线性代数克莱姆(Cramer)法则山东财经大学线性代数
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解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
山东财经大学数学与数量经济学院
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
ann xn 0
为齐次线性方程组. 易知，x1 x2 xn 0 一定是它的解，称为零解。
若有一组不全为零的数是它的解，称为非零解。
山东财经大学数学与数量经济学院
定理1.5.2 如果齐次线性方程组的系数行列式D 0， 则它只有零解.
等价说明 如果齐次线性方程组有非零解
其系数行列式D 0. 例1.5.2 a,b, c满足何种条件时，下列方程组
3x1 x2 2x3 3x4 0
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。
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线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
kx2 (2k 1)x3 0
有非零解，求k值.
练习 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
1
2
x1
x1 2x2 4x3
3 x2 x3
0 0
x1 x2 1 x3 0
答案 =0，=2或=3.
山东财经大学数学与数量经济学院
思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用cramer 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
山东财经大学数学与数量经济学院
定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xjБайду номын сангаас
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
把n个方程依次相加，得
a1n xn A1 j b1A1 j a2n xn A2 j b2 A2 j
ann xn Anj bn Anj
n
ak1
Akj
x1
n
akj
Akj
xj
n
akn
Akj
xn
n
bk Akj
k1
k1
k1
k 1
山东财经大学数学与数量经济学院
由代数余子式的性质可知：上式中除了x j的系数等于D, 其余xi(i j)的系数均等于0，而等式右端为Dj ,即
§1.5 克莱姆（Cramer）法则
由线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
（1）
的系数aij (i, j, 1, 2, , n)构成的行列式
a11 a12
a1n
D a21 a22
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
山东财经大学数学与数量经济学院
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
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例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
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Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
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例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
ann xn 0
为齐次线性方程组. 易知，x1 x2 xn 0 一定是它的解，称为零解。
若有一组不全为零的数是它的解，称为非零解。
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定理1.5.2 如果齐次线性方程组的系数行列式D 0， 则它只有零解.
等价说明 如果齐次线性方程组有非零解
其系数行列式D 0. 例1.5.2 a,b, c满足何种条件时，下列方程组
3x1 x2 2x3 3x4 0
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。
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线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
kx2 (2k 1)x3 0
有非零解，求k值.
练习 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
1
2
x1
x1 2x2 4x3
3 x2 x3
0 0
x1 x2 1 x3 0
答案 =0，=2或=3.
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思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用cramer 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
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定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xjБайду номын сангаас
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
把n个方程依次相加，得
a1n xn A1 j b1A1 j a2n xn A2 j b2 A2 j
ann xn Anj bn Anj
n
ak1
Akj
x1
n
akj
Akj
xj
n
akn
Akj
xn
n
bk Akj
k1
k1
k1
k 1
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由代数余子式的性质可知：上式中除了x j的系数等于D, 其余xi(i j)的系数均等于0，而等式右端为Dj ,即
§1.5 克莱姆（Cramer）法则
由线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
（1）
的系数aij (i, j, 1, 2, , n)构成的行列式
a11 a12
a1n
D a21 a22
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
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证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
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例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1