实验2:函数的应用
实验2 多元函数积分学(基础实验)
项目三 多元函数微积分实验2 多元函数积分学(基础实验)实验目的掌握用Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.基本命令1. 计算重积分的命令lntegrate 和NIntegrate 例如,计算dydx xy x ⎰⎰102, 输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]则输出 151又如,计算dydx xy )sin(10102⎰⎰的近似值, 输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839注: Integrate 命令先对后边的变量积分.计算三重积分时,命令Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D 时,一定要把z 表示成r ,θ的函数. 例如,在直角坐标系中方 程22y x z +=是一旋转抛物面, 在柱坐标系中它的方程为2r z =. 因此,输入 CylindricalPlot3D[r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}] 则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形.3. 球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.命令SphericalPlot3D 的基本格式为SphericalPlot3D[r[],θϕ, {}],,{},,,2121θθθϕϕϕ其中r[],θϕ是曲面的球面坐标方程, 使用时一定要把球面坐标中的r 表示成ϕ、θ的函数. 例如,在球面坐标系中作出球面,22222=++z y x 输入Sphericalplot3D[2,{u,0,pi},|v,0,2,pi|,plotpoints->40]则在球面坐标系中作出了该球面的图形. 4. 向量的内积用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入 vecl={al,bl,cl} vec2={a2,b2,c2}则定义了两个三维向量, 再输入 vec1. vec2 则得到它们的内积a1a2+b1b2+c1c2实验举例计算重积分 例2.1 (教材 例2.1) 计算,2dxdy xy D⎰⎰其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.先作出区域D 的草图, 易直接确定积分限,且应先对x 积分, 因此, 输入 Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}] 则输出所求二重积分的计算结果.120193例2.2 (教材 例2.2) 计算,)(22dxdy e Dy x⎰⎰+- 其中D 为.122≤+y x如果用直角坐标计算, 输入Clear[f,r];f[x,y]=Exp [-(x^2+y^2)];Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]则输出为dx x 1Erf e 211x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⎰--其中Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难.如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出所求二重积分的计算结果eπ-π 如果输入NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出积分的近似值1.98587例2.3 (教材 例2.3) 计算dxdydz z y x)(22++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω由曲面222y x z --=与22y=围成.xz+先作出区域Ω的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th], Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}]g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}]Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]则分别输出三个图形(图2.1(a), (b), (c)).考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}] 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r,{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-15281252 如果用球面坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-321662551这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用例2.4 求由曲面()y x y x f --=1,与()222,y x y x g --=所围成的空间区域Ω的体积.输入Clear[f,g];f[x_,y_]=1-x -y;g[x_,y_]=2-x^2-y^2;Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Show[%,%%]一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.首先观察到Ω的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到Oxy 平面上输入 jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y] 得到输出 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→22445121,445121x x y x x y为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx[[1,1,2]] y2=jx[[2,1,2]] 输出为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2445121x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2445121x x再输入tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity]; Show[tu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction-> $DisplayFunction]输出为图2.2, 由此可见,1y 是下半圆(虚线),2y 是上半圆,因此投影区域是一个圆.设21y y =的解为1x 与2x ,则21,x x 为x 的积分限. 输入 xvals=Solve[y1==y2,x]输出为 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→6121,6121x x 为了取出21,x x , 输入x1=xvals[[1,1,2]]x2=xvals[[2,1,2]]输出为()6121- ()6121+ 这时可以作最后的计算了. 输入V olume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]//Simplify 输出结果为 89π例2.5 (教材 例2.4) 求旋转抛物面224y x z --=在Oxy 平面上部的面积.S 先调用软件包, 输入<<Graphics`ParametricPlot3D` 再输入CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2 Pi}] 则输出图2.3.利用计算曲面面积的公式⎰⎰++=xyD y z dxdy z z S 221, 输入Clear[z,z1];z=4-x^2-y^2;z=Sqrt[D[z,x]^2+D[z,y]^2+1]输出为22441y x ++, 因此,利用极坐标计算. 再输入z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}]; Integrate[z1*r,{t,0,2 Pi},{r,0,2}]//Simplify则输出所求曲面的面积()π1717161+-例2.6 在Oxz 平面内有一个半径为2的圆, 它与z 轴在原点O 相切, 求它绕z 轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是,422x z x =+它绕z 轴旋转所得的圆环面的方程为)(16)(222222y x z y x +=++,所以圆环面的球坐标方程是.sin 4φ=r 输入SphericalPlot3D[4 Sin[t],{t,0,Pi},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,ViewPoint->{4.0,0.54,2.0}]输出为图2.4.图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入 Integrate[r^2*Sin[t],{s,0,2 Pi},{t,0,Pi},{r,0,4 Sin[t]}] 得到这个旋转体的体积为216π计算曲线积分例2.7 (教材 例2.5) 求⎰Lds z y x f ),,(, 其中(),10301,,2y x z y x f ++=积分路径为L :,3,,22t z t y t x ===.20≤≤y注意到,弧长微元dt z y x ds t t t 222++=, 将曲线积分化为定积分,输入 Clear[x,y,z];luj={t,t^2,3t^2}; D[luj,t]则输出z y x ,,对t 的导数 }6,2,1{t t再输入ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];Integrate[(Sqrt[1+30 x^2+10y]/.{x->t, y->t^2,z->3t^2})*ds,{t,0,2}]则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求dr F L.⎰, 其中.20,sin cos 2)(,)2(356π≤≤+=++=t tj ti t r j xy x i xy F输入vecf={x*y^6,3x*(x*y^5+2)};vecr={2*Cos[t],Sin[t]};Integrate[(vecf.D[vecr,t])/.{x->2Cos[t],y->Sin[t]}, {t,0,2 Pi}]则输出所求积分的结果12π例2.9 求锥面0,222≥=+z z y x 与柱面x y x =+22的交线的长度.先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v], Sin[u]*Sin[v], Sin[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],z}, {t,0,2Pi},{z,0,1.2}, DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,ViewPoint->{1,-1,2},DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.5.输入直接作曲线的命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],Cos[t]},{t,-Pi/2,Pi/2}, ViewPoint->{1,-1,2},Ticks->False]输出为图2.6.为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为x y x =+22, 它可以化成t x 2cos =,,sin cos t t y =再代入锥面方程222z y x =+, 得[]().2/,2/cos ππ=∈=t t z因为空间曲线的弧长的计算公式是()()()⎰'+'+'=21222t t dt t z t y t x s ,因此输入Clear[x,y,z]; x=Cos[t]^2; y=Cos[t]*Sin[t]; z=Cos[t]; qx={x,y,z};Integrate[Sqrt[D[qx,t]. D[qx,t]]//Simplify, {t,-Pi/2,Pi/2}]输出为 2Elliptice[-1]这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %//N 输出为3.8202计算曲面积分例2.10 (教材 例2.7) 计算曲面积分⎰⎰∑++dS zx yz xy )(, 其中∑为锥面22y x z +=被柱面x y x 222=+所截得的有限部分.注意到,面积微元dxdy z z dS y x 221++=, 投影曲线x y x 222=+的极坐标方程为,22,cos 2ππ≤≤-=t t r将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入Clear[f,g,r,t];f[x_,y_,z_]=x*y+y*z+z*x; g[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2];mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify; Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{x->r*Cos[t],y->r* Sin[t]})*r,{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]则输出所求曲面积分的计算结果15264例2.11 计算曲面积分,333dxdy z dzdx y dydz x ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a x y x =++的外侧.可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分⎰⎰∑nds A .. 这里{}{}a z y x n z y x A /,,,,,333==. 因为球坐标的体积元素,sin 2θϕϕd drd r dv =注意到在球面∑上a r =, 取1=dr 后得到面积元素的表示式:().20,0sin 2πθπϕθϕθ≤≤≤≤=d d a ds把对面积的曲面即直接化作对θϕ,的二重积分. 输入Clear[A,fa,ds]; A={x^3,y^3,z^3}; fa={x,y,z}/a; ds=a^2*Sin[u];Integrate[(A.fa/.{x->a*Sin[u]*Cos[v],y->a*Sin[u]*Sin[v], z->a*Cos[u]})*ds//Simplify,{u,0,Pi}, {v,0,2Pi}]输出为855122πa如果用高斯公式计算, 则化为三重积分()d v z y x ⎰⎰⎰Ω++2223, 其中Ω为2222a z y x ≤++.采用球坐标计算, 输入<<Calculus`VectorAnalysis` 执行后再输入SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]; (*设定坐标系*) diva=Div[A]; (*求向量场的散度*)Integrate[(diva/.{x->r*Sin[u]*Cos[v],y->r*Sin [u]*Sin[v],z->r*Cos[u]})*r^2Sin[u],{v,0,2Pi}, {u,0,Pi},{r,0,a}]输出结果相同.实验习题 1. 计算⎰⎰-6/02/0.sin sin ππydydx x x y2. 计算下列积分的近似值: (1)();cos 022dydx y x ⎰⎰-ππ(2)().sin 1010dydx e xy ⎰⎰3. 计算下列积分 (1)();23012dydzdx z y e x x z xz x -⎰⎰⎰+- (2)⎰⎰1010.)arctan(dydx xy4. 交换积分次序并计算下列积分 (1)()d ydx y x x⎰⎰30922cos . (2) .20422dxdy e yx ⎰⎰5. 用极坐标计算下列积分: (1) ;10122dydx y x yx ⎰⎰+ (2) .13/3/22dxdy yx y y y ⎰⎰-+6. 用适当方法计算下列积分:(1)(),2/3222dv zy x z⎰⎰⎰Ω++ 其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成;(2),)(224dv z y x++⎰⎰⎰Ω其中Ω是.1222≤++z y x7. 求()ds z y x f L⎰,,的近似值. 其中(),51,,33y x z y x f ++=,路径L :3/,2t y t x ==,.20,≤≤=t t z8. 求⎰L dr F ., 其中().0,sin cos ,121322π≤≤+=+++=t tj ti t r j y i x F 9. 用柱面坐标作图命令作出xy z =被柱面122=+y x 所围部分的图形,并求出其面积.86 10. 求曲面积分,22zdxdy y x⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的下半部分的下侧.11. 求曲面积分⎰⎰∑++zdS y x ,其中∑为球面2222a z y x=++上)0(a h z <<≥的部分.。
