2017届中考数学专题复习第6章锐角三角函数第17讲锐角三角函数解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
中考专题二锐角三角函数,解直角三角形
锐角三角函数、解直角三角形一．兴趣导入二．考点及难易度1.锐角三角形函数。
2.比值关系及应用（记忆并会应用）3.特殊三角函数值（记忆） 4.特殊公式及应用（理解，记忆，应用）5.解直角三角形 6.解直角三角形的应用三、特殊技巧和能力培养1.锐角三角函数公式 2.直角三角形的公式定理3.仰角、俯角 4.方位角 5.坡角、坡度三．中考数学的格局及应对策略1.注重基础，万丈高楼平地起2.注重几何掌握和思维训练，注重数学能力和实际生活想结合3.注重代数的运算能力4.学习态度，答题技巧、心态也很重要四．锐角三角函数值（必考）考点（一）锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B bB B a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、Ca常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点（二）特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点（三）锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．典型例题1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA=___________________B A 0)tan 3(221sin 2=∠+∠=-+-，那么、已知B A 3.计算：（1）3tan30°-tan45°+2sin60°(2)(cos 230°-sin 230°)×tan60°（3）︒+︒︒60tan 60sin 30cos -14、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在格点上，AB、CD 相交于点O，则tan ∠AOD =_________五．解直角三角形及其应用（必考）考点（一）解直角三角形1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形2.解直角三角形是常用的基本关系如图在Rt△ABC 中，∠C=90°，（1）三边之间的关系（勾股定理）：__________________________（2）两锐角间的关系：______________________（3）边与角的关系：(4))AB (AB 21BC AC 21S ABC 上的高是h h ⨯=⨯=∆(5)ABBC AC BCAC 2AB -BC AC ABC ++⨯=+=∆的内切圆半径Rt (6)Rt△ABC 的外接圆半径;（7）30度直角三角形性质（8）直角三角形斜边中线性质定理：（9）三点共圆证直角典型例题1、如图，在△ABC 中，CA=CB=4，cosC=14,则sinB 的值为（）2、如图，在△ABC 中，BC=12，tanA=34,∠B=30°，求AC 和AB 的长3.三角板是我们学习数学的好帮手。
初三数学解直角三角形(锐角三角函数)知识精讲
初三数学解直角三角形（锐角三角函数）【本讲主要内容】解直角三角形（锐角三角函数）包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
2. 在直角三角形中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。
3. 在直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
4. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
5. 特殊角的三角函数值： 2160cos 30sin =︒=︒，2330cos 60sin =︒=︒；2245cos 45sin =︒=︒；360tan 145tan 3330tan =︒=︒=︒，，21 30° 32 1 145°6. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
（1）222c b a =+；（2）︒=∠+∠90B A ；（3）ba A tan cb A cosc aA sin ===，，； （4）c ch 21ab 21S ==∆。
BcaA b CDh c8. 应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。
【解题方法指导】例1. 选择题：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，则tanA 等于（ ） A.3 B. 33 C. 23 D.21 分析：设法求出∠A 的度数，再求值。
解：Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90° 把∠B ＝2∠A 代入，得 3∠A ＝90° ∴∠A ＝30°3330tan A tan =︒=∴ 故选B 。
评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。
例 2. （2002年四川）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，32AB 22AC ==，，设∠BCD ＝α，那么cos α的值是（ ）A.22 B.23 C.33 D.36分析：由∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，可知∠BCD ＝∠A ＝α，而ABACA cos =，故可解。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
专题讲练：锐角三角函数与解直角三角形
专题讲练：锐角三角函数与解直角三角形※知识要点1.锐角三角函数的定义（以∠A 为例） (1)正弦： ＝ ＝ ； (2)余弦： ＝ ＝ ； (3)正切： ＝ ＝ ；2. 特殊角的三角函数值3. 锐角三角函数的性质(1)范围：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°） (2)增减：当0°＜α＜90°，sinα、tanα随着α的增大而 ， cosα随着α的增大而 ；(3)商数关系： ； (4)平方关系： ； (5)互余关系：若A +B =90º，则sinA cosB ，sinB cosA ， tanA·tanB= ； 4. 解直角三角形定义：在直角三角形中， 的过程叫做解直角三角形．主要有以下两种情况： ①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边． 5. 解直角三角形的应用(1)视角： 的夹角叫视角. 视角分为 和 ；（如下左图）(2)方位角：在方向坐标系中，南北方向偏离东西方向的偏角叫做方位角.（如上右图）注意：东北方向= ； 西南方向= ； (3)坡角与坡度 ①坡角: 所成的角； ②坡度:又称 ，是斜坡上两点 与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的 值，坡角越大，坡度 ，坡面________．※题型讲练【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝ 3变式训练1：1.如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，求∠AFE 的正切值.【例2】已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算： 8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋ 的值．变式训练2：1.计算|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)－1.【例3】已知tanα＝ ，求 的值．变式训练3：1.已知α为锐角，且sinα+cosα= ，求sinαcosα的值.2.比较大小：cos53º、sin53º、tan53º【例4】Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据条件解下列直角三角形(非特殊值用表达式表示）．(1)a ＝4，c ＝8； (2)b ＝2，∠A ＝40°； (3)c ＝3，∠B ＝60°．α sinα cosα tanα 30º 45º 60º131-⎪⎭⎫⎝⎛57变式训练4：1.等腰三角形的底边长为6cm，周长为16cm，试求：(1)底角的正切值；(2)顶角的余弦值.【例5】在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东15°方向走，恰能到达目的地C(如图)，求B、C两地之间的距离.变式训练5：1.如图，甲船从港口A出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口A出发沿西北方向行驶。
