上海四校自招-数学华二卷解析
华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题
自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。
上海四校自招-数学交附卷解析
a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。
绝对精品 上海市答案-四校自招模拟题-数学卷
学而思高中部 胡晓晨老师
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足 1 4 1的数对 (x, y) _________________ xy
【解析】式子即 y 4x xy ，即 xy 4x y 0 ，即 xy 4x y 4 4
1 1 1 1 1 ，故 a 1 abc a
∴1 a 3 ∴a 2 则11 1
bc 2 1 1 1 1 ，故 b 2 2bc b 1 1 1 1 1 2 ，故 b 4 2bc bb b ∴2b 4 ∴b 3 ∴c 6 综上， a 2,b 3,c 6
即 (x 1)( y 4) 4
x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则
x 1 4 x 1 2 x 11
y
4
1
或
y
4
2
或
y
4
4
因此， (x, y) (5,5) 或 (3, 6) 或 (2,8)
【2】 x, y 是正整数，且 x y ，则满足 4xy 15(x y) 的数对 (x, y) 有_____________个 【解析】 4xy 15x 15y 0 ，即16xy 60x 60y 0 即16x 60x 60y 225 225 即 (4x 15)(4y 15) 225 225 32 52 ，则 225 1 225 375 5 45 9 25 1515 经检验，当 (4x 15, 4y 15) (1, 225) 或 (5, 45) 或 (9, 25) 时， x, y 有正整数解 因此满足题意的数对有 3 个
2018年上海华二附中自招数学试卷及详细答案
2018年华二附中自招数学试卷及解析1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为 【答案】40【解析】根据题意，将2x =代入到75212ax bx x x ++++有7522222128a b ⋅+⋅+++=-有752226a b ⋅+⋅=-，将2x =-代入到75212ax bx x x ++++有()()752222212261440a b -+-+-+=+=2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = 【答案】311-【解析】根据题意，122b x x a a +=-=-，121c x x a a⋅==+，()2221212122x x x x x x +=+- ()()22221624a a a a =--+=-+=，计算可得311a =±；根据原有式子2(2)10x a x a +-++=，()()22241850a a a a ∆=--+=-+≥，有411a ≥+或411a ≤-，综上有311a =-3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援 【答案】60°【解析】根据题意画出图形，可以注意到ABC 是一个等腰三角形，所以乙船应该朝北偏东60°方向沿直线前往救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x y x yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解【答案】2【解析】根据题意1x y x y x y y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有12y x -=，代入x yx y xy -+=，有22x y x y y y -++=；有1y =或22x y x y -+=+推出得11x y =⎧⎨=⎩或231333x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩有2组解 5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 【答案】25【解析】将a b c ++平方得()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++2222222222222222420a ab ac bc b c a b ab ac bc bc a b ab ac bc ≥+++++≥+++++=++++=有25a b c ++≥6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是 【答案】69y ≥【解析】根据题意有当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，244p p--≥-=，有8p ≤-，当x p =时22225569y p p p =-+=+≥7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是【答案】23【解析】根据题意易得G 、H 为AC 的三等分点，1166AGDCHDAGBBCHABCD SSSSS =====111212AGEBEGHFBFCHABCD SSSSS ===== 则阴影部分面积为11111212126663++++=8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC += 【答案】16 【解析】9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥， 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为【答案】2n k （k 为[1,2]n中的奇数） 【解析】10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是【答案】2 【解析】11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.【答案】108A =，135B =，180C =，117D =【解析】先设这4个数为1234,,,x x x x ，且它们的和能被234,,x x x ，另234x x x <<，则根据题意有：()()1234213421x x x x x x x x x N +++÷=+++÷=,N 为自然数，即()13421x x x x N ++÷=-，因为它们的首位数字相同，所以1N -应该在3附近，又因为234x x x <<，所以()13424x x x x ++÷=；12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.【答案】12【解析】2OP OA=，∴12 HC HBBC-=附录：无答案试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.。
