1.2.2 同角三角函数的基本关系 教案
198.高一数学人教A版必修四教案:1.2.2 同角的三角函数的基本关系 Word版含答案
1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标:1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系;(2)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值;(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式;(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式;(5)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;(6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;(7)掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系;学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函数值;利用同角三角函数关系式化简三角函数式;利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点:公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用:(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1,商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证: cos 1sin 1sin cos x xxx +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结 (1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此1cos sin 22≠+βα,γβαcos sin tan ≠. (2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.五、评价设计(1) 作业:习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.。
高中数学《必修第一章同角三角函数的基本关系》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
进入情景,参与课堂活动
让学生证明同角的三角函数关系,小组交流展示讲解。
学生分析做法,并写出完整的解答过程。
小组成员展示,指出小组同学的做题情况并总结此类问题方法。
学生分析,交流教材上的两种证法。
分小组讨论,探究其解题方法,再与第一小题比较,寻找其可借鉴之处。
温故知新,构造知识发生的基础,通过层层设问,让学生经历从特殊到一般的归纳。
学生学情分析
从学生思维的来看,学生在初中阶段已经学习了锐角同角三角函数之间的关系,已经较好的掌握了锐角三角函数的数量关系,前一节已经将三角函数推广到任意角的三角函数,学生能根据任意角三角函数的定义求三角函数值,但这种方法较为麻烦,从三角函数的完整性讲,需要研究三角函数的正弦、余弦、正切之间的关系。基于以上分析,学生有研究同角三角函数的基本关系的必要,同时也有知识、方法和思维上的基础和条件。
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系式例1.
平方关系:/
商数关系:/例2.
1.同角
式子要有意义
教学反思
本节课采用“提出问题—合作探究—解决问题—变式应用”的模式展开。在两个基本公式的推导上,完全放手让学生自主去探索,去研究,去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导,顺利发现并证明了两个三角函数关系式。这样,在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中,他们经过自主探索,发现了数学知识,其成功后的喜悦自然也能激励他们再去探究新的数学知识。相信这些乐于自主探索的学生,成功会越来越多,认识会越来越深。
(1)能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式;
(2)掌握同角三角函数的两个基本关系式,并能够根据一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值。
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2同角三角函数的基本关系猜想:sin 2α+cos 2α=1 αααcos sin tan =二、知识探究(一):基本关系(1、以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长度构成直角三角形,由勾股定理得sin 2α+cos 2α=12、根据三角函数的定义当)(2Z k k ∈+≠ππα时,有αααtan cos sin =) 思考1:如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P ,那么,正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系?由此能得到什么结论?MP 2+OM 2=1sin 2α+cos 2α=1思考2:上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系,根据等式的特点,将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时,上述关系成立吗?sin 2α+cos 2α=1思考3:设角α的终边与单位圆交于点P(x ,y ),根据三角函数定义,有sin α=y ,cos α=x ,)0(tan ≠=x xy α, 由此可得sin α,cos α,tan α满足什么关系? αααtan cos sin =思考4:上述关系称为商数关系,那么商数关系成立的条件是什么?)(2Z k k ∈+≠ππα思考5:平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系,它们都是恒等式,如何用文字语言描述这两个关系?sin 2α+cos 2α=1 αααtan cos sin = 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于这个角的正切.