线性离散系统状态方程的解
现代控制理论经典习题
1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？(AB)A 指南车B 水运仪象台C 指南针D 印刷术2、经典控制理论也可以称为(BD)A 现代控制理论B 自动控制理论C 近代控制理论D 古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？(AB)A 李雅普诺夫稳定性理论B 极小值原理C 频率响应法D 根轨迹法4 、传递函数模型假设模型初值不为零。
(✖)5 、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。
(✖)6 、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部份。
(✔)7 、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部份。
(✖)8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究(数学建模)和(控制理论方法) 的科学问题。
9 、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了(承上起下)的作用。
10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统(能控性)和(能观测性)两个内部特性。
一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。
你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？(BD)A 输出方程中状态变量必须是一阶的B 输出方程中不含输入的任何阶倒数C 输出方程中输入变量可以是任意阶的D 输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？(AB)A 系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B 系统输出方程的输入输出变量是惟一的C 系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D 系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？(AC)A 这些动态方程一定是等价的B 这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C 这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D 这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的(✖)5、状态向量的选取是不惟一的(✔)6、状态向量的个数是不惟一的(✖)7、输出方程的选取是不惟一的(✔)8、(系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式)称为输出方程。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
离散化的状态方程
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法 例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
系统离散状态方程（T＝0.1） 可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相 输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
(第8讲)离散系统状态方程及解
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , tt ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
零输入响应自由响应零状态响应强迫响应tgq77126com状态转移矩阵就是将系统由一个状态转移到另外一个状态即制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数控tgq77126com信号在时间上不连续的信号叫离散信号
Modern Control Theory
自动控制原理第九章线性离散控制系统
e -Ts
1 - e-Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅 值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单 位理想脉冲，其拉氏变换为1。
16
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
说明：零阶保持器实际的传递函数
u( t )
零阶 uh ( t )
保持器
实际的 u( t ) 1( t ) - 1( t - )
t
7
单位幅值脉冲与理想脉冲的区别
δT (t)
1
δT (t)
0 T 2T
t
0 T 2T
t
用 1( t ) 表示 0 时刻的单位幅值脉冲，则第nT 时刻的单位幅值 脉冲为 1( t - nT ) 1( t - nT ) - 1( t - nT - ) , n 0 , 1, 2,
当 0 时， 其拉氏变换为
- s - max 0 max s
2s
s 2max 时
F( j )
- s - max 0 max s
2s
13
s 2max 时
F( j )
- 2s
-
-
s
max
0
max
s
2s
只有满足 s 2max，采样信号 f ( t ) 才包含了原信号
f ( t )的全部信息，因此可以不失真地重现原信号。
说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于 实际的反馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽） 通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。
15
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
2019/1/5
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1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
7-4离散系统的数学模型
n
c(k ) 5c(k 1) 6c(k 2) r (k )； r (k ) 1(k )； c(0) 0, c(1) 1。
试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,…,10。
解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1) - 6c(k)； 得 c(0) 0；c(1) 1；
7-4 离散系统的数学模型
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
3. 脉冲传递函数 4. 组合环节的等效脉冲传递函数 5. 闭环系统的脉冲传递函数计算
6. Z变换的局限性及修正Z变换
离散系统的数学模型 与连续系统类似，单输入单输出线性时不变 离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、 脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重 点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本 概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。 1. 离散系统的数学定义
k 1
2
z c(kT ) ( z 2)( z 3)
z k 1 ( z 1)( z 2) z 3
z 1
z ( z 1)( z 3)
k 1
z 2
0.5 2
k 1
0.5 3 ，k 0；
k 1
c(2) 6； c(3) 25； c(10) 86526；
┇
k
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
lim c(k ) 1.0；
这两个示例表明，用递推法求解差分方程， 计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。
(2) Z变换法(例7-17 )
计算机控制系统清华大学出版社何克忠李伟习题参考答案
第一章1.1 计算机控制系统是怎么样分类的？按功能和控制规律可各分几类？答：计算机控制系统可按功能分类，按控制规律分类和按控制方式分类。
按功能计算机控制系统的分类：（1）数据处理系统。
（2）直接数字控制（简记为DDC）。
（3）监督控制（简记为SCC）。
（4）分级控制。
（5）集散控制。
（6）计算机控制网络。
按照控制规律计算机控制系统的分类：（1）程序和顺序控制。
（2）比例积分微分控制（简称PID控制）。
（3）有限拍控制。
（4）复杂规律控制。
（5）智能控制。
1.2 计算机控制系统由哪些部分组成？并画出方框图。
答：计算机控制系统由控制对象、执行器、测量环节、数字调节器及输入输出通道等组成。
方框图：P115 图1.21 输出反馈计算机控制系统1.9 简述采样定理及其含义。
答：采样定理：如果采样角频率ωω=2π/T大于2ωmax，即ωω≥2ωmax，则采样的离散信号ω∗(t)能够不失真地恢复原来的连续信号y(t)。
式中ωmax是连续信号y(t)的频谱特性中的最高角频率。
含义：要使采样信号ω∗(t)能够不失真地恢复原来的连续信号y(t)，必须正确选择采样角频率，使ωω≥2ωmax1.10 多路巡回检测时，采样时间τ，采样周期T和通道数N之间的关系。
答：采样时间是足够短的时间，y(kT)≈y(kT+?t),0<?t<ωω。
应满足 T≥Nωω。
1.12 设有模拟信号(0～5)V 和(2.5～5)V ，分别用8位、10位和12位A/D 转换器，试计算并列出各自的量化单位和量化误差。
答：量化单位q=ωωωω∗−ωωωω∗2ω−1≈ωωωω∗−ωωωω∗2ω,量化误差ε=q /2根据以上公式可求得(0~5)V ：(2.5~5)V ：1.14 试述数模转换器的作用？如何选择转换器的位数？答：数模转换器把数字量u(kT)转换成离散的模拟量ω∗(t)。
转换的精度取决模-数转换器的位数n ，当位数足够多时，转换可以达到足够高的精度。
现代控制理论-状态方程的解
2 5
T 1 2 3 1 2
二重根
2
1 1
对于重根，要求广义特 征向量
i Pi APi
i Pi1 APi1 Pi
.......... .......... .......... ....
