形的半径为x，则大扇形的半径为x+l，则x/(x+l)=r/R，Rx=r(x+l)。

所以：S凸台侧＝S大扇形－S小扇形
=πR(x+l)-πrx=πRx+πRl-πrx=πr(x+l)+πRl-πrx=π(R+r)l。

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