三、知识探究(二):基本变形思考1:对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形?sin 2α=1-cos 2αcos 2α=1-sin 2α(sinα+cos α)2=1+2sinαcos α(sinα-cos α)2=1-2sinαcos α思考2:对于商数关系αααtan cos sin =可作哪些变形? s inα=cos αtan α αααtan sin cos = 四、课本例6练习P20 1、2、3、4五、课本例7练习P20 5六、小结1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的,由此可以派生出许多变形公式,应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算,因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号,必要时应就角所在象限进行分类讨论.3.化简、求值、证明,是三角变换的三个基本问题,具有一定的技巧性,需要加强训练,不断总结、提高.七、习题例1、化简︒-440sin 12分析1:︒=︒=︒-=︒-80cos 80cos 80sin 1440sin 1222分析2:︒=︒=︒=︒=︒-80cos 440cos |440cos |440cos 440sin 122练习1、4sin 12-练习2、教材P22 B 组2例2、已知tanα=2,求下列各式的值.ααααsin 11sin 112cos sin 11++-⨯)()( 例3、已知π<<=+q q q 0,51cos sin 求sin q -cos q 的值. 练习3、P21 12练习4、已知21cos sin =+q q ,求sin 4q +cos 4q 的值. 例4、 已知tanα=2,(1)求sinα和cosα的值. (2)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα求 (3)αααα22cos 3cos sin sin 2-+求八、作业P21习题1.2A 组:11 13(1)(2)。
高中数学学案4:1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系【课标要求】1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明.【核心扫描】1.同角三角函数基本关系式.(重点)2.基本关系式的变形及其应用.(难点)新知导学同角三角函数的基本关系式温馨提示:同角的两层含义:一是“角相同”,如sin 2α+cos 2β=1就不一定成立;二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin 215°+cos 215°=1,sin 2π19+cos 2π19=1等. 互动探究探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗?探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时,其正负号应怎样确定?题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】 已知cos α=-817,求sin α,tan α的值.[规律方法] 已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1=sin 2α+cos 2α”.本题没有指出α是第几象限的角,则必须由cos α的值推断出α所在的象限,再分类求解.【活学活用1】 已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.类型二 三角函数式的化简【例2】 化简下列各式: (1)1-sin 2400°;(2) 1-2sin10°cos10°sin10°-1-sin 210°; (3)1-sin α1+sin α+ 1+sin α1-sin α,其中sin α·tan α<0.[规律方法] 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数.从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α+cos 2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.【活学活用2】 化简:1-2sin α2cos α2+1+2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2.类型三 三角函数式的证明【例3】 求证:tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质:清除等式两端的差异,有目的的化简.(2)证明三角恒等式的基本原则:由繁到简.(3)常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证.【活学活用3】 求证:sin α1-cos α=1+cos αsin α.易错辨析 忽略角的取值范围,造成增根或丢根【示例】 已知sin θ+cos θ=15,且0<θ<π,求sin θ-cos θ的值. [错解] ∵sin θ+cos θ=15,∴(sin θ+cos θ)2=125, 解得sin θcos θ=-1225. ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925, 故sin θ-cos θ=±75. [错因分析] 该解法忽略了角θ的取值范围.根据0<θ<π这一条件,可以确定sin θ-cos θ的符号.[正解] ∵sin θ+cos θ=15,∴(sin θ+cos θ)2=125,解得sin θcos θ=-1225.∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925.∵0<θ<π,且sin θcos θ<0,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ=75. [防范措施] 在已知sin θcos θ的值求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时需开方,因此要 根据角的范围确定正负号的选择.课堂达标1.化简 1-sin 2π5的结果是( ). A .sin π5B .-sin π5C .cos π5D .-cos π5 2.若sin α+cos α2sin α-cos α=2,则tan α的值为( ). A .1 B .-1 C.34 D .-433.已知0<x <π2,cos x =45,则tan x =________. 4.化简1-2sin 40°cos 40°=________.5.已知cos α=-35,求sin α及tan α的值.课堂小结1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在“同角”二字上,如sin 22α+cos 22α=1,sin 8αcos 8α=tan 8α等都成立,理由是式子中的角为“同角”. 2.已知角α的某一种三角函数值,求解α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式.3.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用的技巧有:①“1”的代换;②减少角函数的个数(化切为弦、化弦为切等);③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等);④对条件或结论的重新整理、变形、以便于应用同角三角函数关系来求解.