山东建筑大学线性代数试卷及答案
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
山东建筑大学高等数学答案
一、填空(每小题3分，共15分)1•设zm.x ”，则疙疗冷2.已知 H I f x 2y 2 z 2 d^n =(r)dr ，则「(r)二 4二 r 2f(r 2)x2出2卡2圭 2 03.已知L y cosxdx a sin xdy 在整个xOy 面内与路径无关，则a =1 4•设f x 是以2二为周期的函数，它在区间(-二，二］上的表达式为、选择(每小题3分共15分)2.函数u =1 nx 2，y 2，z 2在点M(1,2,-2)处正确的是(B )3.设D 1是以原点为中心 1为边长的正方形，D 2是D 1的内切圆，D 3是D 1的外接圆，记2 2I 2 二 e 」dxdy;l 3 二 e* dxdy.贝 U I 1, I 2, I 3 的大小顺序为(B )•D 3•f x解 Z = _ 丐 f (xy) — f (xy) y ' (x y) x x 2x■ z - f (xy) - f (xy) yf (xy)」(x y) y ,x y) .x ；y x xC 丨3乞丨2岂I 1D 丨3乞11乞丨2□04.级数7 U n 在满足条件(B )时,n 生疋疋收敛.QO旳1:c丄收敛；n# Un-bo(A ”孳片=0；B 7 U n 收敛n 理D U 2n 收敛n d三、计算下列各题 (每小题6分，共12分)A l i _ I 2 _ I 3B I 2 _ li _ I3j 2z则f X 的傅里叶系数中 b 33 ■: xy1•二元函数 f(x, y)=』x 2 +y 2 b ， (A) 连续，偏导存在； (C)不连续，偏导存在；(x,y) =(0,0) 在点(0,0)处(C_).(X,y) =(0,0)(B) 连续，偏导不存在；(D)不连续，偏导不存在2Agod% =9；(B) du =| dx 2dy -2dz ；(C )divu 皿(D)以上三项都不对.D 21-设z =丄f(xy) y (x y), f,:具有二阶连续导数，求 xfX 二-■: ::: x 三 0=yf （xy ） - y （x - y ） •」（x - y ）2.在曲面z=xy 上求一点，使这点的法线垂直于平面x 3y z 0，并写出这条法线的方程.解 设所求点为（x 0, y 0, Z 0），则过曲面z=xy 上点（X 0,y 0,z °）的法线的方向向量为 "y 0, x 0, 一1 !.由已知1，得 x 0 - -3, y 0 - -1, z 0 = 3 .131过曲面上点（X 0,y °,z 0）的法线方程为x 3 _y 1 _z-3四、（6分）求由旋转抛物面 z=6-x 2-y 2，平面y=0, z=0,x=1及y=x 所围成的立体对 z轴的转动惯量（设体密度p =1）.解 设「是由旋转抛物面 z =6-X 2 —y 2，平面y=0,z=0,x=1及y=x 所围成的区域.1 x6 _x2』2I z = x 2 y 2 dxdydz dx dy-0 J 0 J 0Q‘ yds,其中L 是抛物线y 2 =4x 上介于点O 0,0与点B 1,2之间的一段弧.2.xyds =L3. =2 1------- 4oT xdx H （1 X ） -2.2 -1:-y d x x dy 其中L 为一条无重点、x 2 y 2令卩=卄2=2 y 2x.则当分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， L 的方向为逆x 2 ■ y 2 =0 时，有y 2-x 2记L 所围成的区域为 D.当（0,0）「一 D 时，-JL-ydx 亠xdy x 2y 2=0x 2 y 2 dz五、 1.1 x22「0dx.06-x_yx 2 y 2 dy =8x 3“ ” -028x 5 dx=Z615 45计算下列积分（每小题6分，共24分） 1 1 2 2 dx x e y dy.xdx1io1 2 x 2e ydyxi y 22二 dy x e y dx0 -0=-3 0t-2 163e 『dy 」1 6 oy 2e ，dy 2i1t—e 」0 二当（0,0） • D 时，记L i : x 2y 2 =r 2,其中L i 包含在L 内，并取其顺时针方向4 / 44.丹xdydz^ydzdx 兰dxdy 其中瓦是球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2的外侧. 丈 +y 2 +z 2 j解 xdydz 亠 ydzdx 亠zdxdyxdydz 亠 ydzdx 亠 zdxdy ・a3当a =1时，级数J -发散.n±na =-1时，级数上九条件收敛•心n七、（7分）将函数ln 2 x 展开成x 的幕级数,并求其收敛区间•Q n2-beln(2 x) =1 n2 'n =02n z0十 _ydx +xdy 十 _ydx +xdy■| 2 2 - - 2 2L L 1x y L 1 x y2 _ . 2 . 2 _._ydx +xdyLx : ：；-yr cos ' r sin •d v 二 2 二JI=0 -r 2x。
山东建筑大学2019-2020学年第一学期《线性代数》期末试卷A及答案
···········································································································装订线山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页2019 至 2020学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 A 卷 专业： 全校修线性代数的各专业试卷类别：考试 考试形式：闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 五六七总分 分数说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
山建修订线性代数作业答案
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）=baca cb cb accc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（2）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）2 4 1 3；（2）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （3）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为2)1(-n n .（3）逆序数为)1(-n n . 