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
dt
e At Bu(t )
将上式积分有
X (t) 1 (sI A)1 X (0) 显然 e At 1 (sI A)1
t d eA X ( )
t
d e A Bu( )d
0 d
0
t
e At的一种求法
2021/4/22
可得 e At X (t ) X (0) e A Bu( )d
T 1 AT，有eAt TetT 1
( 2 )A特征根有重根 ,算法和( 1 )相似
参见 教材 P.490 机机械械工工业业出出版版社社 天天津津大大学学 刘刘豹豹 pp..2288
[3]利用拉氏反变换求 e At
( t ) eAt 1 [( sI A)1 ]
[ 4 ]; 应用凯莱 哈密顿定理求e At 参见p.472
方阵A满足自身的特征方程
作业：p.536;9-12，9-2
f ( A ) An an1 An1 a1 A a0 I 0
2021/4/22
8
电气工程学院
1.什么是传统机械按键
设传计统？的机械按键设计是需要手动按压按键
触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种
设传计统方机式械。按键结
构层图：
0
3
电气工程学院
t
计算机控制系统_清华大学_何克忠_李伟_习题参考答案
第一章1.1 计算机控制系统是怎么样分类的？按功能和控制规律可各分几类？答：计算机控制系统可按功能分类，按控制规律分类和按控制方式分类。
按功能计算机控制系统的分类：（1）数据处理系统。
（2）直接数字控制（简记为DDC）。
（3）监督控制（简记为SCC）。
（4）分级控制。
（5）集散控制。
（6）计算机控制网络。
按照控制规律计算机控制系统的分类：（1）程序和顺序控制。
（2）比例积分微分控制（简称PID控制）。
（3）有限拍控制。
（4）复杂规律控制。
（5）智能控制。
1.2 计算机控制系统由哪些部分组成？并画出方框图。
答：计算机控制系统由控制对象、执行器、测量环节、数字调节器及输入输出通道等组成。
方框图：P115 图1.21 输出反馈计算机控制系统1.9 简述采样定理及其含义。
答：采样定理：如果采样角频率=2/T大于2，即≥2，则采样的离散信号(t)能够不失真地恢复原来的连续信号y(t)。
式中是连续信号y(t)的频谱特性中的最高角频率。
含义：要使采样信号(t)能够不失真地恢复原来的连续信号y(t)，必须正确选择采样角频率，使≥1.10 多路巡回检测时，采样时间，采样周期T和通道数N之间的关系。
答：采样时间是足够短的时间，y(kT)y(kT+),0<<。
应满足 T≥N。
1.12 设有模拟信号(0～5)V和(2.5～5)V，分别用8位、10位和12位A/D转换器，试计算并列出各自的量化单位和量化误差。
答：量化单位q=,量化误差量化误差(2.5)V量化误差1.14 试述数模转换器的作用？如何选择转换器的位数？答：数模转换器把数字量u(kT)转换成离散的模拟量(t)。
转换的精度取决模-数转换器的位数n，当位数足够多时，转换可以达到足够高的精度。
1.19 计算机控制系统有哪些主要的性能指标？如何衡量？答：计算机控制系统主要有动态指标，稳态指标和综合指标1.20 如何衡量系统的稳定性？答：用相角裕量和幅值裕量来衡量计算机控制系统的稳定程度。
第7章 线性离散系统
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
自动控制原理
26
部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
2019年12月2日星期一
自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
离散系统的系统函数
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i
h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面 极点位置
虚轴上 原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面 极点位置
第六章线性系统的状态方程
状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。
因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。
4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。
系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。
,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。
例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。
状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。
现代控制理论课后习题答案
绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。
我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。
2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
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Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k
Βιβλιοθήκη 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。 2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1 z 1 zI G ( z 0.2)( z 0.8) 0.16 z 1
Z变换法(5/7)—例3-14
( zI - G )
1
adj( zI - G ) z 1 1 /[( z 0.2)( z 0.8)] | zI - G | - 0.16 z 1 5 5 4 1 z 0.2 - z 0.8 z 0 . 2 z 0 . 8 -1 4 3 0.8 0.8 z 0.2 z 0.8 z 0.2 z 0.8
因此,有
(k ) G k Z 1[( zI - G ) 1 ] 1 4(-0.2) k - (-0.8) k 3 - 0.8(-0.2) k 0.8(-0.8) k 5(-0.2) k - 5(-0.8) k k k - (-0.2) 4(-0.8)