《中考大一轮数学复习》课件 锐角三角函数与解直角三角形
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 锐角三角函数定义 若在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 sinA＝________，cosA ＝________，tanA＝________． 温馨提示 ①锐角三角函数是在直角三角形中定义的． ②sinA，cosA，tanA 表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位． ③锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关． ④当 A 为锐角时，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2. 特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
4. 解直角三角形的应用中的相关概念 (1)仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 在水平线下方的角叫俯角． (2)坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和________的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tanα＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l
a 5 12 解析 sinA＝ ＝ ，可设 a＝5k，c＝13k，根据勾股定理得 b＝12k，所以 cosA＝ .故选 D. c 13 13
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热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
点对点训练 1. (2013·山东济南)已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则 tanα的值等于( C )
中考数学热点专练17 锐角三角函数
(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠A 的对边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cota ＝ ∠A 的邻边热点 17 锐角三角函数【命题趋势】锐角三函数是中考数学中必考内容之一，所占比例 8—15 分，题目数量 2-3 题。
一般小题会有一个，一般为填空或计算，考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。
大题一般也会有一题，主要是考查锐角三角函数的实际应用，往往会结合仰角和俯角，坡度等概念进行设计问题，当然在其他解答题中也可能会用到三角函数，比如在计算一些线段长度，会与解直角三角形，或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。
【满分技巧】一、 整体把握知识结构二．重点知识1.Rt △ABC 中斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作 cosA ＝(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝∠A的邻边 斜边∠A 的对边∠A 的邻边∠A 的对边30°322160°3∴sin∠BAC＝＝2.特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota13322345°122312233【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.(2019湖北省宜昌市)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1△，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝AD2+CD2＝5．CD4AC5故选：D．【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝ ，2. (2019 湖南省湘西市)如图，在△ ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，连接 BD ，若 cos ∠BDC ＝ ，则 BC 的长是（）A ．10B ．8C ．4D ．2【答案】D57设 CD ＝5x ，BD ＝7x ，∴BC ＝2 6 x ，∵AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，∴AD ＝BD ＝7x ，∴AC ＝12x ，∵AC ＝12，∴x ＝1，∴BC ＝2 6 ；故选：D ．3. (2019 湖南省长沙市)如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE上的一个动点，则 CD + BD 的最小值是（ ）∵tanA ＝ =2，设 AE ＝a ，BE ＝2a ，A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】B【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ，CM ⊥AB 于 M ．∵BE ⊥AC ，∴∠ABE ＝90°，BEAE则有：100＝a 2+4a 2，∴a 2＝20，∴a ＝2 5 或﹣2 5 （舍弃），∴BE ＝2a ＝4 5 ，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AC ，∴CM ＝BE ＝4 5 （等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH ＝ ＝ ＝ ，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥45，∴CD+BD的最小值为45．故选：B．4.(2019山东省泰安市)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30【答案】BB．30+10C．10+30D．30【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，，在△Rt ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30∴AE＝BE＝AB＝30km，在△Rt CBE中，∵∠ACB＝60°，，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．5.(2019陕西省)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。
中考数学复习--锐角三角函数与解直角三角形
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易错知识辨析 1. 锐角三角函数值等于相应边的比．因此，与边长度无关，与边的比值有关或 说与角大小有关． 2. 准确记忆特殊角函数值，对一些计算、化简题起重要作用，如不能掌握函数 值的大小或变化规律，易造成错误．
