高二数学矩阵的概念和运算(教师版)

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矩阵的基本概念和运算

矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。

它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。

本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。

一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。

其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。

每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。

二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。

矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。

行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。

三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。

4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。

四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。

高二数学矩阵的概念2

51
1 0
0 1
3 1
方程组的解
1. 矩阵我们把上述矩形数表叫做矩阵，
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
2. 系数矩阵和增广矩阵
其中矩阵
1 3
2 1
叫做方程组的系数矩阵，
它是2行2列的矩阵，记做A22;
矩阵
1 3
2 1
85 叫做方程组的增广矩阵，
它是2行3列的矩阵，记做A23 .
3. 行向量与列向量 1行2列的矩阵(1,-2)，(3,1)叫做系数矩阵的两个行向量；
写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
的形式，则方程组的解就是
x y
a, b.
1 0
0 1
a b
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
a11
a21
a
m
1
a12 a 22
am2
a1n
a2n
a
mn
叫做mn阶矩阵，记做Amn，其中aij(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 叫做矩阵第i行第j列的元素。
1．矩阵是一个矩形数表。 2．矩阵是一个数学符号。 3. 常用记号Amn或Amn来表示一个矩阵。
例1：某公司销售部门一季度四名销售员的销售成绩如下表所示：
y y
5, 8.
步骤方程组
矩阵数表
x 2 y 5,
1
3 x y 8.
x 2y 5

上教版高二数学教案—矩阵的概念

1 0 叫做单位矩阵。 0 1
注：解方程组的过程即是将方程组的系数矩阵通过矩阵变换变为单位矩阵的过程。
例5：《九章算术》第八卷方程中的一题：5头牛2只羊值 10两金，2头牛5只羊值8两金，每头牛羊各值多少两金？
小结矩阵的变换：
（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零常数；（3）把某一行乘以一个数加到另一行。
93
91 85
82 92 88 96 90 93 92 96 91 84 92 85
可将表格中的成绩用一个5行3列的矩阵表示，即： 78 76 77
也可表示成如下的矩阵： 82
78 96 92 84 92 76 90 96 92 88 77 93 91 85
a b b a;
xn yn
容易验证，对n维向量，类似2维向量的运算律仍然成立。如：
(m n)a ma na ; (a b) c a c b c等
例1：统计某校高二（1）班的5名学生的数学平时、期中、期末成绩如下表：
学号平时成绩期中成绩期末成绩
矩阵和行列式初步
9.1矩阵的概念
教学目标：1．了解矩阵、方阵、二维向量、三维向量、 n维向量、行向量、列向量的概念； 2．掌握n维向量的加减法、实数与向量乘积、向量的数量积的运算法则； 3．理解同阶的矩阵，理解相等的矩阵； 4．理解线性方程组及其增广矩阵的转换； 5．掌握运用基本变换求线性方程组的解。教学重点：矩阵等相关概念教学难点：用矩阵的基本变换求线性方程组。
二、矩阵
由m n个实数aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) a1n a2 n amn

高二数学上册(秋季)-第12讲-矩阵的概念与运算

高二数学上册（秋季）辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：高二辅导科目：数学授课日期2015年月日时间主题矩阵的概念与运算教学内容1. 掌握矩阵有关的概念；2. 掌握用矩阵变换的方法解二元、三元、四元一次等线性方程组；3. 理解和掌握矩阵的运算及其运算律；知识回顾：1、矩阵的相关概念用加减消元法解下列二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-.83,52yxyx我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表. 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。