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1) 因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]
( z 2 2) z ( z 0 . 2 )( z 0 . 8 )( z 1 ) 2 (- z 1.84 z ) z ( z 0.2)( z 0.8)( z - 1) 44 25 - 51z 1 z 0.2 z 0.8 z - 1 18 10.2 z - 35.2 7 z 0.2 z 0.8 z - 1
Z变换法(7/7)—例3-14
k k 5 1 ( 0 . 2 ) 44 ( 0 . 8 ) 25 1 1 x(k ) Z { X ( z )} k k 18 10.2(-0.2) - 35.2(0.8) 7
令k=0,1,2,3代入上式,可得
1 x( k ) , 1
j 0
k 1
亦为
x(k ) Φ(k )x(0) Φ( j ) Hu(k - j - 1)
j 0
k 1
递推法(5/10)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统
x(t ) (t )x0 (t ) Bu( )d
0 t
离散系统
x(k ) Φ(k )x(0) Φ(k - j - 1) Hu( j )
k j 0 k 1
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:
x( k ) G
或
k k0
x(k0 ) G k j 1 Hu( j )
j k0
k 1
x( k ) G k k 0 x( k 0 )
k k 0 1 j 0
j G Hu(k j 1)
递推法(2/10)
若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复 以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推 求解公式: x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1)
G x(0) G k j 1 Hu( j )
递推法(4/10)
与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程 求解,亦可引入状态转移矩阵。 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: (k+1)=G(k) (0)=I 用递推法求解上述定义式,可得
(k)=Gk
因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
x(k ) Φ(k )x(0) Φ(k - j - 1) Hu( j )
G k Z 1 ( I - Gz 1 ) 1 Z 1 ( zI - G ) 1 z
Z -1{( zI - G ) -1 HU ( z )} Z -1{( zI - G ) -1 z z -1 HU ( z )} G k - j -1 Hu( j )
j 0
k 1
假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为
x ( k ) ( k , k0 ) x ( k0 )
k 1
i k0
(k , i 1)H (i)u(i)
式中, (k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。
线性时变离散系统状态方程的解(2/6)
线性时变离散系统的状态转移矩阵(k ,k0)满足如下矩阵差 分方程及初始条件：
线性时变离散系统状态方程的解(4/6)
因此有
x (k ) G (k 1)G (k 2)...G (k0 ) x (k0 ) G (k 1)G (k 2)...G (i 1) H (i )u(i )
x (k0 1) G (k0 ) x (k0 ) H (k0 )u(k0 ) x (k0 2) G (k0 1) x (k0 1) H (k0 1)u(k0 1) G (k0 1)G (k0 ) x (k0 ) G (k0 1) H (k0 ) u(k0 ) H (k0 1) u(k0 1) x (k0 3) G (k0 2) x (k0 2) H (k0 2) u(k0 2) G (k0 2)G (k0 1)G (k0 ) x (k0 ) G (k0 2)G (k0 1) H (k0 ) u(k0 ) G (k0 2) H (k0 1)u(k0 1) H (k0 2) u(k0 2)
k j 0
k 1
上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1) G x(0) G j Hu(k j 1)
递推法(1/10)
1. 递推法
递推法亦称迭代法。 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……
j 0
k 1
线性时变离散系统状态方程的解(1/6)
2.4.2 线性时变离散系统状态方程的解
设线性时变离散系统的状态空间模型为
x (k 1) G(k ) x (k ) H (k )u(k ) y (k ) C (k ) x (k ) D(k )u(k )
式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。
试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。
Z变换法(4/7)—例3-14
解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有
0 x(1) 0.16 0 x(2) 0.16 0 x(3) 0.16
1 1 1 0 1 1 1 1.84 1 0 1 2.84 1 1.84 1 0.84 1 2.84 1 0.16 1 0.84 1 1.386
这即为计算机控制系统固有的一步时滞。
Z变换法(1/7)
2. Z变换法
已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z) 于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)
用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z) 对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]
j 0
k 1
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积