第八章离散控制系统2

8.5.1 差分方程 在离散系统中，由于采样时间的离散性，要描述脉
冲序列随时间的变化规律，可以采用差分的概念。
1. 差分的定义
差分：是采样信号两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变 化的规律，可反映出采样信号的变化规律。
设离散函数序列e(kT) ，为了方便可简写为e(k)。
1) 前向差分 是下一时刻采样值e(k+1)与现在时刻采样值e(k) 之差 Δe(k) 。即 Δe(k)= e(k+1) - e(k) Δe(k)称为一阶前向差分。
n阶前向差分: ne(k) n 1[ e(k) ] n 1e(k1) n 1e(k)
i n0(1)ii！ (n n ！ i)！ e(kni)
2) 后向差分
是现在时刻采样值e(k)与上一时刻采样值e(k-1)之差
▽e(k) 。即， ▽e(k)= e(k) - e(k-1)
▽e(k)称为一阶后向差分。
二阶前向差分:
Δ2e(k)=Δ[Δe(k)]=Δ[ e(k+1) - e(k)] = Δe(k+1) - Δe(k)] = [ e(k+2) - e(k+1)] - [ e(k+1) - e(k)] = e(k+2) - 2e(k+1) +e(k)
e*(t)
▽e(k)
Δe(k)
(k-1)T kT (k+1)T t
试用迭代法求在r(k)=1(k)=1 (k>0)作用下的输出序列。
解：可以写出后向差分方程的递推形式
c(k)= r(k) + 5c(k-1)-6c(k-2)
根据初始条件c(0)=0, c(1)=1，并令k=2, 3, 4…，逐
拍递推，有 e*(t)
源自文库
k=0 c(0)=0 k=1 c(1)=1 初始条件
* 例8-23 将后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k)
转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列c(k)。
解： 对后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 令k’=k-2，则变换为前向差分方程
c(k’+2)-5c(k’+1)+6c(k’)=r(k’+2)
第八章离散控制系统
第八章 离散控制系统 (2)
• 数学模型
–
1.差分方程
–
2.脉冲传递函数
• 离散系统的时域分析
–
1.稳定性
–
2.动态性能
–
3.稳态误差
8.5 离散系统的数学模型
数学模型是系统定量分析的基础。 连续系统—微分方程—L变换—代数方程—传递函数 离散系统—差分方程— Z变换—代数方程—脉冲传函 类比：相似性 把握住两者的共同点和不同点，可事半功倍！
n阶后向差分:
▽ne(k)=▽n-1[▽e(k)]=▽n-1e(k) - ▽n-1e(k-1)]=
n(1)i
i0
i！ (n n ！ i)！ e(ki)
2. 线性常系数差分方程
对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输
出值 c(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的
根据新的初始条件，并令k’=2, 3, 4…，逐拍递推， 有
k’=0 c(0)=6 k’=1 c(1)=25 初始条件 k’=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=90 k’=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=301 k’=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=966 … 由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。
输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2)…
有关。可以把这种关系用n阶后向差分方程描述：
c ( k ) a 1 c ( k 1 ) a n c ( k n )
在实际当中，
b 0 r ( k ) b 1 r ( k 1 ) b m r ( k m ) 应用较广泛
二阶后向差分:
e*(t)
Δe(k)
▽2e(k)=▽[▽e(k)]=▽[ e(k) - e(k-1)] = ▽e(k) - ▽e(k-1)]
▽e(k)
= [ e(k) - e(k-1)] - [ e(k-1) - e(k-2)]
= e(k) - 2e(k-1) +e(k-2)]
(k-1)T kT (k+1)T t
对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系求出。
当，k’=0有k=2，则 c(k’)|k’=0 =c(0’)=6 r(k’)|k’=0 =r(0’)=1
当，k’=1有k=3，则 c(k’)|k’=1 =c(1’)=25 r(k’)|k’=1 =r(1’)=1
写出差分方程的递推形式
c(k’+2)= r(k’+2) +5c(k’+1)-6c(k’)
k=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6
k=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25
k=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90
T 2T 3T 4T
t
…
由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。
n阶方程需要n个初始值，从n+1开始递推，初始值
不同解也不同，初始值可以看作为输入。
j 0
i 1
m
n
c (k n ) b jr (k m j) a ic (k n i)
j 0
i 1
当给出输出函数的n个初始值后，可以从n+1个值
递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。
例8-18 已知离散系统的后向差分方程
c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k)
初始条件c(0)=0, c(1)=1。
n—系统的阶次 k—系统的第k个采样周期
线性定常系统差分方程的一般形式。
递推形式
m
n
c(k) bjr(kj) aic(ki)
j 0
i 1
特别适合在计算机上求解。比连续系统方便！
线性定常离散系统，也可以用n阶前向差分方程 描述, 即
c ( k n ) a 1 c ( k n 1 ) a n c ( k ) b 0 r ( k m ) b 1 r ( k m 1 ) b m r ( k )
n—系统的阶次 k—系统的第k个采样周期
递推形式
在实际当中， 较少应用
m
n
c (k n ) b jr (k m j) a ic (k n i)
j 0
i 1
3. 差分方程的解法
有经典法*-较繁琐：通解+特解、迭代法和z变换法。
1) 迭代法
线性定常系统差分方程可以写成递推形式
m
n
c(k) bjr(kj) aic(ki)