线性代数克莱姆(Cramer)法则山东财经大学线性代数
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
克莱姆规律
克莱姆规律什么是克莱姆规律？克莱姆规律（Cramer’s Rule）是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它由瑞士数学家克莱姆于1750年提出，被广泛应用于工程、物理学以及其他科学领域。
在线性代数中，一个线性方程组可以用矩阵形式表示为：Ax = b其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n维列向量表示未知数，b是一个n维列向量表示常数项。
克莱姆规律通过使用行列式的概念来求解这个线性方程组。
克莱姆规律的原理假设我们要解一个3×3的线性方程组：a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3首先，我们计算系数矩阵A的行列式D：D = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|接下来，我们计算替换掉第i列（系数矩阵A的第i列）为常数项b的行列式Di：Di = |b1 a12 a13||b2 a22 a23||b3 a32 a33|最后，我们计算未知数xi的值：xi = Di / D这样，我们就可以通过克莱姆规律求解一个3×3的线性方程组。
克莱姆规律的应用克莱姆规律在科学和工程领域有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组，从而解决各种实际问题。
例如，在电路分析中，我们经常需要求解包含多个电阻、电容和电感元件的线性方程组。
通过使用克莱姆规律，我们可以轻松地求解出电路中各个元件的电流和电压。
此外，在经济学中，克莱姆规律也被广泛应用于输入产出模型、消费模型等领域。
通过求解线性方程组，我们可以研究不同变量之间的关系，并做出相应的预测和决策。
克莱姆规律的优缺点克莱姆规律作为一种求解线性方程组的方法，具有以下优点：1.相对简单：克莱姆规律的计算方法相对简单直观，不需要复杂的矩阵运算。
2.可视化：克莱姆规律通过行列式的概念，将线性方程组转化为几何图形，可以更直观地理解问题。
线性代数第1章第5节克莱姆法则
第五节 克莱姆法则
1
二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
当
D
a11 a21
a12 a22 b1 b2
a11a22 a12 a21 0,
D1
则，
a12 a22
D2
D2 x2 D
a11 a21
b1 b2
所以，四平面相交于一点的条件为
的一组非零解．
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D 0
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4 0
17
y f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 例： 已知三次曲线
在四个点 x 1, x 2 处的值为
a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 x4 0 a x b x c x d x 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 a4 x1 b4 x2 c4 x3 d 4 x4 0
1 2 1
3
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
D
1 3 41 21 3
1 3 21 2 3 ( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0, 2 或 3 时齐次方程组有非零解．
15
对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常 被用来解决解析几何的问题． 例: 求空间的四个平面 ai x bi y ci z d i 0 相交于一点的条件．
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
线性代数 1.4克莱姆法则
本章大作业： 本章大作业：见TAS，作业 ，
预习 §2.1 消元法
课后习题： 课后习题 P34
22(2), 23
13
10
解
（1） 构造行列式 ）
1 1 1 L 1 1 2 0 L 0 D1 = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
按第一行展开， 则，对D1按第一行展开，得
D1 = A11 + A12 + L + A1n
n 1 = n! 1 − ∑ . j j=2
11
( i = 1,2,L n)
2
定理1 定理1
克莱姆（ 克莱姆（Cramer）法则 ）
方程的线性方程组(1) 如果含 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x a x L a x 21 1 + 22 2 + + 2 n n = b2 (1) LLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn 那么它有唯一解 其解为: 有唯一解, 系数行列式 D ≠ 0 ,那么它有唯一解,其解为:
1) F是一些数的集合； 是一些数的集合； 是一些数的集合 2) 0∈ F ，1 ∈ F ； ∈ 3) F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 中任意两个数的和、 中任意两个数的和
0）仍然是F中的数。(即：关于四则运算封闭 ）仍然是 中的数 即 关于四则运算封闭) 中的数。 实数域R，复数域C, 例 实数域 ，复数域 有理数域 【注】 “代数”研究的主要是代数运算与性质，以数域 代数” 代数 研究的主要是代数运算与性质， 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. “线性代数”在不同的数域上讨论问题会有不同 线性代数” 线性代数 的结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩 的结论,我们主要在实数域上讨论问题， 大到复数域. 大到复数域. 9
线性代数—克莱姆法则
线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法，用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。
该法则主要有四步：（1）假设一组未知量；（2）求解该组方程；（3）核查解的有效性；（4）如果解有效，则接受该解；否则更改第1步中的未知量，然后重新开始这一过程。
克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解，即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。
由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点，因而迅速受到业界的欢迎，成为现代线性代数常用的求解方法之一。
克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中，它假设这一方程组具有唯一的解，并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。
