第10章 离散系统的频率响应
求解离散系统全响应的基本方法和过程
求解离散系统全响应的基本方法和过程离散系统是指系统的输入和输出都是以离散时间点为基准的系统。
在离散系统中，我们常常需要求解其全响应，即系统在时域上的完整响应。
在本文中，我们将介绍求解离散系统全响应的基本方法和过程。
我们需要了解离散系统的模型。
离散系统可以用差分方程表示。
一个简单的离散系统模型可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) + ... + b(M)x(n-M) - a(1)y(n-1) - ... - a(N)y(n-N)其中，x(n)为输入信号，y(n)为输出信号，b(0)、b(1)、...、b(M)为输入信号的系数，a(1)、...、a(N)为输出信号的系数。
根据差分方程的形式，我们可以使用递推的方式求解离散系统的全响应。
求解离散系统全响应的基本方法之一是使用差分方程的递推关系。
对于一个一阶差分方程，我们可以通过递推关系来求解其全响应。
递推关系可以写作：y(n) = b(0)x(n) - a(1)y(n-1)其中，y(n)为当前时刻的输出信号，y(n-1)为上一时刻的输出信号，x(n)为当前时刻的输入信号，b(0)为输入信号的系数，a(1)为输出信号的系数。
通过递推关系，我们可以根据已知的初始条件和输入信号，逐步求解出系统的全响应。
对于高阶差分方程，我们可以通过多次使用递推关系来求解其全响应。
假设我们要求解一个二阶差分方程的全响应，可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) - a(1)y(n-1) - a(2)y(n-2)我们可以使用递推关系求解出第一个时刻的输出信号y(0)，然后再通过递推关系求解出第二个时刻的输出信号y(1)，以此类推，直到求解出所有时刻的输出信号。
这样，我们就可以得到离散系统的全响应。
除了使用递推关系，我们还可以使用离散系统的传递函数来求解全响应。
离散系统的传递函数可以通过离散系统的差分方程得到。
传递函数是输入信号和输出信号的关系，它可以用来描述系统的频率响应特性。
课件：离散时间系统的频率响应
则系统的幅频特性为
M
ej z j
H (e j )
k
j 1 N
ej pi
H (e j ) e j
i 1
ej pi Bieji 相频特性为
M
Aj
H (ej )
k
j1 N
Bi
i 1
M
N
() j i
j 1
i 1
信号与系统
§7.9 离散时间系统的频率响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/20
一、离散时间系统频响的定义
离散时间系统的频率响应： h(n) 的傅里叶变换 条件：稳定系统
H ej F h n H z zej
从系统激励与相应的零状态响应的傅里叶变换关系来看，
H
e j
Y
z
Y zej
e j
X z zej
X ej
H ej H ej ej
幅频特性： H ej ~
相频特性： ~
二、离散时间系统频响的物理意义
观察复指数序列 xn e u j0n n
X
z
z
z e j0
则系统响应的z变换为
Y
z
z z e j0
H z
由于系统为因果稳定系统， 极点均位于单位圆内，不会
与X(z) 的极点 ej0相重合。
Y
z
az z ej0
M
Am z
m1 z zm
其中常数 a H e j0 ，则稳态响应为
二、离散时间系统频响的物理意义
y n H ej0 ej0nu n
序列 e u j0n n经过一离散时间系统H(ejω) ，所得稳态响
应依然是 e u j0n n，但受到该系统频率响应 H e j0的加
数字信号处理第10章习题
第十章习题10－1. 试证明随即过程统计平均量的下列性质： (a) ][][][m n m n y E x E y x E +=+ (b)][][n n x aE ax E =【解题思路】从定义去证明。
证明：(a)][][),(),(),(),(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,()(][22m n y x x x y y x y x y x y x y x y x m n y E x E dy m y yp dx n x xp n x p xn x P yx m y n x P dyy x m y n x P dy m y n x p dxdym y n x yp dxdy m y n x xp dxdym y n x p y x y x E m n n n m n m n m n m n m n m n +=+∴=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+-∞=∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-+∞∞-+∞∞-上式＝(b)][),(),(][n x x n x aE dx n x xp a dx n x axp ax E n n ===⎰⎰+∞∞-+∞∞-10－2. 设x(n)和y(n)是两不相关的随机序列，试证： 如果w(n)=x(n)+y(n)，则y x μμμω+=和222y x σσσω+=【解题思路】从定义去证明。
证明：yx w y x n y E n x E n y n x E n w E n y E u n x E μμμμ+=+=+==∴==)]([)]([)]()([)]([)]([)]([用上题结论])()))(()((2))()([(])))()([(]))([(]))([(]))([(222222222y x y x y x w w y y x x n y n x n y n x E n y n x E n w E n y E n x E μμμμμμμσμσμσ++++-+=--+=-=∴-=-= 又证明：2)()]}([)]([){()]()([)()]))(()([(y x y x y x y x n y E n x E n y n x E n y n x E μμμμμμμμ+=++=++=++222222222222222222])([])([])(2)()([)]([)]([)]()([)()()]()([2)]([)]([]))()([()(]))()([(])())()([(yx y x y x y x w yx y x y x w n y E n x E n y n x E n y E n x E n y n x E n y n x n y n x E n y E n x E n y n x E n y n x E n y n x E σσμμμμμμσμμμμμμσ+=-+-=+-++=∴=⋅∴++++-+=+-+=∴＝不相关与由于＝其中10－3. 某一个随机过程的取样序列x(n)的形式为)cos()(0θω+=n n x式中θ是一个均匀分布的随机变量，其概率密度如图。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
