线性离散系统状态方程的解

试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。
Z变换法(4/7)—例3-14
解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有
0 x(1) 0.16 0 x(2) 0.16 0 x(3) 0.16
1 1 1 0 1 1 1 1.84 1 0 1 2.84 1 1.84 1 0.84 1 2.84 1 0.16 1 0.84 1 1.386
线性时变离散系统状态方程的解(4/6)
因此有
x (k ) G (k 1)G (k 2)...G (k0 ) x (k0 ) G (k 1)G (k 2)...G (i 1) H (i )u(i )
递推法(4/10)
与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程 求解,亦可引入状态转移矩阵。 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: (k+1)=G(k) (0)=I 用递推法求解上述定义式,可得
(k)=Gk
因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
x(k ) Φ(k )x(0) Φ(k - j - 1) Hu( j )
0 1.84,
2.84 0.84,
0.16 1.386
输出方程的解(1/2)
3. 输出方程的解
将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k) 中,可得输出y(k)的解为
y (k ) CG k x(0) CG k j 1 Hu( j ) Du(k )
递推法(2/10)
若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复 以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推 求解公式: x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1)
G x(0) G k j 1 Hu( j )
因此,有
(k ) G k Z 1[( zI - G ) 1 ] 1 4(-0.2) k - (-0.8) k 3 - 0.8(-0.2) k 0.8(-0.8) k 5(-0.2) k - 5(-0.8) k k k - (-0.2) 4(-0.8)
k j 0 k 1
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:
x( k ) G
或
k k0
x(k0 ) G k j 1 Hu( j )
j k0
k 1
x( k ) G k k 0 x( k 0 )
k k 0 1 j 0
j G Hu(k j 1)
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1) 因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]
( z 2 2) z ( z 0 . 2 )( z 0 . 8 )( z 1 ) 2 (- z 1.84 z ) z ( z 0.2)( z 0.8)( z - 1) 44 25 - 51z 1 z 0.2 z 0.8 z - 1 18 10.2 z - 35.2 7 z 0.2 z 0.8 z - 1
假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为
x ( k ) ( k , k0 ) x ( k0 )
k 1
i k0
(k , i 1)H (i)u(i)
式中, (k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。
线性时变离散系统状态方程的解(2/6)
线性时变离散系统的状态转移矩阵(k ,k0)满足如下矩阵差 分方程及初始条件：
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k


其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
j 0
k 1
亦为
x(k ) Φ(k )x(0) Φ( j ) Hu(k - j - 1)
j 0
k 1
递推法(5/10)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统
x(t ) (t )x0 (t ) Bu( )d
0 t
离散系统
x(k ) Φ(k )x(0) Φ(k - j - 1) Hu( j )
j 0
k 1
线性时变离散系统状态方程的解(1/6)
2.4.2 线性时变离散系统状态方程的解
设线性时变离散系统的状态空间模型为
x (k 1) G(k ) x (k ) H (k )u(k ) y (k ) C (k ) x (k ) D(k )u(k )
式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。
G k Z 1 ( I - Gz 1 ) 1 Z 1 ( zI - G ) 1 z




Z -1{( zI - G ) -1 HU ( z )} Z -1{( zI - G ) -1 z z -1 HU ( z )} G k - j -1 Hu( j )
j 0
k 1
这即为计算机控制系统固有的一步时滞。
Z变换法(1/7)
2. Z变换法
已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z) 于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)
用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z) 对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]
类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。 2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1 z 1 zI G ( z 0.2)( z 0.8) 0.16 z 1
Z变换法(5/7)—例3-14
( zI - G )
1
adj( zI - G ) z 1 1 /[( z 0.2)( z 0.8)] | zI - G | - 0.16 z 1 5 5 4 1 z 0.2 - z 0.8 z 0 . 2 z 0 . 8 -1 4 3 0.8 0.8 z 0.2 z 0.8 z 0.2 z 0.8
线性离散系统状态方程的解(1/2)
2.4.1 线性离散系统状态方程的解
线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法 两种主要方法: Z变换法只能适用于线性定常离散系统, 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 下面将分别讨论 线性定常离散系统 线性时变离散系统
的状态空间模型求解。
Z变换法(7/7)—例3-14
k k 5 1 ( 0 . 2 ) 44 ( 0 . 8 ) 25 1 1 x(k ) Z { X ( z )} k k 18 10.2(-0.2) - 35.2(0.8) 7
令k=0,1,2,3代入上式,可得
1 x( k ) , 1
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
j 0
k 1
CG x(0) CG j Hu(k j 1) Du(k )
k j 0
k 1
输出方程的解(2/2)
或
Leabharlann Baidu
y (k ) CΦ(k )x(0) CΦ(k - j - 1) Hu( j ) Du(k )
j 0
k 1
CΦ(k )x(0) CΦ( j ) Hu(k j 1) Du(k )
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
j 0
k 1
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
1. 与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成,
一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的 输入无关,称为系统状态的零输入响应;
另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与 初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响 应。
递推法(1/10)
1. 递推法
递推法亦称迭代法。 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……
k j 0
k 1
上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1) G x(0) G j Hu(k j 1)
x (k0 1) G (k0 ) x (k0 ) H (k0 )u(k0 ) x (k0 2) G (k0 1) x (k0 1) H (k0 1)u(k0 1) G (k0 1)G (k0 ) x (k0 ) G (k0 1) H (k0 ) u(k0 ) H (k0 1) u(k0 1) x (k0 3) G (k0 2) x (k0 2) H (k0 2) u(k0 2) G (k0 2)G (k0 1)G (k0 ) x (k0 ) G (k0 2)G (k0 1) H (k0 ) u(k0 ) G (k0 2) H (k0 1)u(k0 1) H (k0 2) u(k0 2)