(精选)多自由度体系的动力响应分析

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多自由度控制水下拖曳体水动力响应分析

ＪｉｎＸｉａｏ — ｄｏｎｇ，ＷｕＪｉａ — ｍｉｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＴｒａｆｉｆｃａｎｄＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖ．ｏｆＴｅｃｈ．，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅａｃｃＯｒｄｉｎｇａｎｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ３Ｄｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ａｎｄｕｓｉｎｇＦ０ＲＴＲＡＮｌａｎｇｕａｇｅｔｏｐｒｏｇｒａｍ．ａｎｄｔｈｒｏｕｇｈｄｏｃｋｉｎｇＦＬＵＮＴｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｃｏｍｅｔｒｕｅｓｉｘ — ｄｅｇｒｅｅｓ — ｆｒｅｅｄｏｍｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ１ｍｏｄｅ１．ＡｂｌｏｗａｎｄＳｃｈｅｃｈｔｅｒｍｏｄｅｌｉＳｕｓｅｄｔｏｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃａｂｌｅ，ａｎｄｄｒａｇｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓｔａｔｅｂｏｄｙｉＳｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙＧｅｒｔｌｅｒａｎｄＨａｒｇｅｎｓｉｘｄｅｇｒｅｅｏｆｒｅｆｅｄｏｍｍｏｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｓｔｕｄｙ．ｔｈｅｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙＦＬＵＥＮＴＳＯｆｌｗａｒｅｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇＮ— Ｓｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔ：ｄｅｐｒｅｓｓｉｎｇａｉｒｆｏｉｌ．ｖｅｒｔｉｃａｌａｉｒｆｏｉｌｃｏｎｔｒｏｌｃａｎｌｅｆｘｉｂｌｙｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ．ｗｈｉｃｈｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｃａｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｓｔａｔｅｏｆｍｏｔｉｏｎｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｗｈｏｌｅｔｏｗｅｄｓｙｓｔｅｍｄｕｒｉｎｇｔｈｅｔｏｗｉｎｇ．Ｎｕｍｅｒｉｃａ１ａｎａｌｙｓｉＳｍｅｔｈｏｄｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｃａｎｂｅｕｓｅｄｆｏｒｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｕｎｄｅｗａｒｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｏｒｆｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙｄｅｓｉｇｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｄｅｗａｒｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ；ｄｅｐｒｅｓｓｉｎｇａｉｒｆｏｉｌ；ｖｅｒｔｉｃａｌａｉｒｆｏｉｌ；ｍｏｔｉｏｎｒｅｓｐｏｎｓｅ

08-动力响应分析

其中 ω1 = 0.3559
k , m
ω2 = 1.1281
k , m
ω3 = 1.7609
k m
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均为，轴重 kθ ɺ 不计。若已知运动的初始条件θ 0 = (0 0 0) T ，θ 0 = (ω 0 0) T 求系统对初始条件的响应。解：系统的位置可由三圆盘的转角 θ 1 ，θ 2 ，θ 3 确定，运动微分方程是
由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率ω2作谐振动。
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多自由度系统
无阻尼系统对激励的响应设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用
f = F sin pt 它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
0 − θ N (0) = AN1θ 0 = 2 I β − 1 0
0 − θɺN (0) = AN1θɺ0 = 0 0
对于半正定系统，有固有频率 ωi = 0 系统具有刚体运动振型
ɺɺN i = 0 x
ɺ x N i = x N i (0) + x N i (0)t
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newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应知识讲解

用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t t t t t t t u u t u u tu}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

