线性离散系统资料讲解
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自动控制原理第7章线性离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
线性离散系统
其拉氏变换：
F *(S) f (nT ) enTs n0
令 z eTs 得：
F (z) f (nT ) zn n0
二、 Z变换的求法
1、级数求和法：逐项进行Z变换
F(z) f (0) f (T )z1 • • • f (nT )zn • • •
2、部分分式法：和拉氏变换对应
n
F(s)
0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
2、部分分式法
部分分式法又称查表法，其基本思想是根据已知的 F(z) ,通过查 Z 变换表找出相应的f *(t) ,或者 f (nT)；采 用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式，其方法 与求拉普拉斯反变换的部分分式法相似。稍有不同的 是，由于F(z)在分子中通常含有 z，因此先将 F(z) 除以
F(z)
0.5z 1
1 1.5z 1 0.5z 2
按长除法，用分母多项式去除分子多项式，得：
F (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
0 z0 0.5z1 0.75z2 0.875z3 0.9375z4
f *(t) 0 (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T )
一、理想的信号恢复
将e*(t)送入理想滤波器中
二、零阶保持器
采用恒值外推规律。
二、零阶保持器
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh
(s)
L[
gh
(t)]
1
eTs s
三、一阶保持器
线性外推 e(nT t) a0 a1t
e(nT t) e(nT ) e(nT ) e[(n 1)T ] t T
f (t) 10 (t T) 30 (t 2T) 70 (t 3T) 150 (t 4T) L
线性离散系统的基本概念线性离散系统的分析与校正
* n 0 n 0
•采样过程可以看作一个幅值调制过程。 上述讨论假设脉冲序列从零开始。
2、采样过程的数学描述
(1)采样信号的拉氏变换
对采样信号e* (t )进行拉氏变换，得： E (s) (e (t )) e(nT ) (t nT ) n 0
7-2 信号的采样与保持
1 采样过程
2 采样过程的数学描述 3 香农采样定理 4 采样周期的选取 5 信号保持
1、采样过程
采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将 其变换为时间上离散的脉冲序列的过程。
0, 理想单位脉冲序列T (t nT )
n 0
理想采样器的输出 e (t ) e(t )T (t ) e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )
* *
由位移定理，有 (t nT ) e
采样信号的拉氏变换为： E (s) e(nT )e nTs (7 5)
* n 0
nTs
0
(t )e st dt e nTs
采样信号的拉氏变换与采样函数e(nT)的关系:
(1)E*(s)只能描述采样瞬间的离散数值，不能描述e(t)在采样间隔之间的信息。 (2)若e(t)为有理函数形式，则无穷级数E(s)也是e(Ts)的有理函数形式。 (3)式(7-5)与连续信号e(t)的拉氏变换类似。 (4)E*(s)的初始值通常规定采用e(0+)。
1 E ( s) E ( s jns ) T n
*
若E * ( s )在s右半平面没有极点，令s j 将e *(t )进行傅氏变换，得： 1 n E *( j ) E j ( ns ) (7 11) T n 其中，E ( j )为连续信号e(t ) 的傅氏变换。
•采样过程可以看作一个幅值调制过程。 上述讨论假设脉冲序列从零开始。
2、采样过程的数学描述
(1)采样信号的拉氏变换
对采样信号e* (t )进行拉氏变换，得： E (s) (e (t )) e(nT ) (t nT ) n 0
7-2 信号的采样与保持
1 采样过程
2 采样过程的数学描述 3 香农采样定理 4 采样周期的选取 5 信号保持
1、采样过程
采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将 其变换为时间上离散的脉冲序列的过程。
0, 理想单位脉冲序列T (t nT )
n 0
理想采样器的输出 e (t ) e(t )T (t ) e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )
* *
由位移定理，有 (t nT ) e
采样信号的拉氏变换为： E (s) e(nT )e nTs (7 5)
* n 0
nTs
0
(t )e st dt e nTs
采样信号的拉氏变换与采样函数e(nT)的关系:
(1)E*(s)只能描述采样瞬间的离散数值，不能描述e(t)在采样间隔之间的信息。 (2)若e(t)为有理函数形式，则无穷级数E(s)也是e(Ts)的有理函数形式。 (3)式(7-5)与连续信号e(t)的拉氏变换类似。 (4)E*(s)的初始值通常规定采用e(0+)。
1 E ( s) E ( s jns ) T n
*
若E * ( s )在s右半平面没有极点，令s j 将e *(t )进行傅氏变换，得： 1 n E *( j ) E j ( ns ) (7 11) T n 其中，E ( j )为连续信号e(t ) 的傅氏变换。
线性离散系统基础
第七章 线性离散系统基础一．基本内容1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。