参考答案互动探究探究点1 提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α+cos 2α=1对于任意角α∈R 都成立,而sin αcos α=tan α并不是对任意角α∈R 都成立,这时α≠k π+π2,k ∈Z . 探究点2 提示 其正负号是由角α所在的象限决定.题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】【解】∵cos α=-817<0,∴α是第二或第三象限的角,如果α是第二象限角,那么 sin α=1-cos 2α= 1-⎝⎛⎭⎫-8172=1517, tan α=sin αcos α=1517-817=-158. 如果α是第三象限角,同理可得sin α=-1-cos 2α=-1517,tan α=158. 【活学活用1】【解】由tan α=sin αcos α=43,得sin α=43cos α① 又sin 2α+cos 2α=1②由①②得169cos 2α+cos 2α=1,即cos 2α=925. 又α是第三象限角,∴cos α=-35,sin α=43cos α=-45. 类型二 三角函数式的化简【例2】 【解】(1) 1-sin 2400°= cos 2400°=|cos 400°|=|cos(360°+40°)|=|cos 40°|=cos 40°. (2)1-2 sin 10°cos 10°sin 10°-1-sin 210°=(cos 10°-sin 10°)2sin 10°-cos 210° =|cos 10°-sin 10°|sin 10°-cos 10°=cos 10°-sin 10°sin 10°-cos 10°=-1. (3)由于sin α·tan α<0,则sin α,tan α异号,∴α是第二、三象限角,∴cos α<0,∴ 1-sin α1+sin α+1+sin α1-sin α=(1-sin α)21-sin 2α+(1+sin α)21-sin 2α =|1-sin α||cos α|+|1+sin α||cos α|=1-sin α+1+sin α-cos α=-2cos α. 【活学活用2】【解】原式= ⎝⎛⎭⎫cos α2-sin α22+ ⎝⎛⎭⎫cos α2+sin α22 =⎪⎪⎪⎪cos α2-sin α2+⎪⎪⎪⎪cos α2+sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴α2∈⎝⎛⎭⎫0,π4. ∴cos α2-sin α2>0,sin α2+cos α2>0, ∴原式=cos α2-sin α2+cos α2+sin α2=2cos α2. 类型三 三角函数式的证明【例3】【证明】∵右边=tan 2α-sin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α-tan 2αcos 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α(1-cos 2α)(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2αsin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan αsin αtan α-sin α=左边, ∴原等式成立.【活学活用3】【证明】法一 sin 2α+cos 2α=1⇒1-cos 2α=sin 2α⇒(1-cos α)(1+cos α)=sin α·sin α⇒sin α1-cos α=1+cos αsin α. 法二 sin α1-cos α-1+cos αsin α=sin 2α-(1+cos α)(1-cos α) (1-cos α)sin α=sin 2α-(1-cos 2α)(1-cos α)·sin α=sin 2α-sin 2α(1-cos α)·sin α=0, ∴sin α1-cos α=1+cos αsin α. 课堂达标1.C【解析】∵0<π5<π2,∴cos π5>0. ∴1-sin 2π5= cos 2π5=cos π5. 2.A【解析】由条件,得sin α=cos α,∴tan α=1.3.34【解析】本题是同角三角函数关系的运算问题,需先求出sin x ,再求tan x .sin x =1-cos 2x =35,tan x =sin x cos x =34. 4.cos 40°-sin 40°【解析】原式=sin 240°+cos 240°-2sin 40°cos 40°=(sin 40°-cos 40°)2=|cos 40°-sin 40°|=cos 40°-sin 40°.5.【解】∵cos α=-35<0,∴α是第二、三象限角.若α是第二象限角,则sin α>0,tan α<0,∴sin α=1-cos 2α= 1-⎝⎛⎭⎫-352=45,tan α=sin αcos α=-43;若α是第三象限角,则sin α<0,tan α>0,∴sin α=-1-cos 2α=-1-⎝⎛⎭⎫-352=-45,tan α=sin αcos α=43.。
1_2_2 同角三角函数的基本关系 教案
1.2.2同角三角函数的基本关系三维目标:一. 知识与技能:理解并掌握同角三角函数的基本关系式平方关系:1cos sin 22=+αα;商数关系:αααcos sin tan =,准确使用同角三角函数的基本关系式实行三角函数的求值;二. 过程与方法:通过提出问题,从而对特殊角的三角函数值的计算观察,找出规律,并利用几何画板软件用大量的实验数据说明这个规律的普遍存有性,进而尝试用三角函数的定义给出证明,最终得到同角三角函数的两个基本关系式;这表达了由特殊到一般的认知规律,由感性理解升华到理性思考的数学过程;完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求;三. 情感、态度与价值观:通过本节内容的学习探究,让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦;培养学生科学地研究问题的习惯,融会贯通前后数学知识的水平,进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点:同角三角函数的基本关系式的发现、推导及其应用。
教学难点:已知一个三角函数值(但不知角的范围)求出其它三角函数值(结果不惟一时的分类讨论)。
教学过程:一、知识回顾:1.任意角的三角函数的定义: 比值ry 叫做α的正弦, 记作:r y =αsin ;比值r x叫做α的余弦, 记作:r x=αcos ; 比值x y叫做α的正切, 记作:x y=αtan 。