newmark法计算多自由度结构响应

newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。

为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。

本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。

一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。

newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。

newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。

通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。

因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。

二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。

建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。

一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。

多自由度体系地震反应分析

多自由度体系地震反应分析
mn
i+1
mi
i
m2
m1
一.多自由度弹性体系动力分析回顾 1.无阻尼多自由度自由振动分析运动方程
设方程的特解为
利用
不恒为0,有特征方程
3-41
m2 y2 (t) m1 y1(t)
3-42 将3-42，代入3-41
3-43
特征方程存在非0解的充要条件是系数行列式等于0 3-44
取
，则
，所以第二振型向量
（3）验证正交性
学习是一件快乐的事情，且听下回分解！
振型对刚度的正交性:
由3-43得
j振型
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0，体系以一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
振型对性的物理意义
i振型上的弹性力在j振型上作的虚功
等于0，体系以一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
例.求图示体系的频率、振型. 已知:
解:
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
1.618 1
0.618 1
按振型振动时的运动规律按i振型振动时，质点的位移为
质点的加速度为
m2 y2 (t) m1 y1(t)
质点上的惯性力为质点上的惯性力与位移同频同步。
X 21
m2
X
2i
2 i
m1
X
1i
2 i
---3-44为有关ω的多项式称为频率方程
频率方程的每一个根ω，特征方程3-43有一个非0解{X} 称为振型向量，特征向量，模态向量。
3-43 特征方程
---振型方程为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法可以采用下述三种方法之一： ①特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1，其它元素按比例确定； ②最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中的最大值；

newmark法程序法计算多自由度体系地动力响应

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

1999 多自由度系统动力学响应灵敏度分析与振动控制

加 ,则响应也能表示成脉冲响应的累加 ,于是有
∫t
Xs = H ( t - t1) S ( t1) d t1
(6)
t0
H ( t - t1) = [ hjk ( t - t1) ] N ×N
(7)
式中 N 为系统自由度数 ,脉冲响应矩阵 H 的元素 hjk ( t - t1) 表示系统对于 t1 时刻第 k 个
第 20 卷第 2 期
固体力学学报
Vol . 20 No . 2
1999年 6月 AC TA M ECHAN ICA SOL IDA SIN ICA
J une 1999
多自由度系统动力响应灵敏度分析与振动控制
应祖光吴淇泰
(浙江大学力学系 ,杭州 ,310027)
δJ
(
b
,
t
,
X
,
·
X
,
¨
X)
=
Jb(
b
,
t
,
X
,
·
X
,
¨
X)
δb
(14a)
Jb =
J/
b + ( J/
X) T Y + ( J/
·
X)
T
·
Y+
(
J/
¨
X)
T
¨
Y
(14b)
设性能指标 J1 在 τ1 m时达到极值 J1 m ,则性能指标极值的变分来自设计变量的改变直接引
起的和经由达到极值时间偏移引起的以及它们造成响应变化所致的三部分 ,即
见 ,因设计变量变分导致性能指标达到极值时间的变分不影响相应性能指标极值的变分 ,即
τm 的灵敏度不影响 J m 的灵敏度. 于是 ,可得性能指标极值关于设计变量的灵敏度

newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应知识讲解

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

第三章多自由度机构的动力学分析

1
M3
M6
Q1 M 1 , Q2 M 3 , Q3 M 6
广义力用虚功原理求解
动能均为角速度 (广义速度)的函数，
H1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H2
注：轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。
M 1 (驱)
M3
M6
1 J12 q 2 J13q 3 Q1 J11q 1 J 22 q 2 J 23q 3 Q2 J 21q J q 2 J 33 q 3 Q3 31 1 J 32 q
N
J q
j 1 N
kj j
Jkj 1 J jj 2 1 Jkk 2 j k ( )q q 2 qk 2 qk j 1 q j
Jkk jq k q j 1 q j
j k
N 1 N
j k N
M 1 LM 1 M k Lk
( q
JkM
L

JkL JML M q L )q qM qk
J ij 的下标的含义：与i、j广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。
如
J 23 (mi (ui 2 x ui 3 x ui 2 y ui 3 y ) J is ii 2 ii 3 )
空间任一运动的刚体
三、系统势能
势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用“U”表示。常见势能有
四、广义力
哪些？
广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力
例1：如图，已知各转动惯量、力矩 H z1 z 2 z 4 z5 20 z3 z6 60