它也可以用来求解隐式的多元线性方程组，其优点是能够有效规避数值问题。
实际应用中，克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合，如子程序法、减法法等，为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。
同时，该法则也被拓展应用到其它领域（如运筹学），并在控制工程和机器人学等领域大量使用。
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
山东财经大学线性代数行列式(《线性代数》)
1.1.3 n 阶行列式
为了把二阶、三阶行列式的概念推广到 n 阶行列式，我们首先分析二阶、三阶行列式的 特点：
由(1-3)式和(1-5)式可以看出： (1) 二阶行列式有 2!项，每一项是两个元素的乘积，且这两个元素既位于不同行又位于 不同列，一般项可写成 a1 j1a2 j2 ，其中 j1 j2 是两个数码 1 与 2 的排列．当行标按标准顺序 12 排 列时，列标取尽了 1,2 数码的所有排列；同样，三阶行列式共有 3!项，每一项是三个元素的 乘积，且这三个元素既位于不同行又位于不同列，一般项可写成 a a a 1 j1 2 j2 3 j3 ，其中 j1 j2 j3 是三 个数码 1,2,3 的排列．当行标按标准顺序 123 排列时，列标取尽了 1,2,3 数码的所有排列． (2) 每一项前面所带符号(正号或负号)与该项列标所成排列的奇偶性有关．(1-5)式中第 一、二、三项的列标所成排列分别是 123，231，312，它们都是偶排列，这三项前面都带正 号；第四、五、六项的列标所成排列分别是 321，213，132，它们都是奇排列，这三项前面 都带负号．二阶行列式显然也符合这个原则． 上面对二阶和三阶行列式的分析对于我们理解一般行列式定义是有帮助的，下面给出 n 阶行列式的定义． 定义 1.1.3 由 n 2 个元素 aij( i, j = 1, 2,..., n) 组成的记号
例 1.1.2
解线性方程组
2x 3x
5 7
y y
1 2.
解 因为 D 2 3
5 7
1
0 ， D1
1 2
5
2
7 3 ， D2 3
1 1， 2
所以，方程组的惟一解为: 对于三元线性方程组
x D1 3 3, y D2 1 1.
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
克莱姆知识点总结
克莱姆知识点总结克莱姆（Cramer）法则是一种用于求解n元线性方程组的一种方法。
这个方法利用了行列式的性质，通过计算行列式的值来求解线性方程组的解。
在矩阵线性代数课程中，克莱姆法则通常是作为求解线性方程组的一种基本方法而被介绍的。
克莱姆法则的基本原理是：对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，克莱姆法则通过计算A的各个行列式来求解线性方程组的解。
具体来说，对于方阵A的第i列上的元素a(ij)，用克莱姆法则可以表示为：x(i) = D(i)/D其中x(i)表示方程组的第i个未知数，D(i)是用A的第i列元素替换方程组右边的向量b得到的新的n阶方阵的行列式，D是A的行列式。
克莱姆法则可以通过递推式来求解线性方程组的解。
对于一个n元线性方程组Ax=b，如果A的行列式不等于0，那么根据克莱姆法则，可以得到方程组的解为：x(i) = D(i)/D, i = 1,2,...,n其中D是A的行列式。
克莱姆法则的优点是它的推导和理解相对简单，而且对于小规模的线性方程组来说，是一种非常直观的求解方法。
但是值得注意的是，克莱姆法则也有一些局限性，比如当方程组的系数矩阵A为奇异矩阵时，克莱姆法则就不适用了。
此外，由于克莱姆法则需要计算每个未知数的行列式，所以在求解大规模的线性方程组时，其计算复杂度较高，效率不高。
除了上述的基本原理和优缺点外，克莱姆法则还有一些其他方面的知识点需要掌握，比如：1. 克莱姆法则适用的条件：克莱姆法则适用于n元线性方程组，且方程组的系数矩阵A的行列式不等于0的情况。
2. 克莱姆法则的推导过程：克莱姆法则的推导过程可以通过数学的行列式理论来完成，主要是利用了方阵的逆矩阵和行列式的定义。
推导过程中需要熟练掌握方阵的行列式和逆矩阵的性质。
3. 克莱姆法则的应用：在实际应用中，克莱姆法则可以用于求解小规模线性方程组的解，特别是在需要直观理解方程组解的情况下，克莱姆法则是一种非常有用的方法。
cramer法则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
克莱姆(Cramer) 法则◼克莱姆(Cramer) 法则克莱姆(Cramer) 法则◼概念◼n阶线性方程组的解在这一节里,⚫克莱姆（Cramer ）法则我们讨论用n 阶行列式解n 元线性方程组的问题.设n 个未知量,n 个方程的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.1)⚫克莱姆（Cramer ）法则称为方程组(1.4.1) 的系数行列式.111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =定义1.4.1b1,b2,…,b n不全为零时，当线性方程组(1.4.1)右端的常数项当b1,b2,…,b n全为零时，称为非齐次线性方程组；称为齐次线性方程组.如果线性方程组则方程组有唯一解，11112211211222221122 1.4.1n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（）的系数行列式D ≠0,定理1.4.1 (克莱姆(Cramer)法则)非齐次线性方程组n n D x D =( 1.4.2 )并且解可以用行列式表示为22,D x D =11,D x D =33,D x D =,其中D j (j =1,2,…,n ) 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b 1,b 2,…,b n 代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证先求x 1,分别用A 11,A 21,⋯,A n1同时A 11A 11A 11A 21A 21A 21A n1A n1A 11A 21A n1A n1乘以第1个方程到第n 个方程两边,得：将这n 个方程两边分别相加，得：Dx 1+0x 2+⋯+0x n =D 1即Dx 1=D 1.因D ≠0，所以x 1=D1D .同理可求.j j D x D =然后将11,D x D =22,D x D =33,D x D =nn D x D=,带入原方程组验证即可.证毕.因为显然齐次线性方程组总是有解的, 如果齐次线性方程组的解x 1, x 2,…, x n 不全零解.则称为非零解.为零, x 1=0, x 2=0, …, x n =0 就是它的一个解, 称为若齐次线性方程组10nij j j a x ==∑，12,i n =，，(1.4.4)的系数行列式D ≠0 ,又因为常数项均为0,定理1.4.2证因为D ≠0 ，于是0jj D x D ==1,2,,j n =（）.所以方程组(1.4.4)有唯一解.那么D j =0 (j =1,2,…,n ) .则它只有唯一的零解.推论若齐次线性方程组（1.4.4）有非零解，则系数行列式D=0.克莱姆法则解决了方程个数和未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组的求解问题，在线性方程组的理论研究上具有十分重要的意义.