高一函数的概念单元测试题
第三章 函数的概念与性质 单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第三章 函数的概念与性质(单元检测卷)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y =-x 2+2x +3的定义域为( )A.[-3,1] B.[-1,3]C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)2.已知函数y =f(x +1)定义域是[-2,3],则函数y =f(x -1)的定义域是( )A.[0,5] B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]3.已知函数f(x)=Error!若f(-a)+f(a)≤0,则实数a 的取值范围是( )A.[-1,1] B.[-2,0]C.[0,2]D.[-2,2]4.设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f =13,则f =( )A.-53B.-13C.13D.535.二次函数的图象的顶点为(0,-1),对称轴为y 轴,则二次函数的解析式可以为( )A .y =-14x 2+1B.y =14x 2-1C .y =4x 2-16 D.y =-4x 2+166.拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位:元)符合f(m)={3.71,0<m ≤4,1.06×(0.5×[m]+2),m >4,其中[m]表示不超过m 的最大整数,从甲地到乙地通话5.2min 的话费是A.3.71元 B.4.24元C.4.77元D.7.95元7.若函数f(x)在R 上是减函数,则下列关系式一定成立的是( )A.f(a)>f(2a) B.f(a 2)<f(a)C.f(a 2+a)<f(a)D.f(a 2+1)<f(a 2)8.若函数f (x)是奇函数,且当x>0时,f (x)=x 3+x +1,则当x<0时,f (x)的解析式为( )A .f (x)=x 3+x -1B .f (x)=-x 3-x -11()3 5()3C .f (x)=x 3-x +1D .f (x)=-x 3-x +1二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.9.已知f (2x -1)=4x 2,则下列结论正确的是( )A .f (3)=9 B.f (-3)=4C .f (x)=x 2D.f (x)=(x +1)210.函数f(x)的图象是折线段ABC ,如图所示,其中点A ,B ,C 的坐标分别为(-1,2),(1,0),(3,2),以下说法正确的是( )A.f(x)=Error!B.f(x -1)的定义域为[-1,3]C.f(x +1)为偶函数D.若f(x)在[m ,3]上单调递增,则m 的最小值为111.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点,则该幂函数的解析式为y =x -3B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y =x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f(x 1)+f(x 2)2≤f 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中横线上.12.设f(x)=11-x,则f(f(x))=__________13.已知二次函数f(x)=ax 2+2ax +1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a 的值为________14.若函数f(x)=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a],则a =________,b =________四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1(,2)845x-12x x ()2+15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.(1)求f的值;(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.16.(14分)已知函数f(x)=Error!(1)求f(f(f(5)))的值;(2)画出函数的图象.17.(16分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)={400x-12x2,0≤x≤400,80 000,x>400,其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)18.(16分)已知函数f(x)=x21+x2+1,x∈R.1 () 2(1)判断并证明函数的奇偶性;(2)求f(x)+f 的值;(3)计算f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f +f +f .19.(18分)已知二次函数f(x)=x 2-2(a -1)x +4.(1)若a =2,求f(x)在[-2,3]上的最值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上单调单减,求实数a 的取值范围;(3)若x ∈[1,2],求函数f(x)的最小值.参考答案及解析:一、单选题1()x 1()21()31()41.B 解析:由题意,令-x 2+2x +3≥0,即x 2-2x -3≤0,解得-1≤x ≤3,所以函数的定义域为[-1,3].故选B .2.A 解析:由题意知-2≤x ≤3,所以-1≤x +1≤4,所以-1≤x -1≤4,得0≤x ≤5,即y =f(x -1)的定义域为[0,5].3.D 解析:依题意,可得Error!或Error!或Error!解得-2≤a ≤2.4.C 解析:由题意,f =f =f =-f =-f =-f =f =13.5.B 解析:把点(0,-1)代入四个选项可知,只有B 正确.故选B .6.C 解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(0.5×5+2)=4.77.7.D 解析:因为f(x)是R 上的减函数,且a 2+1>a 2,所以f(a 2+1)<f(a 2).故选D .8.A 解析:∵函数f (x)是奇函数,∴f (-x)=-f (x),当x<0时,-x>0,∵x>0时,f (x)=x 3+x +1,∴f (-x)=(-x)3-x +1=-x 3-x +1,∴-f (x)=-x 3-x +1,∴f (x)=x 3+x -1.即x<0时,f (x)=x 3+x -1.故选A .二、多选题9.BD 解析:令t =2x -1,则x =t +12,∴f (t)=4=(t +1)2.∴f (3)=16,f (-3)=4,f (x)=(x +1)2.故选BD .10.ACD 解析:由图可得当-1≤x <1时,图象过(1,0),(-1,2)两点,设f(x)=kx +b ,∴Error!解得Error!=-x +1,当1≤x ≤3时,根据图象过点(1,0),(3,2),同理可得f(x)=x -1,∴f(x)=Error!A 正确;由图可得f(x)的定义域为[-1,3],关于x =1对称,∴f(x -1)的定义域为[0,4],f(x +1)为偶函数,即B 错误,C 正确;当f(x)在[m ,3]上单调递增,则1≤m <3,故m 的最小值为1,D 正确.故选ACD .11.CD 解析:若幂函数的图象经过点,则该幂函数的解析式为y =,故A 错误;函数f(x)=是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y =x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f(x 1)+f(x 2)2≤f ,即x 1+x 22≤x 1+x 22,即x 1+x 2+2x 1x 24≤x 1+x 22,即(x 1-x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.三、填空题5()32(1)3+2()3-2(31[1(3+-1()31()3-2t 1()2+1(,2)813x -45x -12x x ()2+12.答案:x -1x (x ≠0且x ≠1)解析:f(f(x))=11-11-x =11-x -11-x=x -1x .13.答案:-3或38解析:f(x)的对称轴为直线x =-1.当a >0时,f(x)max =f(2)=4,解得a =38;当a <0时,f(x)max =f(-1)=4,解得a =-3.综上所述,a =38或a =-3.14.答案:13,0解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a -1=-2a ,解得a =13.又函数f(x)=13x 2+bx+b +1为二次函数,结合偶函数图象的特点,则-b2×73=0,易得b =0.四、解答题15.解:(1)由m 2-5m +7=1,得m =2或m =3.当m =2时,f(x)=x -3是奇函数,所以不满足题意,所以m =2舍去;当m =3时,f(x)=x -4,满足题意,所以f(x)=x -4.所以f ==16.(2)由f(x)=x -4为偶函数且f(2a +1)=f(a),得|2a +1|=|a|,即2a +1=a 或2a +1=-a ,解得a =-1或a =-13.16.解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,即f(f(f(5)))=-1.(2)图象如图所示.1()241()217.解:(1)设月产量为x 台,则总成本为(20 000+100x)元,从而f(x)={-12x 2+300x -20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400.(2)当0≤x ≤400时,f(x)=-12(x -300)2+25 000,所以当x =300时,f(x)max =25 000.当x >400时,f(x)=60 000-100x 单调递减,f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000.所以当x =300时 ,f(x)max =25 000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.18.解:(1)f(x)是偶函数,理由如下.f(x)的定义域为R ,关于y 轴对称.因为f(-x)=(-x)21+(-x)2+1=x 21+x 2+1=f(x),所以f(x)=x 21+x 2+1是偶函数.(2)因为f(x)=x 21+x 2+1,所以f =+1=1x 2+1+1,所以f(x)+f =3.(3)由(2)可知f(x)+f =3,又因为f(1)=32,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+ff +f +f =f(1)+=32+3×3=21219.解:(1)当a =2时,f(x)=x 2-2x +4,x ∈[-2,3],因为f(x)的对称轴为x =1,所以f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以当x =1时,f(x)取得最小值为f(1)=1-2+4=3,当x =-2时,f(x)取得最大值为f(-2)=22+4+4=12.1()x 221()x 11()x +1(x 1()x 1()21()31()4111[f (2)f ()][f (3)f ()][f (4)f ()]234+++++(2)二次函数f(x)=x 2-2(a -1)x +4的对称轴为x =a -1,f(x)在区间(-∞,2]单调递减,则a -1≥2,解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞).(3)二次函数f(x)=x 2-2(a -1)x +4的对称轴为x =a -1,当a -1≤1,则a≤2,此时f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min =f(1)=1-2(a -1)+4=7-2a .当1<a -1<2,则2<a <3,此时f(x)在[1,a -1]上单调递减,在[a -1,2]上单调递增,所以f(x)min =f(a -1)=(a -1)2-2(a -1)2+4=-a 2+2a +3.当a -1≥2,则a ≥3,此时f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min =f(2)=22-4(a -1)+4=12-4a .综上,f(x)min ={7-2a ,a ≤2,-a 2+2a +3,2<a <3,12-4a ,a ≥3.。
高一上学期数学第三章函数的概念与性质单元测试人教版(2019)必修第一册(word版,含答案)
湖南武冈二中2021-2022学年高一上学期数学第三章函数的概念与性质单元测试人教版(2019)必修第一册考试范围:第三章函数的概念与性质;考试时间:100分钟;命题人:邓 注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(共40分)1.(本题4分)已知()f x 是一次函数,()()()()22315,2011f f f f -=--=,则()f x =( ) A .32x +B .32x -C .23x +D .23x -2.(本题4分)函数221y x x =++,[]2,2x ∈-,则( ) A .函数有最小值0,最大值9 B .函数有最小值2,最大值5 C .函数有最小值2,最大值9D .函数有最小值0,最大值53.(本题4分)下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是( ) A .()()2,f x x g x ==B .()()()22,1f x x g x x ==+C .()()01,f x g x x ==D .()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩4.(本题4分)已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩(M 是R的非空子集),在R 上有两个非空真子集A ,B ,且A B =∅,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为( )A .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .{}1C .12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D .1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.(本题4分)已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-,则函数(2)y f x =+的定义域为( ) A .[]3,0-B .(3,0)-C .[)3,0-D .(]3,0-6.(本题4分)若()232a =,233b =,231c ⎛⎫= ⎪,231()d =,则a ,b ,c ,a 的大小关系是( ) A .a b c d >>>B .b a d c >>>C .b a c d >>>D .a b d c >>>7.(本题4分)已知()()22327m f x m m x-=--是幂函数,且在()0,∞+上单调递增,则满足()11f a ->的实数a 的范国为( ) A .(),0-∞B .()2,+∞C .()0,2D .()(),02,-∞+∞8.(本题4分)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若(1)1f =,则(1)(2)(3)(4)(2020)(2021)f f f f f f ++++++=( )A .0B .1C .2D .20219.(本题4分)若函数2()2(1)2f x x a x =+-+,在(],5-∞上是减函数,则a 的取值范围是( ) A .(],5-∞-B .[)5,+∞C .[)4,+∞D .(],4-∞-10.(本题4分)若不等式243x px x p +>+-,当04p ≤≤时恒成立,则x 的取值范围是( ) A .[]1,3- B .(],1-∞- C .[)3,+∞ D .()(),13,-∞-+∞第II 卷(非选择题)二、填空题(共40分)11.(本题4分)已知函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数,则实数a 的取值范围是______.12.(本题4分)已知函数2(1)22f x x x -=++,则(2)f =___________.13.(本题4分)已知二次函数()f x 满足(0)2f =,()(1)21f x f x x --=+,则函数2(1)f x +的最小值为__________.14.(本题4分)已知函数21()2x f x x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>,若()5f a =则a =___________.15.(本题4分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)=___.16.(本题4分)已知函数()12,1x x f x -⎧≥=⎨,则满足不等式(1)((2))f a f f +≥的实数a 的取值范围为______.17.(本题4分)函数2()21x xf x ax =+-是偶函数,则实数a =__________. 18.(本题4分)已知函数()22f x x +=,则()f x =______.19.(本题4分)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2020f =,则(2019)(2020)f f +=___________.20.(本题4分)已知函数()f x 在定义域R 上单调,且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=,则(2)f -=_________.三、解答题(共70分)21.(本题8分)已知幂函数223()m m f x x --=(m ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数. (1)求函数()f x ; (2)讨论()()bF x xf x =的奇偶性. 22.(本题10分)已知函数f (x )=2x 2+1. (1)用定义证明f (x )是偶函数; (2)用定义证明f (x )在(-∞,0]上是减函数.23.(本题12分)设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数; (1)若()10f >,判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集; (2)若()312f =,且22()4()x xg x a a f x -=+-,求()g x 在[1,)+∞上的最小值. 24.(本题12分)已知函数2()|1||1|f x x m x a =-+++有最小值(2)4f =-, (1)作出函数()y f x =的图象, (2)写出函数(12)f x -的递增区间.25.(本题12分)已知函数f (x )=()()1,01,1?x x x x ⎧<≤⎪⎨⎪>⎩(1)画出函数f (x )的图像; (2)求函数f (x )的值域;(3)求函数f (x )的单调递增区间,单调递减区间. 26.(本题16分)已知函数11,1()11,01x xf x x x⎧-⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<,且()()f a f b =时,求11a b+的值; (2)是否存在实数a 、b (a b <),使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b .若存在,则求出a 、b 的值;若不存在,请说明理由;(3)若存在实数a 、b (a b <)使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时,值域为[,]ma mb (0m ≠),求m 的取值范围.参考答案1.B 【分析】设函数()(0)f x kx b k =+≠,根据题意列出方程组,求得,k b 的值,即可求解. 【详解】由题意,设函数()(0)f x kx b k =+≠,因为()()()()22315,2011f f f f -=--=,可得51k b k b -=⎧⎨+=⎩,解得3,2k b ==-,所以()32f x x =-. 故选:B. 2.A 【分析】求出二次函数的对称轴,判断在区间[]22-,上的单调性,进而可得最值. 【详解】()22211y x x x =++=+对称轴为1x =-,开口向上,所以221y x x =++在[]2,1--上单调递减,在[]1,2-上单调递增,所以当1x =-时,min 1210y =-+=,当2x =时,2max 22219y =+⨯+=,所以函数有最小值0,最大值9, 故选:A. 3.D 【分析】分别看每个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即得. 【详解】对于A ,()f x 的定义域是R ,()g x 的定义域是[)0+,∞,故不满足; 对于B ,()f x 与()g x 的解析式不同,故不满足;对于C ,()f x 的定义域是R ,()g x 的定义域是{}0x x ≠,故不满足;对于D ,()()f x g x =,满足 故选:D 4.B 【分析】讨论x 的取值,根据函数的新定义求出()F x 即可求解. 【详解】 当()Rx A B ∈⋃时,()0A B f x ⋃=,()0A f x =,()0B f x =,()1F x ∴=同理得:当x B ∈时,()1F x =; 当x A ∈时,()1F x =;故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩,即值域为{1}.故选:B 5.C 【分析】根据函数()y f x =的定义域为[)1,2-,则[)21,2x +∈-,从而可得出答案. 【详解】解:因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-, 所以122x -≤+<,解得-<3≤0x , 所以函数函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选:C. 6.C 【分析】根据幂函数的概念,利用幂函数的性质即可求解. 【详解】203> ∴幂函数23y x =在()0,∞+上单调递增,又1132023>>>>, 22223333113223⎛⎫⎛⎫∴>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,b acd ∴>>>故选:C. 7.D 【分析】由幂函数的定义求得m 的可能取值,再由单调性确定m 的值,得函数解析式,结合奇偶性求解. 【详解】由题意2271m m --=,解得4m =或2m =-, 又()f x 在()0,∞+上单调递增,所以203m ->,2m >, 所以4m =,23()f x x =,易知()f x 是偶函数, 所以由()11f a ->得11a ->,解得0a <或2a >. 故选:D. 8.B 【分析】先由奇函数的定义得到()00f =且()()f x f x -=-,再结合()()11f x f x -=+得到函数()f x 的周期性,进而利用()00f =,()11f =化简求解.【详解】因为()f x 是定义域为()∞∞-+,的奇函数, 所以()00f =且()()f x f x -=-, 又因为函数()f x 满足()()11f x f x -=+, 所以()()()111f x f x f x +=-=--, 令1x t +=,则()()2f t f t =--, 即()()2f x f x =--,则()()()24f x f x f x =--=-, 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数, 因为()00f =,()11f =,所以()()420f f =-=,()()311f f =-=-, 则()()()()()()123420202021f f f f f f ++++⋯++ ()()()()()50012342021f f f f f ⎡⎤=++++⎣⎦()050041f =+⨯+ ()11f ==.故选:B. 9.D 【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴确定出a 满足的不等式,由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()f x 的对称轴为1x a =-且开口向上,且在(],5-∞上是减函数, 所以15a -≥,所以4a ≤-, 故选:D. 10.D 【分析】由已知可得()2min [143]0x p x x -+-+>,结合一次函数的性质求x 的范围.【详解】不等式243x px x p +>+-可化为()21430x p x x -+-+>, 由已知可得()21430min x p x x ⎡⎤-+-+>⎣⎦令()()2143x p x f x p +--+=,可得()()()220430441430f x x f x x x ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩∈ 1x <-或3x >, 故选D. 11.2a ≤ 【分析】求出二次函数的对称轴,即可得()f x 的单增区间,即可求解. 【详解】函数()223f x x ax =-+的对称轴是x a =,开口向上,若函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数,则2a ≤, 故答案为:2a ≤. 12.17 【分析】先令12x -=,得3x =,再把3x =代入函数中可求得答案 【详解】解:令12x -=,得3x =, 所以2(2)323217f =+⨯+=, 故答案为:17 13.5. 【分析】根据()f x 为二次函数可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,由(0)2f =可得2c =,再根据()(1)21f x f x x --=+,比较对应项系数即可求出,a b ,再根据二次函数的性质即可得到函数2(1)f x +的最小值. 【详解】()f x 为二次函数,∴可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,∴(0)2f c ==,因为()(1)21f x f x x --=+∴22(1)(1)21ax bx c a x b x c x ++-----=+,即221ax a b x -+=+,∴221a b a =⎧⎨-=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩,∴2()22f x x x =++,令21t x =+,则1t ≥,函数2(1)f x +即为()f t =2222(1)1t t t ++=++.()f t 的图象开口向上,图象的对称轴为直线1t =-,()f t ∴在[)1,+∞上单调递增,∴min ()(1)5f t f ==,即2(1)f x +的最小值为5. 故答案为:5. 14.2-. 【分析】根据分段函数的定义分类讨论求解. 【详解】若0a >,则()25f a a =-=,502a =-<,不合题意,舍去.若0a ≤,则2()15f a a =+=,2a =-(正的舍去). 故答案为:2-. 15.338 【分析】首先判断函数的周期,并计算一个周期内的函数值的和,即可求解. 【详解】由f (x +6)=f (x )可知,函数f (x )的周期为6,∈f (-3)=f (3)=-1,f (-2)=f (4)=0,f (-1)=f (5)=-1,f (0)=f (6)=0,f (1)=1,f (2)=2,∈在一个周期内有f (1)+f (2)+…+f (6)=1+2-1+0-1+0=1,∈f (1)+f (2)+…+f (2 019)=f (1)+f (2)+f (3)+336×1=1+2+(-1)+336=338. 故答案为:33816.1(,][1,)2-∞-⋃+∞.【分析】根据函数的解析式,求得(2)2f =,把不等式(1)((2))f a f f +≥转化为(1)2f a +≥,得出等价不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数()12,132,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩,可得()()()22,22,f f f ==,所以由不等式(1)((2))f a f f +≥,可得(1)2f a +≥,则1122a a +≥⎧⎨≥⎩或1132(1)2a a +<⎧⎨-+≥⎩,解得1a ≥或12a ≤-,即实数a 的取值范围为1(,][1,)2-∞-⋃+∞.