结构动力学中的模态分析和多自由度系统

结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。

而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。

在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。

一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。

模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。

具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。

二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。

首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。

此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。

在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。

三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。

对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。

总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。

通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。

第七章多自由度体系的动力响应分析

第七章多自由度体系的动力响应分析在第七章中，我们将学习多自由度体系的动力响应分析。

多自由度体系是指由多个部件或质点相互作用而构成的体系，在动力学中具有广泛应用。

其动力学行为比单自由度体系更为复杂，需要采用不同的方法进行分析。

多自由度体系的动力响应分析可分为两个主要步骤：建立动力学模型和求解动力学方程。

首先，我们需要根据实际问题建立多自由度体系的动力学模型。

常见的模型包括单自由度体系的推广、多质点系统和连续体模型等。

根据问题的特点选择合适的模型是十分重要的。

其次，我们需要求解多自由度体系的动力学方程。

一般来说，动力学方程可以通过运动方程和力学关系两个方面来建立。

运动方程描述了系统的几何特征，力学关系则描述了系统受到的力和约束。

通常，我们采用拉格朗日方程或哈密顿方程来建立动力学方程，并通过使用牛顿—克尔系统简化计算过程。

在求解动力学方程之后，我们可以通过模拟和分析来获得多自由度体系的动力响应。

常见的动力响应包括自由振动、强迫振动和阻尼振动等。

自由振动是指系统在无外力作用下的自我周期性振动。

强迫振动是指系统受到外界力作用而产生的振动。

阻尼振动是指系统在存在耗散力的情况下的振动。

在分析多自由度体系的动力响应时，我们还需要考虑共振现象和模态分析。

共振是指外界激励频率与系统固有频率相等时产生的特殊现象。

通过研究系统的固有频率和激励频率之间的关系，我们可以预测系统是否会发生共振，并作出相应的调整。

模态分析则是通过分解系统的振动模态，研究每个模态的特性和相互之间的耦合关系。

通过模态分析，我们可以更好地理解多自由度体系的动力响应。

在实际应用中，多自由度体系的动力响应分析经常涉及到复杂的计算和仿真。

因此，我们可以借助于计算机辅助工具，例如有限元分析和动力学仿真软件，来进行更精确和高效的分析。

总之，多自由度体系的动力响应分析是动力学中的一个重要课题。

它不仅具有理论研究的价值，还具有广泛的工程应用。

通过深入理解和掌握多自由度体系的动力响应分析方法，我们可以更好地分析和设计复杂的工程系统，推动科学技术的进步。

多自由度机械系统的动力学分析

§2 多自由度机械系统的动力学分析i i i i F q Uq E q E te d d =∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ),,2,1(N i =一、拉格朗日方程机械系统的动力学方程－外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式：动能势能自由度广义坐标广义力广义速度☐以能量观点来研究机械系统的真实运动规律；☐解决具有理想约束的机械系统动力学问题的普遍方程；☐求解步骤规范、统一（确定广义坐标，列出动能、势能和广义力的表达式，代入上式即可）；☐方程中不含未知的约束反力，克服了牛顿第二运动定律的缺点。

i i i i F q U q E q E te d d =∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ),,2,1(N i =二、二自由度机械系统的动力学分析11ϕ=q 42ϕ=q⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2e 221e 11d d d d F q E qE tF q E q E t 若不计运动构件的重量与弹性，则势能 U 不必计算。

1. 系统动能的确定∑=+=nj j S S j j j J v m E 122)(21ω⎪⎭⎪⎬⎫===),(),(),(212121q q y y q q x x q q j jj j S S S S j j ϕϕ),,2,1(n j =⎪⎭⎪⎬⎫+=∂∂+∂∂=222211j j jS S S jjj y xv qq q q ϕϕω多自由度机械系统的动力学分析系统动能的求解步骤：☐位移分析☐速度分析☐系统动能2222211221112121q J q q J q J E ++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑∑∑===n j j j S S S S S j n j j S S S j nj j S S Sj q q J q y q y q x q x m J q J q y q x m J q J qy q x m J j j j j jj j jj jj121212112122222222121212111ϕϕϕϕ多自由度机械系统的动力学分析☐等效转动惯量2. 广义力的确定∑∑==∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=m k i kk lj i j jy i j jx iq M q y F q x F F 11e ϕ)2,1(=i 22e 11e δδδq F q F W +=22e 11e q F qF P +=多自由度机械系统的动力学分析3. 动力学方程2111111112211212212222121212111212221122222212221212121212e e J J J q J q q q q q q J J q F q q J J J q J q q q q J J q q q F q q ∂∂⎫+++⎪∂∂⎪⎪⎛⎫∂∂+-=⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎬⎛⎫∂∂⎪++- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂++=⎪∂∂⎭求解二阶非线性方程组，获得广义坐标q 1 与 q 2 ，进而获得二自由度机械系统的真实运动规律。

用matlab编程实现法计算多自由度体系的动力响应

用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应姓名:学号: 班级: 专业:用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法就是一种逐步积分的方法,避免了任何叠加的应用,能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-β法假定:t u u u u t t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+=&&&&&&(1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++=&&&&& (1-2)式中,β与γ就是按积分的精度与稳定性要求进行调整的参数。