《4.5 函数的应用(二)》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
第五章函数的应用(二)4.5.3 函数模型的应用本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本(A版)》的第五章的4.5.3函数模型的应用。
函数模型及其应用是中学重要内容之一,又是数学与生活实践相互衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系,因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置,又有重要的现实意义。
本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题,并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
课程目标学科素养1. 能建立函数模型解决实际问题.2.了解拟合函数模型并解决实际问题.3.通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提高学生数学建模,数据分析的能力.a.数学抽象:由实际问题建立函数模型;b.逻辑推理:选择合适的函数模型;c.数学运算:运用函数模型解决实际问题;d.直观想象:运用函数图像分析问题;e.数学建模:由实际问题建立函模型;f.数据分析:通过数据分析对应的函数模型;教学重点:利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.教学难点:利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题,并对给定的函数模型进行简单的分析评价.多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标(一)创设问题情境1.常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)(2)二次函数模拟y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(3)指数函数模型y=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) (4)对数函数模型y=m log a x+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)(5)幂函数模型y=ax n+b(a,b为常数,a≠0)2.建立函数模型解决问题的基本过程(二)问题探究我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?通过对常见函数模型的回顾,提出新的问题,提出运用函数模型分析解决实际问题,培养和发展数据分析、数学建模和数学抽象、直观想象的核心素养。
Excel实验2 函数、公式及格式设置
=Excel实验2 函数、公式及格式设置操作要求:对文档“Exceltext2.xls”进行如下操作:1.设置B列列宽为“最适合的列宽”;设置C列列宽:8.2。
2.在C2单元格输入标题“ABC电气有限公司利润表”,将B2:H2设置为合并居中,字体为楷体,加粗,大小18磅,颜色为蓝色,加下划线。
3.将B3:H3设置为合并居中,日期格式设置为如图1所示的类型,字体为宋体,倾斜,大小12磅,颜色为蓝色,该行行高:20。
4.将B11和C11单元格合并,B12和C12单元格合并,B13和C13单元格合并。
5.设置G5:H10区域的数据为右对齐、垂直居中,其它单元格内容为水平居中、垂直居中。
6.将标题和日期用灰色-25%填充,B4:H4填充为浅青绿色,B11:H13填充为浅黄色。
7.按图1所示设置表格边框线,其中外边框为最粗实线,内部为最细实线及双线(如下面图所示),颜色为深绿。
8.取消网格线显示。
9.用公式计算一月份的总利润。
10.用函数计算二、三月份的总利润。
11.用公式计算一月份的平均利润。
12.用函数计算二、三月份的平均利润。
13.用函数计算各月的最大利润。
14.计算比例1,比例1的计算公式为:各分厂三月份利润占本分厂第一季度利润的比例。
15.计算比例2,比例2的计算公式为:各分厂三月份利润占所属分公司第一季度利润的比例。
16.各分厂的月利润使用千位分隔符,并且负数以红色显示。
17.所有比例采用百分比格式,保留两位小数。
18.给各最大利润、平均利润和总利润加上人民币符号“¥”并保留一位小数。
19.将表格中所有数字设置为“Arial”字体,大小:11磅。
20.除标题、日期和数字外的其它文字设置为宋体,13磅。
21.将Sheet1复制一份到工作簿的最后,并换名为“第一季度利润表”。
22.完成以上1~21题后,将Exceltext2.doc存盘关闭,并复制到自己的文件夹中,再将该文件夹提交到教师机。
其内容应如下所示:参考解答:1.选中B列(单击列号“B”),选择“格式”→“列”菜单中的“最适合的列宽”;选中B列(单击列号“B”),选择“格式”→“列”菜单中的“列宽”,输入8.2,单击“确定”按钮即可。
2021最新版二次函数的实际应用:建模问题
二次函数的实际应用:建模问题一、球类、跳水、喷泉问题这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式:1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。
篮球问题会考察“球是否入篮”,即看篮筐所在点是否在抛物线上;“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低;羽毛球涉及过网越界问题,即计算在过网位置纵坐标比网高还是低,越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。
2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范,同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。
3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径,需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。
1、如图,羽毛球运动员甲站在点 O 处练习发球,将球从 O 点正上方23m 的 P 处发出,把球勘察点,其运行路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点时,其高度为617m ,离甲站立地点 O 的水平距离为 4m ,球网 BA 离 O 点的水平距离为 5m ,以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系,乙站立地点 C 的坐标为(m ,0)①求出抛物线的解析式;(不写自变量的取值范围)②求排球落地点N 离球网的水平距离; ③乙原地起跳可接球的最大高度为49米,若乙因为接球高度不够而失球,求 m 的取值范围.2、某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 332米,入水处距池边的距离为 4 米,运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水姿势,否则就会出现失误. ①求这条抛物线的解析式.②在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线,且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3.6 米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.3、如图所示,公园要建造圆形的喷水池,水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ,O 恰在水面中心,OA=1.25m ,由柱子顶端 A 处喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m . ①若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不能落到池外?②若水流喷出的抛物线形状与①相同,水池的半径为 3.5m ,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米?4、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,已知球在 A 处出手时离地面920m ,与篮筐中心C 的水平距离为 7m ,当球运行的水平距离是 4m 时,达到最大高度 4m (B 处),篮筐距地面 3m ,篮球运行的路线为抛物线(如图所示).①建立适当的平面直角坐标系,并求出抛物线的解析式;②判断此球能否投中?5、如图,小区中央公园要修建一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA ,O 恰好在水面的中心,OA=1.25 米.由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计水流在离OA 距离为 1 米处达到距水面的最大高度 2.25 米.①建立适当的平面直角坐标系,使A 点的坐标为(0,1.25),水流的最高点的坐标为(1,2.25),求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式(不要求写取值范围);②若不计其他因素,则水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外? ③若水流喷出的抛物线形状与①相同,水池半径为 3.5 米,要使水流不落到池外,此时水流距水面的最大高度就达到多少米?6、如图,足球上守门员在O 处开出一高球.球从离地面 1米的A 处飞出(A 在 y 轴上),把球看成点.其运行的高度y (单位:m )与运行的水平距离 x (单位:m )满足关系式h x a y +-=2)6((1)①当此球开出后.飞行的最高点距离地面 4 米时.求y 与 x 满足的关系式.②在①的情况下,足球落地点 C 距守门员多少米?(取734≈)③如图所示,若在①的情况下,求落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.求:站在距离O 点 6 米的 B 处的球员甲要抢到第二个落点 D 处的球.他应再向前跑多少米?(取562≈)(2)球员乙升高为 1.75 米.在距 O 点 11 米的H 处.试图原地跃起用头拦截.守门员调整开球高度.若保证足球下落至 H 正上方时低于球员乙的身高.同时落地点在距 O 点 15 米之内.求 h 的取值范围.7、如图,一位篮球运动员甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮,球的运行线路为抛物线, 当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度为 3.5 米,然后准确地落入篮筐,已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米,该运动员的身高为 1.8 米.在这次投篮中,球在该运动员的头顶上方 0.25 米处出手,则当球出手时,该运动员离地面的高度为________米.运动员乙跳离地面时,最高能摸到 3.3 米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球?二、隧道、过桥问题隧道、过桥问题通常采用的是y=ax2+c 的形式,通常考察的是车或者船是否能够通过,考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学《二次函数的应用》教案 2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能:通过本节学习,巩固二次函数y=ax2+bx+c〔a0〕的图象与性质,理解顶点与最值的关系,会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大〔小〕值发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想,函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯,体会体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题,重在通过学习总结解决问题的方法,故而本节课以〝启发探究式〞为主线开展教学活动,解决问题以学生动手动脑探究为主,必要时加以小组合作讨论,充分调动学生学习积极性和主动性,突出学生的主体地位,达到〝不但使学生学会,而且使学生会学〞的目的。
为了提高课堂效率,展示学生的学习效果,适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路:最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一,它生活背景丰富,学生比较感兴趣,对九年级学生来说,在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后,对函数的思想已有初步认识,对分析问题的方法已会初步模仿,能识别图象的增减性和最值,但在变量超过两个的实际问题中,还不能熟练地应用知识解决问题,而面积问题学生易于理解和接受,故而在这儿作此调整,为求解最大利润等问题奠定基础。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型,解决实际问题的能力,这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题,学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题,此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸,又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式,它的形式为:y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中,二次函数可以用于解决各种问题,包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例,以展示二次函数的实际应用。
案例一:物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体,忽略空气阻力,我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H,加速度为g,时间为t。
根据物理定律,物体的高度可以表示为:h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度,并可以用于预测物体何时落地。
案例二:销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品,销售价格为p(单位:元),销售量为q(单位:件)。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为:R(p) = -ap^2 + bp + c,其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法,确定最佳售价,以使得销售收入最大化。
案例三:桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中,常常需要确定桥梁的弧线形状,以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx,其中x表示桥梁长度的一半,y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b,可以得到不同形状的弧线,以满足设计要求。
