理解矩阵(个人认为这是关于矩阵最精彩的理解,推荐~~)
矩阵的基本概念
矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将介绍矩阵的基本概念，包括定义、表示、运算以及特殊类型的矩阵。
一、定义矩阵是一个二维数组，由m行n列的元素构成，示例如下： [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][ ... , ... , ..., ... ][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中aₙₙ表示矩阵中第k行第l列的元素。
二、表示矩阵可以用多种方式进行表示，常见的有行向量、列向量、分块矩阵和矩阵方程。
1. 行向量：将矩阵的一行元素写成一个行向量，示例如下：[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ]2. 列向量：将矩阵的一列元素写成一个列向量，示例如下：[a₁₁][a₂₁][ ... ][aₙ₁]3. 分块矩阵：将一个大矩阵划分为多个小矩阵组成的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂; A₂₁, A₂₂]4. 矩阵方程：将矩阵和向量之间的关系表示为矩阵方程，示例如下：AX = B三、运算矩阵有多种运算，包括加法、数乘、乘法和转置等。
1. 加法：两个矩阵的对应元素相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁ + B₁₁, A₁₂ + B₁₂][A₂₁, A₂₂] + [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁ + B₂₁, A₂₂ + B₂₂]2. 数乘：将矩阵中的每个元素乘以一个常数，示例如下：c * [A₁₁, A₁₂] = [cA₁₁, cA₁₂][A₂₁, A₂₂] [cA₂₁, cA₂₂]3. 乘法：两个矩阵的对应元素相乘然后相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁,A₁₁B₁₂ + A₁₂B₂₂][A₂₁, A₂₂] * [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁B₁₁ + A₂₂B₂₁,A₂₁B₁₂ + A₂₂B₂₂]4. 转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂, A₁₃] [A₁₁, A₂₁][A₂₁, A₂₂, A₂₃] -> [A₁₂, A₂₂][A₃₁, A₃₂, A₃₃] [A₁₃, A₂₃]四、特殊类型的矩阵矩阵还有一些特殊类型，包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和方阵等。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
新理解矩阵(1-6全)
新理解矩阵1前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。
其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。
而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。
当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。
孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。
当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。
同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。
我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。
首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？我们不妨回忆一下，矩阵是怎么产生的。
矩阵可以看成是一个个向量的有序组合，这说明矩阵可以类比向量；但是向量又是怎么产生的？向量则是一个个数字的有序组合，这又把我们的研究方向指向了“数字是什么”这个问题上。
比如，数字1是什么？它可以代表1米，可以代表1千克，也可以代表1分钟、1摄氏度甚至1个苹果。
它为什么有这么多的表示意义？答案很简单，因为在本质上，它什么都不是，它就是数字1，一个记号，一个抽象的概念。
正因为它抽象，它才可以被赋予各种各样直观的意义！回到矩阵本身，我们才会明白，矩阵的作用如此之大，就是因为书本上那个很枯燥的定义——矩阵就是m行n列的一个数表！它把矩阵抽象出来，让它得到了“进化”。
它是一个更一般化的概念：一个向量可以看作一个矩阵，甚至一个数都可以看成一个矩阵，等等。
代数方面的理解当然，上述说法是含糊的，我们还是需要确切知道它究竟有什么用？这可以从代数和几何的角度来分析，因为做到数形结合才是最完美的。
首先我们知道数学最基本的元素就是数字，严格来说是自然数，如0，1，2，...；有了数字，我们就可以做到很多东西。
矩阵学习心得体会（共5则）
矩阵学习心得体会（共5则）第一篇：矩阵学习心得体会矩阵学习心得体会在线性代数的基本知识基础上，我通过矩阵的学习，系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法，进一步深化和提高矩阵的理论知识，掌握各种矩阵分解的计算方法，了解矩阵的各种应用，其主要内容包括矩阵的基本理论，矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用，矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。
