第三章 光学成像系统的传递函数

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

由Ui(xi,yi) 可以得到像的强度分布为:

也可进而求得衍射受限成像系统的点扩散函 数与光瞳函数的关系：
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

点扩展函数：
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
由于是空不变的，我们可以用 的脉冲响应表示成像 系统的特性，即：
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
物U0(x0,y0)与 的图形是一 样的， 只是由于 所以该图在 坐标系中的读数比在 (x0,y0) 坐标中放大了M倍．

所以 在 坐标中 与Ug(xi,yi)是一样的． 因此把 叫做U0(x0,y0) 的理想像．

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

其中：
3.1.1

透镜的点扩散函数
透镜的点扩散函数表达式说明：在近轴 成像条件下，透镜成像系统是空不变的．而 且，透镜的脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅 禾费衍射图样，其中心位于理想像点( ) 处． 透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔 径线度相对于波长l和像距di的比例决定的。
3.1.1

透镜的点扩散函数
由物点发出的球面波，在象方得到的将 是一个被出射光瞳所限制的球面波。这个球 面波是以理想像点为中心的。 由于出射光瞳的限制作用，在像平面上 将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅 禾费衍射花样．

可以写出物面上以(x0，yo)点的单位脉冲 通过衍射受限系统后在与物面共扼的像面上 的复振分布，即点扩散函数为:
令 得
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

物理意义：物U0(x0,y0)通过衍射受限系统 后的像分布Ui(xi,yi)是U0(x0,y0)的理想象 Ug(xi,yi) 和点扩展函数 的卷积。 这就表明，不仅对于薄的单透镜系统， 而且对于更普遍的情形，衍射受限成像 系统仍可看成线性空不变系统。
脉冲响应就是光瞳函数的傅里叶变换。即衍 射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫 琅禾费衍射图样，其中心在几何光学的理想 像点(Mx0, My0)处。
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
特例：几何光学理想成像情况 ~ ~ y 如果光瞳相对于ldi足够大时，在 x ， 坐标中，在无限大区域内P(ldi ； ldi ，A)都 为1，此时，

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

孔径光阐在物空间所成的像称为入射光瞳， （入瞳）；孔径光阑在像空间所成的像称为 出射光瞳（出瞳）． 当轴上物点的位置确定后．孔径光阑、入 瞳、出瞳由系统元件参数及相对位置决定． 对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持 物像共扼关系．由入射光瞳限制的物方光束 必定能全部通过系统，成为被出射光瞳所限 制的像方光束。


将物分布用函数表达为
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

物面上每一个脉冲通过系统后都形成一个 复振幅分布，所有这些分布的相干叠加，便 是物通过系统后所得的像的复振幅分布 Ui(xi,yi) ，即:
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
Ch3 光学成像系统的传递函数

3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数 3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律


3.3 衍射受限系统的相干传递函数
3.4 衍射受限非相干成像系统的传递函数 3.5 有像差系统的传递函数 3.6 相干与非相干成像系统的比较
引言
光学成像系统是信息传递系统．从物面到 像面，输出图像的质量完全取决于光学系统 的传递特性。 几何光学是在空域研究光学系统的成像规 律。关于成像质量的评价，主要有星点法和分 辨率法。

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

再次表明：相干照明衍射受限成像系统 的点扩散函数是空不变的，是光瞳函数的傅 里叶变换。 在相干照明条件下，对于衍射受限成像 系统，表征成像系统特征的是点扩散函数； 而点扩散函数仅决定于系统的光瞳函数。可 见，光瞳函数对于衍射受限系统成像的重要。
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

式中，K是与xo，yo和xi，yi无关的复常数； P(x,y)是出瞳函数(常称光瞳函数)，在光瞳内 其值为1，在光瞳外其值为零； di是光瞳面到像面的距离，已不是通常意义下 的像距。 上式表明：如果略去积分号前的系数，

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个 黑箱对点光源发出的球面波的变换作用，即 当入瞳平面上输入发散球面波时，出瞳平面透 射的波场特性． 对于实际光具组，这一边端性质千差万别， 但总可以分成两类：衍射受限系统和有像差的 系统。

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

透镜的点扩散函数
研究在相干照明下，一个消像差的正 薄透镜对透明物成实像的情况。 如图所示，物体放在透镜前距离为d。的 输入平面(x0，y0 )上， 在透镜后距离为di的共 扼面(xi，yi ) 上观察成像情况。 U0 dU1

dU1'
h
3.1.1

透镜的点扩散函数
假定紧靠物体后的复振幅分布为U0(x0 '，y0 ' )， (x0' ，y0' )点处发出的单位脉冲为： (x0 -x0 '，y0-y0' ) 沿光波传播方向，逐面计算三个特定平面上的 场分布： 紧靠透镜前平面上的场分布dU1， 紧靠透镜后平面上的场分布dU1'， 观察平面上的场分布 h , (即点扩展函数) 这样就可最终导出一个点源的输入输出关系。
分析上式的物理意义 先讨论 坐标中的意义． 由于

在
代表理想成像的脉冲响应，如果将它代入 (3．2．1)式（即Ui(xi,yi)的表达式）中，所得 到的像Ui(xi,yi) 应该是理想成像的像分布，用 Ug(xi,yi)表示:
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律

理想像Ug(xi,yi)的分布形式与物U0(x0,y0) 的分 布形式是一样的，只是在xi和yi方向放大了M 倍.