案例四:市场需求和价格关系分析在经济学中,二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D,价格为p。
根据经济理论,市场需求可以表示为:D(p) = ap^2 + bp + c,其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法,可以研究市场需求和价格之间的关系,得出不同价格下的市场需求量。
综上所述,二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型,我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
4.5 函数的应用(二) 教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)必修一
单元教学设计:4.5 函数的应用(二)一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解;用二分法求方程的近似解;函数模型在实际问题中的应用.2.内容解析“函数的应用(二)”是在第三章“函数的应用(一)”的基础上,从两个方面介绍函数的应用.一是数学学科内部的应用,利用所学过的函数研究一般方程的解;二是实际应用,建立实际问题的函数模型,并通过函数模型反映实际问题的变化规律,从而分析和解决实际问题.通过“函数的应用(二)”,使学生进一步理解指数函数和对数函数,学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.基于以上分析,确定本单元教学的重点:函数零点与方程解的关系,函数零点存在定理的应用,用二分法求方程近似解的思路与步骤,用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象,了解函数零点存在定理.(2)结合具体连续函数及其图象的特点,探索用二分法求方程近似解的思路与步骤.(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.目标解析达成上述目标的标志是:(1)结合二次函数的图象,进一步了解函数的零点与方程解的关系,并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点.(2)结合具体连续函数及其图象的特点,探索用二分法求方程近似解的思路,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想.(3)结合现实情境中的具体问题,能利用已知函数模型解决实际问题.通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义,会选择合适的函数模型解决实际问题.三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中,学生从具体的函数图象概括出一般化的特征,并用取值规律这一代数形式来表达,这种从形到数的转化是学生思维的障碍.在二分法教学中,从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易,但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点.在函数模型的应用教学中,利用已知函数模型解决实际问题容易操作,但选择合适的函数模型解决实际问题,需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解,并且需要符合实际问题中的条件限制.结合以上分析确定本节课的教学难点:函数零点存在定理的导出,用二分法求方程近似解的算法,选择恰当的函数模型分析和解决实际问题.四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考:我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点,像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程,是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢?(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x (),我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点. 这样,函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解,也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点.由此可知,求方程=0f x ()的实数解,就是确定函数=y f x ()的零点.对于不能用公式求解的方程=0f x (),我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解.(三) 零点存在定理的导出探究:对于二次函数2=23f x x x --(),观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象,发现它在区间24[,]上有零点.这时,函数图象与x 轴有什么关系?在区间20-[,]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系?可以发现,在零点附近,函数图象是连续不断的,并且“穿过”x 轴.函数在端点=2x 和=4x 的取值异号,即240f f ()()<,函数2=23f x x x --()在区间24(,)内有零点=3x ,它是方程223=0x x --的一个根.同样地,200f f -()()<,函数2=23f x x x --()在20-(,)内有零点=1x -,它是方程223=0x x --的另一个根.一般地,我们有:函数零点存在定理:如果函数=y f x ()在区间a b [,]上的图象是一条连续不断的曲线,且有0f a f b ()()<,那么,函数=y f x ()在区间a b (,)内至少有一个零点,即存在c a b ∈(,),使得=0f c (),这个c 也就是方程=0f x ()的解.问题1:条件“连续不断”可以去掉吗?师生活动:学生画出反例,教师强调,图象间断了,虽然函数值异号,仍然没有零点.所以我们要求函数图象连续不断.追问:反之成立吗?即如果函数=y f x ()在区间a b (,)内存在零点,是否有0f a f b ()()<?师生活动:学生举例说明,教师强调,“连续不断”和“0f a f b ()()<”是“函数存在零点的”充分条件,而非必要条件. 设计意图:让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件.(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数.分析:可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表,为观察、判断零点所在区间提供帮助.解:设函数=ln 26f x x x +-(),列出函数=y f x ()的对应值表.根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()<,3=ln 30f ()>,则230f f ()()<. 由函数零点存在定理可知,函数=ln 26f x x x +-()在区间23(,)内至少有一个零点. 再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象,我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数,f x ()在区间23(,)内只有一个零点.问题2:为什么由230f f ()()<还不能说明函数f x ()? 师生活动:学生举例说明已知0f a fb ()()<,函数在区间a b (,)内可能存在多个零点.追问1:在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点?师生活动:如果函数具有单调性,就能保证只有一个零点. 由此我们得出函数零点存在定理的推论:若=y f x ()在区间a b [,]上是单调函数,其图象是一条连续不断的曲线,且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()<,则函数=y f x ()在区间a b (,)内有且仅有一个零点,即存在唯一的c a b ∈(,),使得=0f c ().事实上,=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(,)上都是增函数,所以=ln 26f x x x +-(),0x ∈+∞(,)是增函数.所以它只有一个零点,即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解.追问2:你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗? 师生活动:120x x ∀∈+∞,(,),且12x x <,有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-().因为120x x <<,所以1201x x <<,所以12ln0x x <,又因为120x x -<,于是1122ln20x x x x +-()<,即12f x f x ()<(). 所以,函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(,)上单调递增.设计意图:让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点,但不能断定函数无零点或零点个数,如果要判断零点的个数,还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合.4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道,函数=ln 26f x x x +-()在区间23(,)内存在一个零点.进一步的问题是,如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢?(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.,可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.. 一个直观的想法是:如果能将零点所在的区间尽量缩小,直到区间长度小于等于01.,那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围.取区间23(,)的中点25.,用计算工具算得250084f ≈-(.)..因为2530f f (.)()<,所以零点在区间253(.,)内,区间长度为0.5.再取区间253(.,)的中点275.,用计算工具算得2750512f ≈(.)..因为252750f f (.)(.)<,所以零点在区间25275(.,.)内,区间长度为0.25.由于23(,) 253(.,) 25275(.,.),所以零点所在的范围变小了. 如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小.零点所在区间 区间长度 中点的值 中点的函数值23(,) 125. 0084-. 253(.,) 05. 275. 0512. 25275(.,.) 025. 2625. 0215. 252625(.,.) 0125.25625 .0066.2525625 (.,.)00625 .……这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间.因为区间2525625 (.,.)的长度为00625.,所以区间2525625 (.,.)内任意一点都可以作为零点的近似值,为了方便,我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值,也即方程ln 260x x +-=的近似解.2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法,我们来看二分法的定义:对于在区间a b [,]上图象连续不断且0f a f b ()()<的函数=y f x (),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下:给定精确度ε,用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤: 1.确定零点0x 的初始区间a b [,],验证0f a f b ()()<. 2.求区间a b (,)的中点c .3.计算f c (),并进一步确定零点所在的区间:(1)若=0f c ()(此时0=x c ),则c 就是函数的零点; (2)若0f a f c ()()<(此时0x a c ∈(,)),则令=b c ; (3)若0f c f b ()()<(此时0x c b ∈(,)),则令=a c . 4.判断是否达到精确度ε:若|a b ε-|<,则得到零点近似值a (或b );否则重复步骤2~4.(四) 二分法的应用例2 借助信息技术,用二分法求方程237xx +=的近似解(精确度为0.1)解:原方程即237=0xx -+,令=237xf x x -+(),用信息技术画出函数=y f x ()的图象,结合计算容易发现120f f ()()<,说明该函数在区间12(,)内存在零点0x .-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(,)的中点1=15x .,用信息技术算得15033f ≈(.)..因为1150f f ()(.)<,所以0115x ∈(,.).再取区间115(,.)的中点2=125x .,用信息技术算得125087f ≈-(.)..因为125150f f (.)(.)<,所以012515x ∈(.,.).同理可得,0137515x ∈(.,.),0137514375 x ∈(.,.). 由于137514375|=0062501 -|...<., 所以,原方程的近似解可取为1375..问题3:如果精确度改为0.01?0.001?0.000 1?怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢?师生活动:我们从二分法中提炼出了算法思想,借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来,具体来看:我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ,b ,区间中点c ,函数值f a (),f c (),f b ()和区间长度b a -,首先,我们输入初始区间12(,),然后,我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入,公式在编辑栏可见.对于单元格B4,我们利用Excel 的内置函数If 语句,它实现的功能是,如果0f a f c ()()<,则区间的左端点就是a ,否则是c ,同样,对于单元格C4,如果0f a f c ()()<,则区间的右端点就是c ,否则是b .接下来,我们选中单元格D3到H3,将鼠标移到单元格的右下角,鼠标指针变成十字形状,按住鼠标向下拖动一行,即可实现对单元格D4到H4的自动填充,更进一步的,我们选中单元格B4到H4,重复相同的操作,可以实现对以下若干行的自动填充.我们可以根据题目精确度的要求,选择拖动到哪一行结束.这个问题的解决让我们体会到,对于人工运算很耗时耗力的问题,如果借助于计算机,可以瞬间完成,既省时省力,又准确无误,可见,工具的选择和使用至关重要.设计意图:让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值.4.5.3 函数模型的应用引言:以上,我们学习了函数在数学内部的应用,接下来我们学习函数模型的实际应用. (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇,1936年首次发现.这里的巨型城址,面积近630万平方米,包括古城、水坝和多处高等级建筑.2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,于是推测古城存在时期为公元前3300年~前2500年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?在前面的学习中,我们得到了一个预备知识,注释:当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减(p 称为衰减率),并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(,010 k p x ≠且0;<<;≥),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.分析:首先,我们需要求出函数关系中的参数p ,明确函数解析式.