B
C
知识结构梳理
夯实基本 知已知彼
夯实基本 知已知彼
夯实基本 知已知彼
夯实基本 知已知彼
B B D
课前预测 你很棒
D D
课前预测 你很棒
热点一 锐角三角函数的定义 热点搜索 锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念；在解题时， 若能利用锐角三角函数定义把三角函数转化为线段的比，或把线段比转化为三角函数， 实现三角函数与线段比之间的灵活转换，则可起到事半功倍的效果．
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热点四 解直角三角形的实际应用 热点搜索 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三 角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)． (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形． (3)得到数学问题的答案． (4)得到实际问题的答案． 典例分析4 (2013·呼和浩特)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到 B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC ＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多 少千米？(结果保留根号)
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中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义
中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①＝______，＝对对)(sin =A 对对)(sin =B ______；②＝______，＝对对)(cos =A 对对)(cos =B ______；③＝______，＝对对对A A ∠=)(tan )(tan 对对对B B ∠=______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、 已知α是锐角，且cosα=，求sinα、tanα的值．344、在Rt ABC △中，90C ∠= ，5AC =，4BC =，则tan A =．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，那么tanA 的值等于53（）.A ． B.C.D. 354534436、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）.计算：．︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2（2）计算：.︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2例2．求适合下列条件的锐角α ．锐角α30°45°60°sin αcos αtan α(1)(2)21cos =α33tan =α（3）已知α 为锐角，且，求的值3)30tan(0=+ααtan 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且，则 （ ）030sin cos <A A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型一 特殊三角函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：．30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+（3）计算：；tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒(4)(5)222sin =α33)16cos(6=- α（图）在中，若，都是锐ABC ∆022(sin 21cos 2=-+-B A B A ∠∠，角，求.C ∠类型二：利用网格构造直角三角形CBA 2、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A 逆时针旋转得到，则的值为ABC ∆''B AC ∆'tan B A.B.C.D. 41312114、正方形网格中，如图放置，则tan 的值是AOB ∠AOB ∠（） A ．B. C. D. 252512ABO类型三：直角三角形求值1、已知Rt △ABC 中，求AC 、AB 和,12,43tan ,90==︒=∠BC A C cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，求AB 及OC 的长．⋅=∠43sin AOC3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知是锐角，，求，的值A ∠178sin =A A cos A tan 类型四. 利用角度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．2、如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴(05)C对(00)O对的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC的值为（）A．BC．D．1 23545图8图图3、如图，角 的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5、如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436、如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点AE ABCD D BC F 处．已知，，AB=8,则的值为( )8AB=10BC=tan EFC∠Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．34433545A DECB F8图7、如图，在等腰直角三角形中，，，ABC ∆90C ∠=︒6AC =D 为上一点，若 ，则的长为( )AC 1tan 5DBA ∠=AD AB ．C ．D ．218、 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线图AD =求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.3316ABC类型五. 化斜三角形为直角三角形2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．5、ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是A.2 cm 2 .4 cm 2 C.6 cm 2333D.12 cm 2第二课时：解直角三角形知识点三： 解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：______；_______；==B A cos sin ==B A sin cos _____；______．==BA tan 1tan ==B A tan tan 1 ④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________；BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，，求∠A 、∠B ，b ；235=c (2)已知：，，求∠A 、∠B ，c ；32=a 2=b (3)已知：，，求a 、b ；32sin =A 6=c (4)已知：求a 、c ；,9,23tan ==b B(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠S12,3B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm ．求AB 及BC 的长．知识点四：三角函数应用类型一： 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，，作3==BC AC ∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．31tan =∠B 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．D CB A5.如图，△ABC 中，∠A=30°，，ABtan B =AC =的长.ACB第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用一、仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