这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
我通过学习得知，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的，而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
矩阵这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。
1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。
1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。
1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。
1858年，英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。
他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。
高考高等数学备考指南矩阵论应用
高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说，高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。
然而，掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力，还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。
一、矩阵的基本概念矩阵，简单来说，就是一个按照矩形排列的数表。
它由行和列组成，例如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。
在高考中，我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。
比如：1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。
了解矩阵的基本元素，包括矩阵的元素、行向量和列向量等，是我们学习矩阵论的第一步。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法运算。
加法运算就是将对应位置的元素相加。
2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。
3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。
矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接，它有着特定的规则。
对于矩阵 A（m×n）和矩阵 B（n×p），它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。
其中，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B，使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵，那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。
但并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。
四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵的运算和性质，可以更简便地求解方程组。
例如，对于方程组：2x ＋ 3y ＝ 84x y ＝ 1可以写成矩阵形式：2 3; 4 －1 x; y ＝ 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。
矩阵的名词解释
矩阵的名词解释矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、计算机科学、统计学等。
矩阵可以用来表示和处理多个数据的集合，它们由行和列组成，每个元素都可以在这个二维的结构中找到自己的位置。
在本文中，我们将对矩阵的相关概念进行解释，并介绍其常见的应用。
什么是矩阵？矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形阵列。
一个矩阵可以用大写的字母来表示，例如A，B，C等。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
我们可以用小写的字母a, b, c等表示矩阵中的元素。
例如，矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其实际上是一个由3行3列元素组成的矩阵。
矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法运算可以类比于数的加法和减法。
对于两个相同大小的矩阵A和B，可以将它们对应位置上的元素相加或相减得到一个新的矩阵C。
例如，矩阵A和B的加法可以表示为C = A + B，其中矩阵C中每个元素cij都等于矩阵A和B中对应位置元素的和aij + bij。
矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最常见和复杂的操作之一。