然后,把0.552k 作为函数值代入解析式,求出死亡年数.解:根据已知条件,573011=2k p k -(),从而51=p -,所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (.由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知,5=552xk (.%k ,即 5=0552x(..解得5=log552x ..由计算工具得 4 912x ≈.因为2010年之前的4 912年是公元前2903年,所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的.设计意图:培养学生阅读理解的能力,培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力. (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中,有的能应用已知的函数模型解决,有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.例4 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?问题1:你能根据对三种投资回报的描述,建立三种投资方案所对应的函数模型吗?师生活动: 设第x 天所得回报是y 元,则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述;方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述;方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述.设计意图:培养学生把实际问题数学化的意识和能力.问题2:要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析.怎样借助已有函数模型,分析解决当前的问题?师生活动:首先我们可以画出三个函数的图象.通过图象我们直观地看到,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但是增长情况并不精确,不能体现投资收益与投资期限之间的关系.接下来,我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况.x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格,我们可以发现,每天的回报数,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多.但是,这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系.接下来,我们再看累计的回报数,=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3:根据以上对函数模型增长情况的分析,我们该如何选择投资方案呢?师生活动:教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准.投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资8~10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.设计意图:使学生认识到要作出正确选择,除了考虑每天的收益外,还要考虑一段时间内累计的回报.通过以上三种呈现方式可知,尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的.由此,我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义.接下来,我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程:首先,我们要把实际问题化归为函数模型,经过运算和推理求出函数模型的解,然后,用数学问题的解来解释说明实际问题,使实际问题得以解决。
函数调用程序实验报告
一、实验目的1. 理解函数的定义和调用过程。
2. 掌握函数参数的传递方式。
3. 学习如何使用函数实现代码的模块化。
4. 提高编程能力和逻辑思维能力。
二、实验环境1. 操作系统:Windows 102. 编程语言:Python3.83. 开发工具:PyCharm三、实验内容本次实验主要围绕函数的定义、调用和参数传递展开,具体实验内容包括:1. 定义和调用函数2. 函数参数的传递3. 递归函数的应用四、实验步骤1. 定义和调用函数(1)编写一个简单的函数,用于计算两个数的和。
```pythondef sum_of_two_numbers(a, b):return a + b# 调用函数result = sum_of_two_numbers(3, 5)print("The sum of two numbers is:", result)```(2)编写一个函数,用于计算一个数的阶乘。
```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n factorial(n - 1)# 调用函数result = factorial(5)print("The factorial of 5 is:", result)```2. 函数参数的传递(1)使用默认参数传递函数。
```pythondef print_message(message="Hello, world!"): print(message)# 调用函数print_message()print_message("This is a custom message.") ```(2)使用可变参数传递函数。
```pythondef print_numbers(args):for num in args:print(num)# 调用函数print_numbers(1, 2, 3, 4, 5)```3. 递归函数的应用编写一个递归函数,用于计算斐波那契数列的前n项。
二次函数在生物学中的实验设计
二次函数在生物学中的实验设计引言:二次函数在数学中具有重要的应用价值,而其在生物学领域的实验设计中也起到了关键作用。
通过合理的实验设计,我们可以通过二次函数模型来研究和解释生物学现象。
本文将介绍二次函数在生物学中的实验设计,并探讨其应用的重要性及效果。
一、实验目的和背景生物学中的实验设计常常需要研究生物体的生长、发育和反应过程。
而二次函数作为一种特殊的函数形式,可以很好地模拟和表达这些生物学现象。
通过合理设计实验,我们可以利用二次函数模型来分析生物体的生态适应性、种群数量变化、激素分泌等重要问题。
以植物生长实验为例,我们可以通过测量植物的高度和时间的关系来建立二次函数模型。
通过研究二次函数的参数和曲线的性态,我们可以得出植物的生长速率、生长阶段和极值等重要信息,从而深入了解植物的生长规律。
二、实验设计步骤1. 确定实验变量:在实验设计中,我们需要确定自变量和因变量。
以植物生长实验为例,自变量可以是时间的变化,而因变量可以是植物的高度。
2. 采集数据:根据已确定的实验变量,我们需要采集一系列数据来建立二次函数模型。
在植物生长实验中,可以每隔一段时间测量一次植物的高度,并记录下相应的时间和高度数值。
3. 数据处理:通过采集到的数据,我们可以绘制出植物高度和时间的散点图,并通过回归分析等方法得到二次函数模型的参数。
同时,可以使用计算机软件进行数据处理和模型拟合。
4. 分析结果:通过得到的二次函数模型,我们可以分析植物的生长速率和生长特点。
例如,当二次函数模型的二次项系数大于0时,表示植物的生长速率在逐渐加速;当二次项系数小于0时,表示植物的生长速率在逐渐减速。
此外,通过二次函数的极值点,我们可以判断植物的生长阶段。
5. 结论和讨论:根据分析结果,我们可以得出关于植物生长的结论,并进行进一步的讨论。
例如,我们可以研究不同环境因素对植物生长的影响,比较不同植物品种的生长速率等。
三、实验示例:植物生长实验以豌豆为对象,通过植物生长实验来说明二次函数在生物学中的应用。
专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人
专题第02讲二次函数的实际应用(30题)1.(2022秋•泰兴市期末)一水果店售卖一种水果,以8元/千克的价格进货,经过往年销售经验可知:以12元/千克售卖,每天可卖60千克;若每千克涨价0.5元,每天要少卖2千克;若每千克降价0.5元,每天要多卖2千克,但不低于成本价.设该商品的价格为x元/千克时,一天销售总质量为y千克.(1)求y与x的函数关系式.(2)若水果店货源充足,每天以固定价格x元/千克销售(x≥8),试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式,并求出当x为何值时,利润达到最大.2.(2023•朝阳)某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示:销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件(1)直接写出y与x之间的函数关系式;(2)若该超市每天销售这种文具获利192元,则销售单价为多少元?(3)设销售这种文具每天获利w(元),当销售单价为多少元时,每天获利最大?最大利润是多少元?3.(2023•海淀区校级开学)电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图,在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱,每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米(AB =CD=27米),以过点A的水平线为x轴,水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系,如图所示.经测量,AO=40米,斜坡高度12米(即B、D两点的铅直高度差).结合上面信息,回答问题:(1)若以1米为一个单位长度,则D点坐标为,下垂电缆的抛物线表达式为.(2)若电缆下垂的安全高度是13.5米,即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时,符合安全要求,否则存在安全隐患.(说明:直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长),请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求?请说明理由.4.(2023春•江岸区校级月考)如图,在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置,喷水头(视为点A)的高度(喷水头距喷水装置底部的距离)是1.8米,自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线.当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时,达到最大高度5米.以点O为原点,自动喷水装置所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM,MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米.①记水流的高度为y1,斜坡的高度为y2,求y1﹣y2的最大值(斜坡可视作直线OM);②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N,直接写出自动喷水装置应向后平移(即抛物线向左)多少米?5.(2023•武汉模拟)如图,灌溉车为绿化带浇水,喷水口H离地竖直高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离OD为d(单位:m).(1)求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,直接写出d的取值范围.6.(2022秋•华容区期末)农户销售某农产品,经市场调查发现:若售价为6元/千克,日销售量为40千克,若售价每提高1元/千克,日销售量就减少2千克.现设售价为x元/千克(x≥6且为正整数).(1)若某日销售量为24千克,求该日产品的单价;(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克.设每日销售额为w元,求w关于x的函数表达式,并求w的最大值和最小值;(3)市政府每日给农户补贴a元后(a为正整数),发现最大日收入(日收入=销售额+政府补贴)还是不超过450元,并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元,请直接写出所有符合题意的a的值.7.(2023春•蔡甸区月考)如图,抛物线AB,AC是某喷水器喷出的水抽象而成,抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到,把汽车横截面抽象为矩形DEFG,其中DE=米,DG=2米,OA=h米,抛物线AC表达式为y=a(x﹣2)2+h+,h=,且点A,B,D,G,C均在坐标轴上.(1)求抛物线AC表达式.(2)求点B的坐标.(3)要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车,记OD长为d米,直接写出d的取值范围.8.(2022秋•华容区期末)如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y 轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高.球第一次落地点后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.(2)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取,)9.(2023•淮安一模)某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?10.(2023•盘锦)某工厂生产一种产品,经市场调查发现,该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系,部分数据如表:每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…(1)求y与x的函数关系式(不写自变量的取值范围).(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件,利润为450万元.①求:三月份每件产品的成本是多少万元?②四月份工厂为了降低成本,提高产品质量,投资了450万元改进设备和革新技术,使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元,且不高于30万元,求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式,并求最少利润是多少万元.11.(2023春•江都区月考)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系;线段CD表示该产品销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系,已知0<x≤120,m>60.(1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;(2)若m=90,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?(3)若60<m<70,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?12.(2023•梁溪区模拟)为加强劳动教育,各校纷纷落实劳动实践基地.某校学生在种植某种高产番茄时,经过试验发现:①当每平方米种植2株番茄时,平均单株产量为8.4千克;②在每平方米种植的株数不超过10的前提下,以同样的栽培条件,株数每增加1株,平均单株产量减少0.8千克.(1)求平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(x为整数,且2≤x<10)之间的函数关系式;(2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄.问:当每平方米种植多少株时,该学校劳动基地能获得最大的产量?最大产量为多少千克?13.(2023春•仓山区校级期末)根据以下素材,探索完成任务.如何设计大棚苗木种植方案?素材1:图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图,其下半部分是一个长为20m,宽为1m的矩形,其上半部分是一条抛物线,现测得,大棚顶部的最高点距离地面5m.素材2:种植苗木时,每棵苗木高1.76m,为了保证生长空间,相邻两棵苗木种植点之间间隔1m,苗木顶部不触碰大棚,且种植后苗木成轴对称分布.