中考数学总复习课件：锐角三角函数及解直角三角形(共25张PPT)
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中考复习-锐角三角函数和解直角三角形
探究提高 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化 为直角三角形，常见的方法是作高，作高 把斜三角形转化为直角三角形，再利用解 直角三角形的有关知识解决问题．
知能迁移3 一次数学活动课上，老师带领学生去 测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在 河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得 C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行 40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上， 请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考 3 数值：tan 31°≈ ) 5
；
(2)角与角的关系：
(3)边与角的关系：
1 2 sinA＝cosB＝a ，cosA＝sinB＝ b ； c c
；
tanA＝b ，tanB＝ a
a
b
1．正确理解三角函数的概念 书写三角函数时，若锐角用一个大写字母 或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正 弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐角 是用三个大写字母或数字表示的，表示它的 正弦时，不能省略角的符号，如sin∠ABC， 余弦和正切的写法同理．由定义可以看出， 锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三 角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角A 的取值范围是0<∠A<90°，则三角函数的取 值范围是0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0； 当∠A确定时，三个比值也分别有唯一确定的 值与之对应．
探究提高 此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通 常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形， 再利用边与角之间存在的三角函数式，变形 求得物体高度．
知能迁移2 (2011· 潜江)五月石榴红，枝头 鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线 飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋 3 顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的 俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距 离为3 m，求出小鸟飞行的距离AC和房 屋的高度CD.
2017河北中考5.2锐角三角函数及解直角三角形的应用知识梳理
第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用,河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分20159 认识方位角考查方式依题意画出方位角3 3201422(3) 解直角三角形的应用以三个垃圾存放点为背景，(3)通过解直角三角形求垃圾运送费用4 420138 解直角三角形的应用以航行、方向角为背景，利用解直角三角形求距离3 320098 解直角三角形的应用以手扶电梯为背景，利用解直角三角形求高度2 22010、2011、2012、2016四年未考查命题规律纵观河北8年中考，锐角三角函数及解直角三角形，在中考中只出一题，题型多为选择和解答题，分值2～9分，难度中等，主要考查解直角三角形的应用的选择题和解答题形式各考查了2次，2015年考查了对方位角的认识，其中2010～2012年都未考查，2016年也没独立考查．命题预测预计2017年河北中考，仍然会考此知识点，命选择题可能性较大，也有可能出解答题，应强化训练不留死角,河北8年中考真题及模拟)解直角三角形的应用(3次)1．(2015河北9题3分)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(D),A) ,B),C) ,D)2．(2009河北8题2分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B) A.83 3 m B．4 mC．4 3 m D．8 m(第2题图)(第3题图)3．(2013河北8题3分)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里4．(2016石家庄四十三中一模)已知sin 6°＝a ，sin 36°＝b ，则sin 26°＝( A ) A ．a 2 B ．2a C ．b 2 D ．b5．(2016定州模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝125(第5题图)(第6题图)6．(2016唐山二模)如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C 的值为( B ) A .3510 B .255 C .55 D .12(第7题图)(第8题图)7．(2016张家口一模)河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．5 3 mB ．10 mC ．15 mD ．10 3 m8．(2016保定十三中二模)如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4.某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为__22__．9．(2016张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC 为2 m ，两拉索底端距离AD 为20 m ，请求出立柱BH 的长．(结果精确到0.1 m ，3≈1.732)解：设DH ＝x m ，∵∠CDH ＝60°，∠H ＝90°， ∴CH ＝DH·sin 60°＝3x ， ∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3x ， ∵∠A ＝30°，∴AH ＝3BH ＝23＋3x ， ∵AH ＝AD ＋DH ， ∴23＋3x ＝20＋x ， 解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )． 答：立柱BH 的长约为16.3 m .10．