期末考试《信号与系统课程要点(吴大正)》
信号与线性系统复习提纲第一章信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换.图解时应注意仅对变量t作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac定义阶跃函数和冲激函数的微积分关系冲激函数的取样性质（注意积分区间）；;5．系统的描述方法数学模型的建立:微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连)，延时单元(离）由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性.时不变性：常参量LTI系统的数学模型:线性常系数微分(差分）方程（以后都针对LTI系统）LTI系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）第二章连续系统的时域分析1．微分方程的经典解法：齐次解+特解(代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法)全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性特别说明：特解由激励在t>0时或t〉=0+的形式确定2．冲激响应定义，求解(经典法），注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性阶跃响应与的关系3．卷积积分定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积的图示解法(了解）函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）；卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解（了解)第三章离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态(是），而初始条件（指的是）2．单位序列响应的定义，的定义,求解（经典法)；若方程右侧是激励及其移位序列时,注意应用线性时不变性质求解阶跃响应与的关系3．卷积和定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积和的作图解与的卷积和；结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。
离散时间系统的频率响应特性
差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。
例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。
()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。
求系统的响应 y (n )。
解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。
离散系统的频率响应分析
离散系统的频率响应分析实验课程：数字信号处理实验内容：实验4离散系统的频率响应分析和零、极点分布院（系则）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2021年6月7日一、实验目的：增进对离散系统的频率响应分析和零、极点原产的概念认知。
二、实验原理：离散系统的时域方程为y(n-k)=∑pkx(n-k)其变换域分析方法如下：时频域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的频率响应为jωjωjωx[m]h[n-m]⇔y(e)=x(e)h(e)∑p(ejω)p0+p1e-jω+...+pme-jmωh(e)==jωd(e)d0+d1e-jω+...+dne-jnω时域z域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的转移函数为∑x[m]h[n-m]⇔y(z)=x(z)h(z)p(z)p0+p1z-1+...+pmz-mh(z)==d(z)d0+d1z-1+...+dnz-nh(z)=∑pkz∑dkz(1-ξz)∏i-1(1-λz)∏ii=1i=1nξλi上式中的和i称为零、极点。
在matlab中，可以用函数[z，p，k]=tf2zp（num，den）求出有理分式形式的系统迁移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘制零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）轻易绘制有理分式形式的系统迁移函数的零、极点分布图。
另外，在matlab中，可以用函数[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，k）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：实验内容：求系统0.0528+0.0797z-1+0.1295z-2+0.1295z-3+0.797z-4+0.0528z-5h(z)=1-1.8107z-1+2.4947z-2-1.8801z-3+0.9537z-4-0.2336z-5的零、极点和幅度频率响应。