(1)任务1:确定大棚上半部分形状.根据图2建立的平面直角坐标系,通过素材1提供的信息确定点的坐标,求出抛物线的函数关系式;(2)任务2:探究种植范围.在图2的坐标系中,在不影响苗木生长的情况下,确定种植点的横坐标的取值范围.14.(2023•岳麓区校级二模)从2020年开始,越来越多的商家向线上转型发展,“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段.某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=﹣10x+400,设销售这种商品每天的利润为W(元).(1)求W与x之间的函数关系式;(2)该商家每天想获得1250元的利润,又要减少库存,应将销售单价定为多少元?(3)若销售单价不低于28元,且每天至少销售50件时,求W的最大值.15.(2022秋•蜀山区校级期末)某超市经销甲、乙两种商品.商品甲每千克成本为20元,经试销发现,该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系,商品乙的成本为4元/千克,销售单价为10元/千克,但每天供货总量只有80千克,且能当天销售完.为了让利消费者,超市开展了“买一送一”活动,即买1千克的商品甲,免费送1千克的商品乙.(1)直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式;(2)设这两种商品的每天销售总额为S元,求出S(元)与x(元/千克)的函数关系式;(注:商品的销售额=销售单价×销售量)(3)设这两种商品销售总利润为W,若商品甲的售价不低于成本,不超过成本的150%,当销售单价定为多少时,才能使当天的销售总利润最大?最大利润是多少?(注:销售总利润=两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本)16.(2023春•莲池区校级期中)为促进学生德智体美劳全面发展,推动文化学习与体育锻炼协调发展,某校举办了学生趣味运动会.该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个,分别作为运动会团体一、二等奖的奖品.已知足球单价170元,篮球单价160元.(1)学校至多可购买多少个足球?(2)受卡塔尔世界杯的影响,学校商议决定按(1)问的结果购买足球作为一等奖奖品,以鼓励更多学生热爱足球,同时商场也对足球和篮球的价格进行调整,足球单价下降了a%,篮球单价上涨了,最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元,求a的值.17.(2023春•宜都市期末)某公司分别在A,B两城生产同种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有一次函数关系:y=ax+b.当x=5时,y=40;当x=30时,y=140.B 城生产产品的每件成本为7万元.(1)求a,b的值;(2)当A,B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时,求A,B两城各生产产品多少件?(3)从A城把该产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C,D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,若A,B 两城总运费之和的最小值为150万元,求m的值.18.(2023•海淀区校级四模)某公园修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头,从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系,抛物线形水柱的竖直高度y(单位:m)与到池中心的水平距离x(单位:m)满足的关系式近似为y=a (x﹣h)2+k(a<0).(1)在某次安装调试过程中,测得x与y的部分对应值如下表:水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据,解答下列问题:①水管的长度是m;②求出y与x满足的函数解析式y=a(x﹣h)2+k(a<0);(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试:①不改变喷水头的角度,将水管长度增加1m,水柱落地时与池中心的距离为d1;②不改变水管的长度,调节喷水头的角度,使得水柱满足y=﹣0.6(x﹣1.5)2+3.6,水柱落地时与池中心的距离为d2.则比较d1与d2的大小关系是:d1d2(填“>”或“=”或“<”)19.(2023•罗山县三模)实心球是中考体育项目之一.在掷实心球时,实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.已知小军在一次掷实心球训练中,第一次投掷时出手点距地面1.8m,实心球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m.设实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m),实心球距出手点的水平距离为x(m).如图,以水平方向为x轴,出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式.(2)若实心球投掷成绩(即出手点与着陆点的水平距离)达到12.4m为满分,请判断小军第一次投掷实心球能否得满分.(3)第二次投掷时,实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=﹣0.08(x﹣5)2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1,第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2,则d1d2.(填“>”“<”“=”)20.(2023•花溪区校级一模)过山车是一项富有刺激性的娱乐工具,在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言.如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象,线段AB是一段直线滑道,且AB长为米,点A到地面距离OA=6米,点B到地面距离BE=3米,滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线,最高点为C(8,4).(1)求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式;(2)当小车(看成点)沿滑道从A运动到D的过程中,小车距离x轴的垂直距离为2.5米时,它到出发点A的水平距离是多少?(3)现在需要对滑道C﹣D部分进行加固,建造某种材料的水平和竖直支架CF,PH,PG.已知这种材料的价格是75000元/米,为了预算充足,至少需要申请多少元的资金.21.(2022秋•丰都县期末)抛实心球是丰都中考体育考试项目之一,如图1是一名男生投实心球情境,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示,掷出时,起点处高度为1.9m,当水平距离为4m时,实心球行进至最高点3.5m处.(1)求y关于x的函数表达式;(2)根据中考体育考试评分标准(男生版),投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时,即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分,请说明理由.22.(2022秋•建昌县期末)2022年11月,“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功,弘扬茶文化,倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚.某茶商经销某品牌茶,成本为50元/千克,经市场调查发现,每周的销量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据列表如下:566575…销售单价x(元/千克)销量y(千克)12811090…(1)求y与x的一次函数关系式;(2)求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w(元)的最大值.23.(2023•锦州二模)近年来国家出台政策要求电动车上牌照,“保安全、戴头盔”出行.某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔.在销售中,通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y(个)与售价x(元/个)(42≤x≤72)满足一次函数关系,下表是其中的两组对应值.售价x(元/个)…5055…月销售量y(个)…10090…(1)求y与x之间的函数关系式;(2)专卖店的优惠活动:若购买一个这种头盔,就赠送一个成本为6元的头盔面罩.请问这种头盔的售价定为多少元时,月销售利润最大,最大月销售利润是多少元?24.(2023•金湖县三模)某超市购进甲、乙两种商品,已知购进5件甲商品和2件乙商品,需80元:购进3件甲商品和4件乙商品,需90元.(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少?(2)设甲商品的销售单价为x(单位:元/件),在销售过程中发现:当12≤x≤18时,甲商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x、y之间的部分数值对应关系如表:销售单价x(元/件)1218日销售量y(件)164请写出当12≤x≤18时,y与x之间的函数关系式;(3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大?最大利润是多少?25.(2022秋•新抚区期末)疫情防控常态化,全国人民同心抗疫.某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售,市场调查发现,线下的月销量y(件)与线下售价x(元/件,且12≤x≤16)之间满足一次函数关系,部分数据如下表:x(元/件)12131415y(件)1000900800700(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为600件.当x为何值时,线上和线下销售月利润总和W达到最大?最大利润是多少?(3)要使(2)中月利润总和W不低于4400元,请直接写出x的取值范围.26.(2023•嘉鱼县模拟)为巩固扶贫攻坚成果,我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系为p=,销售量y(千克)与x之间的关系如图所示.(1)直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围;(2)求该农产品的销售量有几天不超过60千克?(3)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)27.(2023•云梦县校级三模)李丽大学毕业后回家乡创业,开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件40元,日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的关系如图所示(实线),每天付员工的工资每人82元,每天应支付其他费用106元.(1)直接写出日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)当某天的销售价为48元/件时,收支恰好平衡(收入=支出),求该店员工人数;(3)若该店只有2名员工,则每天能获得的最大利润是多少元?此时,每件服装的价格应定为多少元?28.(2023•卧龙区二模)如图,在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置,喷水头(视为点A)的高度(喷水头距喷水装置底部的距离)是1.8米,自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线.当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时,达到最大高度5米.以点O为原点,自动喷水装置所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的函数关系式;(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM,MN垂直水平地面,且M点到水平地面的距离为2米,绿化工人向左水平移动喷水装置后,水流恰好喷射到小树顶端的点N,求自动喷水装置向左水平平移(即抛物线向左)了多少米?29.(2023•竞秀区二模)过山车是一项富有刺激性的娱乐工具,深受年轻游客的喜爱.某游乐场修建了一款大型过山车.如图所示,A→B→C为这款过山车的一部分轨道(B为轨道最低点),它可以看成一段抛物线,其中OA=16.9米,OB=13米(轨道厚度忽略不计).(1)求抛物线A→B→C的函数表达式;(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米,当过山车运动到C处时,又进入下坡段C→E (接口处轨道忽略不计,E为轨道最低点),已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同,E点坐标为(33,0),求n的值;(3)现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固,建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN,且要求MN=2OM,已知这种材料的价格是100000元/米,请计算OM多长时,造价最低?最低造价为多少元?30.(2023•利辛县模拟)如图,某小区的景观池中安装一雕塑OA,OA=2米,在点A处安装喷水装置,喷出两股水流,两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线(图中的C1,C2)的部分图象,两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同,且经测算发现抛物线C2的最高点(顶点)C距离水池面2.5米,且与OA的水平距离为2米.(1)求抛物线C2的解析式;(2)求抛物线C1与x轴的交点B的坐标;(3)小明同学打算操控微型无人机在C1,C2之间飞行,为了无人机的安全,要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米,设无人机与OA的水平距离为m,求m的取值范围.。
第22章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解得x1=6+2 ,x2=6-2 .
∴CD=6+2 -(6-2 )=4 (m).
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如图是侧面形状为抛物线形的拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面
宽4 m.
(1)以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标
系,请在图中画出坐标系,并求出抛物线的解析式.
解:建立平面直角坐标系如图所示.
为20 cm.
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(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要
使两孔射出水的射程相同,求a,b之间的关系式.
解:∵s2=4h(20-h),设存在a,b使两孔射出水的射程相同,则有
4a(20-a)=4b(20-b).
∴20a-a2=20b-b2.∴a2-b2=20a-20b.
地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h处开一个
小孔.
返回,最大射
程是多少?
解:∵s2=4h(H-h),
∴当H=20 cm时,s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400.
∴当h=10 cm时,s2有最大值,最大值为400,此时s有最大值,最大值
设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+6.
将点M(12,0)代入,得
2
0=a·(12-6) +6,∴a=- .
2
2
∴这条抛物线的解析式为y=- (x-6) +6=- x +2x.
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(2)若在隧道C,D处装两个路灯,且路灯的高度为4 m,求C,D之间的
距离.