2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法；3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算二．重点和难点离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。
把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。
反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。
离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。
离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。
按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为se s G Ts h --=1)(1．脉冲传递函数脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。
比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为)(1)()()(2121z H G G z G G z R z C +=式中，)]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G =)]()([)(2121s G s G Z z G G =图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。
2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。
即 ),2,1(1n i z i =<。
因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。
线性离散系统的分析
是连续输出 在c(t采) 样时刻的瞬时值。 脉冲传递函数给出的是两个离散信号之间的传
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
第8章_线性离散系统的分析与综合
)]
Z
dX(z) dz
④复域积分定理
若Z[x(t)] X(z)
则
Z
x(nT n
)
X(z)dz lim x(nT )
zz
n0 n
⑤初值定理
若Z[x(nT)] X(z)
则 lim x(nT ) 或lim X(z) x(0) lim X(z)
n0
z
z
⑥终值定理
若 Z[x(nT)] X(z)
线性离散系统的分析与综合
➢ 1 离散系统概述 ➢ 2 Z变换及Z反变换 ➢ 3 线性离散系统的数学模型 ➢ 4 线性采样系统的分析 ➢ 5 线性采样系统的综合与校正
8.1 离散系统概述
1．概述
由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计 算机控制系统。微型机,小型机及微处理机的大量涌现, 使计算实时控制技术的发展异常迅速。可以说计算机与 自动控制的结合，使自动化技术进入了崭新的前所未有 的发展阶段。
Gh (s)
sin Ts
s
2 e jTs
Ts / 2
s
/2
s
由零阶保持器的 幅频特性可以看出， 其幅值随着频率的增 加而衰减，具有低通 滤波的特性。从相频 特性可以看出，零阶 保持器会产生负相移， 从而使得系统相位滞 后增大，稳定性变差。
除了零阶保持器外，还有一阶、二阶等高阶保 持器，由于结构复杂，存在较大的负相移，实际系 统中很少应用。在计算机控制系统中，数模转换器 就是一种低通滤波器。
级数求和法，部分分式法，留数计算法。
1)级数求和法
1(z) 1 z ， 1 z1 z 1
z
1
X(
z)
1
1 eaT
z
1
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
第7章 线性离散系统简介
零阶保持器的传递函数，数值仿真 时带零阶保持器变换
例：求积分环节的差分方程
Z变换的运算符z是前移运算符，与拉普拉斯变换的s类似
如u(z)
→u(kT);则 zu(z) →u(kT+T)
2 z 1 2 1 z 1 s T z 1 T 1 z 1 U ( s ) ki u ( z ) kiT ( z 1) ; E ( s ) s e( z ) 2( z 1) kiT ( z 1)e( z ) 2( z 1)u ( z ) kiT [e(k ) e(k 1)] 2[u (k 1) u (k )] ki T u (k 1) u (k ) [e(k 1) e(k )] 2 T ui (k 1) ui (k ) ki [e(k 1) e( k )] 2
采样时间序列
图 7-2 采样时间序列
采样周期实现
计算机逻辑包含一个时钟，他每隔T秒提供一个脉冲 （中断），每次中断到来时模数（A/D)转换器向计 算机中发送一个数，这种情况采样周期是精确不变 的 程序代码执行周期结束后，存取一遍A/D转换器， 采样周期是由程序代码的长度决定的。 采样速率约为系统闭环带宽的20倍以上，以确保数 字控制器与连续控制器的性能一致。
用MATLAB求Z变换
数字控制系统可应用Z变换方法分析， Z变换是分析 线性离散系统的数学工具
求Z变换的MATLAB命令
numG=[1 6]
denG=[1 0] sysG=tf(numG,denG) sysGd=c2d(sysG,T,'t')
注:T—采样周期，t—积分的梯形方法 Help c2d可获得更多的数值方法
第7章 线性离散个
系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统 中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统： 计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统
线性离散系统
综上所述，已知 f (t) 求 F(z) 时，既可以按下面的 虚线箭头的步骤求取 F(z) ，又可以按实线箭头 的步骤求取 F(z) 。
f (t) 采样 f *(t) z变换 F(z)
拉氏变换