步骤方程组矩形数表1⎩⎨⎧=+=-.83,52yxyx⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521225,77.x yy-=⎧⎨=-⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛--775214、数乘矩阵（1）矩阵与实数的积设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵.记作：αA （2）运算律：（γλ、为实数）分配律：()B A B A γγγ+=+ ；A A A λγλγ+=+)( 结合律：()()()A A A γλλγγλ==5、矩阵的乘积（1）矩阵的乘积：一般，设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C =AB （2）运算律分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB = 注：交换律不成立，即BA AB ≠（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵并求出增广矩阵的行向量和列向量：{231(1)342x y x y +=-=-1(2)2334x y y z x y z +=⎧⎪+=⎨-+=⎪⎩答案：（1）系数矩阵：()2332，增广矩阵：()231324-，行向量：(231)-，(324)，列向量：()()()231,,324-（2）系数矩阵：110021311⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭，增广矩阵：110102133114⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭，行向量：(1101)，(0213)，(3114)-，列向量： 11010,2,1,33114⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【严格根据定义的形式，把方程化为标准形式后再进行解题】解：53175⎛⎫⎪⎝⎭1、系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11xy⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是解：2323x yx y+=⎧⎨+=⎩2、已知以,x y为变量的二元一次方程组的增广矩阵为211120-⎛⎫⎪-⎝⎭，则这个二元一次方程组的解为____________.解：21,33x y==3、在n行n列矩阵12321234113451212321n n nn nnn n n n⋅⋅⋅--⎛⎫⎪⋅⋅⋅-⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ija i j n=⋅⋅⋅。

矩阵讲义T

3 0 2 3 0 6 2 2 10 0
3 3 0 0 1 0 0 1 2 2 2 ② 加到③ 3 0 3 0 6 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 2 6 所以x 1, y 2, z 3.
例6
1 已知矩阵 A 1 2 3 , ，矩阵 B 2 ， 3
计算 AB 和 BA 。
例7
3 1 6 4 7 9 2 4 0 1 11 ，计算： ,C 已知下列矩阵 A 3 1 5 , B 2 6 0 3
x－2 y 3, 4 x y 2;
（2）
2 x y 3 0, 2 y x 4.
例3
x y z 6, 试用矩阵变换的方法解三元一次方程组 3 x y 2 z 7, 5 x 2 y 2 z 15.
1、 2、 3行）矩阵变换过程如下：（ ①、②、③ 分别表示矩阵的第
1 2 、一个系数矩阵为单位矩阵，解为 1 列 3 行的矩阵 2 3
的线性方程组可以是
_________________
2 0 3 1 3、若 3 名顾客购买 4 种商品的数据（件）可用下列的矩阵表示： 3 1 0 5 ，则 0 2 2 3
3 x 5 y 6 0 （1 ） 4 x 3 y 7
x 2z 1 （2） y 4 z 6 2 x y z 5
巩固训练
1 -2 5 1、矩阵 3 1 8
的行向量分别是__________________，列向量分别是________________

矩阵的概念与运算教学设计

矩阵的概念与运算教学设计导言：矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。

在数学教学中，如何深入浅出地教授学生矩阵的概念与运算是一项关键任务。

本文针对矩阵的概念与运算的教学设计，结合丰富的实例和活动，旨在帮助学生充分理解与掌握矩阵的基本概念与运算规则。

一、基本概念的引入与讲解1. 引入：老师可以通过举一个简单生活中的实例，如矩阵在图像处理中的应用，或者在交通规划中的应用等，来引起学生的兴趣，并说明矩阵的重要性和实用性。