2
解:当y=4时,有4=- x +2x,
( A )
A.0.4 s
B.0.6 s
C.0.8 s
Excel实验2表格格式设置及公式和函数的应用
表格格式设置及公式和函数的应用实验目的:1、熟练掌握公式和函数的应用2、熟练掌握数据的填充、复制和移动3、熟练掌握对表格的格式设置以及格式刷的使用实验内容共包括四项。
实验内容一:以自己的学号后三位+姓名建立一个工作薄,在工作薄中的sheet1工作表中完成下列操作,其中职员工资一览表如下:操作要求:1.输入正确数据,按要求设置单元格和表头文字。
表格标题:黑色、黑体、加粗、合并、居中。
2.在“税收”列计算税收,当月收入超过1600元,超出部分征收5%的个人所得税,保留2位小数。
3.在“实发金额”列计算实际发放金额,保留2位小数。
4.用公式计算“合计”一行5.合计“工资”、“奖金”、“税收”、“实发金额”列,保留2位小数。
6.在表格中将工资少于1600元的职工工资用红色标出7.将工作表的名字“sheet1”改为“职工工资一览表”实验内容二:把sheet2工作表改名为“学生成绩表”,按照表下说明操作。
1.标题设为20磅红色华文行楷。
把第一行(A~K列)设置为合并居中。
2.在“姓名”前插入一列,标题为“学号”,数据从2005001开始填充等差序列,(步长为3,终止值200516)3.所有数据都设置对齐方式为水平和垂直居中。
将表的外边框设置为蓝色双线,内部为蓝色单线,表格底纹为浅青绿色。
4.使用函数计算各位同学的总分。
5.将成绩按总分降序排列结果如下图所示:实验内容三:在sheet3工作表中建立如下表格,操作要求如下:1、第一行字体要求16磅、黑体、合并及居中;第一行和第二行分别加上底纹,如下图所示;2、第二行10磅、华文细黑,自动换行,调整行列宽度如下图所示;3、设置2006普本通信内外部的边框线如图所示,前6列合并单元格,第7、8、9列要求左对齐,缩小字体填充,其余居中对齐,自动换行;4、“2005普本通信工程”的格式设置如“2006普本通信工程”(使用格式刷功能);第一列加上虚线、绿色边框;工作表名称“sheet3”修改为“开课计划”;“合计”项使用求和函数,分别求出各年级“学分”,“课程总学时”,“理论学时”,“实践学时”的总和,并设置格式为蓝色加粗。
函数的应用教案二
函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标:利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。
利用已有二次函数的知识经验,自主进行探究和合作学习,解决情境中的数学问题,初步形成数学建模能力,解决一些简单的实际问题。
在探索中体验数学来源于生活并运用于生活,感悟二次函数中数形结合的美,激发学生学习数学的兴趣,通过合作学习获得成功,树立自信心。
教学重点和难点:运用数形结合的思想方法进行解二次函数,这是重点也是难点。
教学过程:(一)引入:分组复习旧知。
探索:从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中,你能得到哪些信息?可引导学生从几个方面进行讨论:(1)如何画图(2)顶点、图象与坐标轴的交点(3)所形成的三角形以及四边形的面积(4)对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。
(二)新授:1、再探索:二次函数y=x2+4x+3图象上找一点,使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。
例如:抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a,且与x轴交于点b、c;在抛物线上求一点e使sbce= sabc。
再探索:在抛物线y=x2+4x+3上找一点f,使bce与bcd 全等。
再探索:在抛物线y=x2+4x+3上找一点m,使bom与abc 相似。
2、让同学讨论:从已知条件如何求二次函数的解析式。
例如:已知一抛物线的顶点坐标是c(2,1)且与x轴交于点a、点b,已知sabc=3,求抛物线的解析式。
(三)提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境:让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况,再出题:船身的龙骨是近似抛物线型,船身的最大长度为48cm,且高度为12cm。
求此船龙骨的抛物线的解析式。
让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。
(四)让学生讨论小结(略)(五)作业布置1、在直角坐标平面内,点o为坐标原点,二次函数y=x2+(k—5)x—(k+4)的图象交x轴于点a(x1,0)、b (x2,0)且(x1+1)(x2+1)=—8。
二次函数的实际应用总结
二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。
它具有形如y=ax^2+bx+c的特点,其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数有许多实际应用,涉及到物理、经济和生活中的各种问题。
本文将总结几个二次函数的实际应用。
一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题,可以用二次函数来描述。
当一物体从高处自由落下时,它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。
设物体自由落下的高度为H(米),时间为t(秒),重力加速度为g(9.8米/秒²),则有公式H = -gt²/2。
其中负号表示高度的减小,因为物体向下运动。
通过这个二次函数,我们可以计算物体在不同时间下的高度,进而研究物体的运动规律。
例如,我们可以计算物体自由落地所需的时间,或者计算物体在某个时间点的高度。
这在工程设计和物理实验中具有重要意义,帮助我们预测和控制物体的运动。
二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线,其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a大于0时,抛物线开口向上;当a小于0时,抛物线开口向下。
对于开口向上的抛物线,我们可以将其应用到生活中的一些情景。
比如,一个喷泉的水柱,水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。
同样,开口向下的抛物线也有实际应用。
例如,一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。
通过了解抛物线的性质和方程,我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。
例如,成本函数和收入函数常常是二次函数。
企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。
同样,市场需求和供给也可以用二次函数来表达。
在经济学中,研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。
通过对二次函数的运用,我们可以计算某一产量下的成本和收入,并了解市场价格的影响因素。
这有助于企业决策和经济政策的制定。
四、其他实际应用除了以上提到的应用,二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。
二次函数的实际应用
如图,有长24m的篱笆,围城中间隔有一道篱笆的长方形的花圃, 且花圃的长可接用一段墙体(墙体的最大可用长度a=10) (2)、要使围城花圃的面积最大,那么AB的长度为多少? 由(1)知y=-3x2+24x=-3(x-4)2+48 14 因为0<BC ≤10,所以0<24-3x ≤ 10, x <8 14 3 ≤ 3 当x<4,y随x的增大而增大 当x>4,y随x的增大而减小 2 14 所以,当x= 时,y有最大值,最大值为 46 x= y 3 3 14 所以,当AB= 米时,(BC=10)花圃的面积最大。
例2:(2008•安徽)杂技团进行杂技表演,演员从 跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体 (看成一点)的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分, 如图所示. (1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到 起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功? 请说明理由.
下课了!
•生活是数学的源泉. 生活是数学的源泉. 生活是数学的源泉
解:(1)y=-x2+3x+1=-(x-2.5)2+4.75 ∵-1<0,∴函数的最大值,最大值是4.75. 答:演员弹跳离地面的最大高度是4.75m. (2)当x=4时,y=-1×42+3×4+1=3.4=BC, 所以这次表演成功.
如图,有长24m的篱笆,围墙体(墙体的最 大可用长度a=10) (1)、如果所围成的花圃的面积为45m的平方,求 AB的长。 (2)、要使围城花圃的面积最大,那么AB的长度为 多少? 解:(1)设AB=xm,则BC=(24-3x)m 则花圃面积y=x(24-3x)=-3x2+24x 令y=45,得-3x2+24x=45解得x1=3,x2=5 当x=3时,BC=24-3x=15>10不合题意,舍去。 当x=5时,BC=24-3x=9<10符合题意, 故AB=5时,花圃的面积最大。
函数的应用 (2)
函数的应用1.(天津)已知函数f (x )=sin 2ωx 2+12sin ωx -12(ω>0,x ∈R ).若f (x )在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,18 B.⎝⎛⎦⎤0,14∪⎣⎡⎭⎫58,1 C.⎝⎛⎦⎤0,58 D.⎝⎛⎦⎤0,18∪⎣⎡⎦⎤14,58 答案 D解析 f (x )=1-cos ωx 2+12sin ωx -12=12(sin ωx -cos ωx )=22sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π4. 因为函数f (x )在区间(π,2π)内没有零点, 所以T 2>2π-π,所以πω>π,所以0<ω<1.当x ∈(π,2π)时,ωx -π4∈⎝⎛⎭⎫ωπ-π4,2ωπ-π4,若函数f (x )在区间(π,2π)内有零点,则ωπ-π4<k π<2ωπ-π4 (k ∈Z ),即k 2+18<ω<k +14(k ∈Z ).当k =0时,18<ω<14;当k =1时,58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π,2π)内没有零点时, 0<ω≤18或14≤ω≤58.2.(天津)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0 (a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,23 B.⎣⎡⎦⎤23,34 C.⎣⎡⎦⎤13,23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13,23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由y =log a (x +1)+1在[0,+∞)上递减,得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减,则⎩⎪⎨⎪⎧02+(4a -3)·0+3a ≥f (0)=1,3-4a 2≥0,⇒13≤a ≤34. 如图所示,在同一坐标系中作出函数y =|f (x )|和y =2-x 的图象.由图象可知,在[0,+∞)上,|f (x )|=2-x 有且仅有一个解.故在(-∞,0)上,|f (x )|=2-x 同样有且仅有一个解.当3a >2,即a >23时,由x 2+(4a -3)x +3a =2-x (其中x <0),得x 2+(4a-2)x +3a -2=0(其中x <0),则Δ=(4a -2)2-4(3a -2)=0, 解得a =34或a =1(舍去);当1≤3a ≤2,即13≤a ≤23时,由图象可知,符合条件.综上所述,a ∈⎣⎡⎦⎤13,23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.3.(山东)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m , 其中m >0,若存在实数b ,使得关于x的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________. 答案 (3,+∞) 解析 如图,当x ≤m 时,f (x )=|x |;当x >m 时,f (x )=x 2-2mx +4m ,在(m ,+∞)为增函数,若存在实数b ,使方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 2-2m ·m +4m <|m |.∵m >0,∴m 2-3m >0,解得m >3. 4.(四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.答案33解析 由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h =1,则体积V =13Sh =13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1=33.1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点 1.零点存在性定理如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b )使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根. 2.函数的零点与方程根的关系函数F (x )=f (x )-g (x )的零点就是方程f (x )=g (x )的根,即函数y =f (x )的图象与函数y =g (x )的图象交点的横坐标.例1 (1)已知实数a >1,0<b <1,则函数f (x )=a x +x -b 的零点所在的区间是( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1)D .(1,2)(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( )A .2B .3C .4D .5 答案 (1)B (2)A解析 (1)因为a >1,0<b <1,f (x )=a x +x -b , 所以f (-1)=1a-1-b <0,f (0)=1-b >0,由零点存在性定理可知f (x )在区间(-1,0)上存在零点. (2)当x >2时,g (x )=x -1,f (x )=(x -2)2; 当0≤x ≤2时,g (x )=3-x ,f (x )=2-x ; 当x <0时,g (x )=3-x 2,f (x )=2+x .