当β=0、5,γ=0、25时,为常平均加速度法,即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变,取为常数)}{}({21t t t u u ∆++&&&&。

研究表明,当β≥0、5, γ≥0、25(0、5+β)2时,Newmark-β法就是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)与式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{,t u}{&,t u }{&&表示的t t u ∆+}{&,t t u ∆+}{&&表达式,即有t t t t t t t u u t u u tu }){121(}{1)}{}({1}{2&&&&&----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3)t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}){1()}{}({}{&&&&∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4)考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为:t t t t t t t t R u K u C u M ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[&&& (1-5)将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145),得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M t K K ∆γβ∆γ++=)}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t u u t C u u t u tM R R &&&&&&∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{,然后由式(2-143)与式(2-144)可解出t t u∆+}{&与t t u ∆+}{&&。

多自由度系统的振动、响应和求解

简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结

多自由度体系的动力响应分析

多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。

多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。

多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。

根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。

为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。

试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。

模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。

通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。

自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。

通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。

自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。

强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。

外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。

通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。

强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。

阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。

阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。

线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。

根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。

求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。

多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。

多自由度机械系统的运动分析与控制

多自由度机械系统的运动分析与控制在现代工程领域中，多自由度机械系统的应用日益广泛，从复杂的工业机器人到精密的航空航天设备，从汽车的悬挂系统到医疗设备的运动机构，都离不开对多自由度机械系统的深入研究。

对这类系统的运动分析与控制是实现其高效、精确和可靠运行的关键。

多自由度机械系统，简单来说，就是由多个能够相对运动的部件组成，每个部件的运动都会相互影响，从而形成一个复杂的整体运动。

要理解和掌握这样的系统，首先需要对其运动学和动力学特性进行分析。

运动学分析主要关注系统中各个部件的位置、速度和加速度之间的关系，而不考虑引起这些运动的力。

在多自由度机械系统中，这往往涉及到复杂的数学模型和计算。

以一个简单的机械臂为例，它可能由多个关节和连杆组成。

要确定机械臂末端执行器在空间中的位置和姿态，就需要通过一系列的坐标变换和矩阵运算来求解。

这不仅需要扎实的数学基础，还需要对机械系统的结构有清晰的认识。

动力学分析则更进一步，它考虑了作用在系统上的力和力矩以及由此产生的运动。

这对于设计控制系统、预测系统的性能以及优化系统的结构都至关重要。

例如，在设计一个用于搬运重物的机械手臂时，必须了解手臂在承受不同重量和运动状态下所受到的各种力和力矩，以确保其结构强度和稳定性，同时也为控制算法的设计提供基础。

在对多自由度机械系统进行运动分析之后，接下来就是控制的问题。

控制的目标是使系统按照预定的轨迹和性能要求运动。

常见的控制方法包括经典控制、现代控制和智能控制等。

经典控制方法，如 PID 控制，以其简单易懂和实用性在工业中得到了广泛的应用。

PID 控制器通过对误差（实际输出与期望输出之间的差异）的比例、积分和微分运算来调整控制输入，从而使系统的输出接近期望的值。

然而，对于多自由度机械系统这样的复杂对象，经典控制方法往往难以达到理想的控制效果，特别是当系统存在非线性、时变和不确定性等因素时。

现代控制理论，如状态空间法和最优控制，为多自由度机械系统的控制提供了更强大的工具。

多自由度结构受冲击时的动力响应

文章编号：１０，８３２０）２０９－５０３２４（０７０－３２０
多自由度结构受冲击时的动力响应
郑家树，左东
（西南交通大学峨眉分校基础部，四川峨眉６４０）１２２
摘要：根据有限单元法的基本原理，将工程结构离散化，成为多自由度结构，采用子空间迭代法分析其自振特性，用Ｗｉｏ．ｌｎ０法可以计算其动力响应．文中以龙潭河大桥为例，计算了该桥拱项受横向冲击时的动力响应，ｓ并与该桥受横向地震作用时的计算结果进行了比较，两者的变化规律不一致．
［＝ａＭ］Ｃ】ｉ＋］．
２ｇ，ｇｏ）（，－／ｊｏｃ
—
（）２
系数与由选定的两个振型阻尼比和相应的自振频率表示：
＝一
： —
２，ｊ￣ｏ．，ｊｏｏｃｃ（／，￣）ｏｃ
—
ＯＣ一 ∞ ２
，１，＝一
，： — —
ｏｃ一 ∞ ２
其相应的广义特征值方程为：
收稿日期：２０．９１０６０＇９
作者简介：郑家树（９０）１７－，男，西南交通大学峨眉分校基础部副教授，博士研究生
维普资讯
第２期
郑家树等：多自由度结构受冲击时的动力响应
３３９
ｄｔＫ卜ｅ［（
列向量、加速度列向量，ｆｌ为激振力列向量，均为时问，的函数．１－ｌｇ微分方程组．式（）－￣是－＇
由于影响结构阻尼的因素甚为复杂，目前通常采用Ｒｙｉ阻尼假定，ａｌｇｅｈ即将阻尼矩阵［】ｃ写成质量矩阵【】和刚度矩阵『的线性组合：］

