山东建筑大学线性代数试卷及答案

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山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页

2009 至 2010学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 B 卷 专业： 全校修线性代数的各专业 试卷类别： 考试 考试形式： 闭卷 考试时间120 分钟 题号 一 二 三 四 五

六

七

总分 分数

说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表

示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。

得分 评卷人

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共

20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合

题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设n 阶行列式D =ij a ,j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式,则下列各式中正确的是

( ).

A. 01

=∑=n i ij ij A a ； B. 01

=∑=n j ij ij A a ；C. D A a n j ij ij =∑=1

；D.D A a n

i i i =∑=1

21.

2．已知A 为n 阶方阵，且满足E A 22=，则=--1)(E A ( ). A.A E +; B.A E -; C.E A -; D.A .

3．设⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ( ). A. -4; B. -5; C. -6; D. 4.

4．设B A ,分别是n m ⨯与1⨯n 矩阵，且0=AB ，则)(),(B R A R 与n 的关系是( ). A. n B R A R <+)()(; B. n B R A R >+)()(;

C. n B R A R ≤+)()(;

D. n B R A R ≥+)()(.

5.设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=50413102x A 可以相似对角化，则x 为( ).

A. -3;

B. 3;

C. 0;

D. 5.

6．设矩阵11

1221

22a

a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则必有（ ）. A ．12PP A B = B ．21P P A B = C ．12APP B =

D ．21AP P B =.

7．设向量组1234,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合; B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合; C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合; D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合.

8．对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=，设()m n R A ⨯=r ，则（ ）. A ．r m =时，方程组m n A x b ⨯=有解;

B ．r n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;

C ．m n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;

D ．r n <时，方程组m n A x b ⨯=有无穷多解. 9．设2元二次型T 12(,)f x x x Ax =正定，则矩阵A 可取为（ ）. A ．⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--2112; B ．⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--2112; C ．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--1221; D ． ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1221. 10．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件;

B ．充分而非必要条件;

C ．必要而非充分条件;

D ．既非充分也非必要条件.

班级 _________ 姓名 _________学号 ______________

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11. 已知实二次型),,(321x x x f = 31212

322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，

则参数λ的取值范围为 .

12. 设A 为34⨯的矩阵且秩为2，又3维向量21ηη,是方程组b Ax =的两个不等的解，则对应的齐次方程组0=Ax 的通解为 .

13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A ，*A

为A 的伴随矩阵，则=-*1)(A _____. 14、 设21αα,是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321βββ,,的线性相关性是 .

15、设3阶方阵A 和B ，且它们的秩为32==)()(B r A r ，，

则秩 =)(**B A r __________. 16．设矩阵11

1221

22a a A a a ⎛⎫=

⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则必有（ ）.

A ．12PP A

B =； B ．21P P A B =；

C ．12APP B =；

D ．21AP P B =. 17、已知向量(1,,1)x α=-与向量(0,1,1)β=正交，则x = .

18、已知函数111

111

()111111

x x f x x x

=

，则4x 的系数为 .

19.已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式

||6A =，则||B = .

得分 评卷人

20．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件；

B ．充分而非必要条件；

C ．必要而非充分条件；

D ．既非充分也非必要条件.

三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共计20

分）

21、设矩阵2

221212n n

a a a A a a ⨯⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝

⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T

n X x x =，

T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.

证明：

得分 评卷人

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