2.已知角的象限确定三角函数值的符号及三角函数的定义域.二、问题情境:当角α确定后,α的正弦、余弦、正切值也随之确定了,他们之间究竟有何关系呢?三、学生活动:1.求值:(1)22sin 30cos 30+= (2)22sin 45cos 45+=(3)22sin 60cos 60+= (4)22sin 90cos 90+=你能猜想出αsin 与αcos 之间的关系吗?2.求值:(1) sin 6cos 6ππ= ,tan 6π= (2)sin 4cos 4ππ= ,tan 4π=(3) sin 3cos 3ππ= ,tan 3π= (4)3sin43cos 4ππ= ,3tan 4π=你能猜想出sin α,cos α与αtan 之间的关系吗?四、数学建构:1.猜想:1cos sin 22=+αα,α=ααtan cos sin 。
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案:同角三角函数的基本关系教学目标:1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。
教学重点:教学难点:教学准备:教材、白板、彩色笔。
教学过程:Step 1:引入概念(10分钟)1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.提问:是否存在一个三角函数,它的值恰好是一个角的正弦值的倒数?反余弦的倒数?正切的相反数?引出同角三角函数的概念。
Step 2:同角三角函数的定义和性质(20分钟)1.讲解同角三角函数的定义:正割函数、余割函数、余切函数。
2.指导学生进行练习,求特定角的正割值、余割值和余切值。
3.总结同角三角函数的定义和性质,并进行板书记录。
Step 3:同角三角函数的基本关系(30分钟)1.引导学生根据同角三角函数的定义,设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式,并进行推导。
2.引导学生利用同角三角函数的定义,进一步推导同角三角函数之间的基本关系式,并进行证明。
3.提醒学生注意数学符号的运用,确保表述的准确性。
4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。
Step 4:经典例题演练(30分钟)1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练,注重每一步计算过程的意义和结果的解释。
2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式,并进行笔记整理。
Step 5:综合案例分析(20分钟)1.给出一个综合案例,要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。
2.引导学生合理安排解题思路,按照步骤进行推导和计算。
3.引导学生进行思考和讨论,根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。
4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。
Step 6:课堂小结(10分钟)1.整理同角三角函数的基本关系的要点。
2.概述同角三角函数的应用领域和意义。
拓展延伸:1.探究其他同角三角函数之间的关系,如正割函数和余割函数的关系等。
1.2.2同角的三角函数的基本关系(2课时)
1.2.2同角的三角函数的基本关系(二课时)学习目标:⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 学习重点:公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用:(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式. 学习难点:根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 一、知识链接: 复习 :1.已知角α终边上一点p (x 、y ),r=22y x +,则角α的六个三角函数分别是什么?2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tan α、cot α的符号分别是怎样的?二、新课导学自学教材P18-P20,并对相关概念进行勾画。
(思考1)三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?新知1:如图:以正弦线MP ,余弦线构成直角三角形,而且1OP =.221MP OM +=,因此221x y +=,根据三角函数的定义,当(2a k ππ≠+这就是说,同一个角α例题:学习课本19页—20页 例6 例7练习1:课本20页 练习1、4、5练习2:课本21-22 习题1.2A 组 第10、13题小结1:(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此1cos sin 22≠+βα,γβαcos sin tan ≠. (2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.思考1:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的六个三角函数之间有什么关系?新知2:同角三角函数的基本关系式:1、由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:(请把关系式的推导过程写在后面)(1)倒数关系:⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα(2)商数关系:⎪⎩⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan (3)平方关系:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin2.给出右图,你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗? (1)在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1,有倒数关系。
数学《同角三角函数的基本关系》教案
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案:同角三角函数的基本关系一、教学目标:1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点:1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备:1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程:1.引入(10分钟)教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质,例如:“什么是三角函数?它们有什么特点?”2.概念讲解(10分钟)教师介绍同角三角函数的概念和意义,同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量,以比值为因变量的一类函数。