由于函数y =f (x )-g (x )的零点个数就是方程f (x )-g (x )=0的根的个数.当x >2时,方程f (x )-g (x )=0可化为x 2-5x +5=0,其根为x =5+52或x =5-52(舍去);当0≤x ≤2时,方程f (x )-g (x )=0可化为2-x =3-x ,无解;当x <0时,方程f (x )-g (x )=0可化为x 2+x -1=0,其根为x =-1-52或x =-1+52(舍去).所以函数y =f (x )-g (x )的零点个数为2.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.跟踪演练1 (1)函数f (x )=lg x -1x 的零点所在的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,10)(2)函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵f (2)=lg 2-12<0,f (3)=lg 3-13>0,∴f (2)f (3)<0,故f (x )的零点在区间(2,3)内.(2)函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点即2x |log 0.5x |-1=0的解,即|log 0.5x |=⎝⎛⎭⎫12x的解,作出函数g (x )=|log 0.5x |和函数h (x )=⎝⎛⎭⎫12x 的图象.由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函数f (x )=2x |log 0.5x |-1有2个零点.热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.例2 (1)对任意实数a ,b 定义运算“⊗”:a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧b ,a -b ≥1,a ,a -b <1.设f (x )=(x 2-1)⊗(4+x ),若函数y =f (x )+k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点,则k 的取值范围是( ) A .(-2,1) B .[0,1] C .[-2,0) D .[-2,1)答案 D解析 解不等式x 2-1-(4+x )≥1,得x ≤-2或x ≥3,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +4,x ∈(-∞,-2]∪[3,+∞),x 2-1,x ∈(-2,3).函数y =f (x )+k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数y =f (x )的图象和直线y =-k 恰有三个不同的交点.如图,所以-1<-k ≤2,故-2≤k <1.(2)已知函数f (x )=-x 2+2e x +m -1,g (x )=x +e 2x(x >0). ①若g (x )=m 有零点,求m 的取值范围;②确定m 的取值范围,使得g (x )-f (x )=0有两个相异实根.解 ①∵g (x )=x +e 2x ≥2e 2=2e(x >0),当且仅当x =e 2x 时取等号,∴当x =e 时,g (x )有最小值2e.∴g (x )=m 有零点,只需m ≥2e.∴当m ∈[2e ,+∞)时,g (x )=m 有零点.②若g (x )-f (x )=0有两个相异实根,则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点. 如图,作出函数g (x )=x +e 2x(x >0)的大致图象.∵f (x )=-x 2+2e x +m -1 =-(x -e)2+m -1+e 2,∴其对称轴为x =e ,f (x )max =m -1+e 2.若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点,则m -1+e 2>2e ,即当m >-e 2+2e +1时,g (x )-f (x )=0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(-e 2+2e +1,+∞).思维升华 (1)方程f (x )=g (x )根的个数即为函数y =f (x )和y =g (x )图象交点的个数;(2)关于x 的方程f (x )-m =0有解,m 的范围就是函数y =f (x )的值域.跟踪演练2 (1)已知函数f (x )=e x -2x +a 有零点,则a 的取值范围是_________________. (2)(湖南)若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. 答案 (1)(-∞,2ln 2-2] (2)(0,2)解析 (1)f ′(x )=e x -2,当x ∈(-∞,ln 2)时,f ′(x )<0;当x ∈(ln 2,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2+a .由于2()e 0,2aaf =>所以f (x )有零点当且仅当2-2ln 2+a ≤0,所以a ≤2ln 2-2.(2)将函数f (x )=|2x -2|-b 的零点个数问题转化为函数y =|2x -2|的图象与直线y =b 的交点个数问题,数形结合求解.由f (x )=|2x -2|-b =0, 得|2x -2|=b .在同一平面直角坐标系中画出y =|2x -2|与y =b 的图象,如图所示.则当0<b <2时,两函数图象有两个交点,从而函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点.热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器的利润为x (单位:元,x >0)时,销售量q (x )(单位:百台)与x 的关系满足:若x 不超过20,则q (x )=1 260x +1;若x 大于或等于180,则销售量为零;当20<x <180时,q (x )=a -b x (a ,b为实常数).(1)求函数q (x )的表达式;(2)当x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值. 解 (1)当20<x <180时,由⎩⎨⎧ a -b ·20=60,a -b ·180=0,得⎩⎨⎧a =90,b =3 5.故q (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1 260x +1,0<x ≤20,90-35·x ,20<x <180,0,x ≥180.(2)设总利润f (x )=x ·q (x ),由(1)得,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧126 000xx +1,0<x ≤20,9 000x -3005·x x ,20<x <180,0,x ≥180.当0<x ≤20时,f (x )=126 000x x +1=126 000-126 000x +1,f (x )在(0,20]上单调递增,所以当x =20时,f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时,f (x )=9 000x -3005·x x , f ′(x )=9 000-4505·x , 令f ′(x )=0,得x =80.当20<x <80时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 当80<x <180时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, 所以当x =80时,f (x )有最大值240 000. 当x >180时,f (x )=0.答 当x 等于80元时,总利润取得最大值240 000元.思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法.跟踪演练3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税;超过4 000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,则他的稿费为( ) A .3 000元 B .3 800元 C .3 818元D .5 600元(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元. 答案 (1)B (2)4 050解析 (1)假设个人稿费为x 元,所缴纳税费为y 元,由已知条件可知y 为x 的函数,且满足y =⎩⎪⎨⎪⎧0,x ≤800,y =0,0.14(x -800),800<x ≤4 000,y ∈(0,448],0.11x ,x >4 000,y ∈(440,+∞),共纳税420元,所以有0.14(x -800)=420⇒x =3 800,故选B.(2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元,则租赁公司月收益为y =(100-x -3 00050)·(x -150)-x -3 00050×50,整理得y =-x 250+162x -21 000=-150(x -4 050)2+307 050. 所以当x =4 050时,y 取最大值为307 050,即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大为307 050元.1.f (x )=2sin πx -x +1的零点个数为( ) A .4 B .5 C .6D .7押题依据 函数的零点是高考的一个热点,利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法. 答案 B解析 令2sin πx -x +1=0,则2sin πx =x -1,令h (x )=2sin πx ,g (x )=x -1,则f (x )=2sin πx -x +1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题.h (x )=2sin πx 的最小正周期为T =2ππ=2,画出两个函数的图象,如图所示,因为h (1)=g (1),h (52)>g (52),g (4)=3>2,g (-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f (x )=2sin πx -x +1的零点个数为5.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x >a ,x 2+5x +2,x ≤a ,若函数g (x )=f (x )-2x 恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-1,1) B .[0,2] C .(-2,2]D .[-1,2)押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数,进而确定参数范围,较好地体现了数形结合思想. 答案 D解析 g (x )=f (x )-2x =⎩⎪⎨⎪⎧-x +2,x >a ,x 2+3x +2,x ≤a ,要使函数g (x )恰有三个不同的零点,只需g (x )=0恰有三个不同的实数根,所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ,-x +2=0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ,x 2+3x +2=0,所以g (x )=0的三个不同的实数根为x =2(x >a ),x =-1(x ≤a ),x =-2(x ≤a ). 再借助数轴,可得-1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[-1,2),故选D.3.函数y =ln(x +1)与y =1x 的图象交点的横坐标所在的区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)押题依据 确定图象交点横坐标的范围和函数零点存在性定理相结合,本题转化思想应用灵活. 答案 B解析 令f (x )=ln(x +1)-1x ,因为f (2)=ln 3-12>0,f (1)=ln 2-1<0,又函数f (x )在(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f (x )在区间(1,2)内有零点,此零点即函数y =ln(x +1)与y =1x的图象交点的横坐标. 4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为________m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点,函数的最值问题是应用问题考查的热点. 答案 20 解析 如图,过A 作AH ⊥BC 交于点H ,交DE 于点F ,易知DE BC =x 40=AD AB =AFAH ⇒AF =x ⇒FH =40-x ,则S =x (40-x )≤(402)2,当且仅当40-x =x ,即x =20时取等号,所以满足题意的边长x 为20 m.A 组 专题通关1.函数f (x )=e x +x -2的零点所在的区间是(e ≈2.718 28)( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B.⎝⎛⎭⎫12,1 C .(1,2) D .(2,3)答案 A解析 ∵f (x )=e x +x -2,∴f (0)=1-2=-1<0,f ⎝⎛⎭⎫12=e -32>0, ∴f (0)·f ⎝⎛⎭⎫12<0,∴函数f (x )=e x +x -2的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫0,12. 2.已知函数y =f (x )的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:则函数y =f (x )A .2个 B .3个 C .4个 D .5个答案 B解析 依题意,f (2)>0,f (3)<0,f (4)>0,f (5)<0,根据零点的存在性定理可知,f (x )在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y =f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -3,x ≤0,-2+ln x ,x >0的零点个数为( )A .0B .1C .2D .3答案 C解析 当x ≤0时,令x 2+2x -3=0,解得x =-3; 当x >0时,令-2+ln x =0,解得x =e 2. 所以已知函数有2个零点.故选C.4.若函数f (x )=x 2+2a |x |+4a 2-3的零点有且只有一个,则实数a 等于( ) A.32或-32 B .