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：解(1)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(2)ef cf bfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e cb adf--- =111111111---adfbce =abcdef 4(3)dcb a10110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5、证明：(1)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bxaz zbx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bx az yz bz ay x a 分别再分bzay yxbyax x z bxaz z y b +++zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z y zy x b yxzx z yz y x a (2) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d d d c c c b bb a a a(3) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d ac ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a-----))((d c b a d c +++-(4) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=)1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)nna a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221 ++nn n a a a a a a a a -------000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑+==ni in a a a a(4) nnnnnd c d c b a b a D 00011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 000000011111111----展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式： 222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij-=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n7.用克莱姆法则解下列方程组：解11213513241211111----=D 812073503211111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=112123313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14238100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=42611135232422115113-=----=D14202132132********4=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ, 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1﹑已知两个线性变换,zz y z z y z z y ,yy y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32331221132133212311323542322 求从变量321z ,z ,z 到变量321x ,x ,x 的线性变换。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n，则行列式等于（）A. m+nB. -（m+n）C. n-mD. m—n2。
设矩阵A=，则A—1等于( ）A. B。
C。
D.3。
设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A＊中位于(1，2)的元素是( )A. –6B. 6C. 2 D。
–24。
设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A。
A =0 B. BC时A=0C. A0时B=CD. ｜A｜0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T）等于（)A。
1 B。
2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。
有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-β）=0sD.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsα=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0s7.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r—1阶子式都不为0 B。
所有r—1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08。
设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解,则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C。
η1—η2是Ax=0的一个解D。
2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（)A。
山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2010~2011-2-线代A卷+答案
1 2 1 r 1 2 1 r 0 1 1 r 0 1 1
1 1 2
2 1 1
0 0 0
0 0 0
1 得基础解系： 3 1 ； 1
分）
单位化得
1
3
p3
1
3 1
3
；
………………（10
1
2
得到正交矩阵
P
1 2
0
1 6
1
6 2
6
1
3
1
3 1
3
量的个数为
。
５．已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (k 1)x12 (k 1)x22 (k 3)x32 正定，则数 k 的
取值范围为________。 三、综合题（60 分）
1 234 2341 1.（10 分）计算行列式： D 3412 4123
姓名 装订线
班级
考场 装订线
4. 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 A2 1 必有一个特征值等于
（
）
装订线
山东建筑大学试卷
3.（10 分）设向量组
共 4 页第 2 页
1 2,3,1,2T ,2 1,1,4,0T ,3 3,3,12,0T ,4 5,10,1,6T ；
求该向量组的秩 R1 , 2 , 3 , 4 ，并求出该向量组的一个最大无关组.