其中,正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导(15分钟)3.1正弦函数与余弦函数的基本关系:教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形,并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系:sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系:教师指导学生通过绘制直角三角形,利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系:tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质(25分钟)4.1计算角度对应的三角函数值:教师引导学生通过练习,掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质:教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性,并指导学生根据这些性质简化计算,例如,sin(180° + θ) = -sinθ,cos(π + θ) = -cosθ,等等。
5.练习与巩固(20分钟)教师提供一系列基础练习题,让学生在课堂上进行计算和解答,以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
同角三角函数的基本关系(教案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系(教案)吴川一中 陈亮 任教班级:高一47、48班一、教学目标:1. 知识与能力理解同角三角函数的基本关系式,会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2. 过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式. 3. 情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点:同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点:关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段:本节主要涉及到两个公式,均由三角函数定义和勾股定理推出.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去脉,并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台,营造自主探究解决问题的环境,把鼓励带进课堂,把方法带进课堂,充分发挥学生的主体作用.五、教学过程: 【探究引入】 思考1:如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P ,那么,正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系?由此你能得到什么结论?分析:221MP OM +=22sin cos 1αα+=.思考2:上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时,上述关系成立吗? 分析:当角α的终边在坐标轴上时,上述关系也成立.思考3:设角α的终边与单位圆交于点 P (x ,y ),根据三角函数定义,有tan (0)yx xα=≠,由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系?分析:sin tan cos ααα=. 思考4:上述关系称为商数关系,那么商数关系成立的条件是什么?分析:()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】 1.同角三角函数基本关系: (1)平方关系:22sin cos 1αα+=;(2)商数关系:sin tan cos ααα=,()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立:①()22sin cos 1;αβαβ+=≠ ②22sin cos 122αα+=; ③sin 2tan 2.cos 2ααα=Ⅱ、说明:① 注意这里“同角”有两层含义,一是“角相同”;二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写,读作“sin α的平方”,不能写成“2sin α或sin 2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、逆用、变形用),如:22sin 1cos αα=-, cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=, s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--.分析:(1)一提取公因式2cos β,便“柳暗花明”; (2)逆用平方关系:式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代,结果不打自招.解:(1)原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=(2)原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练:化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案:(1)1; (2)sin cos αα-. 题型二、已知一个三角函数值,求另外两个三角函数值(简称“知一求二”)例2.(1)已知12sin 13α=,并且α是第二象限角,求cos ,tan αα.(2)已知4cos 5α=-,求sin ,tan αα.分析:由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值,再由商数关系可求得tan α的值,但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=,又∵α是第二象限角,∴cos 0α<,即有5cos 13α=-,从而 sin 12tan cos 5ααα==-.(2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=,又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限.① 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5α=,sin 3tan cos 4ααα==-;② 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==.【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来,而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式,因为三角函数值的符号受限制,不是无条件的,这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练:《中》191P-变.(07全国Ⅰ)已知α是第四象限角,5tan12α=-,则s i nα等于( D )A.15B.15- C.513D.513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系:(1)平方关系.(2)商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练:3、题型二、知一求二例2.变式训练:七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值:①知一求二;②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题,22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色,但内容多、时间紧,要合理安排、讲练结合.。
