人教版八年级上册数学学案：第12章全等三角形小结(2)

课题: 第12章全等三角形小结（2） 一、学习目标

1.在图形变换中,能熟练地把握全等三角形,进一步发展直觉思维能力.

2.提高学生分析问题,解决综合问题的能力.

二、教材导学

1.证明两个三角形全等的基本思路：

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎩⎨

⎧⎪

⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 2. 学习全等三角形应注意以下几个问题：

(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； (2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

(3)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

三、引领学习

例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF 。

（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。

答案：（1）3对。分别是：△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF 。

（2）△BDE ≌△CDF 。

证明：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 所以∠BED=∠CFD=90° 又因为D 是BC 的中点，

所以BD=CD

在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，

⎩⎨

⎧==CF

BE CD

BD 所以△BDE ≌△CDF 。

例2如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； （2）设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ， 那么∠1，∠2的度数分别是多少？ （用含有x 或y 的代数式表示）

（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变， 请找出这个规律。

答案:（1）△EAD ≌△EA D '，其中∠EAD =∠EA D '，AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠；

（2）118022180-2x y ∠=︒-=︒，∠； （3）规律为：∠1+∠2=2∠A

．

例3 如图3，已知∠MON 的边OM 上有两点A 、B ，边ON 上有两点C 、D ，且AB ＝CD ，P 为∠

MON 的平分线上一点．问：

（1）△ABP 与△PCD 是否全等？请说明理由．

（2）△ABP 与△PCD 的面积是否相等？请说明理由．

图3

解：（1）不一定全等，因△ABP 与△PCD 中，只有AB ＝CD ，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等．

（2）面积相等，因为OP 为∠MON 平分线上一点，故P 到边AB 、CD 上的距离相等，即△ABP 中AB 边上的高与△PCD 中CD 边上的高相等，又根据AB ＝CD （即底边也相等）从而△ABP 与△PCD 的面积相等．

四、课堂练习

1.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.

(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. （ ） (2)三角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）

(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (5)三边对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）

A

D

E

C

B

图2

A ′

2

1

(7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等. （ ） (8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ） 2.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空： (1)已知AB ＝DC ，利用 可以判定 △ABO ≌△DCO ； (2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用 可以判△ABD ≌△DCA ；

(3)已知AC ＝DB ，利用 可以判定△ABC ≌△DCB ； (4)已知AO ＝DO ，利用 可以判定△ABO ≌△DCO ；

(5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用 可以判定△ABD ≌△DCA. 3.完成下面的证明过程： 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD.

求证：AB ∥DC.

证明：在△ABO 和△CDO 中， OA OC ,

AOB __________,OB OD ,⎧=⎪

∠=⎨⎪=⎩

∴△ABO ≌△CDO （ ）.

∴∠A ＝ .

∴AB ∥DC （ 相等，两直线平行）.

A B C

D O A

B

C

D

O