学号
1 0 1
2．（10 分）设 A 和 B 都是 3 阶方阵 AB E A2 B ，若 A 0 2 0 ，
4.解
A,
b
1
1
1
3 r 1
1
1
3
1 1 1
1 1
1 0
1 1
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
06-07-2线性代数试题及答案 山东建筑大学
2006-2007学年第二学期线性代数试题A 卷一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101的特征值，则=a _____________2、已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 3、设5200210000120011A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则1_______A -=. 4、设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B .二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中【 】．()A . 必有一列元素全为0；()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有【 】．()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．3．设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【 】(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. 4．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是【 】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.三．计算行列式（本题满分6分）11111110000011000011---=n D四．（本题满分12分）设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+．⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位．⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ．五．（本题满分14分）当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六．（本题满分12分）求矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300121103A 的特征值和特征向量，并回答A 是否能对角化？为什么？ 七．（本题满分12分）问λ取何值时，二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型？八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基下的坐标．九．（本题满分12分）设n 维向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,m αααβ线性相关，试用两种．．不同的方法证明β可由12,,,m ααα线性表示，且表示法唯一.。
线代第一章测试题及答案
线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。
答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。
答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。
答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。
答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。
答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。
2. 请解释什么是矩阵的转置。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。
四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。
答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。
答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。
山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化013-2014-1线性代数试题B
考场 班级 姓名 学号 订线 装订线 装订线课程名称： 线性代数 （B ）卷 考试形式：（ 闭 卷 ） 年级： 2011 专业： ； 层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.(A);2. (D) ;3.（B ）；4.（A ）5. （A ）二. 填空题(每题4分,共20分)1.1≠x 且2≠y ；2. 3；3. 0； (4) 12-； (5)14k k =-=或。
三、综合题1．解：11213141112131411234143111321432-+++=-+-=-M M M M A A A A ………………(2分)123406650102666--………………………………………………………………(6分)66566510210266661--=--= ……………………………………(8分)2.解 由2AB =A+B ，得()2-=A E B A …………………………（2分）101211010012-=-=-≠A E 2∴-A E 可逆()1013012110110012014⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭A EA 2132101301011211001223r r r r ⎛⎫- ⎪---- ⎪+ ⎪-⎝⎭100522010432001223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭即 522432223--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B …………………………（10分）3.解：1121112112101423110464a a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A …………………………（2分） 1121014202220a a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪++⎝⎭…………………………（4分） 由于()2R =A ，所以1,2a b =-=-。
…………………………（6分）4.解 1231110(,,,)1113111λλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭αααβ r 1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭………………………（.6分） （1）当0λ≠且3λ≠-时，()123123,,(,,,)3R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一； …………………………….（8分）（2）当3λ=-时，()123123,,(,,,)2R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式不唯一； …………………………….（10分）（3）当0λ=时，()123,,1R =ααα，123(,,,)2R =αααβ，β不能由123,,ααα线性表示且表达式不唯一 …………………………….. （12分）5.解: 记()12345,,,,=αααααA ，对矩阵A 施行初等行变换12102032210003100000r --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， ………………………………（4分） （1）()R A 3= ……………………（6分） （2）A 的列向量组的最大无关组含3个向量，124,,ααα就是A 的列向量组的一个最大线性无关组。
山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2010~2011-2-线代B卷+答案
(2)存在可逆矩阵
Q
1 1
0 0
-1 1
0
，使得
0
0 1 0 1
1 0 0 0
Q1 AQ
0
1
0
0
……...…………(15 分)
0 0 -1 0
0 0 0 -1
可知 ( A 2E)1 1/ 2
1/ 2
1/
2
．
2 0 1
分） 进而
…………………………（8
1 0 0 3 0 0 3 0 0
B ( A 2E)1 A 1/ 2
1/ 2
1/
2
1
4
1
1
2 1 ．
……
2 0 1 2 0 3 4 0 3
（10 分）
法二． 因为 AB A 2B ，所以 (A 2E)B A ，………………………………(2 分)
分）
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
由
1
2
10
1
0
0
2
1 1
1
0
0
2
01
1
1
2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1
1 0 0 1 0 0
0
1
0 1/ 2
1/ 2
1/
2
0 0 1 2 0 1
1 0 0
(A) A 的列向量组的秩等于零；
(B) A 中必有两个列向量对应成比例；
(D) —3。
（C） k1 (1
2 ) k2 (1
2)
1
2 2
；
（D） k1 (1
山东建筑大学线性代数期末试题
06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵()234,,,A αγγγ=，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则行列式=+B A （ ） （A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40。
2．设A 为3×3矩阵，B 为4×4矩阵，且1=A ，2-=B ，则=A B （ ）。
（A ） 2-； （B ） 4-； （C ） 8-； （D ） 1。