矩阵的乘法不同于数的乘法，它是通过将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行运算得到新的矩阵。
具体而言，对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积C = A * B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C中的元素cij可以通过将矩阵A的第i行与矩阵B的第j列进行内积得到。
矩阵的转置矩阵的转置是指行列互换的操作。
对于一个m行n列的矩阵A，它的转置矩阵记作AT，其中新矩阵的行数等于原矩阵的列数，列数等于原矩阵的行数。
也就是说，如果原矩阵A的第i行第j列元素为aij，那么转置矩阵AT的第j行第i列元素为aij。
矩阵的转置可以通过交换矩阵的行和列得到。
矩阵的逆矩阵的逆是指能够使得两个矩阵相乘等于单位矩阵的逆矩阵。
对于一个n行n列的矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得A * B = I，其中I是n行n列的单位矩阵，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
高考数学中的矩阵及相关概念
高考数学中的矩阵及相关概念近年来，高考数学中出现了越来越多的矩阵相关题型。
矩阵是数学中非常重要的一个分支，它是线性代数的核心内容，具有广泛的应用背景，在科学研究、自然规律探究、技术创新等方面都有重要的作用。
本文将围绕高考数学中的矩阵及相关概念进行一些探讨和分析。
一、什么是矩阵矩阵是由一些数排成的矩形阵列。
矩阵通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵可以进行加减法、数乘、转置等基本运算。
其中，矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换。
矩阵的维数是指矩阵的行数与列数，通常用“行数×列数”的形式表示，例如3×2的矩阵。
如果矩阵的行数和列数相等，则矩阵被称为方阵。
二、矩阵的应用矩阵在不同领域中都有广泛的应用。
以下列举一些常见的例子。
1.计算机图形学计算机图形学中经常使用矩阵来进行平移、旋转和缩放等变换操作。
通过矩阵运算，可以简单而高效地实现各种图形效果。
2.物理学矩阵在量子力学、电动力学等物理学中都有重要应用。
例如，量子力学中的哈密顿量可以表示为一个矩阵，通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以研究物质的能谱和性质。
3.排队论排队论是应用数学的一个分支，研究系统内的随机事件和时间序列。
在排队论中，可以用矩阵来描述系统内的状态转移，从而分析系统的运行效率和性能。
三、矩阵的常用概念1.矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵的性质和特征。
它通常表示为|A|，其中A是一个方阵。
行列式的计算方法较为繁琐，但其应用非常广泛。
例如，可以通过行列式来判断矩阵是否可逆，以及求解线性方程组等问题。
2.矩阵的迹矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和，通常表示为tr(A)。
矩阵的迹具有很多性质，如对于任意两个矩阵A、B，有tr(A+B)=tr(A)+tr(B)，tr(AB)=tr(BA)等。
矩阵的迹也常用于描述矩阵的性质和特征。
3.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵最常用的两个概念之一。
矩阵相关概念
矩阵相关概念
嘿，咱来说说矩阵这玩意儿哈。
有一回啊，我去看了一场科幻电影。
电影里那些高科技的画面可把我震撼得不行。
其中有个场景，主角在一个大屏幕前摆弄着一些奇怪的图案，旁边的人说那是矩阵。
我当时就懵了，啥是矩阵啊？这名字听着就挺神秘的。
咱先说说矩阵是啥吧。
简单来说呢，矩阵就是一堆数字排在一起，像个表格似的。
比如说，你可以有一个两行三列的矩阵，里面装着各种数字。
我就想啊，这跟咱平时玩的填数字游戏有点像呢。
我记得有一次，我上数学课的时候，老师就讲到了矩阵。
老师在黑板上画了一个矩阵，然后让我们算一些东西。
我看着那些数字，脑袋都大了。
不过后来听老师一解释，好像也没那么难。
矩阵有啥用呢？用处可多了。
比如说，在工程学里，矩阵可以用来解决各种问题。
像设计桥梁啊、建造大楼啊，都可能用到矩阵。
我有个朋友是学工程的，他就经常跟我说起矩阵。
他说矩阵就像一个魔法工具，能帮他们算出很多复杂的东西。
还有啊，在计算机图形学里，矩阵也很重要。
那些漂亮的游戏画面、电影特效，很多都是用矩阵算出来的。
我就想，这矩阵还挺厉害的呢。
不过，矩阵也不是那么好懂的。
有时候看着那些复杂的公式和计算，我就觉得自己的脑袋不够用了。
但是没关系，咱可以慢慢学嘛。
总之啊，矩阵虽然有点神秘，但也不是那么遥不可及。
只要我们用心去学，就能理解它的奥秘。
嘿嘿，这就是我对矩阵相关概念的理解啦。
大家觉得怎么样呢？。
有关矩阵概念的文章
有关矩阵概念的文章矩阵是一种重要的数学概念，广泛应用于线性代数、统计学和计算机科学等领域。
它是一种由数值组成的二维数组，通常用方括号表示。
本文将从矩阵的定义、性质、运算及应用等方面介绍矩阵的知识。
首先，我们来了解矩阵的定义。
矩阵是由m行n列的数表所组成，其中每个元素都有一个确定的位置，可以用A=(aij)来表示。
其中，i表示行的位置，j表示列的位置，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的大小用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
接下来，我们来探讨矩阵的性质。
矩阵有许多重要的性质，例如对角线元素、对称矩阵和上三角矩阵等。
对角线元素是指一个矩阵中位于主对角线上的元素，即满足i=j的元素。