3.1多自由度系统的动力学方程

2
M M
1 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
21.4.24
《机械动力学》
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
F1(t)
F2(t)
k1
k2
k3
k 1
k 2
k 3
m1
m2
M1(t) I1 M 2 (t) I 2
例1：
m1 0 0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
kn1...knj ...knn
F1(t)
F(t )
F2
(t )
Fn
(t
)
nn
nn
n 1
质量矩阵第 j 列
刚度矩阵第 j 列
21.4.24
《机械动力学》
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
作用力方程： MX KX F(t)
M、K 该如何确定？
先讨论 K
《机械动力学》
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
受力分析：
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 33
M1(t)
21.4.24
I11
M 2 (t)
《机械动力学》
I 22
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
F1(t)
x1 F2(t)
x2
k1
k2
k3

多自由度系统动力响应灵敏度分析与振动控制

多自由度系统动力响应灵敏度分析与振动控制
应祖光;吴淇泰
【期刊名称】《固体力学学报》
【年(卷),期】1999(20)2
【摘要】采用脉冲响应矩阵将多自由度动力系统响应及其设计变量的灵敏度表示成积分形式，它适用于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵非对称及非比例阻尼情况．利用响应灵敏度表达系统振动控制性能指标极值关于设计变量的灵敏度，指出该基于一阶导数的极值灵敏度不受达到极值时间灵敏度的影响．分析周期激励与冲击作用下的振动控制灵敏度和优化动力修改问题．
【总页数】5页(P177-181)
【关键词】响应灵敏度;振动控制;脉冲响应矩阵;多自由度
【作者】应祖光;吴淇泰
【作者单位】浙江大学力学系
【正文语种】中文
【中图分类】O325;O328
【相关文献】
1.汽车动力总成弯曲振动应力响应及其激励灵敏度分析 [J], 高云凯;吕振华
2.车辆动力传动系统扭转强迫振动响应灵敏度研究 [J], 刘辉;蔡仲昌;曹华夏;项昌乐
3.单自由度磁浮式振动控制系统的非线性动力特性 [J], 黄东鑫;费树岷
4.TBM刀盘系统多自由度耦合振动响应灵敏度研究 [J], 凌静秀;孙伟;霍军周;邓立营
5.单自由度非线性随机参数振动系统的可靠性灵敏度分析 [J], 张义民;刘巧伶;闻邦椿
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4
m 0 1 m 0 2 u u 1 2 + k 1 k 2 k 2 k k 2 2 u u 1 2 = p 0 0 sint
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑此体系的稳态运动，即可设
u1(t) u2(t)
=uu1200
sint.
将其代入控制方程，得到
p0sin(t)
11 21 2 2
,
u 1 st 0
12
2 1
12
2 2
u20
1
.
u2st 0
12
2 1
12
2 2
可见，
➢ 体系的运动幅值与/1或/2有关
➢ 当=1或=2时，体系发生共振，其稳态响应的幅值
为无穷大
➢ 当=21/21时，体系的第一个质量的幅值为零，即u10=0
这就是吸振器（调谐质量阻尼器）的工作原理
第七章
多自由度体系的动力响应分析
Dynamic Analysis for Systems of Multiple Degree of Freedom
1
第七章多自由度体系的动力响应分析
主要内容
§1 两自由度无阻尼体系的动力响应 §2 多自由度体系动力响应的振型分析法 §3 振型响应贡献 §4 特殊分析方法
k1
m1
k2
m2
m1
k1
体系中集中质量的受力为
m1
m1ü1
p0sin(t)
-k1u1 k2(u2-u1)
m2
m2ü2
于是，体系的运动控制方程为
-k2(u2-u1)
m 0 1 m 0 2 u u 1 2 + k 1 k 2 k 2 k k 2 2 u u 1 2 = p 0 0 sint.