故答案为:1(,][1,)2-∞-⋃+∞.17.1 【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=,结合已知解析式可求出22a =,即可求出a . 【详解】 因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-,且()f x 是偶函数,则()()f x f x -=, 2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------,即22a =,所以实数1a =. 故答案为: 1. 18.244x x -+ 【分析】采用换元法即可求出函数解析式. 【详解】令2x t +=,则2x t =-,所以()()22244t t f t t =--+=,因此()244f x x x =-+,故答案为:244x x -+. 19.2020- 【分析】由题设可得(4)()f x f x +=,即()f x 的周期为4,利用周期性、奇偶性求(2019)(2020)f f +的值即可. 【详解】由题设,知:()(2)()f x f x f x -=+=-,∈(4)(2)()f x f x f x +=-+=,即()f x 的周期为4,∈()f x 是定义在R 上的奇函数,即(0)0f =,又(1)2020f =,∈(2019)(2020)(50541)(5054)(1)(0)(0)(1)2020f f f f f f f f +=⨯-+⨯=-+=-=-. 故答案为:2020- 20.3 【分析】根据题意,分析可得()2f x x +为常数,设()2f x x t +=,解可得t 的值,即可得函数的解析式,将2x =-代入计算可得答案. 【详解】根据题意,函数()f x 在定义域R 上单调,且(0,)x ∈+∞时均有()()21f f x x +=, 则()2f x x +为常数,设()2f x x t +=,则()2f x x t =-+, 则有()21f t t t =-+=,解可得1t =-,则()21f x x =--, 故()2413f -=-=, 故答案为:3.21.(1)4()f x x -=;(2)答案见解析. 【分析】(1)由()f x 是偶函数,且在(0,+∞)上是单调减函数,可得m 的值;(2)求出()F x -,分0a ≠且0b ≠,0a ≠且0b =,0a =且0b ≠和0a =且0b =四种情况,分别得出函数的奇偶性. 【详解】(1)∈()f x 是偶函数,∈223m m --应为偶数.又∈()f x 在(0,+∞)上是单调减函数,∈223m m --<0,-1<m <3.又m ∈Z ,∈m =0,1,2.当m =0或2时,223m m --=-3不是偶数,舍去;当m =1时,223m m --=-4;∈m =1,即4()f x x -=.(2)32()a F x bx x =-,∈32()aF x bx x-=+ ∈当0a ≠且0b ≠时,函数()F x 为非奇非偶函数; ∈当0a ≠且0b =时,函数()F x 为偶函数; ∈当0a =且0b ≠时,函数()F x 为奇函数;∈当0a =且0b =时,函数()F x 既是奇函数,又是偶函数. 22.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)先求得函数f (x )的定义域为R ,再对于任意的x ∈R ,都有 f (-x )=f (x ),由此可得证; (2)任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1 < x 2,作差 f (x 1)-f (x 2)=2(x 1-x 2)(x 1+x 2),判断差的符号,可得证. 【详解】解:(1)函数f (x )的定义域为R ,对于任意的x ∈R ,都有 f (-x )=2(-x )2+1=2x 2+1=f (x ), ∈f (x )是偶函数.(2)任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1 < x 2,则有f (x 1)-f (x 2)=(2x 12+1)-(2x 22+1)=2(x 12-x 22)=2(x 1-x 2)(x 1+x 2), ∈x 1,x 2∈(-∞,0],∈x 1+x 2 < 0, ∈x 1 < x 2,∈x 1-x 2 < 0, ∈f (x 1)-f (x 2) > 0,∈f (x 1) > f (x 2),∈f (x )在(-∞,0]上是减函数. 23.(1)增函数,(1,)+∞;(2)2-. 【分析】(1)由(0)0f =,求得1k =,得到()x x f x a a -=-,根据()10f >,求得1a >,即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数,把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-,结合函数的单调性,即可求解;(2)由(1)和()312f =,求得2a =,得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=,令22x x t -=-,得到()2342,2g t t t t =-+≥,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】(1)因为函数()(0x xf x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数,可得(0)0f =,从而得10k -=,即1k =当1k =时,函数()x xf x a a -=-,满足()()()x x x xf x a a a a f x ---=-=--=-,所以1k =,由()10f >,可得10a a->且0a >,解得1a >,所以()x x f x a a -=-是增函数, 又由(2)(4)0f x f x ++->,可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-, 所以24x x +>-,解得1x >,即不等式的解集是(1,)+∞. (2)由(1)知,()x x f x a a -=-, 因为()312f =,即132a a -=,解得2a =, 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x xx x g x -----=---+-+=,令22x x t -=-,则在[1,)+∞上是增函数,故113222t -≥+=, 即()2342,2g t t t t =-+≥, 此时函数()g t 的对称轴为322t =>,且开口向上, 所以当2t =,函数()g t 取得最小值,最小值为()2224222g =-⨯+=-,即函数()g x 的最小值为2-.24.(1)答案见解析;(2)1[2-,1],3[2,)+∞. 【分析】(1)由函数最小值(2)4f =-,可求出函数2()|1|4|1|5f x x x =--++,即得; (2)利用图象可得函数()f x 的单调性,利用复合函数的单调性即得. 【详解】(1)当1x >时,2()1f x x mx a m =+++-又函数2()|1||1|f x x m x a =-+++有最小值f (2)4=-, 故22m-=,即4m =- 则2()45f x x x a =-+-则(2)4854f a =-+-=-,故5a = 则2()|1|4|1|5f x x x =--++ 则22248,1()42,114,1x x x f x x x x x x x ⎧++<-⎪=--+-⎨⎪->⎩其函数的图象如图:(2)由(1)我们可得函数()y f x =在区间(-∞,2]-,[1-,2]上单调递减, 在区间[2-,1]-,[1,)+∞上单调递增, 又函数(12)f x -的内函数为减函数,()y f x =在区间(-∞,2]-,[1-,2]上单调递减,故令12(x -∈-∞,2]-或12[1x -∈-,2],得1[2x ∈-,1]或3[2x ∈,)+∞,故函数(12)f x -的递增区间为1[2-,1],3[2,)+∞.25.(1)图象见详解 (2)[1,)+∞ (3)单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1]【分析】(1)分段画出函数图象即可;(2)结合反比例函数和一次函数的性质分段求出y 的取值范围,再取并集即可; (3)结合反比例函数和一次函数的单调性,即得解 【详解】(1)由题意,画出分段函数图象如下图:(2)当01x <≤,11[1,)y y x=≥∴∈+∞; 当1x >,1(1,)y x y =>∴∈+∞ 综上,函数f (x )的值域为[1,)+∞(3)根据反比例函数的单调性,可知函数f (x )在(0,1]单调递减; 由一次函数的单调性,可知f (x )在(1,)+∞单调递增; 故函数f (x )的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1]. 26.(1)2;(2)不存在,理由见解析;(3)104m <<. 【分析】(1)结合函数单调性化简()()f a f b =,由此可求11a b+,(2)根据函数单调性,求函数()y f x =在[,]a b 上的值域,由此可确定实数a 、b 的值是否存在,(3)讨论实数a 、b 的取值,求函数()y f x =在[,]a b 上的值域,由此求m 的值. 【详解】解:(1)∈11,1()11,01x xf x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,∈()f x 在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,由0a b <<且()()f a f b =,可得01a b <<<且1111a b-=-,故112a b +=.(2)不存在满足条件的实数a 、b .若存在满足条件的实数a 、b ,则0a b <<.∈当a ,(0,1)b ∈时,1()1f x x=-在(0,1)上为减函数 故()()f a b f b a =⎧⎨=⎩,即1111b aa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得a b =,故此时不存在符合条件的实数a 、b .∈当a ,[1,)b ∈+∞时,1(1)f x x=-在[1,)+∞上是增函数.故()()f a b f b a =⎧⎨=⎩,即1111a abb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,此时,a 、b 是方程210x x -+=的根.此方程无实根,故此时不存在符合条件的实数a 、b . ∈当(0,1)∈a ,[1,)b ∈+∞时,由于1[,]a b ∈,而(1)0[,]f a b =∉,故此时不存在符合条件的实数a 、b . 综上可知,不存在符合条件的实数a 、b .(3)若存在实数a 、b (a b <),使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时,值域为[,]ma mb ,且0a >,0m >.∈当a ,(0,1)b ∈时,由于()f x 在(0,1)上是减函数,故1111mb ama b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.此时得11a bm ab ab--==,得a b =与条件矛盾,所以a 、b 不存在 ∈当(0,1)∈a ,[1,)b ∈+∞时,易知0在值域内,值域不可能是[,]ma mb ,所以a 、b 不存在. ∈故只有a ,[1,)b ∈+∞.∈()f x 在[1,)+∞上是增函数,∈()()f a ma f b mb =⎧⎨=⎩,即1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,a 、b 是方程210mx x -+=的两个根.即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根. 设这两个根为1x 、2x ,则121x x m +=,121x x m⋅=. ∈∈>0,1-4m >0,∈12120(1)(1)0(1)(1)0x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩,即140120m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩,解得104m <<.故m 的取值范围是104m <<.。
高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析
高一数学必修一集合与函数的概念单元测试附答案解析时间:120分钟满分:150分一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}2.设f:x→|x|是集合A到集合B的映射,若A={-2,0,2},则A∩B=A.{0} B.{2} C.{0,2} D.{-2,0}3.fx是定义在R上的奇函数,f-3=2,则下列各点在函数fx图象上的是A.3,-2 B.3,2 C.-3,-2 D.2,-34.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是A.1 B.3 C.5 D.95.若函数fx满足f3x+2=9x+8,则fx的解析式是A.fx=9x+8 B.fx=3x+2 C.fx=-3x-4 D.fx=3x+2或fx=-3x-4 6.设fx=错误!则f5的值为A.16 B.18 C.21 D.247.设T={x,y|ax+y-3=0},S={x,y|x-y-b=0},若S∩T={2,1},则a,b的值为A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=1 D.a=-1,b=-18.已知函数fx的定义域为-1,0,则函数f2x+1的定义域为A.-1,1 C.-1,09.已知A={0,1},B={-1,0,1},f是从A到B映射的对应关系,则满足f0>f1的映射有A.3个B.4个C.5个D.6个10.定义在R上的偶函数fx满足:对任意的x1,x2∈-∞,0x1≠x2,有x2-x1fx2-fx1>0,则当n∈N时,有A.f-n<fn-1<fn+1 B.fn-1<f-n<fn+1C.fn+1<f-n<fn-1 D.fn+1<fn-1<f-n11.函数fx是定义在R上的奇函数,下列说法:①f0=0;②若fx在0,+∞上有最小值为-1,则fx在-∞,0上有最大值为1;③若fx在1,+∞上为增函数,则fx在-∞,-1上为减函数;④若x>0时,fx=x2-2x,则x<0时,fx=-x2-2x.其中正确说法的个数是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.fx满足对任意的实数a,b都有fa+b=fa·fb且f1=2,则错误!+错误!+错误!+…+错误!=A.1006 B.2014 C.2012 D.1007二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.函数y=错误!的定义域为________.14.fx=错误!若fx=10,则x=________.15.若函数fx=x+abx+2a常数a,b∈R是偶函数,且它的值域为-∞,4,则该函数的解析式fx=________.16.在一定范围内,某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元,购买2000吨,每吨为700元,那么客户购买400吨,单价应该是________元.三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.1求A∪B,U A∩B;2若A∩C≠,求a的取值范围.18.本小题满分12分设函数fx=错误!.1求fx的定义域;2判断fx的奇偶性;3求证:f错误!+fx=0.19.本小题满分12分已知y=fx是定义在R上的偶函数,当x≥0时,fx=x2-2x.1求当x<0时,fx的解析式;2作出函数fx的图象,并指出其单调区间.20.本小题满分12分已知函数fx=错误!,1判断函数在区间1,+∞上的单调性,并用定义证明你的结论.2求该函数在区间1,4上的最大值与最小值.21.本小题满分12分已知函数fx的定义域为0,+∞,且fx为增函数,fx·y=fx+fy.1求证:f错误!=fx-fy;2若f3=1,且fa>fa-1+2,求a的取值范围.22.本小题满分12分某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系:1在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对x,y的对应点,并确定y与x 的一个函数关系式.2设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润1.解析M={x|xx+2=0.,x∈R}={0,-2},N={x|xx-2=0,x∈R}={0,2},所以M∪N={-2,0,2}.答案D2. 解析依题意,得B={0,2},∴A∩B={0,2}.答案C3. 解析∵fx是奇函数,∴f-3=-f3.又f-3=2,∴f3=-2,∴点3,-2在函数fx的图象上.答案A4. 解析逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时,x-y =1,0,-1;x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.答案C5. 解析∵f3x+2=9x+8=33x+2+2,∴fx=3x+2.答案B6. 解析f5=f5+5=f10=f15=15+3=18.答案B7. 解析依题意可得方程组错误!错误!答案C8. 解析由-1<2x+1<0,解得-1<x<-错误!,故函数f2x+1的定义域为错误!.答案B9. 解析当f0=1时,f1的值为0或-1都能满足f0>f1;当f0=0时,只有f1=-1满足f0>f1;当f0=-1时,没有f1的值满足f0>f1,故有3个.答案A10.解析由题设知,fx在-∞,0上是增函数,又fx为偶函数,∴fx在0,+∞上为减函数.∴fn+1<fn<fn-1.又f-n=fn,∴fn+1<f-n<fn-1.答案C11. 解析①f0=0正确;②也正确;③不正确,奇函数在对称区间上具有相同的单调性;④正确.答案C12. 解析因为对任意的实数a,b都有fa+b=fa·fb且f1=2,由f2=f1·f1,得错误!=f1=2,由f4=f3·f1,得错误!=f1=2,……由f2014=f2013·f1,得错误!=f1=2,∴错误!+错误!+错误!+…+错误!=1007×2=2014.答案B13. 解析由错误!得函数的定义域为{x|x≥-1,且x≠0}.答案{x|x≥-1,且x≠0}14. 解析当x≤0时,x2+1=10,∴x2=9,∴x=-3.当x>0时,-2x=10,x=-5不合题意,舍去.∴x=-3.答案-315. 解析fx=x+abx+2a=bx2+2a+abx+2a2为偶函数,则2a+ab=0,∴a=0,或b=-2.又fx的值域为-∞,4,∴a≠0,b=-2,∴2a2=4.∴fx=-2x2+4.答案-2x2+416. 解析设一次函数y=ax+ba≠0,把错误!和错误!代入求得错误!∴y=-10x+9000,于是当y=400时,x=860.答案86017. 解1A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}={x|1<x≤8}.A={x|x<2,或x>8}.U∴U A∩B={x|1<x<2}.2∵A∩C≠,∴a<8.18. 解1由解析式知,函数应满足1-x2≠0,即x≠±1.∴函数fx的定义域为{x∈R|x≠±1}.2由1知定义域关于原点对称,f-x=错误!=错误!=fx.∴fx为偶函数.3证明:∵f错误!=错误!=错误!,fx=错误!,∴f错误!+fx=错误!+错误!=错误!-错误!=0.19. 解1当x<0时,-x>0,∴f-x=-x2-2-x=x2+2x.又fx是定义在R上的偶函数,∴f-x=fx.∴当x<0时,fx=x2+2x.2由1知,fx=错误!作出fx的图象如图所示:由图得函数fx的递减区间是-∞,-1,0,1.fx的递增区间是-1,0,1,+∞.20. 解1函数fx在1,+∞上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈1,+∞,且x1<x2,fx-fx2=错误!-错误!=错误!,1∵x1-x2<0,x1+1x2+1>0,所以fx1-fx2<0,即fx1<fx2,所以函数fx在1,+∞上是增函数.2由1知函数fx在1,4上是增函数,最大值f4=错误!,最小值f1=错误!.21. 解1证明:∵fx=f错误!=f错误!+fy,y≠0∴f错误!=fx-fy.2∵f3=1,∴f9=f3·3=f3+f3=2.∴fa>fa-1+2=fa-1+f9=f9a-1.又fx在定义域0,+∞上为增函数,∴错误!∴1<a<错误!.22. 解1由题表作出30,60,40,30,45,15,50,0的对应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示.设它们共线于直线y=kx+b,则错误!错误!∴y=-3x+1500≤x≤50,且x∈N,经检验30,60,40,30也在此直线上.∴所求函数解析式为y=-3x+1500≤x≤50,且x∈N.2依题意P=yx-30=-3x+150x-30=-3x-402+300.∴当x=40时,P有最大值300,故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.。
函数的概念练习题(含答案)
1.2.1 函数的概念及练习题一、选择题1.集合A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数是( ) A .f (x )→y =12x B .f (x )→y =13x C .f (x )→y =23x D .f (x )→y =x2.某物体一天中的温度是时间t 的函数:T (t )=t 3-3t +60,时间单位是小时,温度单位为℃,t =0表示12:00,其后t 的取值为正,则上午8时的温度为( )A .8℃B .112℃C .58℃D .18℃3、函数()214,y x x x x Z =--≤≤∈的值域为( ) A .[]0,12B .1124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C .{}0,2,6,12D .{}2,6,124.已知f (x )的定义域为[-2,2],则f (x 2-1)的定义域为( ) A .[-1,3] B .[0,3] C .[-3,3] D .[-4,4]5.若函数y =f (3x -1)的定义域是[1,3],则y =f (x )的定义域是( ) A .[1,3]B .[2,4]C .[2,8]D .[3,9]6.函数y =f (x )的图象与直线x =a 的交点个数有( )A .必有一个B .一个或两个C .至多一个D .可能两个以上 7.函数f (x )=1ax 2+4ax +3的定义域为R ,则实数a 的取值范围是( )A .{a |a ∈R }B .{a |0≤a ≤34}C .{a |a >34}D .{a |0≤a <34}8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过( )年.A .4B .5C .6D .79.(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )=1-2x ,f [g (x )]=1-x 2x2(x ≠0),那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 等于( )A .15B .1C .3D .3010.函数f (x )=2x -1,x ∈{1,2,3},则f (x )的值域是( )A .[0,+∞)B .[1,+∞)C .{1,3,5} D .R二、填空题11.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数,则y =________,其定义域为________.12.函数y =x +1+12-x的定义域是(用区间表示)________. 三、解答题13.求一次函数f (x ),使f [f (x )]=9x +1.14.将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖出100个,若这种商品的销售单价每涨1元,日销售量就减少10个,为了获得最大利润,销售单价应定为多少元?15.求下列函数的定义域. (1)y =x +1x 2-4; (2)y =1|x |-2;(3)y =x 2+x +1+(x -1)0.16.(1)已知f (x )=2x -3,x ∈{0,1,2,3},求f (x )的值域.(2)已知f (x )=3x +4的值域为{y |-2≤y ≤4},求此函数的定义域.17.(1)已知f (x )的定义域为 [ 1,2 ] ,求f (2x -1)的定义域; (2)已知f (2x -1)的定义域为 [ 1,2 ],求f (x )的定义域;(3)已知f (x )的定义域为[0,1],求函数y =f (x +a )+f (x -a )(其中0<a <12)的定义域.18.用长为L 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图),若矩 形底边长为2x ,求此框架的面积y 与x 的函数关系式及其定义域.1.2.1 函数的概念答案一、选择题 1.[答案] C[解析] 对于选项C ,当x =4时,y =83>2不合题意.故选C.2.[答案] A[解析] 12:00时,t =0,12:00以后的t 为正,则12:00以前的时间负,上午8时对应的t =-4,故T (-4)=(-4)3-3(-4)+60=8.3.[答案] B [解析]()4121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f .[]()41,4,1min -=-∈∴x f x ,()()124,21==-f f ,()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41.故选B. 4.[答案] C[解析] ∵-2≤x 2-1≤2,∴-1≤x 2≤3,即x 2≤3,∴-3≤x ≤3.5.[答案] C[解析] 由于y =f (3x -1)的定义域为[1,3],∴3x -1∈[2,8],∴y =f (x )的定义域为[2,8]。
高一函数的概念单元测试题2