但是当n 元线性方程组中未知量的个数应用克莱姆法则计算量还是比较需要寻求更简单的方法.我们在第四章中讨论.关于一般的n 较大时，大的，线性方程组的解法，例112341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−−=⎪⎨−+=−⎪⎪+−+=⎩解线性方程组系数行列式D =解2151130602121476−−−=−−270≠又1D =8151930652120476−−−=−−−81，108−2851190605121076−−=−−−2D =3D =27−，4D =27由克莱姆法则，113D x D ==224D x D ==−331D x D ==−441D x D ==方程组有唯一解例21231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+−=⎨⎪−+=⎩有非零解.k 为何值时，方程组解1111211k D k =−−由定理1.4.2的推论知，若齐次线性方程则其系数行列式D =0. 因为(1)(4)k k =+−k = −1或k =4 时，方程组有非零解.所以, 组有非零解，例3解22()0a x y bx cy d ++++=（1.4.5）这个方程含有四个待定系数a ,b ,c ,d , 给定平面上不共线的三个点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3),平面上一般圆的方程为求过这三个点的圆的方程.且a ≠0.点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3)在圆上，应满足方程(1.4.5),于是得到一个以a ,b ,c ,d 为未知量的齐次线性方程组.22221111222222223333()0,()0,()0,()0.a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩(1.4.6)由于a ≠0 ，齐次线性方程组(1.4.6) 有非零解.经展开后，就为所求圆的方程.222211112222222233331111x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++由定理1.4.2的推论,(1.4.6) 的系数行列式应为零，即例401()n n f x a a x a x =+++(0)n a ≠最多有n 个互异的根.试证: n 次多项式证若不然,将其逐个代入方程f (x )=0,可得设f (x ) 有n +1个互异的根c 0,c 1,…,c n ,010********00n n nn n n n n a a c a c a a c a c a a c a c ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.7) 把a 0,a 1,…,a n 看作未知量,则(1.4.7)是由n +1个其系数行列式未知量n+1个方程组成的一个齐次线性方程组,200021112111n n nn n nc c c c c c D c c c =为n +1阶范德蒙行列式的转置,故D ≠0 .由定理1.4.2,从而a n =0,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,此与题设条件矛盾. 证毕.ቐa +b −2c =−2a −2b +3c =92a −3b +c =1思考题用行列式求下列方程组中的c 值为1310。
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
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x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
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证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
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定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xj
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
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例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
kx2 (2k 1)x3 0
有非零解，求k值.
练习 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
1
2
x1
x1 2x2 4x3
3 x2 x3
0 0
x1 x2 1 x3 0
答案 =0，=2或=3.
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思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用cramer 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
§1.5 克莱姆（Cramer）法则
由线性方程组
a11x1 a12 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
（1）
的系数aij (i, j, 1, 2, , n)构成的行列式
a11 a12
a1n
D a21 a22
ann xn 0
为齐次线性方程组. 易知，x1 x2 xn 0 一定是它的解，称为零解。
若有一组不全为零的数是它的解，称为非零解。
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定理1.5.2 如果齐次线性方程组的系数行列式D 0， 则它只有零解.
等价说明 如果齐次线性方程组有非零解
其系数行列式D 0. 例1.5.2 a,b, c满足何种条件时，下列方程组
解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
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3x1 x2 2x3 3x4 0
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。
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线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
把n个方程依次相加，得
a1n xn A1 j b1A1 j a2n xn A2 j b2 A2 j
ann xn Anj bn Anj
n
ak1
Akj
x1
n
akj
Akj
xj
n
akn
Akj
xn
n
bk Akj
k1
k1
k1
k 1
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由代数余子式的性质可知：上式中除了x j的系数等于D, 其余xi(i j)的系数均等于0，而等式右端为Dj ,即