程序代码:num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];freqz(num,den);%0~π中抽样，抽样点缺省（512点）ζnum=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];w=[0pi/8pi/4pi*3/8pi/2pi*5/8pi*3/4];%自己定8个点θh=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');[h,w]=freqz(num,den,8);%系统在0~π之间均分8份，与“θ”处效果一样wsubplot(2,2,2);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');h=freqz(num,den);%系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样subplot(2,2,3);z=10*log(abs(h))plot(z);%与“ζ”处幅度五音效果一样title('分贝幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);%谋零极点z%零点p%极点subplot(2,2,4);zplane(z,p);%zplane(num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k);%二阶系统分解sosg [r,p,k]=residuez(num,den);%部分分式进行rp四、实验总结与分析：本次实验晓得了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来就是绘制零极点图形和排序数字滤波器h(z)的频率响应以及谋复数的相角。
离散时间系统的频率响应特性
−
zr
N
Π
k =1
e jω
−
pk
= H e jω
e jϕ (ω )
E
令e jω − zr = Ar e jψ r
( ) e jω − pk = Bke jθk
幅频响应
H e jω
M
=
∏
r =1
Ar
N
∏
k =1
Bk
相位响应
M
N
ϕ (ω ) = ∑ψ r − ∑θ k
r =1
k =1
j Im[z ]
De jω
O
ωs 2
( ) H e jω
ωs
ω
高通 带阻
O
ωs 2
( ) H e jω
O
ωs 2
( ) H e jω
ωs
ω
ωs
ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
X
二．频响特性的几何确定法
第 6
页
H(z) =
M
∏
(z
−
r =1
N
∏
(z
−
k =1
zr ) pk )
( ) (( )) ( ) H =1
e jω
B
n
O
θ2
ω
B sin(nω + θ 2 )
n ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
X
第
由系统函数得到频响特性
3
页
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
( ) ( ) ( ) H ejω = H z z = e jω = H e jω e jϕ (ω ) ( ) H e jω ~ ω ：幅频特性
§8.10 离散时间系统的频率响应特性
a1 sinω ϕ(ω) = −arctan 1− a cosω 1
说明：1.为了保证该系统稳定 要求| |<1； 为了保证该系统稳定， 说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 2.若0<a <1,则系统呈“低通”特性； 则系统呈 则系统呈“ 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 3.若 1<a <0,则系统呈 高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性； 4.若 则系统呈“全通”特性； 教材例8 22中的图 19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 中的图8 0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejω)|, ϕ (ω) <1时的系统零 极点图与h ),|H 时的系统零、 的波形图。 的波形图。
例8-10-1 10-
已知离散时间系统的框图如图所示， 已知离散时间系统的框图如图所示，求系 统频率响应特性。 统频率响应特性。 z−1 1 解：系统的差分方程 1 2 x(n) y(n) y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n−1) 2
∑
设系统为零状态的，方程两边取z变换 设系统为零状态的，方程两边取z
H ejω ~ ω ：幅频特性
H ejω = H( z)
( )
( )
= H ej ω ejϕ(ω) z = ejω
(
)
ϕ(ω) ~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
• H(ejω)即h(n)的DTFT
输出与输入序列的幅度之比
为周期函数，所以H 为周期函数， • ejω为周期函数，所以H(ejω)为周期函数， 其周期为2 其周期为2π 。 例8-10-1
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。
幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。
幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。
幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。
离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。
相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。
相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。
相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。
在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。
零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。
零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。
具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。
零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。