2. 概念讲解：- 矩阵的定义：介绍矩阵的基本概念，即由m行n列元素排列成的矩形阵列。

- 矩阵的分量：解释矩阵中元素的命名规则，如第i行第j列的元素用a_ij表示。

- 矩阵的阶数：定义矩阵的阶数为m行n列的形式。

- 特殊矩阵：介绍特殊矩阵的概念，如零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。

二、矩阵的运算规则与性质1. 矩阵的加法：- 定义矩阵的加法：讲解矩阵的加法规则，即对应元素相加。

- 加法的基本性质：说明矩阵加法满足交换律和结合律。

2. 矩阵的数乘：- 定义矩阵的数乘：说明矩阵的数乘规则，即将每个元素乘以同一个数。

- 数乘的基本性质：说明数乘满足分配律和结合律。

3. 矩阵的乘法：- 引入矩阵乘法：解释矩阵乘法的概念，即行乘列相加的运算规则。

- 矩阵乘法的条件：介绍矩阵乘法存在的条件。

- 乘法的基本性质：说明矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

三、运算实例与应用1. 矩阵加法与数乘的实例：- 实例一：给出两个矩阵，让学生进行矩阵的加法运算。

- 实例二：给出一个矩阵和一个数，让学生进行矩阵的数乘运算。

2. 矩阵乘法的实例：- 实例一：给出两个矩阵，让学生进行矩阵的乘法运算。

- 实例二：引导学生分析实际应用中的矩阵乘法，如图像变换中的应用。

四、矩阵运算的性质与证明1. 加法和数乘的性质证明：- 性质一：零矩阵的性质证明。

- 性质二：相反矩阵的性质证明。

- 性质三：数乘与矩阵乘法的分配律证明。

高二数学矩阵的概念

1 0 3 1 2 与 3 5 矩阵 2 1 0 2 1 3 2 1 6 4
相对应。对方程
组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 (也可用方括弧表示)。其中 a34
a1 a2 a4
7) 数量矩阵: 主对角元素都相等的对角矩阵。记作 kE 或 kE n k
kEn k k
8) 单位方Βιβλιοθήκη ：主对角线上全为1的对角方阵，记作
1 1 E 1
2 3 5 8
是一个 1 4 矩阵,
9
回章目录
是一个 1 1 矩阵.
二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 例如 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。 a1 , a2 , , an
回章目录
三、小结
(1)矩阵的概念
m 行n列的一个数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
(2) 特殊矩阵

零矩阵; 行矩阵与列矩阵; 方阵 m n ; 上(下)三角矩矩阵; 对角矩阵; 数量矩阵. 单位矩阵.
mn

行矩阵也称为行向量。
3) 列矩阵:

高中数学中的矩阵定义及其运算法则

高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。

在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。

本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。

一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。

矩阵的大小由它的行数和列数来确定。

例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。

同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。

二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。

例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。

例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。

例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。

这里将一一介绍。

1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。

高中数学教案学习矩阵运算

高中数学教案学习矩阵运算矩阵运算作为高中数学重要的内容之一，是线性代数的基础知识。

通过矩阵运算，我们可以解决具有多个未知数和多个方程的线性方程组，同时也可以用于线性变换和向量的计算。

本文将全面介绍高中数学教案中矩阵运算的学习内容。

1. 矩阵的定义与性质在开始学习矩阵运算之前，我们首先需要了解矩阵的基本定义和性质。

矩阵是由一组数按照一定规律排列而成的矩形阵列。

通常用方括号或圆括号表示。

在教学中，可以通过展示具体的矩阵示例，让学生理解矩阵的概念。

此外，还可以介绍矩阵的行数和列数，矩阵的行列式和逆矩阵等性质。

2. 矩阵的运算法则了解了矩阵的定义后，我们需要介绍矩阵的基本运算法则。

主要包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法等四则运算。

在教学过程中，可以通过具体的例题演示，让学生理解并掌握各种矩阵运算法则的操作步骤和计算方法。

此外，还可以结合实际问题，让学生体会矩阵运算在解决实际问题中的应用。

3. 矩阵的转置和转化了解了矩阵的基本运算法则后，我们需要介绍矩阵的转置和转化。

矩阵的转置就是行和列互换，可以通过实例演示让学生理解转置的基本操作步骤。

在实际教学中，还可以结合矩阵的转置与矩阵的乘法，引导学生理解矩阵运算的性质和规律。

此外，还可以介绍矩阵的转化，即将一个矩阵经过初等变换等操作转化为行简化阶梯行阵列，利于解决线性方程组和求矩阵的秩等问题。

4. 矩阵运算在线性方程组中的应用在高中数学中，线性方程组是一个非常重要的内容。

通过矩阵运算方法可以更加简洁地解决线性方程组的问题。

在教学中，可以通过具体的例题，引导学生将线性方程组转化为矩阵的形式，并通过矩阵运算求解出方程组的解。

此外，还可以探讨线性方程组的解的唯一性与存在性，引导学生理解线性方程组与矩阵运算的关系。

5. 矩阵运算在线性变换和向量中的应用矩阵运算除了在解决线性方程组中的应用外，还广泛应用于线性变换和向量的计算中。

在教学中，可以通过矩阵乘法和变换矩阵的概念，引导学生理解线性变换和向量的相互转化。

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。

矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。

矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。

矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。

矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。

1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。

2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。

3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。

4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。

矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。

通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。

矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。

矩阵的概念和运算

矩阵的概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学等各个领域中。

本文将介绍矩阵的基本概念和运算，以及其在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义和表示矩阵是由m行n列的数量排列在一个矩形阵列中的数或者符号所组成的矩形数表。

一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。

矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法满足相同位置元素相加的规则，即相同位置的元素相加得到新矩阵的对应位置元素。

例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]A +B = [a_ij + b_ij] = C2. 矩阵的数乘矩阵的数乘指将一个数与矩阵中的每个元素相乘，得到新矩阵。

例如：A = [a_ij]，k为实数kA = [ka_ij]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。

矩阵的乘法满足“行乘列”规则，即第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素相乘并求和得到新矩阵的对应位置元素。

例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]AB = C，其中c_ij = ∑(a_ik * b_kj)4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新矩阵。

若A为m行n 列的矩阵，其转置矩阵记作A^T，则A^T为n行m列的矩阵，且A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。

三、矩阵的应用1. 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以更方便地求解线性方程组的解。

例如：Ax = b其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。

通过矩阵的运算，可以求解出未知数向量x。

2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵在向量空间中的变换性质。

特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的非零向量，特征值是指对应于特征向量的标量。

矩阵教学课件

例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学（见P49）
第二章矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
,
x

高二数学第二学期矩阵的概念

高二数学第二学期矩阵的概念教学目标：1.了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。

2．了解矩阵的相关知识,如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。

教学重点：矩阵的概念。

教学过程：一、问题情境问题1：已知向量OP ，O(0,0),P(1,3).因此把)3,1(=，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡31 问题2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080问题3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 二、建构数学1. 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵。

用大写黑体拉丁字母A,B,…来表示矩阵2. 矩阵的行：3. 矩阵的列：4. 矩阵的元素：5. 零矩阵：6. 行矩阵，列矩阵：三、数学应用1．例题例1:用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)例2: 某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3: 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,2．课堂练习P10 1,2四、回顾小结1. 矩阵的概念及表示方法2. 矩阵相等的条件五、课外作业同步导学。

高考数学矩阵知识点

高考数学矩阵知识点在高考数学中，矩阵是一个重要的概念，它在代数、几何、线性方程等多个领域中都有广泛应用。

本文将详细介绍高考数学中的矩阵知识点，包括定义、运算、特殊矩阵等内容。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用大写字母表示。

一个矩阵可以用行数和列数来描述，表示为m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵中的每个数称为矩阵的元素，可以记作a_ij，其中i表示行号，j表示列号。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法两个相同维数的矩阵相加，就是将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。

2. 矩阵的乘法（1）数乘：将一个矩阵的每一个元素都乘以一个常数。

（2）矩阵乘法：设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则A与B的乘积C为m×p的矩阵。

C的第i行第j列的元素可以通过A的第i行与B的第j列做内积求得。

即C的第i行第j列的元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置将矩阵的行与列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置。