《同角三角函数的基本关系》教学设计
《同角三角函数的基本关系》教学设计一、教学目标1.知识目标:了解同角三角函数的定义,掌握同角三角函数的基本关系。
2.技能目标:能够根据同角三角函数的定义计算出未知角的正弦、余弦和正切值,能够应用同角三角函数的基本关系解决问题。
3.情感目标:培养学生对数学知识的兴趣,提高学生的数学运算能力和问题解决能力。
二、教学重难点1.教学重点:同角三角函数的概念及其基本关系。
2.教学难点:利用同角三角函数的基本关系计算未知角的值。
三、教学准备1.教具准备:黑板、彩色粉笔、多媒体课件。
2.学具准备:尺子、直角三角板、相关教材。
3.材料准备:课堂练习题。
四、教学过程教学环节一:导入(10分钟)1.教师在黑板上写出同角三角函数的定义,并给出一个已知角度,要求学生根据定义计算出该角度的正弦、余弦和正切值。
2.学生根据题目计算,教师逐个询问学生的计算结果,并将学生的回答记录在黑板上。
3.教师根据学生的回答进行讲解和总结,引出同角三角函数的基本关系。
教学环节二:讲解(20分钟)1.教师利用多媒体课件给出同角三角函数的基本关系的图示,并对每个关系进行解释。
2.教师在黑板上讲解同角三角函数的基本关系的推导过程,并引导学生理解每个关系的几何意义。
3.学生在听讲的同时,可用尺子和直角三角板进行实验验证。
教学环节三:拓展(15分钟)1.教师给出一些例题,要求学生利用同角三角函数的基本关系计算未知角的值,并解决相关问题。
2.学生在黑板上解题,教师逐个引导学生进行讨论和解答。
3.教师根据学生的解答情况进行讲解和总结,巩固同角三角函数的基本关系及其应用。
教学环节四:练习(15分钟)1.教师发放课堂练习题,要求学生独立完成并逐题检查。
2.学生完成练习后,教师逐个核对答案,并解答学生可能存在的疑问。
3.教师根据学生的练习情况进行讲解和总结,培养学生的自主学习能力和问题解决能力。
教学环节五:归纳总结(10分钟)1.教师让学生自由发言,总结同角三角函数的基本关系及其应用。
苏教版数学高一《同角三角函数关系》(第一课时)教案
课 题:1.2.2 同角三角函数关系(一)教学目的:1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式2.正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算3.通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式,培养学生融会贯通 前后数学知识的能力,进一步感受数学的整体性、连贯性。
教学重点:同角三角函数的基本关系式的推导及其应用教学难点:已知一个三角函数值(但不知角的范围)求出其他三角函数值结果不惟一时的分类讨论授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:通过对三角函数的定义的进一步研究,得到同角三角函数的三个基本关系式: (1)平方关系:1cos sin 22=+αα; (2)比值关系:αααcos sin tan =; 使学生进一步了解三个三角函数之间的关系,从而达到可以熟练运用公式进行求值、化简求值运算以及恒等式证明。
在化简求值中注意(1)ααcos sin ±与ααcos sin •之间的相互转变;(2)切式和弦式的互换等。
教学过程:一、问题情境:1. 复习:(1)任意角的三角函数的定义:比值ry叫做α的正弦 记作: r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作: rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作: x y =αtan(2)三角函数的定义与点P 在α终边上的位置无关。
2.情境:计算下列各式的值:90cos 90sin .122+30cos 30sin .222+3cos 3sin.3ππ 43cos43sin.4ππ3.问题:通过上述几个问题的计算,你能归纳出αsin 与αcos ,ααcos ,sin 与αtan ,之间有什么关系吗? 二、意义建构1.猜想: 1cos sin 22=+ααα=ααtan cos sin 2.理论证明:(采用定义)αααππαααααtan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222==⨯=÷=∈+≠=+∴===+xyx r r y r x r y Z k k rx r y r y x 时,当且3.点题:这两种关系,称为同角三角函数的基本关系。
4-1.2.2同角三角函数的基本关系(1)--高一上学期必修四【文教案】
4 0, 5
∴ 在第二或三象限角。
又∵ cos
3 sin 3 ; , tan 5 cos 4 3 sin 3 . 当 在第四象限时,即有 sin 0 ,从而 sin , tan 5 cos 4
当 在第二象限时,即有 sin 0 ,从而 sin 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解 的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方 关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan 为非零实数,用 tan 表示 sin ,cos . 解:∵ sin
高一数学[文教案]
高一数学组
4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2.掌握三种基本关系式之间的联系; 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标: (1)牢固掌握同角三角函数三个关系式,并能灵活运用于解题,提高学生 分析、解决三角的思维能力; (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 是一个任意角, 终边上任意一点 P( x, y ) ,
又∵ 是第二象限角,
1.2.2同角三角函数基本关系
基本变形 2 2 思考:对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形?
