初中数学三角形旋转与极值问题

三角形旋转与极值问题
1.如图所示，AM=3，BM=2，连AB，以AB为边长作等边三角形ABC，连MC，求MC的最大值。

解析：将三角形AMC绕点A顺时针旋转60°，M’、M、B共线MC=M’B最大值为5
2.如图所示:AM=3,BM=5,连AB，以AB为边长作正方形ABCD，连DM，求DM的最大值。

解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8
3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外的一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是________,最大值是____________.
解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP，最小
值为22-2，P、O、E共线PE=OE+OP，最大值为22+2
4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB´、CC´、DD´，
①写出BB´、CC´、DD´的数量关系等式：并证明你的结论
②BB´+CC´+DD´的最大值是（）
③BB´+CC´+DD´的最小值是（）
解析：（1）如图△ADD’≌△BCN，DD’=BN=BB’+CC’
（2）P与B重合，BB´+CC´+DD´=2AD，最大值是2
（3）P与C重合，BB´+CC´+DD´=BD，最小值是2
5..在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰
直角三角形，AB=8，求SΔCAB最大值。

（有两种方法，）
解析：AB长一定，当CM=OM+OC时，S△CAB最大为32.故需将△AOB旋转到C、O、M共线。

6、如图所示：两个等腰直角三角形没有重叠的部分， OA=6，OC=4，
求 S ΔOBC+S ΔAOD 的最大值。

解析：△AOM ≌△BON ，∴S △AOD=S △BOC ，∴当BN=BO （如图）时， S △AOD+S △BOC 最大为24。

6、已知如图：AB=8，点M 是线段AB 上一动点，作两个等边ΔAME 和ΔBMF ，求线段EF 长度的最小值（要有步骤）
解析：如图分别过E 、F 作AB 的垂线，作FG 垂直于EC ，由EF ≥GF 知EF=FG 时，最小为 21AB=4.
7、已知如图：AB=8，点M是线段AB上一动点，作两个等腰RtΔAME和RtΔBMF，求线段EF长度的最小值（要有步骤）
解析：方法一：（作辅助线）同上题。

方法二（作辅助线）延长AE、BF交于N，作NK垂直于AB，EF=MN=NK时最小为4。