4. 矩阵的逆如果一个矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵。

三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作O。

2. 设单位矩阵对角线元素为1，其它元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。

3. 对称矩阵如果矩阵A的转置等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A称为对称矩阵。

4. 反对称矩阵如果矩阵A的转置等于它的相反数，即A^T=-A，那么矩阵A称为反对称矩阵。

四、矩阵的应用1. 矩阵在线性方程组中的应用通过构建系数矩阵和常数矩阵，可以使用矩阵运算求解线性方程组，得到方程组的解。

2. 矩阵在几何中的应用矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换，并且可以通过矩阵运算进行组合和求逆，实现复杂的几何变换。

3. 矩阵在代数中的应用矩阵可以用来表示线性映射，例如将一个向量通过矩阵乘法映射到另一个向量空间中。

高二数学矩阵的概念1

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写给不吃粮食的屌丝们
说，2014年截至10月份，我国进口粮食7200万吨，而餐桌上的浪费3500万吨（这个数字肯定不全面）在我们这个人人晓得“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的国度怎么会出现这种现象呢？我们全民不饿肚子才几年啊？
我在自称“新中国农业发展史的缩影，新中国农村变革的写照，新中国农民奋斗史的丰碑”的52集电视剧《大耕耘》中写了好几段这样的戏，关于考的压力是一种魔鬼，它逼了你三年，而今仍有另外一个三年的鬼要逼你。孩子，你真会用字，用得好，可见你表达的能力强于打架。可是，为什么又去打呢？为什么不写呢？每天需十分钟，把内心的挣扎，诚诚实实的写出来，然后，将它锁在抽屉里，不给任何人看。如果你真正那么不喜欢书本，安静下来，找一个好天气，在清晨的校园里——不要在夜间，慢慢的吹吹口哨，静静的了解一下自己，问问自己，问问我这一生，对什么样的事情感兴趣？我有什么别人不及的天赋和潜能？我有什么长处？我有什么短处？如果那么厌恶上学，那么去选一门感兴趣的手艺是不是也行得通？如果仍想上大学，那么便不要再挣扎，静心看书，去挤那个窄门。万一进了大学，则要做一个认真的学生，而不是混文凭的那种人。买电竞在哪个app买

矩阵的基本概念与运算

矩阵的基本概念与运算一、矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的一种基本工具，它是由一组数按照矩形排列而成的表格结构。

矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。

一个m行n列的矩阵可记作A = [aij]，其中i代表行号，j代表列号，aij表示矩阵A在第i行第j列的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C可以通过循环计算得到。

对应元素相加即可，即Ci,j = Ai,j + Bi,j。

2. 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个实数k，实数k与矩阵A的乘积矩阵B可以通过循环计算得到。

每个元素都乘以k，即Bi,j = k * Ai,j。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法涉及到两个矩阵A和B，前提是A的列数等于B的行数。

它们的乘积矩阵C可以通过循环计算得到。

行乘以列的规则是Ci,j = Σ(Ai,k * Bk,j)，其中k代表循环的次数，Σ表示累加求和。

三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵全为零的矩阵称为零矩阵，记作0。

2. 单位矩阵主对角线上元素全为1，其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵，记作I。

3. 对角矩阵除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵将矩阵A的行变成列，列变成行得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与应用1. 可逆矩阵如果一个方阵A存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵。

可逆矩阵的逆矩阵记作A^-1。

2. 矩阵的秩一个矩阵的秩是指矩阵中非零行的最小数目。

秩反映了矩阵所包含的独立行或列的数量。

3. 矩阵的应用矩阵在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如线性方程组的解法、图像处理、数据压缩、网络分析等。