2020年上海市上海中学自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年上海市上海中学自主招生数学模拟试卷一．填空题（共8小题，满分24分）1．（3分）已知a 2﹣a ＝0，则a−1a+2⋅a 2−4a −2a+1÷1a −1的值是 ．2．（3分）已知√a −17+2√17−a =b +8，则√a −b 的值是 ．3．（3分）如图，△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：①∠AFC ＝∠AFE ；②BF ＝DE ：③∠BFE ＝∠BAE ；④∠BFD ＝∠CAF ．其中正确的结论是 ．（填写所正确结论的序号）．4．（3分）方程mx 2+4x +2＝0有两个实根x 1，x 2，则实数m 的取值范围是 ；x 1+x 2＝ ；抛物线y ＝mx 2+4x +2的图象全在x 轴上方，且与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是 ．5．（3分）如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且OB ＝4，∠ABO ＝30°，一个半径为1的⊙C ，圆心C 从点（0，1）开始沿y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，⊙C 运动的距离是6．（3分）按图中程序计算，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x 的取值范围为 ．7．（3分）观察下面的一列数，按规律在横线上填上适当的数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32， ， ，……，第n 个数是 ．8．（3分）关于x 的不等式组{4a +3x ＞03a −4x ≥0恰好只有三个整数解，则a 的取值范围是 二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）9．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．（x ﹣1）（x ﹣2）＝x 2﹣3x +2B ．x 2﹣3x +2＝（x ﹣1）（x ﹣2）C ．x 2+4x +4＝x （x ﹣4）+4D ．x 2+y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）10．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，BC ＝6，△BCD 的面积为9，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．3B ．4.5C ．6D ．911．（3分）关于x 的一元二次方程x 2+√m x +n ＝0（m ≠0）有两个相等的实数根，则n m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．14D ．−1412．（3分）如图，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，…的顺序从1开始数数，当数到2020时，对应的手指是（ ）A ．食指B ．中指C ．无名指D ．小指三．解答题（共2小题）13．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝5√3，BC ＝8，CD ＝6，AD ＝5，试判断点A 、B 、C 、D 是否在同一个圆上，并证明你的结论．14．将一个正整数x 的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数（若x ＜10，则直接。
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知13z i =−，则z i −=________．2．已知集合251,2x A x x R x ⎧⎫+=<∈⎨⎬−⎩⎭，{}2,0,2B =−，则AB =________．3．已知1sin 23πx ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，那么cos 2x =________．4．已知二项式()5x a +的展开式中，2x 项的系数为80，则a =________．5．函数()f x =的定义域为________．6．关于排列组合的方程23n n n P C −=的解是________．7．已知函数()221x x af x =++的最小值为5，则实数a =________． 8．某种电气设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动，已知开关第一次闭合，闪红灯和绿灯的概率都是12，开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再次闪红灯的概率是13，闪绿灯的概率是23；若第一次闪绿灯，则再次闪红灯的概率是35，闪绿灯的概率是25，那么第二次闭合后闪红灯的概率是________．9．已知函数()2sin f x x =，()2cos 1g x k x =−，若对任意5,36ππt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在,63ππs ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，233ππB ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是________．11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．212．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．在平面上，到点(1,0)A 的距离等于到直线23x y +=的距离的动点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线14．已知函数()y f x =，x R ∈的导数是()y f x '=，那么“函数()y f x =在R 上严格单调递增”是()0f x '≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能16．已知函数2()x x f x xx ⎧=⎨⎩为无理数为有理数,则以下4个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =在[)0,+∞上是单调递增函数； ③函数()y f x =的值域为R ；④存在正有理数a ，使得函数()y f x a =−恰好有两个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点．（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，矩形ABCD 是文物展览厅的俯视图，点E 在边AB 上，在梯形BCDE 内展示文物，游客只能在△ADE 区域内参观，在AE 上点P 处安放可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE 上，6AD AE ==米，2AP =米，4πMPN ∠=，记EPM ∠=θ（弧度），监控可视区域△MPN 的面积为S ． （1）用θ表示线段PM 、PN 的长度；（2）求S 与θ的函数关系式，并求S 的最小值．