sin 1 cos , cos 1 sin , 2 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 (sin cos ) 1 2 sin cos
又是第二象限角, cos 0
1 2 2 sin 2 cos t an 3 3 cos 4 2 2 3
三、应用示例
3 例2.已知 sin , 求 cos , tan 的值。 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
1的替换 — 3 3 1 3(sin cos )
2 2
1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13
1的替换 — 看作分母为 1 sin 2 cos 2
cos x 1 sin x 例4 求证 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简 可以从左边往右边证,
因此
cos 1 sin 1 sin cos
化简
例5.化简
解:原式
1 sin 440
2
2
2
2
1 sin (360 80 ) 1 sin 80
cos 80 cos80
例6.化简 解:原式
1 2sin40 cos40
sin 40 cos 40 2sin40 cos40
2 2
2 2
思考:对于商数关系 哪些变形?
sin tan 可作 cos
sin cos tan ,
sin cos . tan
人教版必修四1.2.2同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系(3)教学目的:知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明;能力目标:(1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。
(2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力;德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;教学重点:同角三角函数的基本关系式教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.同角三角函数的基本关系式。
(1)倒数关系:sin csc 1αα⋅=,cos sec 1αα⋅=,tan cot 1αα⋅=.(2)商数关系:sin tan cos ααα=,cos cot sin ααα=. (3)平方关系:22sin cos 1αα+=,221tan sec αα+=,221cot csc αα+=.(练习)已知tan α43=,求cos α 2.tan αcos α= ,cot αsec α= ,(sec α+tan α)·( )=1二、讲解新课:例82tan α=-,试确定使等式成立的角α的集合。
=|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos |αα.2tan α-=-, ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα+=, 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠. 所以,角α的集合为:{|k ααπ=或322,}22k k k Z πππαπ+<<+∈. 例9.化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+.解:原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα-+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=⋅=⋅112sin cos 2sin cos αααα-+⋅==⋅. 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含三角函数的种类最少;(2)能求值(指准确值)尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值。
122同角三角函数的基本关系第一课时(教学设计...
1.2.2《同角三角函数的基本关系》——第一课时(教学设计)一、教材分析1、教材的地位和作用:《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容,本节内容是学习了三角函数定义后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
2、教学目标根据大纲要求,考虑到学生的接受能力和课容量,确定了本次课的教学目标:A、知识与技能目标:通过观察猜想出两个公式,运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程,理解同角三角函数的基本关系式,掌握基本关系式在两个方面的应用:1)已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值;2)证明简单的三角恒等式。
B、过程与方法:培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式;通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想;通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力;通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
C、情感、态度与价值观:经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
3、教学重点和难点根据《课程标准》,我将本节课的教学重点确立为:重点:同角三角函数基本关系式的推导及应用。
教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为:难点:1)对于“同角”的理解;2)角α二、教学流程本节的教学流程由以下几个环节构成三:教学设计:四、教法分析在前节课的学习中,学生已经理解了任意角三角函数的定义,并且从图像与公式上应该有所发现,这节内容则是对他们直观感觉上的理解进行系统的研究,在这节课上我主要采用了以下的教法:(1)“引导—探究式”教学方法。
在引入公式方面,我通过几个特殊角三角函数值之间的关系,引导学生逐步猜想出公式,进而形成认识。
再从理论出发,结合图像与定义,证明两个公式的正确性,培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案标题:同角三角函数的基本关系教学目标:1. 理解同角三角函数的定义及其基本关系。
2. 掌握同角三角函数之间的基本关系公式。
3. 能够运用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
教学准备:1. 教师:黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪。
2. 学生:教科书、笔记本、计算器。
教学过程:步骤一:导入新知1. 引入同角三角函数的概念,解释其在几何图形中的应用。
2. 提问学生是否了解正弦、余弦和正切函数,以及它们之间的关系。
步骤二:同角三角函数的定义及基本关系1. 介绍正弦、余弦和正切函数的定义,并在黑板上绘制三角函数的单位圆图。
2. 解释同角三角函数之间的基本关系:- 正弦函数:sinθ = 对边/斜边- 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边- 正切函数:tanθ = 对边/邻边3. 强调同角三角函数之间的关系:sinθ/cosθ = tanθ,以及1 + tan²θ = sec²θ 和1 + cot²θ = csc²θ。
步骤三:同角三角函数的基本关系公式1. 教师在黑板上列出同角三角函数之间的基本关系公式,并解释每个公式的意义。
2. 提供示例问题,引导学生使用基本关系公式计算同角三角函数的值。
步骤四:解决相关问题1. 提供一些与同角三角函数相关的问题,要求学生运用所学知识解决问题。
2. 学生独立或合作完成问题,并在黑板上展示解题过程。
步骤五:总结和拓展1. 总结同角三角函数的基本关系及其应用。
2. 引导学生思考其他可能的应用场景,并展示相关例子。
教学延伸:1. 提供更多的练习题,巩固学生对同角三角函数基本关系的理解和运用能力。
2. 引导学生探索其他三角函数的基本关系,如余切、正割和余割函数。
评估方法:1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 批改学生完成的问题解答,并提供反馈。
拓展阅读:1. 探索三角函数的周期性和图像变换。
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【数学建构】
猜想: sin cos 1,
2 2
sin tan . cos
y
证明:(利用三角函数定义)
1 设 终边上任意一点P的坐标是 x, y
y x , cos , r r y2 x2 x2 y 2 2 2 sin cos 2 2 1. r r r2 x 2 y 2 r 2且 sin
小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函数 值分象限进行讨论.