F(s) 部分分式
3、留数计算法
设连续函数f (t) 的拉氏变换式F(s)及其全部极点 pi 为
已知，则可用留数计算法求其 Z变换。
则有 n F (z) ai Fi (z) i 1
上式表明，Z 变换是一种线性变换，其变换过
程满足齐次性与均匀性。
2、平移定理
平移定理又叫做实数位移定理。其含义是指整个采样 序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平 移称为超前，向右平移称为滞后。平移定理如下所述。
如果函数f (t)是可拉氏变换的，其 z 变换为F(z)，则有
信号e(t)就可以完整地从采样信号e*(t)中 恢复过来。
即采样频率
s 2m
三、采样周期的选择
1.经验数据
三、采样周期的选择
2.计算公式：
频域： 时域：
s 10c
T
1 10 tr
2 1
T
s
5
c
1 T 40 ts
7.3 信号恢复与信号保持
一、理想的信号恢复 二、零阶保持器 三、一阶保持器
三、一阶保持器
Gh
(
s)
T
(1
Ts
)(1
eTs Ts
)
2
7.4 Z变换理论
一、 Z变换的定义 二、 Z变换的求法 三、 Z变换的性质 四、 Z反变换
一、 Z变换的定义
连续函数f(t)的拉氏变换：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
第4章：线性离散系统的数学描述1
这是一个二阶离散系统，该系统稳定的充要条
件为：
∴使系统稳定的k值范围为 0<k<2.39
思考题：
1、自己随便定一个一阶微分方程，用前向 差分将其转变成差分方程。 2、描述Z变换中的实数位移定理和复数位 移定理。 3、会用Z变换解差分方程。 4、会写闭环系统Z传递函数。 5、线性离散系统稳定性分析。
du(t ) 将 用后向差分 dt
代替得：
u(k ) u(k 1) T
整理后得：
2.用差分方程描述离散系统
（1）系统本身是离散过程
（2）系统本身是连续的采样控制系统： 利用定义推导3. 差 Nhomakorabea方程的解法
（递推法）
……
3. 差分方程的解法
（2）经典分析法：全解=通解+特解。麻 烦。 （3）Z变换法
离散系统的闭环脉冲传递函数为
z
K (0.368z 0.264) z 2 (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
G0 ( z ) 1 G0 ( z )
于是，离散系统的闭环特征方程为
2.离散系统的稳定性判定
D(z)=z2(0.368K－1.368)z+(0.264K+0.368)=0
第4章：线性离散系统的数学描述 与分析
一、离散系统的差分方程描述 二、线性离散系统的z传递函数描述 三、线性离散系统的稳定性分析
一、离散系统的差分方程描述
1. 差分方程的定义 2. 用差分方程描述离散系统 3. 差分方程的解法
1. 差分方程的定义
描述方程
分析工具
拉普拉斯变换
Z变换
典型的离散信号—均是单边信号
定义：零初始条件下，线性定常离散控制系统的输出序 列的z变换和输入序列的z变换之比。
自动控制理论第7章线性离散系统的分析与校正
自动控制理论第7章线性离散系统 的分析与校正
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。
第7章 线性离散系统
离散控制系统的模型描述往往是差分方程，由 于差分方程不便求解，然而可以将其变换成z变换表 达式来进行求解，最后由通过反z变换表达式变换成 差分方程得到求解。
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
自动控制原理
26
部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
2019年12月2日星期一
自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
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26
部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
2019年12月2日星期一
自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
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2019年12月2日星期一
自动控制原理
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保持器—采样信号的复现
自动控制原理第七章 线性离散系统
计算机控制系统的优点
• • • 有利于实现高精度， 采样信号特别是数码信号的传递，能有效地抑 制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 由于采用计算机作为系统的控制器，因而这类 系统不仅能完成复杂的控制任务，而且还易于 实现修改控制器的结构参数，以满足工程实际 的需要。 计算机除了作控制器之外，还兼有显示报警等 多种功能。
n
e
n
X [ j ( n
s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n
s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n
x ( j )
s
)]
m
m
(a)
* 1 x ( j ) T n=0
x (t ) x (t ) (t nT )
* n
x (t )
*
1 T
x (t ) e jn s t
n jn s t
n
n
(t nT ) C
n
e
1
jn s t
n
x (t ) e
1 T 1 T
x (t ) 1 e t
由Z变换表可得
X ( z) z z 1 z ze
T
z (1 e T ) ( z 1)( z e T )
3. Z变换的性质