3．设A 是n 阶方阵，且n r R <=)(A ，则在A 的n 个行向量中（ ）. （A ）必有r 个行向量线性无关 （B ）任意r 个行向量线性无关（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关组（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示4． 若齐次方程组0=AX 有无穷多解，则非齐次方程组B AX = ( )()A 必有无穷多解； ()B 可能有唯一解 ()C 必无解； ()D 有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A 的三个特征值为λ10=, λ23=, λ36=-，对应于1λ的特征向量为 ()Tx 1011-=,,，对应2λ的特征向量为()Tx 1122,,=，记向量213x x x +=，则( ).()A 3x 是对应于特征值λ10=的特征向量. ()B 3x 是对应于特征值λ23= 的特征向量. ()C 3x 是对应于特征值λ36=-的特征向量. ()D3x 不是A 的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）11．设n 维向量组)(,,,,n s s s <+121αααα 线性无关， 则向量组s ααα,,, 21 的秩为 .已知矩阵A 与2035B ⎛⎫=⎪-⎝⎭相似，则矩阵A 的特征值为 。
3．行列式dc b a D 000321200503== . 4．设()T9753,,,=α，()T0251,,,-=β，向量γ满足βγα523=-，则=γ .5．设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=*AA . 三、(8分) 计算1+n 阶行列式xxx x x a a a a D n n 0000002101--=+四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 五、（8分）设向量组321ααα,,线性相关，向量组432ααα,,线性无关，证明 (1) 1α能由32αα,线性表示； (2)4α不能由321ααα,,线性表示.2 六、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ，问λ取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。
(完整word版)山东建筑大学-.1线性代数试题A卷
线性代数一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设矩阵333223⨯⨯⨯C B A ,,，则下列运算可行的是 【 】.A AC , .B CB , .C ABC .D B A +2、设, A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列等式成立的是 【 】.A ()()22B A B A B A -=+- .B ()()E A E A E A -=+-2.C BA AB = .D ()E B A E B A ++=+3、设方阵A 有特征值1、2，a 是与1 对应的特征向量，b 是与2对应的特征向量，下列判断正确的是 【 】.A a 与b 线性无关 .B b a +是A 的特征向量.C a 与b 线性相关 .D a 与b 正交4、设4阶方阵A 的行列式为2，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为 【 】(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 15、112012()2, 1012a A a r A a -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭若矩阵的秩则的值为 【 】(A)0(B)0 -1(C)-1 (D) 1 1-或 或6、A 与B 为同阶方阵，如果A 与B 具有相同的特征值，则 【 】(A) A 与B 相似；(B) A 与B 合同；(C) A B =； (D) A B =二、填空题（每小题3分，共18分）7、0200003000045000D =，则_______D =. 8、设3阶矩阵A ，且矩阵行列式3=A ，则矩阵行列式=A 2 .9、设矩阵a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的非零特征值为____________. 10、若方阵A 有一个特征值是1，则E A -= .11、n 维向量空间的子空间121220(,,,)0n n n x x x W x x x x x ⎧⎫+++=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬++=⎩⎪⎪⎩⎭的维数是____ 12、设(,)E i j 表示由n 阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E 1[(,)]E i j -=_________.三、解答下列各题（每小题6分，共24分）13、计算行列式 7592437102102251-----=D 14、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B ，求行列式AB 。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
大学线性代数练习试题及标准答案
大学线性代数练习试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，aa a a 13112321=n ，则行列式aa a a a a 111213212223++等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）4A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于 DA. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于 BA.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是 BA. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 DA. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于 CA. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则 DA.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中 CA.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 AA.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有 AA.秩A<nB.秩A=n-1 =0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是 BA.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 AA. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是 BA.|A|2必为1B.|A |必为1 =A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C TAC .则 D与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为 CA.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= 6 .16.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B = 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪ .17.设A =a ij3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= 4 . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= -10 .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= -5 . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242++- .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数;29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分 二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 616. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪ 17. 4 18. –10 19. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪103501120088001414135011200110000,0000110010102001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B . 1秩B =3,所以秩A =秩B =3.2由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组; A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T , ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx 1,x 2,x 3=x 1+2x 2-2x 32-2x 22+4x 2x 3-7x 32=x 1+2x 2-2x 32-2x 2-x 32-5x 32.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y y x y y x y 112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx 1,x 2,x 3的标准形y 12-2y 22-5y 32.四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证 由于E -AE +A +A 2=E -A 3=E ,所以E -A 可逆,且E -A -1= E +A +A 2.33.证 由假设A η0=b ,A ξ1=0,A ξ2=0.1A η1=A η0+ξ1=A η0+A ξ1=b ,同理A η2= b , 所以η1,η2是Ax =b 的2个解; 2考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0,即 l 0+l 1+l 2η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.则l 0+l 1+l 2=0,否则η0将是Ax =0的解,矛盾;所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