12 例2. 已知 tan , 求 sin , cos 的值. 5 sin 12
解: tan
...............................................(1) cos 5 sin 2 cos 2 1.....................................................(2) 12 由(1)得 : sin cos ............................................(3) 5 12 2 25 代入(2)得:( )cos 2 cos 2 1 即 cos 2 . 5 169 tan 0, 知 是第一或第三象限角. 5 12 (1)当 是第一象限角时, ,sin tan cos ; cos 13 13 5 12 (2)当 是第三象限角时, ,sin tan cos . cos 13 13
(三)数学思想方法:
①分类讨论;
②方程(组)的思想.
课堂练习 P20 1-5 课后作业 P21 10-13
y
y
y
x
x
o
o
o
x
sin
R
cos
R
tan
{ | k , k Z } 2
【问题情境】
当角 确定后, 的正弦、余弦、正切 值也随之确定了,那么它们之间究竟有 何关系?
【学生活动】
1.求值:
(1) sin 30 cos 30 1
(1) 2 cos 2 1 ? sin
2 2
(2)sin 2 ( ) cos2 ( ) 1?
【数学应用】
4 例1. 已知sin ,且 是第二象限角,求 cos , tan 的值. 5
解: sin 2 cos 2 1, 4 9 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 2 . 5 25 3 是第二象限角 cos 0 cos , 5 4 sin 5 4. tan cos 3 3 5
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
【知识回顾】
1. 利用任意角终边上一 r
y
其中r x 2 y 2
角的终边
x cos r
r
O
P( x, y)
M
tan
y x
x
2. 由定义知正弦函数、余弦函数、正切函数的值 在各象限的符号,如图:
2 2
(2) sin 2 45o cos2 45o 1
(4) sin 2 90 cos2 90 1
(3) sin 2 60 cos2 60 1
猜想:sin , cos 之间有什么关系?
sin cos 1.
2 2
2.求值:
6 3 , tan 3 (1) 6 3 3 cos 6 sin
sin (2) cos
4 , 1 tan
4
1
3 (3) , tan 3 3 cos 3
sin
3
4 3 sin 4 1 , tan 3 1 (4) 3 4 cos 4
tan 猜想: sin ,cos , 之间有什么关系?
sin tan cos
4 变题:已知 sin , 求 cos , tan 的值. 5
解: sin 2 cos 2 1, 4 2 9 cos 1 sin 1 ( ) . 5 25
2 2
sin
4 0, 5
为第一或第二象限角.
3 4 10 当 为第一象限角时, , tan ; cos 5 3 3 4 20 当 为第二象限角时, , tan . cos 5 3
(2)当 k
角的终边
r
O
P( x, y)
M
x
2 sin y x y tan . cos r r x
( k Z )时,
由此得出同角三角函数的两个基本关系式 平方关系: 商数关系:
思考:
sin 2 cos 2 1
sin ( k , k Z ) tan 2 cos
小结:(1)注意方程思想的运用;
(2)分类讨论的数学思想.
【课堂小结】
(一)基本关系式:
平方关系:
sin 2 cos 2
1
商数关系: (二)公式的应用:
sin tan ( k , k Z ) cos 2
知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的两个三角函数值.