(1) 线性定理 若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z) (2) 实数位移定理 若 E(z)=Z[e(t)]， k 1 k 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z [ E ( z ) e( nT ) z n ]
第六章 线性离散系统分析
1.采样过程的数学表示 从物理意义来看，采样过程可以理解 为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着 单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲 调制器，通过它将连续函数f(t)调制成理想 的脉冲序列f *(t)。
T (t )
f(t)
f (t )
-3T -T T 3T -2T 2T T (t ) f(t) f (t ) 脉冲调制器 0 t 0 t
用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)
的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。
F(s)
L-1
部分分式
采样
F(z)
Z
f(t)
f*(t)
a 例 求 F ( s) 的Z变换 s( s a)
解：将F(s)展开成部分分式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
D/A转换过程 D/A转换过程可以用零阶保持器取代。
f (t ) f (t )
f h (t )
零阶 f h (t ) 保持器 2 3 4T T T
0
2 3 T 4T T T
t
0
T
t
T
＝
0 T t 0 t
+
1(t)
0
t
gh(t)
-1(t-T)
即：gh(t)=1(t)-1(t-T) 零阶保持器的传递函数为：
T (t )
f(t)
f (t )
-3T -T T 3T -2T 2T T (t ) f(t) f (t ) 脉冲调制器 0 t 0 t
用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)
的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。
F(s)
L-1
部分分式
采样
F(z)
Z
f(t)
f*(t)
a 例 求 F ( s) 的Z变换 s( s a)
解：将F(s)展开成部分分式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
D/A转换过程 D/A转换过程可以用零阶保持器取代。
f (t ) f (t )
f h (t )
零阶 f h (t ) 保持器 2 3 4T T T
0
2 3 T 4T T T
t
0
T
t
T
＝
0 T t 0 t
+
1(t)
0
t
gh(t)
-1(t-T)
即：gh(t)=1(t)-1(t-T) 零阶保持器的传递函数为：
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液位
5~10
温度
10~20
成分
10~20
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
采样周期的选择：
根据工程实践经验，随动系统的采样频率 可近似取为
s 10c
即采样周期可按下式选取为 T 1
5 c
通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间
ts，按下列经验公式选取：
或者
T
1 40
ts
f ( n t T ) a 0 a 1 t a 2 t 2 a m t m
n0
令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为
X(z)Z[x*(t)] x(n)Tzn n0
Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。
① z=eTs， z是一个复变量；
② Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；
③ X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)] ，同一信号不同表示形式对应 的脉冲序列的Z变换。
数学描述：
x * ( t ) x ( 0 ) ( t ) x ( T ) ( t T ) x ( 2 T ) ( t 2 T )
x(nT)(tnT) n0
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t) 为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字 表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并 没有本质区别。
通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，
采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
(a) 数字信号 图 8.3 D/A转换过程
(b) 连续信号
D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。
8.1 概述
➢数字控制系统的典型结构图
r(t)
e(t) T
e*(t)
A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成 数字信号。
D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转 化成模拟信号。
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
(a) 连续信号
(b) 离散信号
(c) 数字信号
图 8.2 A/D转换过程
A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输