而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。
极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。
相频响应同样受到零点和极点的影响。
零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。
而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。
极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。
因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。
通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。
这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。
§5-7 离散时间系统的频响
系统的频响曲线如下：
H ( e j )
j Im{z}
1
0
2
Re{z}
1
1
( )
0
3 4
2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
根据系统函数的零极图，粗略地画频响曲线，有如下规律：
p1, 2 p e ji 对于因果系统，当系统函数有一对靠近单位园的极点
j
系统函数的零极图：
j Im{z}
Re{z}
1
1
1 sin 2 j 2 e 4 sin 2
3
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
H ( e j )
1 sin 2 4 sin 2
Байду номын сангаас
sin 2 3 ( ) arg 2 sin 2
y(n) h(n) cos n
H (e j ) cos[n ()]
这里，H(ejω)是系统的频率响应，它的模|H(ejω)|是系统的幅频 响应，相位φ(ω)是系统的相频响应。
由前式可见，频率响应与系统函数的关系
H (e j ) H ( z ) z e j
《Signals & Systems》
j 2
zk e
j k 2
系统函数的极点： 1 z 1 0
z 1
系统函数的零极点在z=1处抵消一个，还有三个零点分别是：
zk e
j k 2
k 1,2,3
离散系统的系统函数和频率响应
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
离散系统的频率响应和输出响应的matlab实现
上海电力学院信号与系统实验报告题目：离散系统的频率响应和输出响应班级：2011023专业：电气工程及其自动化学号：********2013年12月18日离散系统的频率响应和输出响应 一、实验目的1、学习利用Matlab 求解系统频率响应的方法。
2、学习利用Matlab 求解系统输出响应的方法。
3、加深学生对离散系统频率响应概念的理解。
二、实验原理定义系统的频率响应为∑∞-∞=-==n jnwjwn h n h DTFT ])([)]([H）（我们知道，一个单位脉冲响应为h(n)的系统对出入序列x(n)的输出为)(*)()(y n h n x n =，根据DTDT 的卷积性质，可以推得)(*)()](*)([)]([)(Y jw jw jw H X n h n x DTFT n y DTFT ===对于求解系统的输出响应，则可利用卷积计算实现，也可不通过卷积，即可先求出)(jw X 和)(jw H ，进而求出)(Y jw ，再通过求IDTFT 变换求出y （n ）.三、实验程序（1）要求给定一个系统的单位脉冲响应为 )]20()()[4.0sin()(h --=n n n n εε求：1）利用matlab 求出该系统的频率响应特性。
2）若输入该系统的信号为)4.0sin(2)3/5.0cos()(x n n n πππ++=，确定该系统的稳态输出信号。
（2）程序实现为了方便在matlab 中进行调用，首先用m 语言编写两个函数来实现DTFT 和IDTFT 。
实现DTFT 的函数：function[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k) %realize dtft sequence x%[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k)%x,n:original sequence and its position vector%kl,kr,k:[kl,kr]is fuequency points%xjw,w:dtft of sequence x;w is correspond frequencyfstep=(kr-kl)/k; %计算频率间隔w=[kl:fstep:kr]; %计算频率点xjw=x*(exp(-j*pi).^(n'*w)); %计算x(n)的DTFT实现IDTFT的函数：fuction[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%realize idtft for xjw%[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%w:frequency with unit pi*/red/s%and w must be interval%nl,nr:[nl,nr]resultant sequence's sample time range%they must be interger%x,n:resultant sequencce and its position vectorn=[nl,nr]; %计算序列的位置向量l=max(w)-min(w); %频率范围dw=(w(2)-w(1))*pi; %相邻频率间隔也是积分步长x=(dw*xjw*(exp(j*pi).^(w'*n)))/(1*pi); %用求和代替积分，求出IDTFT 下面编写调用上面两个函数的M语言程序来计算h(n)的DTFTnh=[0:39];h=sin(0.4*nh)/(0.4*nh); %系统脉冲响应h(1)=1;[hjw,wh]=dtft(h,nh,-2,2,400); %计算系统频率响应subplot(3,1,1);plot(wh,abs(hjw));nx=[0:39];x=cos(0.5*pi*nx+pi/3)+2*sin(0.4*pi*nx); %输入序列x(n)[xjw,wx]=dtft(x,nx,-2,2,400); %x(n)的DTFTsubplot(3,1,2);plot(wx,abs(xjw));yjw=xjw.*hjw;wy=wx;subplot(3,1,3);plot(wy,abs(yjw)); %计算输出序列的DTFT 运行此程序即可得到系统的输出序列的频谱曲线进一步，通过调用idft函数来求输出序列；同时还可以利用卷积的概念求出输出序列。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。