1.(5分)函数y=2x+的值域是 _________.2.(5分)设f(x)为定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(﹣2),f(﹣π),f(3)的大小顺序是_________.3.(5分)已知函数f(x)=(m﹣1)x2+(m﹣2)x+(m2﹣7m+12)为偶函数,则m的值是_________.4.(5分)设M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=_________.5.(5分)求函数在区间[3,6]上的最大值_________和最小值_________.6.(5分)设f(x)=ax7+bx+5,已知f(﹣7)=﹣17,求f(7)的值_________.7.(5分)已知函数f(x),当x<0时,f(x)=x2+2x﹣1,若f(x)为R上的奇函数,则函数在R上的解析式为_________.8.(5分)如果二次函数f(x)=x2﹣(a﹣1)x+5在区间(,1)上为增函数,则f(2)的取值范围是_________.9.(5分)(2010•广州模拟)若函数f(x)=(k﹣2)x2+(k﹣1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是_________.10.(5分)已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数,且f(x﹣2)<f(1﹣x),则x的取值范围为_________.11.(5分)定义在(﹣1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m=_________,n=_________.12.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=ln(x2﹣2x+2),当x<0时,f(x)的解析式为_________.13.(5分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5],若y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.则实数a的取值范围_________.14.(5分)若f(x)是奇函数,且在区间(﹣∞,0)上是单调增函数,又f(2)=0,则xf(x)<0的解集为_________.15.(15分)已知函数,求证:f(x)在上是增函数.16.(15分)定义在[﹣1,1]上的函数y=f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2﹣a﹣1)+f (4a﹣5)>0,求实数a的取值范围.17.(15分)求二次函数f(x)=x2﹣2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值.18.(15分)作出函数y=|x﹣2|(x+1)的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.19.(15分)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)﹣f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置.生产x台的收入函数为R(x)=3000x﹣20x2(单位元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位元),利润等于收入与成本之差.①求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);②求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值;③你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.20.(15分)若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0(2)求证:f(x)为减函数(3)当时,解不等式.1.(5分)函数y=2x+的值域是[﹣2,+∞).2.(5分)设f(x)为定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(﹣2),f(﹣π),f(3)的大小顺序是f(﹣2)<f(3)<f(﹣π).3.(5分)已知函数f(x)=(m﹣1)x2+(m﹣2)x+(m2﹣7m+12)为偶函数,则m的值是2.4.(5分)设M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N={﹣1,0,1}.5.(5分)求函数在区间[3,6]上的最大值3和最小值.6.(5分)设f(x)=ax7+bx+5,已知f(﹣7)=﹣17,求f(7)的值27.7.(5分)已知函数f(x),当x<0时,f(x)=x2+2x﹣1,若f(x)为R上的奇函数,则函数在R上的解析式为f(x)=.8.(5分)如果二次函数f(x)=x2﹣(a﹣1)x+5在区间(,1)上为增函数,则f(2)的取值范围是[7,+∞).9.(5分)(2010•广州模拟)若函数f(x)=(k﹣2)x2+(k﹣1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是(0,+∞).10.(5分)已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数,且f(x﹣2)<f(1﹣x),则x的取值范围为.11.(5分)定义在(﹣1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m=0,n=0.12.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=ln(x2﹣2x+2),当x<0时,f(x)的解析式为ln(x2+2x+2).13.(5分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5],若y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.则实数a的取值范围(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞).14.(5分)若f(x)是奇函数,且在区间(﹣∞,0)上是单调增函数,又f(2)=0,则xf(x)<0的解集为(﹣2,0)∪(0,2).15.(15分)已知函数,求证:f(x)在上是增函数.﹣)在16.(15分)定义在[﹣1,1]上的函数y=f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a﹣a﹣1)+f (4a﹣5)>0,求实数a的取值范围.)是减函数,所以17.(15分)求二次函数f(x)=x2﹣2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值.18.(15分)作出函数y=|x﹣2|(x+1)的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.=如下图:,,19.(15分)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)﹣f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置.生产x台的收入函数为R(x)=3000x﹣20x2(单位元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位元),利润等于收入与成本之差.①求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);②求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值;20.(15分)若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0(2)求证:f(x)为减函数(3)当时,解不等式.,因为﹣)由,,即。
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(包含答案解析)
一、选择题1.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+,则()1f =( ) A .ln 2-B .ln 2C .0D .12.已知m R ∈,若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-,则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( ) A .[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B .1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D .[),e +∞3.已知0.31()2a =,12log 0.3b =,0.30.3c =,则a b c ,,的大小关系是( )A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .b c a <<4.若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数,且在区间[]3,6上的最大值为7,最小值为-1,则()()263f f -+-的值为( ) A .5B .-5C .13D .-135.已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增,函数()2xg x t =-,任意1[1,6)x ∈时,总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =,则t 的取值范围是( )A .128t <<B .128t ≤≤C .28t >或1t <D .28t ≥或1t ≤6.函数y x=的值域是( ) A .11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .[]0,1C .10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[)0,+∞7.若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减,则不等式()()20f x f x +-≥的解集为( ) A .(],2-∞B .(],1-∞C .[)1,+∞D .[)2,+∞8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当[]0,1x ∈时,()31x f x =-,则()1f -=( ) A .2B .1C .-2D .-19.已知函数()2121f x ax x ax =+++-(a R ∈)的最小值为0,则a =( ) A .12B .1-C .±1D .12±10.给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}{},x x m =即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①11()22f -=;②(3.4)0.4f =-;③11()()44f f -<;④()y f x =的定义域是R ,值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;则其中真命题的序号是 ( )A .①②B .①③C .②④D .③④第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11.已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是( ) A .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .(2,)+∞C .2,23⎛⎫⎪⎝⎭D .()1,212.若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .[]4,0- B .(],0-∞C .(],4-∞-D .(,4][0,)-∞-+∞13.若01m n <<<且1mn =,则2m n +的取值范围是( ) A .[22,)+∞B .[3,)+∞C .(22,)+∞D .(3,)+∞14.已知函数()22x f x =-,则函数()y f x =的图象可能是( )A .B .C .D .15.函数24()|3|3x f x x -=+-是( )A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数二、填空题16.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,则使不等式(1)0f x x +≤成立的x 的取值范围是_________. 17.已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________. 18.已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数,如果(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是________19.函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ,不含(0,1)A 、(1,1)B 、(0,0)O 、(1,1)C --、(0,1)D -五个点,若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象,则其中一个函数的解析式可以为__________.20.研究函数22()(0)||||a x f x abc x b x c -=<<<++-,得到如下命题:①此函数图象关于y 轴对称;②此函数存在反函数;③此函数在()0,a 上为增函数;④此函数有最大值ab c+和最小值0; 你认为其中正确的是_______(写出所有正确的编号).21.若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数,且()f x x在M 上是减函数,则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”,则实数a 的值为______. 22.函数()21log f x x=-___________.23.设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩,,则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.24.已知函数()f x =ln 2x x +,则()232f x -<的解集为_____.25.已知函数()1lg11xf x x-=++,若()4f m =,则()f m -=______.26.设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--,进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选:A. 【点睛】思路点睛:该题考查函数奇偶性的应用,解题思路如下: (1)根据奇函数的定义,可知(1)(1)=--f f ; (2)根据题中所给的函数解析式,求得函数值; (3)最后得出结果.2.C解析:C 【分析】先判断函数为偶函数,根据奇偶性求得0m =,将原不等式化为ln x e e ≥,等价于ln 1x ≥,进而可得答案.【详解】设2021x t -=,()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-, 所以()||x m f x e+=是偶函数,则||||x m x m e e +-+=恒成立,即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立, 所以0m =⇒()||x f x e =,因为11lnln ln x x x-==-,所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥, ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥,因为xy e =为增函数,所以可得ln 1x ≥,则ln 1x ≥或ln 1x ≤-, 解得x e ≥或10x e<≤, 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,故选:C. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.3.B解析:B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<,由对数函数的性质可得1b >,由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭,从而可得结果.【详解】∵0.31()2a =,12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 11221log 0.3log 12b =>=, 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选:B 【点睛】方法点睛:解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.D解析:D 【分析】先利用条件找到()31f =-,(6)7f =,再利用()f x 是奇函数求出(3)f -,(6)f -代入即可. 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数, 在区间[]3,6上的最大值为7,最小值为1-, 得()31f =-,(6)7f =,()f x 是奇函数,(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-.故答案为:13-. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值,关键点是利用函数的奇偶性先求函数值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.B解析:B 【分析】先根据幂函数定义解得m ,再根据单调性进行取舍,根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题,最后根据函数单调性确定对应函数值域,根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】由题意22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩,则0m =,即()2f x x =,当[)11,6x ∈时, ()[)11,36f x ∈,又当[)21,6x ∈时, ()[)22,64g x t t ∈--,∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩,解得128t ≤≤,故选:B . 【点睛】对于方程任意或存在性问题,一般转化为对应函数值域包含关系,即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域; 1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空.6.C解析:C 【分析】令t =,转化为21ty t =+,0t ≥,根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥,当0t =时,0y =, 当0t ≠时,2110112t y t t t <==≤=++,当且仅当1t =时,即2x =时等号成立, 综上102y ≤≤, 故选:C 【点睛】关键点点睛:注意含根号式子中,经常使用换元法,利用换元法可简化运算,本题注意均值不等式的使用,属于中档题.7.B解析:B 【分析】由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性,再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-,然后由单调性可解得不等式.【详解】∵()f x 是奇函数,在(,0]-∞上递减,则()f x 在[0,)+∞上递减, ∴()f x 在R 上是减函数,又由()f x 是奇函数,则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-, ∴2x x -≤-,1x ≤. 故选:B . 【点睛】方法点睛:本题考查函数的奇偶性与单调性.这类问题常常有两种类型:(1)()f x 为奇函数,确定函数在定义域内单调,不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-,然后由单调性去掉函数符号“f ”,再求解;(2)()f x 是偶函数,()f x 在[0,)+∞上单调,不等式为12()()f x f x >,首先转化为12()()f x f x >,然后由单调性化简. 8.C解析:C 【分析】由()f x 为奇函数,结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式,进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数, ∴令10x -≤≤,则[0,1]x -∈, 由题意,有()31()xf x f x --=-=-,∴1()13x f x =-,故()111123f --=-=-, 故选:C 【点睛】关键点点睛:利用函数奇偶性,求对称区间上的函数解析式,然后代入求值.9.C解析:C 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩, 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩,由于函数()f x 的最小值为0,作出函数()(),g x h x 的大致图像,结合图像,210x -=,得1x =±, 所以1a =±.故选:C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题.10.B解析:B 【解析】111()(1)222f -=---= ;111()(0)444f -=--=-,111()(0)444f =-=,所以11()()44f f -<; (3.4) 3.430.4f =-=;()y f x = 的定义域是R ,值域是11(,]22- ,所以选B.点睛:解决新定义问题,关键是明确定义含义,正确运用定义进行运算.对于抽象的概念,可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上,难点在于整数的确定.11.B解析:B 【分析】根据函数的解析式,得出函数的单调性,把不等式(21)(32)f x f x +<-,转化为相应的不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩,可得当1x <时,()1f x =,当1≥x 时,函数()f x 在[1,)+∞单调递增,且()21log 21f ==, 要使得()()2131f x f x +<-,则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩,解得2x >,即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞, 故选:B. 【点睛】思路点睛:该题主要考查了函数的单调性的应用,解题思路如下: (1)根据函数的解析式,得出函数单调性; (2)合理利用函数的单调性,得出不等式组; (3)正确求解不等式组,得到结果.12.A解析:A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式,根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件,同时注意分段点处函数值关系,由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-,所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩,当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时,22a-≤,所以4a ≥-, 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时,02a≤,所以0a ≤, 且()()12224f f ==,所以[]4,0a ∈-, 故选:A. 【点睛】思路点睛:根据分段函数单调性求解参数范围的步骤: (1)先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围; (2)根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系; (3)结合(1)(2)求解出参数的最终范围.13.D解析:D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=,再求其值域即得结果. 【详解】由01m n <<<且1mn =知,22m n m m +=+,故设()2(),01f m m m m+<<=, 设1201m m <<<,则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12120,01m m m m -<<<,即1222m m >,故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,即12()()f m f m >,函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减,2(1)131f =+=,故函数的值域为(3,)+∞. 故选:D. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法(1)取值:设12,x x 是该区间内的任意两个值,且12x x <; (2)作差变形:即作差,即作差12()()f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形;(3)定号:确定差12()()f x f x -的符号;(4)下结论:判断,根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.14.B解析:B【分析】先将函数化成分段函数的形式,再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =,且过点()1,0,()0,1,又()0f x ≥,故选:B .【点睛】本题考查函数图象的识别,此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别,本题属于基础题.15.A解析:A【分析】首先求出函数的定义域,然后利用奇偶性定义判断即可.【详解】解:因为()|3|3f x x =+- 所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠,故函数的定义域为[)(]2,00,2-,定义域关于原点对称,所以()f x =,[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x -===- 所以函数为奇函数;故选:A【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,判断函数的奇偶性按照两步:①求函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称;②计算()f x -判断与()f x 之间的关系;二、填空题16.【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析:[)()2,00,-⋃+∞【分析】先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,画出()f x 的草图,结合图象对(1)0f x x +≤进行等价转化,解不等式即可. 【详解】由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数,函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的,作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象,如图所示.不等式(1)0f x x+≤可化为: ()010x f x <⎧⎨+≥⎩,当0x <时()10f x +≥,观察图象,得20x -≤<; ()010x f x >⎧⎨+≤⎩,当0x >时()10f x +≤,观察图象,得0x >; 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞故答案为:[)()2,00,-⋃+∞.【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法;(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则;(3)高次不等式用穿针引线法;(4)含参数的不等式需要分类讨论.17.【分析】先由定义域为R 的奇函数在区间上为严格减函数且画出的草图结合图像对进行等价转化解不等式即可【详解】是定义域为R 的奇函数且在区间上为严格减函数有∴在区间上为严格减函数且可作出的草图:不等式可化为 解析:[]3,1--【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,画出()f x 的草图,结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化,解不等式即可. 【详解】 ()f x 是定义域为R 的奇函数,且在区间(0,)+∞上为严格减函数,有()20f =, ∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =,可作出()f x 的草图:不等式(1)01f x x +≥-可化为: ()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩,当1x >时()12,10x f x +>+<,无解; 对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩,当1x <时()12,10x f x +<+≤,由图像观察,210x -≤+≤ 解得:31x -≤≤-所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--. 故答案为:[]3,1--【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法;(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则;(3)高次不等式用穿针引线法;(4)含参数的不等式需要分类讨论.18.