九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题(含答案) (36)

九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题（含答案）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？【答案】（1）y=-x+120；（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；（3）销售单价应定为70元【解析】【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式；（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润；（3）由w=500推出x2-180x+7700=0解出x的值即可．【详解】解：（1）设销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b根据题意得6555 7050k bk b+=⎧⎨+=⎩解得：-1120 kb=⎧⎨=⎩∴所求一次函数的表达式为y=-x+120；（2）由题意知W=（x-60）•（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，∴500=-x2+180x-7200，解为x1=70，x2=110（不合题意舍去）．∴销售单价应定为70元【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．122．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-4，0)，B(1，0)，C （0，3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值．（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积．【答案】（1）y=34-x 294-x+3；（2）t=7225；（3）存在，菱形的面积为：24536或6． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，把三个点代入得到a ，b ，c 的值即可；（2）由题意直线AC 的解析式为y=334x +，因为P 的横坐标为t ，所以M(t ， 334t +)，根据OM=OC=3，可得223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解方程即可解决问题；（3）分两种情形①当CE 为对角线时，四边形CPED 为菱形，则点P 和D 关于y 轴对称；②当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD=PD ，分别构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-4，0)，B(1，0)，C （0，3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x 294-x+3．（2）由A(-4，0)，C(0，3)得直线AC 的解析式为：y=334x +，∵点P 的横坐标为t ， ∴M(t ，334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC=∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC=∠OMC ， ∴∠MCO=∠OMC ， 即OM=OC=3， ∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t=7225．（3）设P(t ，34-t 294-t+3)，①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD=PD ， 则D(t ，334t +)，∴PD=34-t 294-t+3－（334t +）=34-t 23-t ，由勾股定理得：=54t -，∴34-t 23-t=54t -，解得：t=0（舍）或t=73-，即PD=3512，菱形面积为：3512×73=24536；②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D(-t ， 34-t 294-t+3)，将D 点坐标代入y=334x +，得：34-t 294-t+3=()334t -+，解得：t=0（舍）或t=－2，PD=4，CE=3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．123．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点O 及点A （﹣4，0）和点C （2，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）如图1，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，将直线y=2x 沿y 轴向下平移n 个单位后得到直线l ，若直线l 经过C 点，与y 轴交于点D ，且与抛物线的对称轴交于点F ．若P 是抛物线上一点，且PC=PF ，求点P 的坐标；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标．（直接写出结果，不要解答过程）【答案】(1) y=14x 2+x, 顶点坐标为（﹣2，﹣1）；(2) （﹣）或（﹣3）；(3) （2，7）．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点极坐标；（2）根据待定系数法，可得直线l的解析式，根据中点坐标公式，可得D 是CF的中点，根据勾股定理，可得EF，EC，根据线段垂直平分线的性质，可得ED是线段CF直平分线，根据解方程组，可得P点坐标；（3）根据平移，可得新抛物线，根据平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短，可得切线，根据解方程组，可得答案．详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3），∴1640420ca b ca b c⎧⎪-+⎨⎪++⎩＝＝＝，解得141abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y=14x2+x；∵y=14x2+x=14（x+2）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）；（2）如图1：直线l的解析式为y=2x-n，∵直线l过点C（2，3），∴n=1，∴直线l的解析式为y=2x-1，当x=0时，y=-1，即D（0，-1）．∵抛物线的对称轴为x=-2，∴E（-2，0）．当x=-2时，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），∴∴点D是线段CF的中点，∵C（2，3），∴EF=EC=5，∴ED垂直平分CF．∴PC=PF，∴点P在CF的垂直平分线上，∴点P是抛物线与直线ED的交点．x-1．ED的解析式为y=-12联立抛物线与ED ，得211214y x y x x ＝＝⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得113x y ⎧-⎪⎨⎪⎩＝，223x y ⎧--⎪⎨⎪⎩＝，点P 的坐标（12）或（2）； （3）如图2：移后的抛物线为y=14x 2+x+4平行于CD 与物线相切的直线为y=2x+b ，联立，得14x 2+x+4=2x+b方程有相等二实根，得 △=b 2-4ac=（-1）2-4×14（4-b ）=0 解得b=3．14x 2-x+1=0， 解得x=2，y=2x+3=7，新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标是（2，7）．点睛：本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用线段垂直平分线的性质得出P 是线段CD 的垂直平分线与抛物线的交点是解题关键；利用平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短得出抛物线的切线是解题关键．124．如图，抛物线y ＝﹣13x 2﹣13x +c 与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为（3，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P 的横坐标为a ，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ．（1）求A ，C 两点的坐标．（2）请用含a 的代数式表示线段PQ 的长，并求出a 为何值时PQ 取得最大值．（3）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣4，0），C （0，4）；（2）a ＝﹣2时，PQ 有最大值43；（3）存在，理由见解析；Q （﹣1，3）或（82-） 【解析】 【分析】（1）将点B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式可得出c ＝4，解方程2114033x x --+=，得x 1＝3，x 2＝﹣4，则A （﹣4，0）； （2）求出直线AC 的解析式y ＝﹣x +4，设P （a ，211433a a --+），则点Q （a ，a +4），则PQ 可用a 表示，由二次函数的性质可求出PQ 的最大值；（3）分BC ＝BQ 、BC ＝CQ 、CQ ＝BQ 三种情况，分别列得出方程求解即可．【详解】（1）把点B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式21133y x x c =-+得， 19103c -⨯-+=， 解得：c ＝4，令y ＝0，则2114033x x --+=， 解得x 1＝3，x 2＝﹣4，∴A （﹣4，0），C （0，4）；（2）∵A （﹣4，0），C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴404k b b -+=⎧⎨=⎩， ∴14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式y ＝x +4，点P 的横坐标为a ，P （a ，211433a a --+），则点Q （a ，a +4）， ∴PQ ＝2114(4)33a a a --+-+＝21433a a --， ∵221414(2)3333a a a --=-++，∴a ＝﹣2时，PQ 有最大值43； （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC ＝5，AB ＝7，AC ＝，∠OAC ＝∠OCA ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：434m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣43x +4， 设BC 的中点为H ，由中点坐标公式可得H （3,22）， ∴过BC 的中点H 且与直线BC 垂直直线的表达式为：y ＝3748x +， ①当BC ＝BQ 时，如图1，∴BC ＝BQ ＝5，设：QM ＝AM ＝n ，则BM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4（舍去4），故点Q 1（﹣1，3）；②当BC ＝CQ 时，如图1，∴CQ ＝5，则AQ ＝AC ﹣CQ ＝45，∴QM AM ==∴282Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ③当CQ ＝BQ 时，联立直线AC 解析式y ＝x +4和y ＝3748x +， 解得x ＝﹣252（不合题意，舍去），综合以上可得点Q 的坐标为：Q （﹣1，3）或（【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．125．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系.(1)求抛物线的表达式；(2)一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么?【答案】解：（1）2211(4)62244y x x x =--+=-++；（2）能够通过此隧道． 【解析】试题分析：（1）根据题意可知抛物线顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再求解析式即可；（2）令y=4，解出x与2作比较即可得答案．试题解析：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为y=a（x-4）2+6，又因为点A（0，2）在抛物线上，所以有2=a（0-4）2+6．所以a=-1．4（x-4）2+6．因此有：y=-14（x-4）2+6，（2）令y=4，则有4=-14解得xx2，-x2＞2，|x1∴货车可以通过．点睛：本题考查了抛物线的性质及其应用，根据题意求得抛物线的解析式，从而利用二次函数的模型来解决实际问题．。