对称矩阵是指满足a_ij = a_ji的矩阵，即矩阵关于主对角线对称。
上三角矩阵是指满足i>j的元素都为0的矩阵。
矩阵之间的运算也是矩阵理论的重要内容。
矩阵的加法和数乘是常见的矩阵运算。
两个相同大小的矩阵相加时，只需将对应位置的元素相加即可。
矩阵的数乘也很简单，就是将矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
此外，矩阵还可以进行乘法运算。
两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，它的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，在线性代数中，矩阵是解线性方程组的有力工具。
通过列向量与矩阵的乘法运算，可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而简化计算过程。
其次，矩阵还被广泛应用于统计学中的多元分析方法。
例如，主成分分析和因子分析等方法都是基于矩阵运算的。
此外，矩阵在计算机科学中也起着重要作用。
在图像处理和图像识别中，矩阵被用于表示像素点的数组，通过矩阵运算可以实现图像的旋转、缩放等操作。
总结一下，矩阵是一种由数值组成的二维数组，具有重要的性质和运算规则。
它在线性代数、统计学和计算机科学等领域有广泛的应用。
通过研究矩阵的性质和运算，我们可以更好地理解和应用矩阵。
矩阵的通俗理解
矩阵的通俗理解
矩阵是一种数学工具，它以一种表格的形式包含一组数字。
每一组数字排成一行，一行可以包含不同数字，或者一行中所有数字都可以相同。
我们用矩阵来表示这些数字，矩阵的行表示每一组数字，矩阵的列表示每一组数字的值。
如果这些数字有关联的话，我们可以把它们放在矩阵单元格中，这样我们就可以很容易地找出关系。
在研究科学论文中，矩阵被广泛用来记录或表达数据，但它不仅仅是个表格。
矩阵更多的用途是用来进行数学计算，如求和、求积和求逆等等，这些功能只有矩阵能够实现。
另外，矩阵的另一个功能是为了解决可能存在的复杂问题。
矩阵可以用来模拟实际情况，以便识别不同因素之间的相互关系，或者为了求解数学问题而提供更多信息。
矩阵是一个非常有用的数学工具，它可以记录和处理数据，解决复杂问题，模拟实际情况并获取更多有用信息。
矩阵可以用来协助研究者在数字分析和研究方面更加成功，这是一项重要的数学工具。
矩阵简单解释
矩阵简单解释
嘿，你知道矩阵不？这玩意儿可有意思啦！比如说，咱可以把它想
象成一个超级大的表格。
就好像你去超市买东西，那个货架不就是一
格一格的嘛，矩阵就有点像那个货架！（这不就很形象嘛！）矩阵里的每个小格子都有它自己特定的值。
想象一下，这就好比每
个格子里都放了一个宝贝，有的宝贝大，有的宝贝小。
（是不是很神
奇呀！）
咱再举个例子哈，比如说一个班级里同学们的成绩。
咱可以用矩阵
来表示，行呢可以是不同的同学，列呢可以是不同的科目。
这样一来，每个格子里的数字就是那个同学对应科目的成绩啦！（哇塞，一下子
就清楚了吧！）
那矩阵有啥用呢？哎呀呀，用处可大了去了！它就像一把万能钥匙，可以打开好多知识的大门呢！在数学里，它能帮我们解决各种难题，
比如计算啦、变换啦。
（厉害吧！）
“嘿，那矩阵难不难学呀？”你可能会这么问。
其实呀，就像学走路
一样，一开始可能有点摇晃，但只要你多走走，就稳啦！（就是这么
回事儿！）刚开始接触可能会觉得有点晕乎，但只要你慢慢去琢磨，
去理解，就会发现它的奇妙之处。
我跟你说哦，矩阵就像一个神秘的宝藏盒子，你越深入挖掘，就会
发现越多的惊喜。
（真的不骗你！）它可以让复杂的问题变得简单易懂，可以让我们看到事物之间隐藏的联系。
所以呀，不要被矩阵一开始的样子吓到，要勇敢地去探索它，去发
现它的美妙之处。
相信我，一旦你真正了解了矩阵，你就会感叹：“哇，原来这么有趣呀！”矩阵，就是这样一个充满魅力和神秘的东西，等待
着你去揭开它的面纱呢！我的观点就是：矩阵看似复杂，实则有趣又
有用，值得我们好好去认识和研究。
什么是矩阵
矩阵是什么？矩阵是控制，我们每个人都生活在矩阵的控制中。
要让大家明白矩阵是如何掌控我们的生活，可以解释的很复杂，也可以很简单就让大家明白。
我就以自己早上起床，拿起手机看新闻这个再普通不过的事情向大家说明什么是无所不在的矩阵。
早晨起床后，洗漱完毕，我习惯拿起手机先看一下微信，首先进入眼帘的就是下面的新闻：淘宝40万聘请64岁阿姨。
我的关注点是“40万”。
点开后，我又看到了另一条新闻：全球科技领域亿万富翁人数达到143人。
我的关注点是“亿万富翁”。
这两条新闻是腾讯科技公众号推荐的，在今天给大家展示完以后，我就删除了这个公众号。
因为它每天的头条新闻都是如此，低于10万都上不了头条。
接下来，我又打开了每天浏览最多的知乎客户端，不知道大家有多少人喜欢浏览知乎，这是一个知识问答平台，经常看还是挺涨见识的，但是现在却变了味道。
每天打开以后，知乎出现的都是最新的内容。
首先我看到是：你认识的有钱人都是做哪行致富的。
接着，我继续滑动往下浏览，又看到了：假如我去银行存款一个亿，会发生什么？我对这些都不感兴趣，继续滑动，看到了：在生活中你是否有开廉价车时被歧视的经历？以我本人的观点来说，特别鄙视这种带节奏的行为，攀比心理就是因为这种有意的引导才发生的！我继续往下看，一个目前比较火，但是害人不浅的内容出现：除了比特币，还有哪些区块链的数字货币值得投资？现在有一句话，叫做收智商税，买比特币的人，实际上就是被别人收智商税，特别是狗狗币、空气币等名目繁多的数字货币，都是圈钱蒙人。
以上大家可以看到，在不到五分钟的时间里，我就经受了好几波垃圾信息的洗脑！确实是垃圾信息，除了让我产生欲望、攀比心理，渴望一夜暴富，一点益处也没有！而且这是知乎，一个高知识分子经常浏览的知识平台，竟然堕落到这个程度，其他平台可想而知。