【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R 上是增函数进而可将对于任意恒成立转化为对任意都成立进而可得最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围【详解】因为定义在R 上的偶函数在上是严格增函 解析:31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得()y f x =在R 上是增函数,进而可将(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立,转化为12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立,进而可得31a x x-≤≤,最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数,因为(1)(2)f ax f +≤对任意[]1,2x ∈都成立, 所以12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立,即212ax -≤+≤对任意[]1,2x ∈都成立, 变形可得31a x x-≤≤, 由函数3y x =-在[]1,2为增函数,1y x =在[]1,2上为减函数, 故31max min a x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以31,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 关键点睛:本题的解题关键是由函数为偶函数得出12ax +≤,进而结合单调性求出a 的取值范围.19.【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是关于原点解析:()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个,再在AB 或OB 中选取一个,即可得出函数f (x ) 的解析式.【详解】由图可知,线段OC 与线段OB 是关于原点对称的,线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的,根据题意,f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称,所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个,再在AB 或OB 中选取一个,比如其组合形式为: OC 和AB , CD 和OB ,不妨取f (x )的图象为OC 和AB ,OC 的方程为: (10)y x x =-<<,AB 的方程为: 1(01)y x =<<,所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩, 故答案为:,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法,涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用,属于中档题. 20.①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解:函数由于整理得则:由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析:①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②,进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④.【详解】解:函数())f x a b c =<<<, 由于220a x -≥,整理得a x a -≤≤.则:()f x ==. 由于函数为偶函数,函数的图象关于y 轴对称,所以函数不存在反函数,存在反函数的函数的前提该函数具有单调性.故①正确②错误.因为22y a x =-在()0,a 上为减函数,所以()f x 在()0,a 上为减函数,故故③错误;可知()f x 在[],0a -单调递增,()0,a 单调递减,且为偶函数,则()f x 在0x =出取得最大值a b c+,在x a =±处取得最小值0,故④正确. 故答案为:①④.【点睛】本题考查函数性质的应用,属于基础题.21.4【分析】由在上的单调性求出a 的一个范围再令则在上是减函数分类讨论根据的单调性求参数a 的范围两范围取交集即可得解【详解】由题意可知函数在上是增函数解得令则在上是减函数①当时在上为增函数不符合题意;② 解析:4【分析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围,再令()()f x h x x=,则()h x 在(]0,2上是减函数,分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围,两范围取交集即可得解.【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数, 402a -∴≤,解得4a ≤, 令()()4f x a x a x x h x +==+-,则()h x 在(]0,2上是减函数, ①当0a ≤时,()h x 在(]0,2上为增函数,不符合题意;②当0a >时,由对勾函数的性质可知()h x在上单调递减,2≥,解得4a ≥,又4a ≤,4a ∴=.故答案为:4【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性,属于中档题.22.【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为:【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题解析:(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.【详解】因为()f x = 所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩, 即2log 10x x <⎧⎨>⎩ 解得02x <<,所以函数的定义域为(0,2),故答案为:(0,2)【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题,考查了对数函数的性质,属于中档题.23.【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且;当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为:【点睛】本题考查函数单调性的判 解析:()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数,于是可把函数不等式转化为自变量的关系,进而可得原不等式的解集.【详解】当1x <时,()f x x =单调递增,且()1f x <;当1≥x 时,31()1f x x x=-+单调递增,且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f x f x ->-等价于26x x ->-,则260x x --<,()()320x x -+<,解得23x -<<.故答案为:()2,3-.【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题,要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性,一定要关注对分段间隔点处的情况.24.【分析】可判断出函数在上单调递增将不等式化为可得出解出即可【详解】因为单增单增所以函数在区间上单增而==等价于所以即解得或即的解集为故答案为:【点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的解析:(()2,3,2- 【分析】可判断出函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 将不等式化为()()231f x f -<,可得出2031x <-<,解出即可.【详解】因为ln y x =单增,2x y =单增,所以函数()f x 在区间()0,∞+上单增.而()1f =1ln12+=()22,32f x -<等价于()()231f x f -<,所以2031x <-<,即234x <<,解得2x -<<2x <<.即()232f x -<的解集为(()2,3,2-.故答案为:(()2,3,2-. 【点睛】 解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内25.【分析】首先构造新的函数然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性用整体思想求解出【详解】令则又为上的奇函数又故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性构造方法构造新的函数整体思想求出答案属于中档题 解析:2-【分析】首先构造新的函数,然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,用整体思想求解出()()12f m g m -=-+=-.【详解】令1()lg 1x g x x-=+ (11)x -<<,则()()1f x g x =+, 又11()lglg ()11x x g x g x x x+--==-=--+,()g x ∴为(1,1)-上 的奇函数, 又()4f m =,()()13g m f m ∴=-=,()()3g m g m ∴-=-=-,()()12f m g m ∴-=-+=-.故答案为:2-.【点睛】本题考查函数的奇偶性,构造方法构造新的函数,整体思想求出答案 ,属于中档题. 26.【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为:【点睛】本题主要考查解析:113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性,结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】 ()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=++,则()f x 是偶函数, 当0x ≥函数()f x 为增函数,则()()12f x f x >-等价与()()12f x f x >-, 所以12x x >-,平方得22144x x x -+>, 所以23410x x -+<,所以1 13x <<,即不等式的解集为113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 故答案为:113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键,难度中等.。
第三章 函数的概念与性质同步单元必刷卷(基础卷)(考试版)
第三章 函数的概念与性质同步单元必刷卷(基础卷)一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.1.(2019·南通市海门实验学校高一月考)下列每组函数是同一函数的是( ) A .0()1,()f x g x x ==B .24(),()22x f x g x x x -==+-C .2()|3|,()(3)f x x g x x =-=-D .()(1)(3),()13f x x x g x x x =--=--2.(2019·长沙市南雅中学高一月考)函数()224f x x x =--+的值域是( )A .[]22-,B .[]1,2C .[]0,2D .2,2⎡⎤-⎣⎦3.(2021·蚌埠田家炳中学高二月考(文))如果函数2()(1)3f x x a x =+-+在区间[]1,4上是单调函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .9a ≥或3a ≤ B .7a ≥或3a ≤ C .9a >或3a <D .39a ≤≤4.(2021·河南高三开学考试(文))已知()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么()y f x =的最大值是( ) A .1B .13C .43D .31275.(2021·湖北高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()()22101x x f x g x a a a a -+=-+>≠,,则()1f =( )A .1-B .0C .1D .26.(2021·乾安县第七中学高二月考(文))已知二次函数()f x 满足()212f x x x +=-+,若()3f x x m >+在区间[]1,3-上恒成立,则实数m 的范围是( ) A .m <-5 B .m >-5C .m <11D .m >117.(2021·贵州贵阳·高三开学考试(文))已知函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减,且为奇函数,若12f ,则满足()222f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A .[]22-,B .[]1,1-C .[]1,3D .[]0,48.(2021·全国高一课前预习)新冠肺炎疫情防控中,核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n (单位:小时)大致服从的关系为()000,,t n N n t n t n N N ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(0t 、0N 为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为( ) A .16小时 B .11小时 C .9小时 D .8小时二、多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。
高中数学 第三章 函数概念与性质单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一
第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.函数f(x)=x -1x -2的定义域为( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[1,2) D .[1,2)∪(2,+∞)2.德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献,函数D(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,x ∉Q 1,x∈Q是以他名字命名的函数,则D(D(π))=( )A .1B .0C .πD .-13.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=2x 2-2x +1,则f(-1)=( )A .3B .-3C .2D .-24.若函数y =f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2x +1的定义域是( )A .[-4,0]B .[-4,0)C .[-4,-1)∪(-1,0]D .(-4,0)5.若幂函数y =(m 2-3m +3)xm -2的图象不过原点,则m 的取值X 围为( )A .1≤m≤2B .m =1或m =2C .m =2D .m =16.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,则函数f (x )在R 上的解析式是( )A .f (x )=-x (x -2)B .f (x )=x (|x |-2)C .f (x )=|x |(x -2)D .f (x )=|x |(|x |-2)7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤0,1,x >0,若f (x -4)>f (2x -3),则实数x 的取值X 围是( )A .(-1,+∞) B.(-∞,-1)C .(-1,4)D .(-∞,1)8.甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地,途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2),甲前一半的路程使用速度v 1,后一半的路程使用速度v 2;乙前一半的时间使用速度v 1,后一半的时间使用速度v 2,关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间,纵轴s 表示路程,C 是AB 的中点),则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.关于函数f (x )=-x 2+2x +3的结论正确的是( )A .定义域、值域分别是[-1,3],[0,+∞) B.单调增区间是(-∞,1] C .定义域、值域分别是[-1,3],[0,2] D .单调增区间是[-1,1] 10.已知f (2x -1)=4x 2,则下列结论正确的是( ) A .f (3)=9 B .f (-3)=4 C .f (x )=x 2D .f (x )=(x +1)211.关于定义在R 上的函数f (x ),下列命题正确的是( ) A .若f (x )满足f (2 018)>f (2 017),则f (x )在R 上不是减函数 B .若f (x )满足f (-2)=f (2),则函数f (x )不是奇函数C .若f (x )在区间(-∞,0)上是减函数,在区间[0,+∞)也是减函数,则f (x )在R 上是减函数D .若f (x )满足f (-2 018)≠f (2 018),则函数f (x )不是偶函数12.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y ),当x <0时,f (x )>0,则函数f (x )满足( )A .f (0)=0B .y =f (x )是奇函数C .f (x )在[m ,n ]上有最大值f (n )D .f (x -1)>0的解集为(-∞,1)三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.14.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,宽减少x2时,面积达到最大,此时x 的值为________.15.定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x ≥0,f (x )=x 2-2x +a ,则a =________,f (-3)=________.(本题第一空2分,第二空3分)16.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x +a ,x >1,3-2a x -1,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值X围为________.四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=2x -1x +1,x ∈[3,5].(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明; (2)求f (x )的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+1x,x >1,x 2+1,-1≤x ≤1,2x +3,x <-1.(1)求f (f (-2))的值; (2)若f (a )=32,求a .19.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )=x -2m 2-m +3,其中m ∈{x |-2<x <2,x ∈Z }满足:(1)在区间(0,+∞)上是增函数; (2)对任意的x ∈R ,都有f (-x )+f (x )=0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式,并求当x ∈[0,3]时,f (x )的值域.20.(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(3)若方程f(x)-k=0有四个解,某某数k的取值X围.21.(本小题满分12分)如图所示,A、B两城相距100 km,某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气.已知D地距A城x km,为保证城市安全,天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天然气站D距A城的距离为40 km时,建设费用为1300万元.(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数,并求定义域;(2)天然气供气站建在距A城多远,才能使建设费用最小,最小费用是多少?22.(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当x2>x1>0时,f(x2)>f(x1).(1)求f(1),f(4),f(8)的值;(2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值X围.第三章单元测试卷1.解析:根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥1且x ≠2.答案:D2.解析:∵函数D (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0,x ∉Q 1,x ∈Q,∴D (π)=0,D (D (π))=D (0)=1.故选A.答案:A3.解析:令x =1,得f (1)+g (1)=1,令x =-1,得f (-1)+g (-1)=5,两式相加得:f (1)+f (-1)+g (1)+g (-1)=6.又∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-1)=f (1),g (-1)=-g (1).∴2f (-1)=6, ∴f (-1)=3,故选A. 答案:A4.解析:∵y =f (x )的定义域是[0,2],∴要使g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2x +1有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧0≤-x2≤2,x +1≠0,∴-4≤x ≤0且x ≠-1.∴g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2x +1的定义域为[-4,-1)∪(-1,0].答案:C5.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m -2≤0,m 2-3m +3=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,m =1或m =2,∴m =1或m =2.答案:B6.解析:设x <0,则-x >0,f (x )=f (-x )=x 2-2(-x )=x 2+2x .故f (x )=|x |(|x |-2).答案:D 7.解析:f (x )的图象如图.由图知, 若f (x -4)>f (2x -3), 则⎩⎪⎨⎪⎧x -4<0,x -4<2x -3,解得-1<x <4.故实数x 的取值X 围是(-1,4). 答案:C8.解析:由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v 1,所以图象是重合的线段,由此排除C ,D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A 分析正确.答案:A9.解析:f (x )=-x 2+2x +3则定义域满足:-x 2+2x +3≥0解得:-1≤x ≤3 即定义域为[-1,3]考虑函数y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4在-1≤x ≤3上有最大值4,最小值0. 在[-1,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减.故f (x )=-x 2+2x +3的定义域为[-1,3],值域为[0,2],在[-1,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减.故选CD. 答案:CD10.解析:f (2x -1)=(2x -1)2+2(2x -1)+1,故f (x )=x 2+2x +1,故选项C 错误,选项D 正确;f (3)=16,f (-3)=4,故选项A 错误,选项B 正确.故选BD.答案:BD11.解析:由题意,对于A 中,由2 018>2 017,而f (2 018)>f (2 017),由减函数定义可知,f (x )在R 上一定不是减函数,所以A 正确;对于B 中,若f (x )=0,定义域关于原点对称,则f (-2)=f (2)=-f (2),则函数f (x )可以是奇函数,所以B 错误;对于C 中,由分段函数的单调性的判定方法,可得选项C 不正确;对于D 中,若f (x )是偶函数,必有f (-2 018)=f ( 2018),所以D 正确.故选AD.答案:AD12.解析:令x =y =0,则f (0)=f (0)+f (0),所以f (0)=0,故A 正确;再令y =-x ,代入原式得f (0)=f (x )+f (-x )=0,所以f (-x )=-f (x ),故该函数为奇函数,故B 正确;由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (x +y )-f (x )=f (y ),令x 1<x 2,再令x 1=x +y ,x 2=x ,则y =x 1-x 2<0,结合x <0时,f (x )>0,所以f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2),所以原函数在定义域内是减函数,所以函数f (x )在[m ,n ]上递减,故f (n )是最小值,f (m )是最大值,故C 错误;又f (x -1)>0,即f (x -1)>f (0),结合原函数在定义域内是减函数可得,x -1<0,解得x <1,故D 正确.故选ABD.答案:ABD13.解析:若a >0,则2a +2=0,得a =-1,与a >0矛盾,舍去;若a ≤0,则a +1+2=0,得a =-3,所以实数a 的值等于-3.答案:-314.解析:由题意,S =(4+x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3-x 2,即S =-12x 2+x +12,∴当x =1时,S 最大. 答案:115.解析:由定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x ≥0,f (x )=x 2-2x +a , 可得f (0)=a =0,当x ≥0,f (x )=x 2-2x , 则f (-3)=-f (3)=-(32-2×3)=-3. 答案:0 -316.解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -12+a -1,x >1,3-2ax -1,x ≤1显然函数f (x )在(1,+∞)上单调递增.故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,a -1≥3-2a ×1-1,解得1≤a <32.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32 17.解析:(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数,证明如下: 设x 1,x 2是[3,5]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=2x 1-1x 1+1-2x 2-1x 2+1=3x 1-x 2x 1+1x 2+1.∵3≤x 1≤x 2≤5,∴x 1-x 2<0,x 1+1>0,x 2+1>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在[3,5]上为增函数. (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增,所以 函数f (x )的最小值为f (x )min =f (3)=2×3-13+1=54,函数f (x )的最大值为f (x )max =f (5)=2×5-15+1=32.18.解析:(1)因为-2<-1,所以f (-2)=2×(-2)+3=-1, 所以f (f (-2))=f (-1)=2.(2)当a >1时,f (a )=1+1a =32,所以a =2>1;当-1≤a ≤1时,f (a )=a 2+1=32,所以a =±22∈[-1,1]; 当a <-1时,f (a )=2a +3=32,所以a =-34>-1(舍去).综上,a =2或a =±22. 19.解析:因为m ∈{x |-2<x <2,x ∈Z }, 所以m =-1,0,1.因为对任意的x ∈R ,都有f (-x )+f (x )=0, 即f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.当m =-1时,f (x )=x 2只满足条件(1)而不满足条件(2); 当m =1时,f (x )=x 0,条件(1)(2)都不满足; 当m =0时,f (x )=x 3,条件(1)(2)都满足. 因此m =0,且f (x )=x 3在区间[0,3]上是增函数, 所以0≤f (x )≤27,故f (x )的值域为[0,27]. 20.解析:(1)若x <0,则-x >0,f (x )=f (-x ) =-(-x -2)2+2=-(x +2)2+2,则f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -22+2,x ≥0,-x +22+2,x <0.(2)图象如图所示,(3)由于方程f (x )-k =0的解就是函数y =f (x )的图象与直线y =k 的交点的横坐标,观察函数y =f (x )图象与直线y =k 的交点情况可知,当-2<k <2时,函数y =f (x )图象与直线y =k 有四个交点,即方程f (x )-k =0有四个解.21.解析:(1)由题意知D 地距B 城(100-x )km ,则⎩⎪⎨⎪⎧100-x ≥10,x ≥10,∴10≤x ≤90.设比例系数为k ,则y =k [x 2+(100-x )2](10≤x ≤90). 又x =40时,y =1 300,所以1 300=k (402+602),即k =14,所以y =14[x 2+(100-x )2]=12(x 2-100x +5 000)(10≤x ≤90).(2)由于y =12(x 2-100x +5 000)=12(x -50)2+1 250,所以当x =50时,y 有最小值为1 250万元.所以当供气站建在距A 城50 km 时,能使建设费用最小,最小费用是1 250万元. 22.解析:(1)f (1)=f (1)+f (1),所以f (1)=0,f (4)=f (2)+f (2)=1+1=2,f (8)=f (2)+f (4)=1+2=3.(2)因为f (x )+f (x -2)≤3, 所以f [x (x -2)]≤f (8),又因为对于函数f (x ),当x 2>x 1>0时,f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在(0,+∞)上为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x -2>0,x x -2≤8,解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4].。