它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。
频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。
在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。
频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。
下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。
1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。
在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。
2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。
通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。
幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。
3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。
相频特性也通常用相位特性曲线表示。
相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。
4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。
幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。
5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。
当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。
稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。
6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。
通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。
离散系统的截止频率计算
离散系统的截止频率计算离散系统的截止频率是指信号通过系统时，系统对信号的幅频特性出现明显的削弱或失真的频率点。
在离散系统中，截止频率可以通过不同的方法进行计算，包括基于巴特沃斯滤波器的截止频率计算、基于幅频特性图的截止频率计算、基于数字滤波器的截止频率计算等。
本文将介绍这些计算截止频率的方法，并给出具体的数学推导过程。
巴特沃斯滤波器是一种常见的滤波器类型，它的特点是幅度响应在通带内近似为平坦，而在截止频率附近发生明显衰减。
根据巴特沃斯滤波器的截止频率计算公式，可以得到截止频率的近似计算公式。
对于巴特沃斯低通滤波器，其幅度响应近似为：H(jω)=1/(1+(ω/ωc)^2N)^0.5其中ω为频率，ωc为截止频率，N为滤波器的阶数。
当幅度响应下降到1/√2倍时，频率ω等于截止频率ωc，即：1/(1+(ωc/ωc)^2N)^0.5=1/√2根据上述等式，可以解出截止频率ωc与滤波器阶数N之间的关系，从而得到截止频率的计算公式。
幅频特性图是一种用于描述系统频率响应的图形，其中横坐标为频率，纵坐标为幅度。
通过观察幅频特性图，可以直观地得到系统的截止频率。
对于连续时间的系统，可以通过绘制系统的幅频特性曲线来确定截止频率。
在幅频特性图上，截止频率对应的幅度为输入信号幅度的1/√2倍。
因此，可以通过观察幅频特性图的曲线，找到对应幅度为输入信号幅度的1/√2倍的频率，即可得到截止频率。
对于离散时间的系统，也可以绘制幅频特性图来确定截止频率。
在离散系统中，频率是离散的，通常以单位样本周期为单位。
通过绘制离散系统的幅频特性图，找到幅度为输入信号幅度的1/√2倍的频率所对应的样本周期数，即可得到截止频率。
数字滤波器是一种离散时间系统，可以用于对信号进行滤波处理。
对于数字滤波器，可以通过计算其差分方程的解析表达式，来确定截止频率。
差分方程是描述数字滤波器输入输出关系的一种数学表达方式。
通过对差分方程进行变换和化简，可以得到数字滤波器的传输函数。
信号与系统§8.10 离散时间系统的频率响应特性
3.因为 e 是j 周期为 的2周期函数，所以系统的频响
特性 H 为e j周期为 的周2期函数。
4. H e j 是关于 的 偶函数， 是关于 的奇函数。
5．小结
1. 系统的频响特性 H e j
H z
z
e j
H
e j
e j
H e j ：幅~ 频特性，输出与输入序列的幅度之比
：~ 相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。
1. 三种变换的比较
2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
j
s j z e sT
拉氏变换
t
图8-9-1 连续信号的理想抽样
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
2．理想抽样信号的z变换
3．理想抽样信号的傅里叶变换
4. 序列的傅里叶变换
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义
X s s
xt
n
t
nT
e
st
dt
n
§8.10 离散时间系统的 频率响应特性
主要内容
序列的傅里叶变换
傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
离散时间系统的频率响应特性
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。