入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点 2. 离散控制系统的定义
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
r(t) e(t) A/D
数字 u * (t )
计算机
D/A
uk(t) 被控 对象
c(t)
b(t) 测量元件
图 8.1 (数字)计算机控制系统方框图
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连 续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
④ 零阶保持器的传递函数为
1eTs Gh(s)L[gh(t)] s
8.3 Z变换与Z反变换
1. Z变换的定义 2. Z变换的基本定理 3. 求Z变换 4. 求Z反变换
8.3 Z变换与Z反变换
1. Z变换的定义
离散信号x*(t)表示为 x*(t)x(nT)(tnT)
n0
作拉氏变换可得
X*(s)L[x*(t)] x(n)TenTs
x(t)
x*(t)
输入连续信号 T 输出离散信号 T – 采样周期
x(t)
x*(t)
采样后
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
0
5T 6T 7T T 2T 3T4T
t
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样
离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅 在采样时刻t=nT(n=0,1,2···)出现，而脉冲强度 由nT时刻的连续函数x (nT)值来确定。
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输
入信号x(t)具有有限带宽，并且有直到ωmax的
频率分量，如果采样频率满足
s
2
T
2max
则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中， ωs为采样频率，T为采样周期，ωmax为连续信号中最 高次谐波的角频率。
8.1 概述
2. 离散控制系统的定义
离散控制系统的定义：当系统中某处或多 处的信号为在时间上离散的脉冲序列或数码形 式时，这种系统称为离散控制系统或离散时间 控制系统。
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样 2. 采样定理 3. 信号恢复
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样
采样过程：通过采样开关将连续信号变为 离散信号(采样信号)的过程。
13
3. 信号恢复 工程实践中普遍采用零阶保持器。
x*(t)
xh(t)
零阶保持器
零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续 采样时刻之间保持常量的信号。
x*(t)
常值外推
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
xh(t) 0 T 2T 3T4T
x(t-T/2) xh(t)
x(t)
6T 7T t
常值外推 x(nT+τ)=x(nT)
8.2 信号采样与恢复
3. 信号恢复 信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的
过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。 保持器是具有外推功能的元件，保持器的外
推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去 时刻离散 信号的外推。
kT tБайду номын сангаасk1)T时，
e ( n t T ) a 0 a 1 t a 2 t 2 a m t m
Gc (s)
u(t) T
u*(t) Gh (s)
uk(t) G p (s)
c(t)
b(t)
H (s)
图 8.4 与图 8.1 等效的离散系统结构图
Gc(s) 数字控制器的等效传递函数 Gh(s) 信号恢复器的传递函数 Gp(s) 被控对象的传递函数 H(s) 测量元件的传递函数
离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时 间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序 列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。
(0<τ<T)
8.2 信号采样与恢复
3. 信号恢复
x*(t)
常值外推
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
xh(t) 0 T 2T 3T4T
x(t-T/2) xh(t)
x(t)
6T 7T t
① T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小；
② 相位滞后，xh(t)比x(t)平均滞后半个采样周期；
③ 时域特性(单位脉冲响应)为 gh(t)=1(t)-1(t-T)；
采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必 要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率。
10
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
采样周期的选择：
工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据 选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。
表 8.1 采样周期的T参考数据
控制过程
采样周期T/s
流量
1~3
压力
1~5