高一数学必修一第三章函数的概念与性质单元测试卷(1)
2019-2020 7-年必修第•册第三章函数的概念与性质注It 事項,1. 答題询・先将白己的姓准考证号轨写在试題卷和答軀卡上.并 将准考证号条形码粘贴在答Ifi 卡上的損定位BL2. 选样題的作答:毎小Ifi 选出答窠后•用2B 把答题卡上对f-zJKII 的答案标号涂黑・写在试腿卷.苹横纸和答硒卡上的非答题区域沟无效.3. 非选择腿的作答:用签字笔直接答在告腿卡上对应的诈胚区域内・ 写在试題卷.◎毎紙和答腿卡上的非答軀区域均无效.4. 韦试结束后.请称本试軀卷和答腿卡•并上交.两个函《(的对应法则不相同・・・・不ft ∣∏j •个曲散. 对于B ・Vy = (√7χ的定义域[0、+x )・ y≈∖x ∖的定义域为R ・・・・樽个函数不处冋•个负敘• 对于C ・7y = -的定文城为R H Λ≠O ・)U.{的定义域为Rfl-v≠O.X对应法则相同・・・・两个rttt ⅛冋•个附散・——一.堆择JB 本大忌共12个小每小題5分.共60分.在每小題给出的四个选 M 中.只有一刁是符合題目要求的)1.下列备对换散中•图盘完全相同的足<A- y=χ与)'=壮何「 C. y =-与〉=XOX rn%] CB. y = (√Γ∕⅛>∙=∣χ∣ D.x+1 =X=Z I【鮮析】对于A ・・・・y = X 的定义域为R ・ y=(3√T ∣)1rft 定文域为R ・对干D ・>=:二的定文域Z 如厂:严5≡Z定义域不相冋…•・不是冋∙φ⅛ft.T — 5 " O勺【弊析】要使噱式' •解得x>-且Λ≠2・ [Λ-2≠0 2做幣数的定义域为[∣.2 ∣U(2,+x)・3. iT⅛tt∕(A)的定义域为[T,4]∙则函散/(2ΛT)的定义域为《>【TTtJA【林桁】V /(X)的定义域为[-L4]・・・・/(2.\—1)満足一1<2Λ-1<4.解⅛O<Λ<-4.甬数〉• = =的处(XA.[>B.C ・[∣,2^∪(2,+∞)【答案】BD. (-x.2)∪(2,+∞)2.甬数〉U的定义域册(B. [-7,习C.,∙∙∕(2x -l)的定义域为【解析】= i-⅛⅛H⅛ia・llll⅛B・ C・X⅛Λ = 1时..r-κ 0・Ay=-L-1< O •图線在X轴的下方.故选A.2 X5・cl⅛∕(Λ∙)½R匕的卩!函数・且^ix>O时J (X) = A(I-X) •則当.YO时.Λ-υ= <>A. -V(X-I)B. .v(x-l)C. -.V(Λ+1)D. .v(x+l) 【答案】C【弊析】・・・/(刀址R上的偶函散・・•・/(-Q =/CO・S A < O・-Λ >0・ WJ/(-V)= -XI+x) = f(x)・・•・Λ <0时.J∖x)的解析式⅛∕(.v) = -v(l+.v)・6. ⅛tt∕ω=Γ +6' ve^2l 則/(.0 的4iλffi和姐小tfl分别为() [.V+7, Λ∈[-1,1)A. 10. 6B. 10. 8C. S ・ 6D. 10. 7 【答案】A【解析】由题意得・⅛l<x≤2时.7≤∕(x)≤10:⅛-l≤x<l时.6<∕(.v)<S・所以的域大値为10.曲小仪为6・Y• —r γVAo.■ '•-为奇函散•则实救α的值为()-r+ατ, x<0A. 2B. -2C. 1D. -1 【答知B【解析I=/CV)为命甬数・・•・/(-E = ・/(“)・~↑x<0时.—.v>O ・:、f(x) = -/(-.V)= -<.v2 + 2x) = -V:-2.Y ・又.r<0 时./(X) = -X= + ax ・Λ a≈-2 ・S.若/(e・&C0均兄定义在R上的旳散・W i f(X)和都肚何隨数啜的()A.充分而不必妾条件B.吒要Ifti不充分条件C.充要条件D. BI不充分也不必妾条件【答知A【解析】W∕ω fπ^(Λ)βι⅛偶甫敘.WJA-V) =/(x)^(-Λ)= ^r(X)./(-.υ∙^(-A)=^(X)./(.V)・即.充分性或立:-I /(Λ)= X^(Λ)=2x时.AT(A)-Z(X)足偶曲散.但ft/W和g(x)祁不定PI用数.必耍性不成立・・・・“几。
函数的概念试题及答案高中
函数的概念试题及答案高中一、选择题1. 下列哪个选项正确描述了函数的概念?A. 函数是一种运算B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种变量2. 如果f(x) = 2x + 3,那么f(-1)的值是多少?A. -1B. 1C. 3D. 53. 函数y = x^2 + 1在x = -2时的值是多少?A. 5B. 4C. 3D. 1二、填空题4. 如果一个函数f(x)的定义域是所有实数R,那么这个函数被称为_________函数。
5. 函数f(x) = 3x - 2的反函数是_________。
三、简答题6. 函数的三要素是什么?7. 请解释什么是函数的值域,并给出一个例子。
四、计算题8. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求出当x = 0, 1, 2, 3时的函数值。
答案一、选择题1. C. 函数是一种映射2. A. -1(计算过程:f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1)3. A. 5(计算过程:y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5)二、填空题4. 无界5. f^(-1)(x) = (x + 2) / 3三、简答题6. 函数的三要素包括:定义域(Domain)、值域(Range)和对应法则(Rule of correspondence)。
7. 函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
例如,函数y =x^2的值域是所有非负实数,即[0, +∞)。
四、计算题8. 当x = 0时,f(x) = 0^2 - 4*0 + 4 = 4;当x = 1时,f(x) = 1^2 - 4*1 + 4 = 1;当x = 2时,f(x) = 2^2 - 4*2 + 4 = 0;当x = 3时,f(x) = 3^2 - 4*3 + 4 = 1。
结束语:通过本试题的练习,希望同学们能够加深对函数概念的理解,掌握函数的基本性质和计算方法。
函数是数学中的基础工具,对后续的数学学习至关重要。
人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(包含答案解析)
一、选择题1.已知函数()1f x +是偶函数,当121x x <<时,()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()2b f =,()3c f =,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .b a c << B .c b a << C .b c a << D .a b c <<2.已知0.31()2a =,12log 0.3b =,0.30.3c =,则a b c ,,的大小关系是( )A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .b c a <<3.已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8),且(2)(12)f b f b -<-,则b 的取值范围是( ) A .(0,1)B .(1,2)C .(,1)-∞D .(1,)+∞4.已知奇函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,则()f x 在区间[]3,2--上( ) A .单调递增,且最大值为()2f - B .单调递增,且最大值为()3f - C .单调递减,且最大值为()2f -D .单调递减,且最大值为()3f -5.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数:()cosh x f x c a c a =+=2xxa ae e a -++⋅(e 为自然对数的底数).当0c ,1a =时,记(1)p f =-,12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(2)n f =,则p ,m ,n 的大小关系为( ).A .p m n <<B .n m p <<C .m p n <<D .m n p <<6.已知32()2f x x ax ax =++,对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞,都有()()2112120x f x x f x x x ->-,则a 的取值范围( )A .2a ≥-B .2a ≤-C .4a ≥-D .4a ≤-7.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=,且当(]2,4x ∈时,224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax =+,对(]12,0x ∀∈-,2[2,1]x ∃∈-,使得()()21g x f x =,则实数a 的取值范围为( )A .11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B .11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C .(0,8]D .11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8.已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x ',当0x >时,()()0f x f x x'+>,则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是( )A .()1,+∞B .()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C .1,15⎛⎫⎪⎝⎭D .(),1-∞9.已知函数()2121f x ax x ax =+++-(a R ∈)的最小值为0,则a =( ) A .12B .1-C .±1D .12±10.已知函数()3()log 91xf x x =++,则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是( )A .⎛ ⎝⎭B .(,0)(1,)-∞⋃+∞C .(0,1)D .(,1)-∞11.已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若存在1212,,x x R x x ∈≠,使得()()12f x f x =成立,则实数a 的取值范围是( ) A .2a <-或2a > B .2a > C .22a -<< D .2a <12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-,()()0f x f x +-=,且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则(2020.5)f =( ) A .116-B .116C .14D .1213.函数1()lg f x x=+ )A .(0,2]B .(0,2)C .(0,1)(1,2]⋃D .(,2]-∞14.设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++,则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D .11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩,则不等式()()3f f x ≤的解集为( )A .](,3-∞-B .)3,⎡-+∞⎣C.(-∞D.)+∞二、填空题16.已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数,如果(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是________17.设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩,则满足()()1 2f x f x +<的实数x 的取值范围是__________.18.已知等差数列{}n a 满足:20a >,40a <,数列的前n 项和为n S ,则42S S 的取值范围是__________.19.研究函数())f x a b c =<<<,得到如下命题:①此函数图象关于y 轴对称;②此函数存在反函数;③此函数在()0,a 上为增函数;④此函数有最大值ab c+和最小值0; 你认为其中正确的是_______(写出所有正确的编号).20.已知函数12()log f x x a =+,g (x )=x 2-2x ,若11[,2]4x ∀∈,2[1,2]x ∃∈-,使得f(x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是________.21.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时,那么t 的取值范围是__________.22.设函数2()21k f x x x =-+(120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦)的值域依次是1232019,,,,A A A A ,则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=__________.23.已知甲、乙两地相距150 km ,某人开汽车以60 km/h 的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地,把汽车距甲地的距离s 表示为时间t 的函数,则此函数的表达式为__________.24.设函数()f x 在定义域(0,+∞)上是单调函数,()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦,若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是______. 25.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且在[]2,0-上是减函数,下面是关于()f x 的判断:(1)()0f 是函数的最大值;(2)()f x 的图像关于点()1,0P 对称;(3)()f x 在[]2,3上是减函数;(4)()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上)26.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数,且有()()11f x f x +=-,可得出52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当121x x <<时,()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦,则()()21f x f x >, 所以,函数()f x 为()1,+∞上的增函数, 由于函数()1f x +是偶函数,可得()()11f x f x +=-,1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,53212>>>,因此,b a c <<. 故选:A. 【点睛】 思路点睛:解答比较函数值大小问题,常见的思路有两个: (1)判断各个数值所在的区间; (2)利用函数的单调性直接解答.2.B解析:B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<,由对数函数的性质可得1b >,由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭,从而可得结果.【详解】∵0.31()2a =,12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 11221log 0.3log 12b =>=, 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选:B 【点睛】方法点睛:解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3.C解析:C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =,再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解:因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8),所以1128n a -=⎧⎨=⎩,所以23a n =⎧⎨=⎩,所以3()f x x =,由于函数3()f x x =在R 上单调递增,所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-,解得:1b <. 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选:C. 【点睛】本题考查幂函数的定义,根据幂函数的单调性解不等式,考查运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式,进而根据单调性解不等式.解析:A 【分析】利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数()f x 在区间[]3,2--上的单调性,进而可得出函数()f x 在区间[]3,2--上的最值. 【详解】任取1x 、[]23,2x ∈--且12x x <,即1232x x -≤<≤-,所以,2123x x ≤-<-≤, 因为函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,则()()21f x f x -<-, 因为函数()f x 为奇函数,则()()21f x f x -<-,()()12f x f x ∴<, 因此,函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数,最大值为()2f -,最小值为()3f -.故选:A. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法:(1)取值:设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值,且12x x <;(2)作差变形:即作差()()12f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形;(3)定号:确定差()()12f x f x -的符号; (4)下结论:判断,根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.5.C解析:C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增,再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知,()2x x e e f x -+=,21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时,()0f x '>,即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<,1(1)(2)2ff f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭,即m p n << 故选:C 【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性,再结合单调性比较大小.解析:C 【分析】首先变形条件,得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增,利用二次函数的单调性,求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞,不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--, 即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增,()22g x x ax a =++, 函数的对称轴是4a x =-,则14a-≤,解得:4a ≥-.故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-,从而通过构造函数,确定函数的单调性,转化为二次函数的单调性解决问题.7.D解析:D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集,先求出()f x 在(]2,4上的值域,再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域;分类讨论求出()g x 的值域,根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集.当(]2,4x ∈时,2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩, 由二次函数及对勾函数的图象及性质,得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由(2)2()f x f x +=,可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+当(]2,0x ∈-时,(]42,4x +∈.则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当0a >时,()[21,1]g x a a ∈-++,则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,解得18a ≥,当0a =时,()1g x =,不符合题意;当0a <时,()[1,21]g x a a ∈+-+,则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,解得14a -.综上所述,可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故选:D . 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题,属于中档题.结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()[],,y f x x a b =∈,()[],,y g x x c d =∈ (1)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈,总有()()12f x g x <成立,故()()2max min f x g x <; (2)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2max max f x g x <; (3)若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2min min f x g x <; (4)若若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x =,则()f x 的值域是()g x 值域的子集 .8.C解析:C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得:()()0xf x f x '+>;令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增;利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数,则()g x 在(),0-∞上单调递减;将已知不等式变为()()231g x g x >-,根据单调性可得自变量的大小关系,解不等式求得结果. 【详解】当0x >时,()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得:231x x >-,解得:115x << 本题正确选项:C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题,关键是能够构造函数,根据导函数的符号确定所构造函数的单调性,并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性,从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.9.C解析:C 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩, 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩,由于函数()f x 的最小值为0,作出函数()(),g x h x 的大致图像,结合图像,210x -=,得1x =±, 所以1a =±. 