坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐标轴的平移
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设点P在原坐标系中的坐标为(x, y) ，在新 坐标系中的坐标为(x1, y1)，于是有
O P xi+y j，O1P x1i+y1 j，OO1 x0i+yo j， 因为 O PO O 1O 1P ， 所以 x i y j x 0 i y 0j x 1 i y 1j， 即 x i y j （ x 0 x 1 ) i ( y 0 y 1 )j.
x1 y1
x y
x0 , y0.
（2.1） （2.2）
探究
公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使 用公式要注意些什么问题？
实训
例1 平移坐标轴，将坐标原点移至O 1（2，－1），求下列各点的 新坐标：
O(0，0)，A(2，1)，B(－1，2)，C(2，－4)，D(－3，－1)，E(0，5) ．
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
谢谢！
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
解
由公式(2.2)，得
x1 y1
x y
2, 1.
将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为
O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3）， D（－5，0），E（－2，6）．
实训
例2 利用坐标轴的平移化简圆 x2y24x2y40的方程，并 画出新坐标系和圆.
解 将方程的左边配方，得(x2)2(y1)29．
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐 标轴的平移
导入
在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运 动），而刀具与工件作相对运动（进给运动）．为了保证切削加 工的顺利进行，经常需要变换坐标系．
预读
1、圆心在点（2,1），半径为1的圆的标准方程是
（
）。如果圆心在
坐标原点呢？
2、 函数 y sin x的图像经过怎样的平移 变换成 y sin( x 2) 1的图像 ?
A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3）．
答案： A ( 4 ， 5 ) ， B ( 4 ， 7 ) ， C ( 2 ， 0 ) ， D ( 4 ， 2 ) ．
2．利用平移坐标轴，化简方程 x2y26x4y20，并 指出新坐标系原点的坐标：
答案： 将方程左边配方，得(x3)2(y2)211，
3、为何要ຫໍສະໝຸດ Baidu习坐标系变换？
思议
对于预读第二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
于是得到坐标轴平移的坐标变换公式
x y
x0 y0
x1, y1.
或
O P xi+y j，O1P x1i+y1 j，OO1 x0i+yo j， 因为 O PO O 1O 1P ， 所以 x i y j x 0 i y 0j x 1 i y 1j， 即 x i y j （ x 0 x 1 ) i ( y 0 y 1 )j.
x1 y1
x y
x0 , y0.
（2.1） （2.2）
探究
公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使 用公式要注意些什么问题？
实训
例1 平移坐标轴，将坐标原点移至O 1（2，－1），求下列各点的 新坐标：
O(0，0)，A(2，1)，B(－1，2)，C(2，－4)，D(－3，－1)，E(0，5) ．
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
谢谢！
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
解
由公式(2.2)，得
x1 y1
x y
2, 1.
将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为
O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3）， D（－5，0），E（－2，6）．
实训
例2 利用坐标轴的平移化简圆 x2y24x2y40的方程，并 画出新坐标系和圆.
解 将方程的左边配方，得(x2)2(y1)29．
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐 标轴的平移
导入
在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运 动），而刀具与工件作相对运动（进给运动）．为了保证切削加 工的顺利进行，经常需要变换坐标系．
预读
1、圆心在点（2,1），半径为1的圆的标准方程是
（
）。如果圆心在
坐标原点呢？
2、 函数 y sin x的图像经过怎样的平移 变换成 y sin( x 2) 1的图像 ?
A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3）．
答案： A ( 4 ， 5 ) ， B ( 4 ， 7 ) ， C ( 2 ， 0 ) ， D ( 4 ， 2 ) ．
2．利用平移坐标轴，化简方程 x2y26x4y20，并 指出新坐标系原点的坐标：
答案： 将方程左边配方，得(x3)2(y2)211，
3、为何要ຫໍສະໝຸດ Baidu习坐标系变换？
思议
对于预读第二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
于是得到坐标轴平移的坐标变换公式
x y
x0 y0
x1, y1.
或