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
阿贝认为衍射效应是由于有限的入瞳大 小引起的；1896年瑞利提出衍射效应来自有 限大小的出瞳． 由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的几 何像，这两种看法实际是等效的． 衍射效应可以归结为人瞳或出瞳对于成 像光波的限制．我们采用瑞利的说法。

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

引言

传递函数可由光学系统的设计数据 计算得出．虽然计算传递函数的步骤比 较麻烦，检验传递函数的仪器也比较复 杂．但是，大容量高速度电子计算机的 出现以及高精度光电测试技术的发展， 使光学传递函数的计算和测量日趋完善， 并逐渐得到实际应用。
3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
任何平面物场分布都可以看做是无数小面 元的组合，而每个小面元都可看做一个加权的 函数． 对于一个透镜或一个成象系统，如果能清 楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成 像系统后，在像平面上所造成的光振动分布情 况，通过线性叠加，原则上便能求得任何物面 光场分布通过系统后所形成的像面光场分布， 进而求得像面强度分布。这就是相干照明下的 成像过程，关键是求出任意小面元的光振动所 对应的像场分布．

3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函 数
当该面元的光振动为单位脉冲即函数时， 这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响 应． 点扩散函数通常用 h(x0，y0；xi，yi)表示， 它表示物平面上(x0，y0 )点的单位脉冲通过成 像系统后在像平面上(xi，yi )点产生的光场分 布．

3.1.1
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
下面我们为这样的系统建立一个普适模型． 如图所示，任意成像系统都可以分成三部 分：从物平面到入瞳平面为第一部分；从入瞳 平面到出瞳平面为第二部分；从出瞳平面到像 平面为第三部分．

3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
光波在一、三两部分空间的传播可按菲 涅耳衍射处理． 对于第二部分的透镜系统，在等晕条件 下，可把它当做一个“黑箱”来处理，这个 黑箱的两个边端分别是人瞳和出瞳．只要能 够确定这黑箱的两个边端的性质，整个透镜 组的性质便可确定下来，而不必深究其内部 结构． 假定在入瞳和出瞳之间的光的传播可用 几何光学来描述，所谓边端性质是指成像光 波在人瞳和出瞳平面上的物理性质．

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
目标： 1.求出任意复振幅分布输入函数，经过 相干照明衍射受限系统后的像分布； 2.相干照明衍射受限系统的点扩展函数；

分析推导如下。
3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
分析推导 设物的复振幅分布为U0(x0,y0) ，在相干照 明下，物面上各点是完全相干的。 按公式
当像差很小或者系统的孔径和视场都不 大，实际光学系统就可近似看做衍射受限系 统。这时的边端性质就比较简单，物面上任 一点源发出的发散球面波投射到人瞳上，被 光组变换为出瞳上的会聚球面波。 有像差系统的边端条件是，点光源发出 的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的透射 波场明显偏离理想球面波，偏离程度由波像 差决定。

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
如果物面上某两个脉冲是相干的，则这 两个脉冲在像平面上的响应便是相干叠加； 若这两个脉冲是非相干的，则这两个脉冲在 像平面上的响应将是非相干叠加，即强度叠 加． 所以衍射受限系统的成像特性，对于相干 照明和非相干照明是不同的。 本节先讨论相干照明情况．下节讨论非相 干照明情况。

上式表明：当可以忽赂光瞳的衍射时，(xo， yo)点的脉冲通过衍射受限系统后在像面上得 到的仍然是点脉冲，其位置为 ~ ~ x xi＝ 0 =Mx。；yi ＝ y0 ＝ My。) 即几何光学理想成像情况。

3.2 相干照明下衍射受限系统 的成像规律
任务：确定某一给定的物分布，通过衍射 受限系统后，在像平面上的像分布，包括复振 幅分布和光强分布。 一个确定的物分布总可以很方便地分解成 无数 函数的线性组合，而每个 函数可按 (3．1．10)式求出其响应。 然而，在像平面上将这些无数个脉冲响应 合成的结果是和物面照明情况有关的。


引言
星点法指检验点光源经过光学系统所产生 的像斑，由于象差、玻璃材料不均匀以及加工 和装配缺陷等使像斑不规则．很难对它作出定 量计算和测量，检验者的主观判断将带人检验 结果中。 分辨率法虽然能定量评价系统分辨景物细 节的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好 坏给予全面评价。

引言
与空域分析相平行，还可以在频域中分析 光学系统的成像质量． 光学系统是线性系统，而且在一定条件下 还是线性空不变系统。因而可以用线性系统理 论来研究它的性能． 把输入信息分解成各种空间频率分量，然 后考察这些空间频率分量在通过系统的传递过 程中丢失、衰减、相位移动等变化，也就是研 究系统的空间频率传递特性即传递函数．这显 然是一种全面评价光学系统成像质量的方法．
坐标 值均为
特例：理想成像，将孔径视为无限大 当孔径大小比ldi大得多时，在 中，在无限大的区域内 1．于是点扩展函数为：

显然，这时点物成点像。即理想成像。
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
衍射受限系统，是指不考虑系统的几何 像差，仅仅考虑系统的衍射限制． 如果忽略衍射效应的话，点物通过系统后 形成一个理想的点像． 一般的衍射受限系统可由若干共轴球面 透镜组成，这些透镜既可以是正透镜或负透 镜，而且透镜也不一定是薄的。 系统对光束大小的限制是由系统的孔径 光阑决定的，在考察衍射受限系统时，实际 上主要是考察孔径光阑的衍射作用．
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3.1.1 透镜的点扩散函数

计算思路或物理过程： (x0 -x0 ‘，y0-y0’ ) dU1 菲涅耳衍射 dU1

乘以透镜的屏函数和孔径函数 dU1' 菲涅耳衍射 h(x0，y0；xi，yi)

dU1'

其间考虑：物象共轭关系、横向放大率
3.1.1

透镜的点扩散函数
可以导出透镜的点扩散函数表达式为