故选:C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题.10.C解析:C 【分析】令21t x x =-+,则3()1log 10f t -<,从而33log (91)1log 10tt ++-<,即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++,然后构造函数3()log (91)t g t t =++,利用导数判断其单调性,进而可得23114x x ≤-+<,解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+,则221331()244t x x x =-+=-+≥, 3()1log 10f t -<,所以33log (91)1log 10tt ++-<, 所以133log (91)log (91)1t t ++<++,令3()log (91)tg t t =++,则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++,所以90t >,所以'()0g t >, 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增, 所以由()(1)g t g <,得314t ≤<, 所以23114x x ≤-+<,解得01x <<, 故选:C 【点睛】关键点点睛:此题考查不等式恒成立问题,考查函数单调性的应用,解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++,再构造函数3()log (91)tg t t =++,利用函数的单调性解不等式.11.D解析:D 【分析】若存在1212,,x x R x x ∈≠,使得()()12f x f x =成立,则说明()f x 在R 上不单调,分0a =,0a <和0a >三种情况讨论求解. 【详解】若存在1212,,x x R x x ∈≠,使得()()12f x f x =成立,则说明()f x 在R 上不单调,当0a =时,2,1()1,1x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩,图象如图,满足题意;当0a <时,函数2y x ax =-+的对称轴02ax =<,其图象如图,满足题意;当0a >时,函数2y x ax =-+的对称轴02ax =>,其图象如图,要使()f x 在R 上不单调,则只要满足12a<,解得2a <,即02a <<.综上,2a <. 故选:D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用,得出()f x 在R 上不单调是12.D解析:D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4,利用函数的周期,结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知:()()f x f x -=-,即()f x 为奇函数, ∵()(2)f x f x =-,有(2)()()f x f x f x +=-=-, ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=,故()f x 为周期为4的函数,在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===, 故选:D 【点睛】本题考查了函数的性质,根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值,属于基础题.13.C解析:C 【分析】对数的真数大于零,分母不为零,偶次根式要求被开方式大于等于零,依据以上三点,列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义,则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩,即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选:C . 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关求函数定义域的问题,在求解的过程中,注意: (1)对数要求真数大于0; (2)分式要求分母不等于0; (3)偶次根式要求被开方式大于等于0.14.D解析:D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减,原不等式转化为31x x ≥-,再解绝对值不【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e e xxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭,()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减,又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭,且()f x 的定义域为R ,定义域关于原点对称, 所以()f x 是偶函数, 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-,可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤,x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.15.C解析:C 【分析】先解()3f t ≤,再由t 的范围求x 的范围. 【详解】0t ≥时,2()03f t t =-≤<满足题意,0t <时,2()23f t t t =+≤,31t -≤≤,∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-,下面解不等式()3f x ≥-,0x ≥时,2()3f x x =-≥-,解得x ≤∴0x ≤≤, 0x <时,2()23f x x x =+≥-,2(1)20x ++≥,恒成立,∴0x <,综上x ≤故选:C 【点睛】思路点睛:本题考查解函数不等式,由于是分段函数,因此需要分类讨论,而原不等式是复合函数形式,因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t (相当于换元),求得()3f t ≥-的解,再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围.分类讨论必须牢记,否则易出错.二、填空题16.【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R 上是增函数进而可将对于任意恒成立转化为对任意都成立进而可得最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围【详解】因为定义在R 上的偶函数在上是严格增函解析:31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得()y f x =在R 上是增函数,进而可将(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立,转化为12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立,进而可得31a x x-≤≤,最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数, 因为(1)(2)f ax f +≤对任意[]1,2x ∈都成立,所以12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立, 即212ax -≤+≤对任意[]1,2x ∈都成立,变形可得31a x x-≤≤, 由函数3y x=-在[]1,2为增函数,1y x =在[]1,2上为减函数,故31max min a x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以31,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为:31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛:本题的解题关键是由函数为偶函数得出12ax +≤,进而结合单调性求出a 的取值范围.17.【分析】画出图像结合图像判断题出函数的单调性即可求解【详解】作出函数的图像如图满足解得故答案为:【点睛】方法点睛:该不等式的求解利用的是函数的单调性用数形结合法解决更为直观 解析:(),0-∞【分析】画出2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解(1)(2)f x f x +<.【详解】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图,满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩,解得0x <. 故答案为:(),0-∞. 【点睛】方法点睛:该不等式的求解利用的是函数的单调性,用数形结合法解决更为直观.18.【分析】根据题意可得到把转化为关于的函数即可求出范围【详解】由题意可得:据此可得:则令结合等差数列前n 项和公式有:令则据此可知函数在上单调递减即的取值范围是故答案为:【点睛】关键点点睛:本题根据等差解析:6(2,)5-【分析】根据题意可得到131a d -<<-,把42S S 转化为关于()13,1at d=∈--的函数,即可求出范围.【详解】由题意可得:121410,0030a d a a d a a d ><⎧⎪=+>⎨⎪=+<⎩,据此可得:13d a d -<<-,则131ad -<<-,令()13,1a t d=∈--,结合等差数列前n 项和公式有: 111142434464622122122a dS a d t S a d t a d ⨯+++===⨯+++,令()()463121t f t t t +=-<<-+, 则()2(21)4422121t f t t t ++==+++,据此可知函数()f t 在()3,1--上单调递减,()1242f -=-=-,()4632615f -=+=-+, 即42S S 的取值范围是62,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为:6(2,)5- 【点睛】关键点点睛:本题根据等差数列的条件,求出首项与公差的关系,看作一个整体t ,将问题转化为关于t 的函数,利用函数的单调性求解,体现了转化思想,考查了运算能力,属于中档题.19.①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解:函数由于整理得则:由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析:①④ 【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②,进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④. 【详解】解:函数()(0)||||f x a b c x b x c =<<<++-,由于220a x -≥,整理得a x a -≤≤.则:()||||f x x b x c b c==++-+. 由于函数为偶函数,函数的图象关于y 轴对称,所以函数不存在反函数,存在反函数的函数的前提该函数具有单调性.故①正确②错误.因为22y a x =-在()0,a 上为减函数,所以()f x 在()0,a 上为减函数,故故③错误;可知()f x 在[],0a -单调递增,()0,a 单调递减,且为偶函数,则()f x 在0x =出取得最大值ab c+,在x a =±处取得最小值0,故④正确. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查函数性质的应用,属于基础题.20.01【分析】当时当时由使得f (x1)=g (x2)等价于解不等式即可得解【详解】当时当时由使得f (x1)=g (x2)则可得:解得故答案为:【点睛】本题考查了求函数值域考查了恒成立和存在性问题以及转化思解析:[0,1] 【分析】当11[,2]4x ∈时,[]1()1+,2f x a a ∈-+,当2[1,2]x ∈-时,[]2()1,3g x ∈-,由11[,2]4x ∀∈,2[1,2]x ∃∈-,使得f (x 1)=g (x 2),等价于[][]1,21,3a a -++⊆-,解不等式即可得解. 【详解】当11[,2]4x ∈时,[]1()1+,2f x a a ∈-+, 当2[1,2]x ∈-时,[]2()1,3g x ∈-,由11[,2]4x ∀∈,2[1,2]x ∃∈-,使得f (x 1)=g (x 2),则[][]1,21,3a a -++⊆-,可得:1123a a -≤-+⎧⎨+≤⎩,解得01a ≤≤,故答案为:01a ≤≤. 【点睛】本题考查了求函数值域,考查了恒成立和存在性问题以及转化思想,有一定的计算量,属于中档题.21.【解析】试题分析:因为函数是定义在上的偶函数所以由考点:奇偶性与单调性的综合应用解析:1.t e e<<【解析】试题分析:因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数,所以(ln1)(ln )(ln )(ln ),f t f t f t f t =-==由(ln )(ln1)2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 11.f t f tf f t f f t f t t et e +<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点:奇偶性与单调性的综合应用22.【分析】求出二次函数的对称轴判断函数的最小值与最大值然后求解值域的交集即可【详解】函数的对称轴为开口向上所以函数的最小值为函数()的值域依次是它们的最小值都是函数值域中的最大值为:当即时此时所以值域解析:2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出二次函数的对称轴,判断函数的最小值与最大值,然后求解值域的交集即可. 【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =,开口向上,所以函数的最小值为()10f =,函数2()21k f x x x =-+(120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦)的值域依次是1232019,,,,A A A A ,它们的最小值都是0,函数值域中的最大值为:当12019111k k k +⎛⎫--=-⎪⎝⎭,即1010k =时,此时111010x =-, 所以,值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 故答案为:2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数的性质,函数的最值,考查分析问题解决问题的能力,涉及集合的交集计算,属于基础题.23.【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间即可得到本题函数的定义域将其分为三段再结合各个时间段上该人的运动状态可得汽车离甲地的距离距离(千米)与时间(小时)的函数表达式【详解】根解析:60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间,即可得到本题函数的定义域,将其分为三段,再结合各个时间段上该人的运动状态,可得汽车离甲地的距离距离s (千米)与时间t (小时)的函数表达式. 【详解】根据题意此人运动的过程分为三个时段, 当0 2.5t ≤≤时,60s t =;当2.5 3.5t <<时,150s =;当3.5 6.5t ≤≤时,()15050 3.532550t t t =--=-.综上所述,60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩故答案为60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【点睛】本题考查分段函数应用题,求函数表达式,着重考查基本初等函数的应用和分段函数的理解等知识,属于基础题.24.【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解:由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析:(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ,然后再用分离变量法,借助函数的单调性解决问题. 【详解】解:由题意可设()xf x e x t -+=,则()xf x e x t =-+,∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦,∴()ttf t e t t e e =-+==,∴1t =,∴()1xf x e x =-+,∴()1xf x e '=-,由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥,∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立,令()21xe g x x =-,()0,x ∈+∞,则()()221'x e x g x x-=, 由()'0g x =得1x =,∴()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞单调递增, ∴()()121g x g e ≥=-, ∴21a e ≤-,故答案为:(],21e -∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值,考查利用函数的单调性解决恒成立问题,属于中档题.25.(2)(3)(4)【分析】(1)利用定义在R 上的偶函数在上是减函数即可判断;(2)根据偶函数的定义和条件即可判断;(3)利用函数的周期为4在-20上是减函数即可判断;(4)利用可得的图象关于直线对称解析:(2)(3)(4) 【分析】(1)利用定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数,即可判断; (2)根据偶函数的定义和条件()()2f x f x +=-,即可判断; (3)利用函数的周期为4,()f x 在[-2,0]上是减函数,即可判断;(4)利用()()()22f x f x f x -+=--=+,可得()f x 的图象关于直线2x =对称,即可判断. 【详解】(1)∵定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数, 故()()20f f ->,()0f 不可能是函数的最大值,故错; (2)由定义在R 上的偶函数()f x 得()()f x f x -=, 又()()2f x f x +=-,故()()20f x f x ++-=,即图象关于()10,对称,故正确; (3)由于()()2f x f x +=-,则()()()42f x f x f x +=-+=, 故()f x 为周期函数,且4为它的一个周期,由在[20]-,上是减函数,可得()f x 在[2]4,上是减函数,故正确; (4)由于()()2f x f x +=-,则()()()42f x f x f x +=-+=, 又()()f x f x -=,故()()4f x f x +=-, 即图象关于直线2x =对称,故正确. 故答案为:(2)(3)(4). 【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数的奇偶性、周期性和对称性,考查了转化思想,属于中档题.26.(-22)【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(-∞0)上是增函数又f(2)=0∴f(x)在(0+∞)上是增函数且f(-2)=f(2)=0∴当-2<x <2时f(x)<0即f(x)<0的解为解析:(-2,2)【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,又f(2)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-2)=f(2)=0,∴当-2<x<2时,f(x)<0,即f(x)<0的解为(-2,2),即不等式的解集为(-2,2),故填(-2,2).。
必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(含答案解析)
一、选择题1.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+,则()1f =( ) A .ln 2-B .ln 2C .0D .12.已知m R ∈,若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-,则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( ) A .[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B .1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D .[),e +∞3.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足:当0x ≥时,()2x f x =,且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .[32,)+∞D .(0,32]4.设函数()f x 是定义R 在上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-,已知当[0,1]x ∈时,1()2x f x -=,若32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭,()30.5b f -=,()60.7c f =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >>D .c b a >>5.设()f x 为定义在R 上的函数,函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论:①()10f =;②()()11f x f x -=-+; ③函数()f x 的图象关于原点对称; ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称; 其中,正确结论的个数为( ) A .1B .2C .3D .46.已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,若a ,b R ∈,且0a b +>,则()()f a f b +的值( )A .恒大于0B .恒小于0C .等于0D .无法判断7.已知函数2()f x x bx c =++,且(2)()f x f x +=-,则下列不等式中成立的是( )A .(4)(0)(4)f f f -<<B .(0)(4)(4)f f f <-<C .(0)(4)(4)f f f <<-D .(4)(0)(4)f f f <<-8.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4等于( ) A .-6 B .6 C .-8D .89.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征,如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是( ) A . B .C .D .10.已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x ',当0x >时,()()0f x f x x'+>,则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是( )A .()1,+∞B .()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C .1,15⎛⎫⎪⎝⎭D .(),1-∞11.若01m n <<<且1mn =,则2m n +的取值范围是( ) A .[22,)+∞ B .[3,)+∞C .(22,)+∞D .(3,)+∞12.函数1()2lg f x x x=+- ) A .(0,2] B .(0,2) C .(0,1)(1,2]⋃D .(,2]-∞13.设函数()f x 的定义域为D ,如果对任意的x D ∈,存在y D ∈,使得()()f x f y =-成立,则称函数()f x 为“呆呆函数”,下列为“呆呆函数”的是( ) A .2sin cos cos y x x x =+ B .2x y = C .ln x y x e =+D .22y x x =-14.若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩,,当[],1x m m ∈+时,不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(),4-∞-B .(),2-∞-C .()2,2-D .(),0-∞15.关于函数1()lg 1xf x x-=+,有下列三个命题: ①对于任意(1,1)x ∈-,都有()()f x f x -=-;②()f x 在(1,1)-上是减函数;③对于任意12,(1,1)x x ∈-,都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+; 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题16.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+,且当(0,1)x ∈时,3()24x f x =-,则12(log 25)f =________.17.已知函数()()1502f x x x x =+->,则()f x 的递减区间是____. 18.若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数,且()f x x在M 上是减函数,则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”,则实数a 的值为______.19.已知函数()y f x =是奇函数,当0x <时,2()(R)f x x ax a =+∈,(2)6f =,则a = .20.已知()f x 是定义域为R 的奇函数,满足()()3f x f x =+,若()21f =-,则()2020f =______.21.设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩,,,,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.22.幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在()0,∞+上是减函数,则a m +=____.23.如果方程24x +y |y |=1所对应的曲线与函数y =f (x )的图象完全重合,那么对于函数y =f (x )有如下结论:①函数f (x )在R 上单调递减;②y =f (x )的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1; ③函数f (x )的值域为(﹣∞,2]; ④函数F (x )=f (x )+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.24.已知2()y f x x =+是奇函数,且f (1)1=,若()()2g x f x =+,则(1)g -=___. 25.函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()21f =-,对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--,则()2020f =_________.26.已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--,进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选:A. 【点睛】思路点睛:该题考查函数奇偶性的应用,解题思路如下: (1)根据奇函数的定义,可知(1)(1)=--f f ; (2)根据题中所给的函数解析式,求得函数值; (3)最后得出结果.2.C解析:C 【分析】先判断函数为偶函数,根据奇偶性求得0m =,将原不等式化为ln x e e ≥,等价于ln 1x ≥,进而可得答案.