我不喜欢给别人贴各种标签，只要是一个有追求的人，不管文化程度高低，都有自己的喜好，知乎属于知识交流平台，像抖音、火山小视频、今日头条之类的，普通人每天都浏览的应用，像这样的垃圾信息其实一点也不会少，总结就一个字：钱，钱，钱。
矩阵的基名词解释
矩阵的基名词解释矩阵是数学中的一种重要工具，用于描述和处理多元数据的关系。
它由行和列组成，每个元素都可以用一个标准数表示。
矩阵的基本概念和操作方法贯穿于数学、物理、统计学、计算机科学等领域。
在本文中，我们将通过对矩阵的基本名词解释和实际应用案例的介绍，深入探讨矩阵的概念和意义。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列而成的矩形阵列。
其中，m代表矩阵的行数，n代表矩阵的列数。
每个元素可以用一个下标来表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
二、矩阵的特殊类型1. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。
用0表示。
2. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
3. 对角矩阵：非对角线上的元素都为零的矩阵称为对角矩阵。
对角线上的元素可以为任意值。
4. 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为零的方阵称为单位矩阵。
5. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
用T表示。
三、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加得到新的矩阵。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的减法：对应位置的元素相减得到新的矩阵。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
3. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素与一个常数相乘得到新的矩阵。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘得到新的矩阵。
要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。
5. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵。
四、矩阵的应用案例1. 数据处理：在统计学中，矩阵广泛应用于数据处理和数据分析。
通过将数据存储在矩阵中，可以方便地进行数据的计算和分析，如计算均值、方差、协方差等。
2. 线性方程组：在代数学中，线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示。
通过矩阵的求逆、转置等操作，可以解决线性方程组，求得未知数的值。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩阵可以用于描述和处理三维空间中的图形变换，如平移、旋转、缩放等。
数学中的矩阵是什么意思，有什么用？
数学中的矩阵是什么意思，有什么用？在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。
其实除了解决线性方程，矩阵还有很多其他用途。
比如电影特效的制作就用到了矩阵的变换，电影《侏罗纪公园》中逼真的光影效果其实就是通过矩阵变换实现的。
总的来说，矩阵主要有以下几个应用方面:图像处理在图像处理中图像的仿射变换一般可以表示为一个仿射矩阵和一张原始图像相乘的形式。
线性变换及对称线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。
例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。
内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。
描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。
还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
量子态的线性组合1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。
这种做法在矩阵力学中也能见到。
例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。
另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。
当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。
这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。
其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。
数学中的矩阵是什么意思，有什么用？
数学中的矩阵是什么意思，有什么⽤？⼜轮到我这个⼗⼋线科普⽹红：超模君出场了。
在《线性代数》书中，⾏列式和矩阵总是如影随⾏，⽽且两个确实长得很相似，所以也经常有⼈混淆两者。
矩阵：有勾必⽕虽然这个时代很看颜值（矩阵有勾，确实⽐较⽕⼀点），不过超模君可不是这么肤浅，超模君还是很看重内涵。
⾏列式：是指将⼀些数据建⽴成计算⽅阵，经过规定的计算⽅法最终得到⼀个数。
换句话说，⾏列式代表的是⼀个值。
⽽矩阵则不同，矩阵表⽰的是⼀个数表，是⼀个数据的集合体。
换句话说，矩阵更神似于⼀张n⾏m列的数字表格，或者Excel表。