d e t k 2 m m 1 m 22 1 2 2 2 2 .
同时
m2
u2
ห้องสมุดไป่ตู้
k2
u1
m1
k1
于是 adj k2m k2 k m 22 2 k1k2 k 2m 1 2 ,
u u 1 2 0 0 m 1 m 2 2 1 1 2 2 2 2 k 2 k m 2 22 k 1 k 2 k 2m 12 p 0 0 .
设无阻尼体系的N固有频率为i，相应的振型为fi，令 u(t)q qi(t)fi.
i1
代入运动方程可得
N
N
N
m fiq i(t) cfiq i(t) k fiq i(t)p (t).
i 1
i 1
i 1
两边乘以振型fjT，可得
ff ff ff f N
N
N
jT m iq i(t) jT ciq i(t) jT kiq i(t)jT p (t).
m1.
m2
u1
u2
p0sin(t)
k1
m1
k2
m2
10
第七章多自由度体系的动力响应分析
则根据前面的结果，有
u10
p0 k1
1
2
1
12 2
2
1
212
2
2
1
,
2
u20
p0 k1
1
2
1
2
1
1
212
2
2
1
.
2
可见，当
2
时，主质量m1的振幅为零。
为减少在主质量固有频率1*附近的振动幅值，
9
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑如图所示的单自由度无
阻尼体系，当激振频率接近体系的固有频率0时，质量m1（主
系统）的运动幅值将变得很大
u1 p0sin(t)
k1
m1
为减少主质量的运动幅值，在主质量m1上附加一个弹簧和质量（称为吸振器），构成两自由度体系
记
1
k1, m1
2
k2 , m2
m2
u2
k2
u1
m1
k1
k 1 k 2k 2 m 12 k 2 m k 2 22 u u 1 2 0 0 sint p 0 0 sint.
即
于是
k2muu1200
p0 0
.
u u 1 2 0 0 k 2 m 1 p 0 0 d e t k 1 2 m a d j k 2 m p 0 0 .
i 1
i 1
i 1
利用振型的正交性，并记 Pj fjTp(t),Cji fjTcfi，则有 N
可令
2
1
即吸振器的固有频率被调谐到主系统的固有频率
11
§2 多自由度体系动力响应的振型分析法
Modal Analysis for Dynamic Responses of Undamped Systems
12
第七章多自由度体系的动力响应分析
对于具有粘滞阻尼的多自由度体系，其方程为
m u c u k u p (t).
并且
u 102k1p02 1 1 21 21 1 2 2 2
,
2 2
u202k12
p0
2 1
12
.
2 2
7
u u1 20 0detk1 2m adjk2m p 00
第七章多自由度体系的动力响应分析
记体系的最大静力位移为
u1st02pk0, u2st02pk0.
则
u 10
其中，det[·]和adj[·]分别表示 [·]的行列式和伴随矩阵
5
u u1 20 0detk1 2m adjk2m p 00
第七章多自由度体系的动力响应分析
由于
detk2mk1k 2k2m12
k2
k2m22
p0sin(t)
=m1m24m2(k1k2)m1k22+k1k2.
设其根分别为1和2（固有频率），则
6
第七章多自由度体系的动力响应分析
即
u 1 0 m 1 m 2k 2 2 m 2 1 22p 2 0 2 2,
u 2 0 m 1 m 2 2 k 2 p 1 2 0
. 2 2 2
取 m 1 2 m ,m 2 m ,k 1 2 k ,k 2 k . 则
1
k, 2m
2
2k. m
2
§1 两自由度无阻尼体系的动力响应
Dynamic Analysis of Systems of Two Degree of Freedom without Damping
3
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑如图所示的两自由度无阻尼体系
u1 p0sin(t)
u2 p0sin(t)
m2
u2
k2 u1
8
第七章多自由度体系的动力响应分析
体系幅值与激励频率的响应
4
2
0
1
0
0.5
1
1.5
u 10/(u 1st)0
-2
2
/ 1
2
2.5
3
-4
幅值u 10/(u 1st)0与频率 / 1的关系 4
u 20/(u 2st)0
2
0
1
2
/ 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2
-4 幅值u 20/(u 2st)0与频率 / 1的关系