【详解】设2021x t -=,()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-, 所以()||x m f x e+=是偶函数,则||||x m x m e e +-+=恒成立,即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立, 所以0m =⇒()||x f x e =,因为11lnln ln x x x-==-, 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥, ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥,因为xy e =为增函数,所以可得ln 1x ≥,则ln 1x ≥或ln 1x ≤-, 解得x e ≥或10x e <≤, 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,故选:C. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.3.C解析:C 【分析】根据题意,可得()f x 的解析式,分别求得当23x -≤≤时,3x >时,2x <-时,(2)f x +和(3)f x -的表达式,结合题意,即可求得a 的范围,综合即可得答案.【详解】由题意知:2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时,20,30x x +≥-≥,所以2322x x a +-≤⋅,所以212x a -≥, 因为23x -≤≤,所以215max (2)232x a -≥==;当3x >时,20,30x x +>-<, 所以2(3)22x x a +--≤⋅,所以5232a ≥=; 当2x <-时,20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅,所以51232a -≥=, 综上32a ≥. 故选:C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式,分类讨论,将(2)f x +和(3)f x -进行转化,考查分类讨论的思想,属中档题.4.B解析:B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2,再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭,()30.5b f -=,转化使自变量在区间[0,1]上,然后利用()f x 在[0,1]上单调递增,比较大小 【详解】解:因为(1)(1)f x f x +=-,所以(2)()f x f x +=, 所以函数()f x 的周期为2,因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数,所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()30.5(8)(0)b f f f -===,因为62100.70.72<<<,()f x 在[0,1]上单调递增, 所以61(0)(0.7)()2f f f <<, 所以b c a <<, 故选:B 【点睛】关键点点睛:此题考查函数周期性,单调性和奇偶性的应用,解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上,然后利用()f x 在[0,1]上单调递增,比较大小,属于中档题5.C解析:C【分析】令()()1g x f x =+,①:根据()00g =求解出()1f 的值并判断;②:根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-,化简此式并进行判断;根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况,由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+,①因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()0010g f =+=,所以()10f =,故正确; ②因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()g x g x -=-,所以()()11f x f x -+=-+,即()()11f x f x -=-+,故正确;因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的,又()1y f x =+的图象关于原点对称,所以()y f x =的图象关于点()1,0对称,故③错误④正确,所以正确的有:①②④, 故选:C. 【点睛】结论点睛:通过奇偶性判断函数对称性的常见情况:(1)若()f x a +为偶函数,则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称; (2)若()f x a +为奇函数,则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.6.A解析:A 【分析】利用幂函数的定义求出m ,利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,∴25=1m m --,解得:m = -2或m =3. ∵对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,∴函数()f x 为增函数, ∴260m ->, ∴m =3(m = -2舍去) ∴()3=f x x 为增函数.对任意a ,b R ∈,且0a b +>, 则- a b >,∴()()()f a f b f b >-=-∴()()0f a f b +>. 故选:A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式,x 前的系数为1; (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质,通常一起应用.7.C解析:C 【分析】由(2)()f x f x +=-,即可得到()f x 图象的对称轴为1x =,所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =,所以()f x 在(,1]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,且(4)(2)f f =-, 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-, 故选:C. 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关函数值的比较大小的问题,解题方法如下:(1)首先根据题中所给的函数解析式,判断函数类型,根据题中所给的条件,判断出函数图象的对称轴;(2)利用对称性,将自变量所对应的函数值进行转换; (3)根据函数的单调性求得结果.8.C解析:C 【分析】由奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x )可推出周期为8,对称轴为2x =,画出函数大致图象,由图象分析f (x )=m 的根的分布情况即可 【详解】f (x )在R 上是奇函数,所以f (x -4)=-f (x )=f (-x ),令4x x =-得()()8f x f x -=,故()f x 周期为8,即()()()4(4)x f f x f f x x =+==---,即()()4f x f x -=,函数对称轴为2x =,画出大致图象,如图:由图可知,两个根关于6x =-对称,两个根关于2x =对称,设1234x x x x <<<, 则12346212224x x x x +=-⨯=-+=⨯=,,故12348x x x x +++=-, 故选:C【点睛】结论点睛:本题考查由函数的奇偶性,周期性,对称性求根的分布问题,常用以下结论: (1)()()()()1f x f x a f x f x a =-+=±+,,则()f x 的周期为2T a =;(2)()()2f x f a x =-,则函数的对称轴为x a =.9.A解析:A 【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数,故排除B 、D.()1cos2f x x '=-,当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1cos 2x >,即0fx所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,故排除C 故选:A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别,属于中档题.10.C解析:C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得:()()0xf x f x '+>;令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增;利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数,则()g x 在(),0-∞上单调递减;将已知不等式变为()()231g x g x >-,根据单调性可得自变量的大小关系,解不等式求得结果. 【详解】当0x >时,()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得:231x x >-,解得:115x << 本题正确选项:C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题,关键是能够构造函数,根据导函数的符号确定所构造函数的单调性,并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性,从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.11.D解析:D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=,再求其值域即得结果. 【详解】由01m n <<<且1mn =知,22m n m m +=+,故设()2(),01f m m m m+<<=, 设1201m m <<<,则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12120,01m m m m -<<<,即1222m m >,故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,即12()()f m f m >,函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减,2(1)131f =+=,故函数的值域为(3,)+∞. 故选:D. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法(1)取值:设12,x x 是该区间内的任意两个值,且12x x <; (2)作差变形:即作差,即作差12()()f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形; (3)定号:确定差12()()f x f x -的符号;(4)下结论:判断,根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.12.C解析:C 【分析】对数的真数大于零,分母不为零,偶次根式要求被开方式大于等于零,依据以上三点,列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义,则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩,即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选:C . 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关求函数定义域的问题,在求解的过程中,注意: (1)对数要求真数大于0; (2)分式要求分母不等于0; (3)偶次根式要求被开方式大于等于0.13.C解析:C 【分析】根据“呆呆函数”的定义可知:函数()f x 的值域关于原点对称,由此逐项判断. 【详解】根据定义可知:()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称, A .2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++1242y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭⎣⎦,此时值域不关于原点对称,故不符合;B .()20,xy =∈∞+,值域不关于原点对称,故不符合;C .ln x y x e =+,当0x →时,y →-∞,当x →+∞时,+y →∞, 所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞,值域关于原点对称,故符合;D .()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞,值域不关于原点对称,故不符合, 故选:C. 【点睛】本题考查新定义函数,涉及到函数值域的分析,主要考查学生的分析理解能力,难度一般.14.B解析:B 【分析】先判断函数的单调性,然后解答不等式,在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得:函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩,在x ∈R 上单调递减,因为()()2-<+f m x f x m ,所以2m x x m ->+,即2x m <,在[],1x m m ∈+上恒成立,所以2(1)m m +<,即2m <-,故选B . 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,结合函数的单调性求解不等式,需要掌握解题方法15.D解析:D 【分析】当(1,1)x ∈-时,函数1()1xf x lgx-=+恒有意义,代入计算()()f x f x -+可判断①;利用分析法,结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则,可判断②;代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++,比照后可判断③. 【详解】 解:1()1xf x lgx-=+,当(1,1)x ∈-时, 1111()()()101111x x x xf x f x lg lg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+,故()()f x f x -=-,即①正确; 12()(1)11x f x lglg x x -==-++,由211y x=-+在(1,1)-上是减函数,故()f x 在(1,1)-上是减函数,即②正确; 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++; 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++,即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选:D . 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值,复合函数的单调性,对数的运算性质等知识点,属于中档题.二、填空题16.【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为:【点睛】结论点睛:本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对 解析:1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性,然后再结合周期性和奇偶性进行计算. 【详解】 因为(1)(1)f x f x -=+,则()(2)f x f x =-,又函数为奇函数,所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+,所以()f x 是周期函数,周期为4. 又125log 254-<<-,所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为:1316-. 【点睛】结论点睛:本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性.函数()f x 具有两个对称性时,就具有周期性.(1)()f x 的图象关于点(,0)m 对称,又关于直线xn =对称,则()f x 是周期函数,4m n -是它的一个周期;(2)()f x 的图象关于点(,0)m 对称,又关于点(,0)n (m n ≠)对称,则()f x 是周期函数,2m n -是它的一个周期;(3)()f x 的图象关于直线x m =对称,又关于直线x n =(m n ≠)对称,则()f x 是周期函数,2m n -是它的一个周期.17.【分析】将绝对值函数化为分段函数形式判断单调性【详解】由题意当时函数单调递减;当时函数在上单调递增在上单调递减;当时函数单调递增;综上所述函数的单调递减区间为故答案为:解析:()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭, 【分析】将绝对值函数化为分段函数形式,判断单调性. 【详解】由题意()151,02215151,222215,22x x x f x x x x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪⎪=+-=--+<≤⎨⎪⎪++≥⎪⎩,当102x <<时,函数15()2f x x x =+-单调递减;当122x ≤<时,函数15()2f x x x =--+,在1(,1)2上单调递增,在(1,2)上单调递减; 当2x ≥时,函数15()2f x x x =+-单调递增; 综上所述,函数()152f x x x =+-的单调递减区间为()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,, 故答案为:()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭,. 18.4【分析】由在上的单调性求出a 的一个范围再令则在上是减函数分类讨论根据的单调性求参数a 的范围两范围取交集即可得解【详解】由题意可知函数在上是增函数解得令则在上是减函数①当时在上为增函数不符合题意;②解析:4 【分析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围,再令()()f x h x x=,则()h x 在(]0,2上是减函数,分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围,两范围取交集即可得解. 【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数,402a -∴≤,解得4a ≤, 令()()4f x ax a xxh x +==+-,则()h x 在(]0,2上是减函数, ①当0a ≤时,()h x 在(]0,2上为增函数,不符合题意;②当0a >时,由对勾函数的性质可知()h x在上单调递减,2≥,解得4a ≥,又4a ≤,4a ∴=.故答案为:4 【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性,属于中档题.19.5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析:5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =, 故答案为5.20.1【分析】首先根据题中所给的条件判断出函数的最小正周期结合奇函数的定义求得结果【详解】因为所以函数是以3为周期的周期函数且是定义域为的奇函数所以故答案为:1【点睛】该题考查的是有关函数的问题涉及到的解析:1 【分析】首先根据题中所给的条件,判断出函数的最小正周期,结合奇函数的定义,求得结果. 【详解】因为()()3f x f x =+,所以函数()f x 是以3为周期的周期函数, 且是定义域为R 的奇函数,所以(2020)(67432)(2)(2)1f f f f =⨯-=-=-=, 故答案为:1. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有函数奇偶性与周期性的综合应用,属于简单题目.21.【解析】由题意得:当时恒成立即;当时恒成立即;当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析:1(,)4-+∞【解析】 由题意得: 当12x >时,12221x x -+>恒成立,即12x >;当102x <≤时,12112x x +-+> 恒成立,即102x <≤;当0x ≤时,1111124x x x ++-+>⇒>-,即014x -<≤.综上,x 的取值范围是1(,)4-+∞.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么,然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处的函数值.22.3【分析】由幂函数为偶函数且在(0+∞)上是单调递减函数可得m2-2m-3<0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析:3 【分析】由幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,可得m 2-2m -3<0,且m 2-2m -3为偶数,m ∈Z ,且1=1a -.解出即可. 【详解】∵幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在()0,∞+上是减函数,∴2230m m --<,且223m m --为偶数,m N ∈,且1=1a -. 解得13m -<<,0m =,1,2, 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为:3. 【点睛】本题考查幂函数的性质,根据幂函数性质求参数值,可根据幂函数性质列不等式和等式,求解即可,属于基础题.23.②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|=1化为(y≥0)当y <0时方程y|y|=1化为(y <0)解析:②④ 【分析】根据题意,画出方程对应的函数图象,根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断,数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时,方程24x +y |y |=1化为2214x y +=(y ≥0),当y <0时,方程24x +y |y |=1化为2214x y -=(y <0).作出函数f (x )的图象如图:由图可知,函数f (x )在R 上不是单调函数,故①错误; y =f (x )的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1,故②正确; 函数f (x )的值域为(﹣∞,1],故③错误;双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±,故函数y =f (x )与y =﹣x 的图象只有1个交点, 即函数F (x )=f (x )+x 有且只有一个零点,故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断,涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制,以及数形结合的数学思想,属综合中档题.24.-1【解析】试题解析:-1 【解析】 试题因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =,所以,则,所以.考点:函数的奇偶性.25.1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得(4)(2)即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为:1【点解析:1 【分析】根据题意,由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--,进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-,即函数()f x 是周期为4的周期函数,据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=(4)f =-(2),即可得答案.【详解】根据题意,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x ∈R ,都有()(2)f x f x =--,则()(2)f x f x =--,∴()(2)(4)f x f x f x =--=-,即函数()f x 是周期为4的周期函数,(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=,故答案为:1 【点睛】本题考查抽象函数的求值,涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用,注意分析函数的周期.26.【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减;的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析:()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-< ∴函数()F x 在0x <时单调递减;()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。
高一数学函数单元测试题及答案
高一数学函数单元测试题及答案单元测试题一、填空题1、设全集U=Z,集合A={-1,1,2},B={-1,1,2},从A到B的一个映射为x→y=f(x)=x/|x|,其中x∈A,y∈B,P={y|y=f(x)},则B∩(C∪P)={-1,1}。
2、已知x1是方程x+lgx=3的根,x2是方程x+10=3的根,则x1+x2值为2.3、已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,且当x>0时f(x)=x/1,则当x<-2时f(x)=-x/1.4、函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)的图像与y轴交于点P(0,2),则方程f(x)=0在[1,4]上的根是x=2.5、设f(x)=2log(x-1),x≥2;f(x)=3x-1,x<2,则f(f(2))的值为1.6、从甲城市到乙城市m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×([m]+44)给出,其中[m]表示不大于m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.1]=3),则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为7.7、函数f(x)=2-2/(x-1),x≤2;f(x)=1-x/2,x>2,则f(0)=-1.8、函数y=(1-x)/(1+x),x≠-1,的值域为(-1,1)。
9、若f(5/2x-1)=x-2,则f(125)=48.10、已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则为f:x→y=x+2x+3.若对实数k∈B,在集合A中不存在原象,则k 的取值范围是(-3/2,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-3/2)。
11、偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(-1)<f(lgx),则实数x的取值范围是(1,e)。
12、关于x的方程|x-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是1/2.13、关于x的方程(2x-1)/(x+2)+a=1有正根,则实数a的取值范围是(-∞,1/2)。
二、改写后的答案1、已知集合A={-1,1,2},B={-1,1,2},全集U=Z,映射f:A→B,f(x)=x/|x|,其中x∈A,y∈B,P={y|y=f(x)},求B∩(C∪P)的值。
高一数学新教材人教版必修一第三章函数的概念与性质测试卷含答案
(Ⅲ)若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
已知函数
f
(x)
ax x2
b 1
是定义在
(1,1)
上奇函数,
且 f (1) 3 .