-32C.32D .以上都不对答案 C解析 令|x |=t ,原函数的零点有且只有一个,即方程t 2+2at +4a 2-3=0只有一个0根或一个0根、一个负根,∴4a 2-3=0,解得a =32或-32,经检验,a =32满足题意. 5.已知定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1|x -1| (x ≠1),1 (x =1),若关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0有3个不同的实根x 1,x 2,x 3,则x 21+x 22+x 23等于( )A .13 B.2b 2+2b 2C .5 D.3c 2+2c2答案 C解析 作出f (x )的图象,如图所示.由图象知,只有当f (x )=1时有3个不同的实根;∵关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0有3个不同的实根x 1,x 2,x 3, ∴必有f (x )=1,从而x 1=1,x 2=2,x 3=0,故可得x 21+x 22+x 23=5,故选C.6.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①图象关于(1,0)点对称;②f (-1+x )=f (-1-x );③当x ∈[-1,1]时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2,x ∈[-1,0],cos π2x ,x ∈(0,1],则函数y =f (x )-⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[-3,3]上的零点的个数为( ) A .5 B .6 C .7 D .8答案 A解析 因为f (-1+x )=f (-1-x ),所以函数f (x )的图象关于直线x =-1对称,又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称,如图所示,画出f (x )以及g (x )=(12)|x |在[-3,3]上的图象,由图可知,两函数图象的交点个数为5,所以函数y =f (x )-(12)|x |在区间[-3,3]上的零点的个数为5,故选A.7.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -a ,x ≤0,ln x ,x >0有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是________.答案 (0,1]解析 当x >0时,由f (x )=ln x =0,得x =1. 因为函数f (x )有两个不同的零点, 则当x ≤0时,函数f (x )=2x -a 有一个零点,令f (x )=0得a =2x ,因为0<2x ≤20=1,所以0<a ≤1, 所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8.我们把形如y =b|x |-a (a >0,b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称为“囧函数”,若当a =1,b =1时的“囧函数”与函数y =lg|x |的交点个数为n ,则n =________. 答案 4解析 由题意知,当a =1,b =1时, y =1|x |-1=⎩⎨⎧1x -1(x ≥0且x ≠1),-1x +1(x <0且x ≠-1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y =lg|x |的图象如图所示,易知它们有4个交点.9.某驾驶员喝了m 升酒后,血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧5x -2,0≤x ≤1,35·⎝⎛⎭⎫13x ,x >1,《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车.(不足1小时部分算1小时,结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0≤x ≤1,所以-2≤x -2≤-1, 所以5-2≤5x -2≤5-1,而5-2>0.02, 又由x >1,得35·⎝⎛⎭⎫13x ≤150,得⎝⎛⎭⎫13x ≤130,所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车.10.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420,且a 为偶数),每人每年可创利b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?解 设裁员x 人,可获得的经济效益为y 万元,则 y =(2a -x )(b +0.01bx )-0.4bx =-b100[x 2-2(a -70)x ]+2ab .依题意得2a -x ≥34·2a ,所以0<x ≤a2.又140<2a <420,即70<a <210.①当0<a -70≤a2,即70<a ≤140时,x =a -70,y 取到最大值;②当a -70>a 2,即140<a <210时,x =a2,y 取到最大值.故当70<a ≤140时,公司应裁员(a -70)人,经济效益取到最大; 当140<a <210时,公司应裁员a2人,经济效益取到最大.B 组 能力提高11.设定义在R 上的函数f (x )满足: (1)对任意的实数x ,都有f (-x )-f (x )=0; (2)对任意的实数x ,都有f (x +π)+f (x )=1; (3)当x ∈[0,π]时,0≤f (x )≤1;(4)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2∪⎝⎛⎭⎫π2,π时,有⎝⎛⎭⎫x -π2f ′(x )>0(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数). 则方程f (x )=|sin x |在[-2π,2π]上的根的个数为( ) A .4 B .6 C .8 D .10答案 C解析 由(1)知,函数f (x )为偶函数; 由(2)知,f (x +π)=1-f (x ),故f (x +2π)=1-f (x +π)=1-[1-f (x )]=f (x ), 所以f (x )是周期函数,其周期为2π.由(3)知,函数f (x )的图象在y =0与y =1之间. 由(4)知,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )<0, 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递减; 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,f ′(x )>0, 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递增.综上,当x ∈[0,π]时,f (x )=|1-2πx |,画出函数f (x )和y =|sin x |在[-2π,2π]上的图象,如图所示,两函数在[-2π,2π]上共有8个交点,所以方程f (x )=|sin x |在[-2π,2π]上共有8个零点,故选C.12.(北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图象所给数据,逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.13.偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且在x∈[0,1]时,f(x)=2x-x2,若直线kx-y+k=0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点,则k的取值范围是__________.答案(1515,33)解析因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是偶函数,所以f(x-1)=f(1+x),即有f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数.由y=2x-x2,得x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,画出函数f(x)和直线y=k(x+1)的示意图.因为直线kx -y +k =0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点,所以根据示意图易知,1515<k <33. 14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0,若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,则实数a 的取值范围为______.答案 (1,2)解析 分别作出函数y =f (x )与y =a |x |的图象,由图知,当a <0时,函数y =f (x )与y =a |x |无交点;当a =0时,函数y =f (x )与y =a |x |有三个交点,故a >0.当x >0,a ≥2时,函数y =f (x )与y =a |x |有一个交点;当x >0,0<a <2时,函数y =f (x )与y =a |x |有两个交点;当x <0时,若y =-ax 与y =-x 2-5x -4(-4<x <-1)相切,则由Δ=0得a =1或a =9(舍).因此当x <0,a >1时,函数y =f (x )与y =a |x |有两个交点;当x <0,a =1时,函数y=f(x)与y=a|x|有三个交点;当x<0,0<a<1时,函数y=f(x)与y=a|x|有四个交点.所以当且仅当1<a<2时,函数y=f(x)与y=a|x|恰有4个零点.。
二次函数的应用于化学学问题
二次函数的应用于化学学问题一、引言二次函数在数学中具有广泛的应用,而在化学学问题中,二次函数也可以用来描述一些化学现象和实验数据。
本文将介绍二次函数在化学学问题中的应用,并通过具体的例子来说明。
二、化学反应速率和温度关系的研究在化学反应中,反应速率通常与温度密切相关。
化学家经过实验研究发现,反应速率与温度之间存在着一定的函数关系。
为了描述这种关系,可以利用二次函数来建立模型。
例如,研究人员通过一系列实验测定了某一化学反应在不同温度下的反应速率,并得到了如下的实验数据:温度(摄氏度) 反应速率(单位时间内消耗的反应物)20 3.040 6.560 10.380 13.8100 16.2通过观察数据可以发现,反应速率随着温度的增加而增加。
为了建立二次函数模型来描述这种关系,可以选取温度为自变量,反应速率为因变量。
假设二次函数的模型为:f(x) = ax^2 + bx + c其中,f(x)表示反应速率,x表示温度。
根据实验数据进行拟合,可以得到二次函数的具体表达式。
通过拟合得到的二次函数可以用来预测在其他温度下的反应速率,从而帮助化学家更好地理解和控制化学反应过程。
三、酸碱溶液的pH值变化酸碱溶液的pH值是描述其酸碱性强弱的一个重要指标。
当我们向酸碱溶液中加入酸或碱时,溶液中的pH值会发生变化。
为了研究pH值的变化规律,可以利用二次函数建立模型。
以某酸性溶液中酸性物质的浓度为自变量,溶液的pH值为因变量。
假设二次函数的模型为:f(x) = ax^2 + bx + c其中,f(x)表示pH值,x表示酸性物质的浓度。
通过实验测定不同浓度的酸性物质对应的pH值,即可得到二次函数的具体表达式。
利用这个二次函数模型,我们可以预测在不同酸性物质浓度下溶液的pH值,从而对酸碱反应过程进行控制和优化。
四、溶解度与温度关系的探究溶解度是指单位溶剂中可溶解物质的最大溶解量。
溶解度与温度之间存在一定的关系,可以利用二次函数来描述这种关系。
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usint n);
int main()
{
int n, answer;
cout << "Enter number: ";
cin >> n;
cout << "\n\n";
answer = fib(n);
cout << answer << " is the " << n << "th Fibonacci number\n";
实验项目:函数的应用
实验目的:
(1)掌握函数的定义和调用方法
(2)练习重载函数的使用
(3)练习使用系统函数
(4)使用debug调试功能,使用step into追踪到函数内部。
实验任务:
1.编写重载函数MAX1可分别求取两个整数,三个整数,两个双精度,三个双精度数的最大值。
2.用递归的方法编写函数求Fibonacci级数,观察递归调用的过程。
}
double max1(double x, double y)
{
return (x>y?x:y);
}
double max1(double x, double y, double z)
{
double temp1=max1(x,y);
return (y>z?y:z);
}
void main()
{
int x1, x2;
double d1, d2;
x1 = max1(5,6);
x2 = max1(2,3,4);
d1 = max1(2.1, 5.6);
d2 = max1(12.3, 3.4, 7.8);
cout << "x1=" <<x1 << endl;
cout << "x2=" <<x2 << endl;
cout << "d1=" <<d1 << endl;
return 0;
}
int fib (int n)
{
cout << "Processing fib(" << n << ")... ";
if (n < 3 )
{
cout << "Return 1!\n";
return (1);
}
else
{
cout << "Call fib(" << n-2 << ") and fib(" << n-1 << ").\n";
return( fib(n-2) + fib(n-1));
}
}
实验结果:
1.x1=6
x2=4
d1=5.6
d2=7.8
2.Enter number:4
Processing fib(3)...
Call fib(1) and fib(2).
2is the3th Fibonacci number
实验步骤:
1.分别编写四个同名的函数max1,实现函数重载,在main()中测试函数功能。
int max1(int x, int y)
{
return (x>y?x:y);
}
int max1(int x, int y, int z)
{
int temp1=max1(x,y);
return (y>z?y:z);
cout << "d2=" <<d2 << endl;
}
2.编写递归函数int fib(int n),在主程序中输入n的值,调用fib函数计算Fibonacci级数。公式为fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2),n>2;fib(1)=fib(2)=1.使用if语句判断函数的出口,在程序中用cout语句输出提示信息。