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 已知函数()x f x =（1）求证：函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）设1nn i i S f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，数列{}n a满足4n S n a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，其中()()1111n n n n a b a a ++=++，若对任意*n N ∈均有n T <λ恒成立，求λ的最小值．520.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点． （1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程； （3）求四边形APBQ 面积的最小值．621.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数） （1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．7参考答案一、填空题1. 2.{}0,2−; 3.79−; 4.2; 5.10,2⎛⎤⎥⎝⎦; 6.8n =; 7.9; 8.715;9.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭; 10.22,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；11. 12.2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．【解析】设直线0bx ay −=交2MF 于点Q ,连接1MF ,由题意可知22MF b ==,由双曲线的定义可得12222,MF MF a b a O Q =−=−分别为122,F F MF 的中点,则1//MF OQ 因为2OQ MF ⊥,则12MF MF ⊥, 由勾股定理可得2221212MF MF F F +=, 即()222444,,2,c b a b c b a a b a a −+=∴−==∴==故，故答案为12．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________． 【答案】2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…【解析】()21,n a n d =+−由i j k a a a +=,得()()()212121,i d j d k d +−++−=+−()12,k i j d ∴−−+=8当10k i j −−+=时,()10k i j d −−+=,矛盾,10k i j ∴−−+≠,则21d k i j =−−+,,,i j k 都是正整数,1k i j ∴−−+为整数,且不等于0,对任意的不相等的两个正整数,i j ,都存在正整数k ,使得i j k a a a +=成立, 且()3,min i j +=∴当1,2i j ==时,121m k i j k =−−+=−−… ()210d m Z ,m ,m m∴=∈−≠… ∴公差d 的所有取值构成的集合是2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…,故答案为:2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠….二、选择题13.D 14.A 15.A 16.B15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】如图,在平面11ACC A 中过点P 作1PM PC ⊥交AC 于点M ,（当P 在1A 时M 恰为A 点，当P 在A 点时点M 也恰为A 点,满足点Q (即A)使得10PQ PC ⋅=), 在平面ABCD 中过M 作//EF BD ,连接,PE PF由正方体的性质可得1,BD AC AA ⊥⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥, 11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂平面11ACC A ,所以BD ⊥平面11ACC A ,1PC ⊂平面11ACC A ,所以1PC BD ⊥,所以1PC EF ⊥,,,EF PM M EF PM ⋂=⊂平面PEF ,所以1PC ⊥平面PEF ,9因为10PQ PC ⋅=,所以1PQ PC ⊥,又动点Q 在正方体表面上运动,所以Q 在PEF ∆的边上, 显然AE AF =,所以PE PF =,所以PEF ∆为等腰三角形,又90EPF ∠<,所以PEF ∆不可能为直角三角形或钝角三角形;故选:A .三．解答题17.（1）60 （218.（1）4,sin cos PM PN ==θ+θ（2）)min 835,0,;8144214S S π⎡⎤=θ∈−=⎢⎥π⎛⎫⎣⎦θ++ ⎪⎝⎭19.（1）证明略 （2）21720.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点． （1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程； （3）求四边形APBQ 面积的最小值．10【答案】（1）221:12x C y +=,2C :2212x y −=（2）12y x =−或12y x =;（3）2 【解析】(1)由题意可知:12e e ==所以12•e e ===解得:21b =, 故椭圆221:12x C y +=,双曲线2C :2212x y −= (2)由（1）知()110F ,−,因为直线AB 不垂直于y 轴,设直线AB 的方程为:1x my =−, 设点(1A x ,)()122,y B x ,y ,则()()1111221,1AF x ,y F B x ,y =−−−=+由113AF F B =,则123y y −=,即123y y =−,联立:22112x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩, 可得:()222210,m y my +−−=()()222442810,m m m ∆=++=+>由韦达定理可得1221222212m y y m y y m ⎪+⋅⎧⎪⎪⎨=−=+⎪⎩+，将123y y =−代入得:()222222132m y m y m −⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1m =±,当1m =时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =−,当1m =−时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫−− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =,所以直线PQ 的方程为12y x =−或12y x =;(3)设AB 的中点()00M x ,y ,由（2）可得)21AB m ==+22m +且000222,122m y x my m m −==−=++,点22222m M ,m m −⎛⎫ ⎪++⎝⎭2PQ OM m k k ==−,直线PQ 的方程为:2my x =−11联立22212m y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩可得:2222224,,20,22m x y m m m ==−>−−且由双曲线的对称性，不妨取点,P Q ⎛⎫⎛⎫所以点P 到直线AB 的距离为:21d ==点Q 到直线AB 的距离为:22d ==，21222m d d ++=所以四边形APBQ 的面积为()1212S AB d d =+===因为2022m <−…,所以当222m −=,即0m =时,四边形APBQ 的面积取最小值2. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数） （1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）2220x y ln −−=（2）12a −−（3）当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点 【解析】(1)当2a =−时,可得()2122f x x x lnx =+−,可得12()()()212'1x x f x x x x+−=+−=, 所以()'22f =且()2422f ln =−,所以切线方程为()()42222y ln x −−=−,即2220x y ln −−=,所以曲线()y f x =在点()()22,f 处的切线方程为2220x y ln −−= (2)由函数()()2112f x x a x alnx =−++,可得函数()f x 的定义域为()0,+∞, 又由()()()1'x a x f x x−−=,令()'0f x =,解得11,1x a x ==,当0a <时,()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数的极小值为()112f a =−−,也是函数()f x 的最小值, 所以当0a <时,函数()f x 的最小值为12a −−; (3)当0a =时,()212f x x x =−,令()0f x =,解得122,0x x ==(舍去) 所以函数()y f x =在()0,+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数()f x 在()0,a 单调递增,在()1a,上单调递减,此时函数()f x 的极大值为()210,2f a a a alna =−−+<所以函数()y f x =在()01,上没有零点;又由()1102f a =−−<且函数()f x 在()1,+∞上单调递增,且当x →+∞时,()f x →+∞,所以函数()f x 在()1,+∞上只有一个零点,13综上可得,当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点.。
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=． 【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=， 即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是． 【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是 ．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为． 【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<； 若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________． 【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________． 【答案】133t -≤≤-． 【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
上海四校自招-数学华二卷解析
a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部 胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式） 本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用 如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。
华二数学自主招生试题(13)---内部资料
数学自主招生试题（7）一 填空题1 坐标平面上有两个圆,A B ，圆心均为(3,7)-，若圆A 与x 轴相切，圆B 与y 轴相切，则圆A 和圆B 的面积比为______2 若实数,a b 满足2222114a b a b +=+，则20172018()()______b a a b-= 3 函数|1||2||3||4||5|y x x x x x =+++++++++，当______x =时，min ______y = 4 一副中国象棋红方棋子共有16个，将它们反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是______5 设a =，则32______a ++=6 三角形三边长为7,8,5a b c ===， 则(sin sin sin )(cot cot cot )______222A B C A B C ++++= 7 设[]x 为不大于x 的最大整数，集合21{|2[]3},{|28}8x A x x x B x =-==<<，则______A B =I8 方程6209350xy x y -++=的所有整数解为aa9 方程4230x x --+=的四个实根的平方和为______ 10 在三位数中，数字7恰好出现一次的共有______个二解答题11 设,,0a b c >，证明不等式(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+12 已知ABC V 的最短边为BC ，设,P Q 分别在线段,AB AC 上，使PCB BAC QBC ∠=∠=∠。
证明：ABC V 的外心与APQ V 的外心的连线垂直于BC13 求有序三元正整数组(,,)a b c 的个数，使得2()4abc a b c =+++14 对任意的实数[1,1]x ∈-，有2||1(0)ax bx c ac ++≤≠，求2()||x f cx bx a =++在[1,1]-的最大值。
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a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部 胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式） 本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用 如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。