3 10
(Ⅰ)判断函数 f (x) 在 (1,1) 上的单调性,并用
定义证明;
(Ⅱ)若实数 t 满足 f (2t 1) f (t 1) 0 ,求实
4
5.令 t 1 x 0, 则 y 2 2t2 t 2(t 1)2 17 17
4 88
6.
y
x(x 2),(x x(x 2),(
2) x 2)
,作出图象即可.
7.函数 f (x) ax 2a 1,(a 0) 在 (0, ) 上单 x
调递增,又 m2 1 0,m2 m 3 0
x3 数,则实数 a 的取值范围是
15.已知函数 f (x) x5 3x3 5x 3 ,若 f (a) f (a 2) 6 ,则实数 a 的取值范围是
16.已知 m R ,函数 f (x) x 3 m m 在[2, x 1
5] 上的最大值是 5 ,则 m 的取值范围是
三、解答题:(写出必要的文字说明,推理过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3 . (Ⅰ)若 f (1) 3 ,且 a 0,b 0 ,求 b 1 的最
9.已知奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 2 对称,
且 f (m) 3,且 f (m 4) 的值为( )
A. 3
B. 0
C. 3
D. 1
3
10.已知函数 f (x 1) 是偶函数,且 x 1 时, f (x) 单调递减,设 a f ( 1),b f (3),c f (0) ,则 a,
函数的概念与性质 章节测试卷(含答案)
第三章函数的概念与性质章节验收测评卷(综合卷)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·湖南·长郡中学高二期中)函数11y x ++的定义域为()A.[)4,1-- B.[)()4,11,---+∞ C.()1,-+∞ D.[)4,-+∞2.(2022·江苏·高一)设函数221,1()3,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩,则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为()A.1516B.89C.2716-D.183.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试)已知幂函数()f x 的图象过点()9,3,则函数()f x 的图象是()A. B.C.D.4.(2022·江苏·高一)已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(-∞,+∞)上的减函数,则a 的取值范围是()A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]5.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(文))若()f x 对于任意实数x 都有()1221f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()A.3 B.4 C.83 D.436.(2022·云南·高一阶段练习)已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数,且(23)(2)f a f a -<-,则实数a 的取值范围是()A.(]1,2 B.(]1,3 C.(]1,4 D.()1,+∞7.(2022·河南洛阳·高一期末)若定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减,且()20f =,则()0f x x>的解集是()A.()(),20,2-∞- B.()(),22,∞∞--⋃+ C.()()2,00,2- D.()()2,02,-+∞ 8.(2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中)已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x 时,()(1)f x x x =+.若(3)(37)0f m f m ++->,则m 的取值范围为()A.(,0)-∞ B.(0,)+∞ C.(,1)-∞ D.(1,)+∞二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.(2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习)()A.||x y x =与1y= B.y =与1y x =- C.y =y = D.321x x y x +=+与y x =10.(2022·广东茂名·高一期末)若函数()225y k k x =--是幂函数,则实数k 的值可能是()A.3k = B.3k =- C.2k =- D.2k =11.(2022·贵州遵义·高一期末)设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩,()f x 存在最小值时,实数a的值可能是()A.2- B.1- C.0 D.112.(2022·湖北·高一阶段练习).函数()f x 对任意,R x y ∈总有()()()f x y f x f y +=+,当0x <时,()0f x <,1(1)3f =,则下列命题中正确的是()A.()f x 是偶函数B.()f x 是R 上的减函数C.()f x 在[6,6]-上的最小值为2-D.若()(3)1f x f x +-≥-,则实数x 的取值范围为[)0,∞+三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)13.(2022·全国·高一专题练习)函数()()2211f x x a x =+++在区间[]12,上是单调函数,则实数a 的取值范围是______.14.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()532f x x ax bx =-++,()517f -=,则()5f 的值是_______.15.(2022·全国·高一)函数()()21{5x f x x +=-+,,2113x x -≤<≤≤的值域是______________(用区间表示)16.(2022·广东·华南师大附中高一期末)对x ∀∈R ,不等式2430mx x m ++->恒成立,则m 的取值范围是___________;若2430mx x m ++->在()1,1-上有解,则m 的取值范围是___________.四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(2022·贵州黔西·高一期末)已知函数()21x mf x nx -=+是定义在[]1,1-上的奇函数,且()112f =.(1)求,m n 的值;(2)判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并用定义证明;18.(2022·安徽·亳州二中高二期末)已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数,(1)求函数()f x 的解析式;(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2,求实数m 的值.19.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()2,0,0213,22x x f x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩.(1)求()0f ,()()2f f ;(2)若()1f m =-,求m 的值;(3)作出函数()f x 的图象.20.(2022·福建·三明一中高二阶段练习)已知()f x 为R 上的奇函数,当0x >时,()22f x x x =-.(1)求()2f -;(2)求()f x 的解析式;(3)画()y f x =的草图,并通过图象写出()y f x =的单调区间.21.(2022·贵州遵义·高一期末)已知函数()()af x x a R x=+∈(1)当1a =,证明函数在()0,1上单调递减;(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求a 的值.22.(2022·全国·高一专题练习)定义在0(,)+∞上的函数f x ()满足下面三个条件:①对任意正数 a b ,,都有f a f b f ab +=()()();②当1x >时,0f x <();③()21f =-(1)求1f ()和14f ()的值;(2)试用单调性定义证明:函数f x ()在0(,)+∞上是减函数;(3)求满足32412218f x x f x -+>()()的x 的取值集合.答案一、单选题1-8BBCDA ACD 二、多选题9.CD 10.AC 11.ABC 12.CD三、填空题13.5322∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃-+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,14.13-15.[0,4]16.()4,+∞1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17.(1)()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,()00f m ∴=-=,解得:0m =;()11112f n ==+ ,1n ∴=;经检验:当0m =,1n =时,()21xf x x =+,则()()21x f x f x x -=-=-+,()f x ∴为奇函数;0m ∴=,1n =.(2)()f x 在[]1,1-上单调递增,证明如下:设1211x x -£<£,()()()()()()()()()()222112121221212122222221212111111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+-∴-=-==++++++()()()()12122221111x x x x x x --=++;121x x < ,120x x -<,2210x +>,2110x +>,()()210f x f x ∴->,()f x ∴是在[]1,1-上单调递增.18.(1)解:因为2()(33)a f x a a x =-+为幂函数,所以2331a a -+=,解得2a =或1a =因为()f x 为偶函数,所以2a =,故()f x 的解析式2()f x x =;(2)解:由(1)知()()2213g x x m x =+--,对称轴为122mx -=,开口向上,当1212m -≤即12m ≥-时,()()max 3362g x g m ==+=,即16m =-;当1212m->即12m <-时,()()max 1122g x g m =-=--=,即32m =-;综上所述:16m =-或32m =-.19.(1)解:因为()2,0,0213,22x x f x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩所以()00f =,()122322f =⨯-=-,()()()22212f f f ∴=-==--.(2)解:当0m <时,()21f m m==-,2m ∴=-,当02<m 时,()1f m m =-=-,1m ∴=,当2m 时,()1312f m m =-=-,4m ∴=,综上所述,m 的值为2-或1或 4.(3)解:函数()f x 的图象,如图所示:20.(1)因为()f x 为R 上的奇函数,当0x >时,()22f x x x =-,所以()()220f f -=-=.(2)因为()f x 为R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-.令x =0得:()()00f f -=-,所以()00f =.任取(),0∈-∞x ,则()0,x -∈+∞.所以()()()2222x f x x x x -=--⨯+-=.由()()f x f x -=-,所以()22x x f x =--.综上所述:()22200020f x x x x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩(3)作出()y f x =的图象如图所示:从图象可以看出:()f x 的增区间为(),1-∞-和()1,+∞,减区间为()1,1-.21.(1)证明:若1a =,则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈,1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+-()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=当()120,1x x ∈时,1201x x <<,所以()()12121210x x x x x x -->所以,函数在()0,1上单调递减.(2)①当0a =时,()f x x =,不满足条件;②当0a <时,易知函数()f x 在定义域内单调递增,则满足:112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩,即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,不满足条件;③当0a >时,令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=-所以()()12f x f x >,函数在(上单调递减;同理可证,函数在)+∞上单调递增,所以,函数()f x最小值应在x =当102<<时,函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得14a =,符合条件;当3<()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ,所以()31f =,解得6a =-,不符合条件;当132≤时,函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f ,所以1f =,解得:14a =,不符合条件;综上,14a =.22.(1)1x y ==得111f f f +()=()(),则10f ()=,而422112f f f +()=()()=--=-,且14104f f f +()()=()=,则124f (;(2)取定义域中的任意的1x ,2x ,且120x x <<,211x x ∴>,当1x >时,0f x <(),210x f x ∴<(,221111xf x f x f x f x x ∴⋅()-()=()-()2211110x xf x f f x f x x +<=()()-()=(),f x ∴()在0(,)+∞上为减函数.(3)由条件①及(1)的结果得,32412218f x x f x +> (-)(),321412184f x x f f x ∴+>(-)()(),32318f x x f x ∴>(-)(),323230180318x x x x x x ⎧->⎪∴>⎨⎪-<⎩,解得36x <<,故x 的取值集合为36(,).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高一函数的概念单元测试题
1
.函数y = ) A .{|1}x x ≤ B .{|0}x x ≥ C .{|10}x x x ≥或≤ D .{|01}x x ≤≤
2. 已知32)1()(2+--=mx x m x f 是偶函数,则在)3(、-∞内此函数 ( )
A. 是增函数
B. 不是单调函数
C. 是减函数
D. 不能确定
3.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )
A. 0
,1x y y == B. 11,12+-=-=x x y x y
C. 1,y x y =-=
D. ()2,x y x y == 4. 已知函数3(10)()[(5)](10)
n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩,其中n ∈N ,则f (8)= ( )
A .2 B. 4 C. 6 D. 7
5.若函数()y f x =的定义域是[0,2],则函数(2)()1
f x
g x x =-的定义域是( ) A .[0,1] B .[0,1) C . [0,1)(1,4] D .(0,1)
6.已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩,≤,,,
则不等式2()f x x ≥的解集为( ) A .[]11-,
B .[]22-,
C .[]21-,
D .[]12-, 7.已知f (x ) 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数,当0>x 时, f (x ) 的图像如右图所示,那么f (x )
的值域是 . 8.函数)(122R x x x y ∈+=的值域是______________. 9.已知函数232,1,(),1,x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩
若((0))4f f a =,则实数a = . 10.若12)1(2+=+x x f ,则=)(x f ;
11.已知)(x f 是奇函数,且当0≥x 时,),1()(x x x f +=则=-)2(f ;
12.已知函数
b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数,且定义域为[]a a 2,1-,则=a ,=b ; 13.若函数 f (x )=(K-2)x 2+(K-1)x +3是偶函数,则f (x )的递减区间是 .
14.已知x ∈[0,1],则函数y =x x --+12的值域是 .
15. (本题满分14分)已知函数已知)(x f 满足2)1(+=+x x f .
求)(x f 的解析式;
0.
16. (本题满分16分) 已知函数)(x f 是定义在)
,(∞+0上的增函数,1)2(=f ,对于一切+∈R y x ,满足)()()(y f x f xy f +=. (Ⅰ)求)1(f 和)4(f 的值; (Ⅱ)求不等式2)3()(≤-+x f x f 的解集.
17.(本小题满分14分)
已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-
(1)当1a =-时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数a 的取值范围,使()y f x =在区间[]5,5-上是单调减函数
18.(本小题满分16分)
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
19.(本小题满分16分)
已知函数f (x ) =1x -2. (1)求f (x ) 的定义域;
(2)证明函数f (x ) =1x
-2在 (0,+∞) 上是减函数.
20.(本小题满分16分)
设函数k x g x x x f =--=)(|,54|)(2
(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像.
(2)若函数)(x f 与)(x g 有3个交点,求k 的值;
(3)试分析函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数.
参考答案:
一、选择题答题卡:
二、填空题
7.: [)3,2--∪ (]2,3
8.[)1,0. 9. 2 . 10.2x 2-4x+3 11.-6 12. 1/3, 0,
13.[0,+∞]; 14.[3,12-]
三、解答题
15.解:(Ⅰ)设t x =+1,则2)1(,1-=≥t x t .……………………………………3分
.2)1()(,2)1(2+-=∴+=+t t f x x f …………………………………5分
).1(2)1()(2≥+-=∴x x x f …………………………………………………7分
16. 解:(Ⅰ))()()(y f x f xy f += ,
令1==y x ,得,)1()1()1(f f f +=.………………………2分
0)1(=∴f .……………………………………………………4分
又1)2(=f ,
令2,2==y x ,得2)4(2)2()2()4(=∴=+=f f f f ,.…………………8分 (Ⅱ)由2)3()(≤-+x f x f 得)4()]3([f x x f ≤-.……………………………………10分 因为)(x f 是定义在)
,(∞+0上的增函数,所以有: ⎪⎩
⎪⎨⎧≤--4)3(030x x x x ,………………………………………………………………………………13分 即⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-4130x x x ,所以3<4≤x .……………………………………………………………15分
答案或提示:2(1)1,()22,
a f x x x =-=-+ 对称轴m i n m a x 1,()(1)1,()(5)37====-=
x f x f f x f ∴max m ()37,()1in f x f x ==
(2)对称轴,x a =-当5a -≥时,()f x 在[]5,5-上单调递减
∴5a ≤-
18.
答案或提示:(1)设()x k x f 1=,()x k x g 2=
所以()1811k f ==,()2211k g ==
即()()081≥=
x x x f ()()021≥=x x x g (2)设投资债券类产品x 万元,则股票类投资为(x -20)万元
依题意得:
()()()2002021820≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令()
52020≤≤-=t x t 则()32812182022+--=+-=t t t y
所以当2=t ,即16=x 万元时,收益最大,3max =y 万元
19.
答案或提示:(1)解: f (x ) 的定义域是{x ∈R| x ≠0};
(2)证明:设x 1,x 2是(0,+∞)上的两个任意实数,且x 1 < x 2,
则∆x = x 1- x 2 < 0,
∆y = f (x 1) - f (x 2) =11x -2- (21x -2) =11x -2
1x =2112x x x x -. 因为x 2- x 1 = -∆x >0,x 1x 2 >0 , 所以∆y >0.
因此 f (x ) =
1x -2是 (0,+∞) 上的减函数.
20.
答案或提示:(1)222452156()45(45)15x x x x f x x x x x x ⎧---≤≤-≤≤⎪=--=⎨----≤≤⎪⎩或,如右下图.
(2)∵函数)(x f 与)(x g 有3个交点
∴由(1)的图可知此时)(x g 的图像经过
y =)54(2
---x x 的最高点 即)(x g =k =)
1(445)1(42
-⋅-⋅-⋅=9
(3)∵函数k x x x ---=|54|)(2
ϕ的零点个数
等于函数)(x f 与)(x g 的交点个数
又∵)(x g 的图像是一条与x 轴平行的直线 ∴由(1)的图可知 k =0或k >9时,函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数为2个
0<k <9时,函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数为4个
k =9时, 函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数为3个
k <0时, 函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数为0个。