山东建筑大学 线性代数试题及答案
2011 至 2012 学年第二学期 试题答案及评分标准课程名称： 线性代数 （A ）卷 考试形式：（ 闭 卷 ） 年级： 2010 专业： ； 层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.（C ）2.（C ）3.（B ）4.(C)5.( D)二. 填空题(每题4分,共20分)6. 1或3；7.2127a ； 8. 212223111213311132123313⎛⎫⎪ ⎪⎪+++⎝⎭a a a a a a a aa a a a ； 9.230-≠ab ；10.21+λλ。
三、综合题（60分）11．解：14342241244101012021202105201030140117117-----r r r r …………………………………(3分)411012210314--=-- ……………………………………………………(5分)21312249181000101734-----=--c c c c ………………….………………………….(8分)12.解 ()A E B xx -=-T……………………………………………..…(2分)由于0111012011E B --=--=≠-,所以E B -可逆……………………………(4分) ()1A xxE B -=--T………………………………………………(6分)()1111222111222111222E B -⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭…………………………………….………(9分)11122211111111112222111111222A ⎛⎫--⎪-⎛⎫⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭…………………….………(12分)13.解 系数行列式()()2222254110245----=------λλλλλ， ……………………(2分)(1) 当1≠λ且10≠λ时，由于方程组有惟一解；…………………………..…….(4分) (2) 当10=λ时，由于增广矩阵 8221254225420111245110023B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭r ()()A B ≠R R ，所以方程组无解。
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···········································································································装订线山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页2009 至 2010学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 B 卷 专业： 全校修线性代数的各专业 试卷类别： 考试 考试形式： 闭卷 考试时间120 分钟 题号 一 二 三 四 五六七总分 分数说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
得分 评卷人一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n 阶行列式D =ij a ,j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式,则下列各式中正确的是( ).A. 01=∑=n i ij ij A a ； B. 01=∑=n j ij ij A a ；C. D A a n j ij ij =∑=1；D.D A a ni i i =∑=121.2．已知A 为n 阶方阵，且满足E A 22=，则=--1)(E A ( ). A.A E +; B.A E -; C.E A -; D.A .3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ( ). A. -4; B. -5; C. -6; D. 4.4．设B A ,分别是n m ⨯与1⨯n 矩阵，且0=AB ，则)(),(B R A R 与n 的关系是( ). A. n B R A R <+)()(; B. n B R A R >+)()(;C. n B R A R ≤+)()(;D. n B R A R ≥+)()(.5.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可以相似对角化，则x 为( ).A. -3;B. 3;C. 0;D. 5.6．设矩阵11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）. A ．12PP A B = B ．21P P A B = C ．12APP B =D ．21AP P B =.7．设向量组1234,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合; B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合; C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合; D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合.8．对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=，设()m n R A ⨯=r ，则（ ）. A ．r m =时，方程组m n A x b ⨯=有解;B ．r n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;C ．m n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;D ．r n <时，方程组m n A x b ⨯=有无穷多解. 9．设2元二次型T 12(,)f x x x Ax =正定，则矩阵A 可取为（ ）. A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221; D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221. 10．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件;B ．充分而非必要条件;C ．必要而非充分条件;D ．既非充分也非必要条件.班级 _________ 姓名 _________学号 ______________二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11. 已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为 .12. 设A 为34⨯的矩阵且秩为2，又3维向量21ηη,是方程组b Ax =的两个不等的解，则对应的齐次方程组0=Ax 的通解为 .13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A ，*A为A 的伴随矩阵，则=-*1)(A _____. 14、 设21αα,是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321βββ,,的线性相关性是 .15、设3阶方阵A 和B ，且它们的秩为32==)()(B r A r ，，则秩 =)(**B A r __________. 16．设矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）.A ．12PP AB =； B ．21P P A B =；C ．12APP B =；D ．21AP P B =. 17、已知向量(1,,1)x α=-与向量(0,1,1)β=正交，则x = .18、已知函数111111()111111x x f x x x=，则4x 的系数为 .19.已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式||6A =，则||B = .得分 评卷人20．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件；B ．充分而非必要条件；C ．必要而非充分条件；D ．既非充分也非必要条件.三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）21、设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明：得分 评卷人···········································································································装订线22、设BA,都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是BAAB=. 证明：。
四、求解题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）23、设3阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E=-+其中E为3阶单位矩阵（1）验证1α是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；（2）求矩阵B.解：得分评卷人···········································································································装订线24、问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-154224521222321321321λλλλx x x x x x x x x )()()((1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解； 并在无穷多个解时，求方程组的通解. 解:25、求实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量，并用正交矩阵将矩阵A 化成对角矩阵. 解：···········································································································装订线。