五、总结矩阵是线性代数中重要的数学工具，由行和列组成。

矩阵的基本运算包括加法、数乘和乘法，可以通过循环计算得到。

矩阵的特殊类型包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和转置矩阵。

可逆矩阵和秩是矩阵的重要性质。

高二数学矩阵的概念1

于此，就该好好珍惜，好好在一起，因为这辈子或许是冤家，才有缘相见。况且不一定有下辈子，就算是有下一辈子，也未必能相见的，想想，能做冤家也是很难得的哟。买电竞在哪个app买
水藏灵秀若柔情，玉骨冰清展雅风。洁净幽魂含倩怨，共为一气化三清。
朋友，你到过北方吗？朋友，你体验过北方的千里冰封，万里雪飘吗？朋友，你欣赏过北像鹅羽，似梨花，从极高的天空飘飘荡荡，翩翩而至，既悠闲自得，又从容不迫，有几分曼妙还透着洒脱。她不像夏天的暴雨粗狂刚猛，声势浩大；也不像晨雾那样优柔不定，朦胧神秘。她似乎像纯情的闺秀，文静而略带娇羞地飘落着，飘落着……如无声的催眠曲，很快就会把你带进甜蜜的梦乡。
翌日，你会发现，天亮的早了些。推窗望去，世界一切都变了样，千山万峰似玉砌，层林繁枝绽琼花。假如你在郊外，假如你在旷野，假如你站在山寺的门阶上，极目远眺，用心去聆听，江山一色，万般空灵，污泥浊水不见了，枯枝败叶不见了，红尘喧市不见了。世界是这样的纯净，是这样的安逸，似乎灵魂也受到了淘洗，元神毕现，心情洞开，杂念顿消。万里云天万里雪，空灵虚谷空灵人。这就是北方的雪，她摧枯拉朽，她覆裹红尘，她净化世界，她更能陶冶你的心灵。心融玉洁清凉雪，微妙玄通消云愁。凝思闭目，感受自然。似乎彩云追月，瑞气腾空，凤鸣鹤吟，祥暖融融，道家释义： “大音希声，大像无形。”佛家讲究：“清心寡欲，六根清净。”儒家说：“天命之谓性，率性之谓道，修道之谓教。”这种空灵之幻，岂不应在，大音、大像与清静、悟寡的返璞归真之中？其神清气爽，其心静如水，其虚怀若谷。“菩提本无树，明镜亦非台，原本无一物，何处染尘埃。”

高二数学上 9.1《矩阵的概念》教案(沪教版)

称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。
2．特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当时，称为阶方阵
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
叫做列矩阵
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4．常用特殊矩阵：
（1）对角矩阵：
（2）数量矩阵：
讲授法
板演
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
（3）单位矩阵：
（4）三角矩阵：
称作上三角矩阵（
称作下三角矩阵。
四、小结：本节主要介绍敌阵概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵，要求掌握这些内容。
课后记事
注意矩阵与行列式从形式上的区别。
课题
2.1矩阵的概念
时间
教学目的
学习矩阵相关的概念
重点难点
1．矩阵概念； 2特殊矩阵
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
30ˊ
一、导言
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。
二、新授
1．矩阵定义：由个数排成的行列的表