最近这⼏天，京西旅馆的⼤厨还没到位，采购蔬菜的事情还是落在了⼩天的⾝上。
这不，精打细算（抠门）的刘强西就派⼩天到村头菜市场、村尾王⼤妈菜摊和隔壁村⽼王农场去调研不同菜品的价格，说是不能乱花⼀分钱。
⼩天分别去三个地⽅分别调研了三种菜品，发现价格真有不同。
⽽之后⼩天便将得到的数据⽤矩阵表⽰出来。
刘强西看到⼩天提供的矩阵：这是什么⿁，⼩天，你⼲嘛⽤矩阵来表⽰呀？！⼩天：因为矩阵也是⼀种表⽰多维度数据的⽅式呀！刘强西：但这个⽐Excel表难看，不喜欢，⽽且没什么⽤。
⼩天此时露出鄙夷的眼光：刘boss，你竟然说矩阵没什么⽤（这个也不怪你，就是现在还有⼈说数学没什么⽤），其实之所以做成矩阵的形式，就为了四个字：便于计算。
我记得上⼀次你还跟我说过三种蔬菜的需求量，那我们将需求量做成需求矩阵B：那我们就可以得到三个地⽅的价格（价格矩阵C）：如果此时我们再考虑距离因素和时间成本，那也就是增加距离矩阵D和时间矩阵E，最后再⽤上我们最简单的运算法则：加减乘除。
那这样的话，我们就可以对三个购菜点进⾏综合评估，选出最好的供应商了。
刘强西：⼩天越来越聪明了，讲的很有道理。
⼩天：我⼀直都很聪明。
据知情⼈⼠爆料，矩阵最开始是⽤于线性变换。
那什么是线性变换？向量空间V到其⾃⾝的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换，简⾔之，线性映射就是保持线性关系的映射。
矩阵名词解释
矩阵名词解释
矩阵是数学中的一个重要概念，可以用于表示线性变换、线性方程组、向量空间等。
在实际应用中，矩阵常常被用于数据压缩、图像处理、信号处理、机器学习等领域。
矩阵是由一组数组成的矩形阵列。
如果矩阵的每一行都对应着一个元素，那么这个矩阵就是方阵，如果矩阵的每一列都对应着一个元素，那么这个矩阵就是单位矩阵。
除了方阵和单位矩阵，还有其他类型的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、三角矩阵等。
矩阵可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且可以转换为逆矩阵或求特征值和特征向量等方式进行求解。
矩阵在一些数学和工程应用中具有重要性，例如在计算机科学中，矩阵被用于图像处理和信号处理中的信号处理算法。
在机器学习中，矩阵也被广泛应用。
例如，在线性回归中，矩阵用于表示自变量和因变量之间的关系;在支持向量机中，矩阵用于表示分类边界;在神经网络中，矩阵用于表示神经元之间的连接关系。
矩阵在数学和工程应用中具有广泛的应用，具有加、减、乘、除等基本运算能力，并且可以转换为逆矩阵或求特征值和特征向量等方式进行求解。
关于矩阵最通俗的解释超级经典zz
关于矩阵最通俗的解释超级经典zz 矩阵是数学中非常重要的概念之一，广泛应用于许多领域，如线性代数、计算机科学和物理学等。
本文旨在对矩阵进行通俗的解释，并介绍其基本概念、性质以及在实际应用中的重要性。
一、矩阵的基本概念矩阵可以被理解为一个由数值按照规则排列而成的矩形阵列。
矩阵由若干行和若干列组成，其中每个元素都可以通过行和列的指标来唯一确定。
以小写字母表示矩阵，例如A，它的元素可以用大写字母加上行列指标来表示，例如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的性质1. 矩阵的大小：矩阵的大小由它的行数和列数确定。
一个m×n的矩阵有m行n列。
2. 矩阵的相等：当且仅当两个矩阵的大小相等，并且对应位置的元素相等时，这两个矩阵才相等。
3. 矩阵的加法：对于两个大小相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
4. 矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个实数k，它们的乘积记作kA，即将矩阵A的每个元素都乘以k得到新的矩阵。
5. 矩阵的乘法：对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，即将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行内积得到新的矩阵。
三、矩阵的实际应用矩阵在现实生活中有许多重要应用。
以下列举了几个常见的应用领域：1. 线性代数：矩阵作为线性代数的基础工具，广泛应用于代数方程组的求解、向量空间的研究以及线性变换的描述等方面。
2. 计算机图形学：利用矩阵可以对二维和三维的图像进行变换和处理，例如平移、旋转和缩放等操作。
3. 信号处理：矩阵在信号处理中被广泛应用于滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
4. 物理学：矩阵在量子力学中起到关键作用，用于描述量子态的演化和测量等过程。
5. 统计学：矩阵可以用于表示数据集，通过矩阵的运算可以进行数据的降维、特征提取和分类等工作。
总结：矩阵作为数学中重要的概念，具有丰富的理论基础和广泛的应用领域。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
关于矩阵的理解
关于矩阵的理解（page：9）最近为《矩阵论》从校内上转了一篇文章，看看，理解理解。
窃以为，从《线性代数》开始，若对线性空间有个透澈的理解，接下来学习《高等数学》、《数理方法》、《泛函分析》等，简直就是势如破竹万人莫御，乃至号称物理学中较难学的《电动力学》、《量子力学》回想起来，以误人子弟为己任的二道贩子们，白白浪费了我几年韶光。
幸亏爹娘赐我那点灵明很管用，好比暗夜里的明灯，没让暗夜中摸索的我迷了道就我所见，已有著作对线性空间有深切把握的有《物理学中的数学方法》（拜仑，富勒），《物理学中的数学方法》（李政道）尤其是前者。
问题是，呆若木鸡满口雌黄的教授们能不能先看几本书，搞懂几个问题再上讲台呢？要求不高，如下文作者那样就行。
前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师教别人线性代数。
于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。
很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情，可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人后无来者”的古怪概念。
然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义非奇异矩阵，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸头破血流。
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理解矩阵（个人认为这是关于矩阵最精彩的理解，推荐~~）来源：曾雅文的日志线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。
即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。
比如说：* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。
两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。
但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。
就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。
然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。
直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。
上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。
比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。
他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。
像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。
然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。
数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。
然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。
反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。
不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。
比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。
因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。
另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。
也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
--------------------------------------------------------------------------今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。
这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。
但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。
赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。
你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。
这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。
仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。
第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。
而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。
只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。
事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。
你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。
线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。
那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。
线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。