矩阵概念及运算

第一讲矩阵概念及运算一、矩阵概念矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等.例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为水电气⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡16210101519010141659由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵.定义2.1 有m ⨯n 个数排列成一个m 行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵，简称m ⨯n 矩阵.矩阵通常用大写字母A , B , C …表示. 记作[]n m ij a A ⨯=其中a ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 注：矩阵的行数m 与列数n 可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即A = []n a a a 11211 称为行矩阵.当n = 1时，即A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a称为列矩阵.当m = n 时，即A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶矩阵，或n 阶方阵. (再介绍几个特殊矩阵)所有元素全为零的m ⨯n 矩阵，称为零矩阵，记作O m n ⨯或O .例如4月5月 6月43⨯O =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000000000主对角线上的元素是1，其余元素全部是零的n 阶矩阵，称为n 阶单位矩阵，记作I n 或I . 如E 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， E 3 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001（零矩阵和单位矩阵在下面的矩阵运算中，将起着类似于数0和数1在数的加法和乘法中的作用.）二、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义2.2 如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=满足：(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B （由定义2.2可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义2.3 设[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵C = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C = A + B = []ij ij b a +（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.例2 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 求A + B ，A - B .解A +B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-+11)3(5024430)2(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-022031A -B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------11)3(5024430)2(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----282835矩阵加法满足的运算规则是什么？设A , B , C , O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .3．数乘定义2.4 设矩阵[]n m ij a A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]n m ij c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）例3 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713那么，用2去乘矩阵A ，可以得到2⨯A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯0262225202)4(272)1(232=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012410081426数乘矩阵满足的运算规则是什么？对数k , l 和矩阵A = []n m ij a ⨯，B =[]n m ij b ⨯满足以下运算规则：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足： 1A = A .例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B . 解先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 与2B 的差. 3A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯63130353)2(333= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569 2B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯72)1(22282)3(242= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668 ∴ 3A - 2B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4541014．乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价利润A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡91811251020 B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.158.05.3 用矩阵C = []23⨯ijc 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C 中的元素分别为c c c 112131203510512025351151425183595108=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=⎧⎨⎪⎩⎪.... ，c c c 1222322008101228250811123321808912252=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=⎧⎨⎪⎩⎪........ 即C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323122211211c c c c c c = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2.198.018595.3182.1118.0255115.3252.1108.0205105.320 甲乙丙 I II总收入总利润=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.251082.335.14228120其中，矩阵C 中的第i 行第j 列的元素是矩阵A 第i 行元素与矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.定义2.5 设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作 C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =a b ik kj k s-∑1 (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ).（由定义2.5可知：）(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；(3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例5 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB . 解 AB = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯105)8(3)7(59310)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---26832362625在例5中，能否计算BA ？由于矩阵B 有2列，矩阵A 有3行，B 的列数≠A 的行数，所以BA 是无意义的.例6 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122，求AB 和BA . 解 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯12)2(1)1(22114)2(2)1(422 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000BA = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯214111212)2(421)2(22 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2142由例5、例6可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ；右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数.5．转置定义2.6 把将一个m ⨯n 矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 的行和列按顺序互换得到的n ⨯m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A '，即A ' = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n nm m a a a a a a a a a 212221212111 由定义2.6可知，转置矩阵A '的第i 行第j 列的元素等于矩阵A 的第j 行第i 列的元素，简记为A '的（i ，j ）元 = A 的（j ，i ）元矩阵的转置满足下列运算规则： 1. )(''A = A ；2. )('+B A =A ' +B '；3. )('kA = k A ' , ( k 为实数)；4. )('AB =B 'A '.运算规则1—3都容易验证.若要了解运算规则4的证明4. )('AB =B 'A '. 证设矩阵A =[]ij a 是m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是s ⨯n 矩阵，那么AB 是m ⨯n 矩阵， )('AB 是n ⨯m 矩阵；同样B '是n ⨯s 矩阵，A '是s ⨯m 矩阵，那么B 'A '是n ⨯m 矩阵.)('AB 的(,)i j 元 = AB 的(,)j i 元 =a b jk ki k s=∑1B T A T的(,)i j 元 =[(,)][(,)]Bi k A k j TT k s的元的元=∑1=[(,)][(,)]B k i A j k k s 的元的元=∑1=b a ki jk k s=∑1=a b jk ki k s=∑1∴ (AB )T 的(,)i j 元 = B T A T的(,)i j 元，（i =1, 2, …, n ；j =1, 2, …, m ）. 故矩阵转置满足 ( AB )T =B T A T .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232014，B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312，验证矩阵)('AB =B 'A '. 解 AB = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232014⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡508605，)('AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065 且A '= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221304，B '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4122 B 'A '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4122⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221304=⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065 ∴ )('AB =560085⎛⎝ ⎫⎭⎪= B 'A '例8 证明：)('ABC = A B C ''' 证 )('A B C =])[('C AB =)(''AB C =A B C '''（由例8可知，）矩阵转置的运算规则4可以推广到多个矩阵相乘的情况，即)(21'k A A A = 12A A A k'''。

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