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图(1)是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图(2)的△ABC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图(2)所示：过点B 作BD ⊥AC 于点D ， ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单)锐角三角函数的概念在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，则∠A 的正弦sin A ＝∠A 的对边斜边＝①a c余弦 cos A ＝∠A 的邻边斜边＝②bc正切tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝③a b特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60° sin α 12④__22__32 cos α 32 22⑤__12__tan α⑥__33__13解直角三角形解直角三角形常用的关系： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则三边关系 ⑦__a 2＋b 2＝c 2__ 两锐角关系⑧∠A ＋∠B ＝90°边角关系sin A ＝cos B ＝accos A ＝sin B ＝bctan A ＝ab解直角三角形的应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．如图①坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h 和⑪__水平宽度__l 的比叫坡度(坡比)，用字母i 表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i ＝tan α＝⑫__hl__.如图②方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做⑬__方位角__，如图③，A 点位于O 点的北偏东30°方向，B 点位于O 点的南偏东60°方向，C 点位于O 点的北偏西45°方向(或西北方向)【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(2016攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝________. 【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°. 【学生解答】75°【点拨】熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．1．(2016唐山九中一模)在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(2016温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是( D ) A .34 B .43 C .35 D .453．(2016无锡中考)sin 30°的值为( A ) A .12 B .32 C .22 D .334．(2016孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2解直角三角形的实际应用【例2】(2016钦州中考)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6 m 的B 处安置高为1.5 m 的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A 作AH ⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，可求出CH ，进而CD ＝CH ＋HD ＝CH ＋AB ，再在Rt △CED 中，求出CE 的长．【学生解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ， 由题意，可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°， ∴AB ＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6.在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CHAH ，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5，在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(m )，∴拉线CE 的长约为5.7 m .【方法总结】解此类题的一般方法：(1)作出辅助线，构造直角三角形；(2)利用锐角三角函数将各边之间的关系表示出来；(3)根据已知条件求值．5．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__210__cm .(第5题图)(第6题图)6．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20 n mile 到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于__103__n mile .7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2 cm .若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为__2.7__cm .(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2km .有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船的北偏西60°的方向，从B 处测得小船的北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 处测得小船在北偏西15°的方向，求点C 与点B 这间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D.设PD ＝x km .在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°，∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴AD ＝3PD ＝3x.∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ；(2)如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F.根据题意，得∠ABC ＝105°，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°，∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为2 km .,中考备考方略)1．(2016山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )A ．2B .255C .55D .12(第1题图)(第2题图)2．(2016济宁中考)如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2，AC ＝3 5 m ，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB ＝10 m ，则旗杆BC 的高度为( A )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．(3＋5)m3．(2016乐山中考)如图，在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC4．(2016永州中考)下列式子错误的是( D ) A ．cos 40°＝sin 50° B ．tan 15°·tan 75°＝1C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin 60°＝2sin 30°5．(2016福州中考)如图，以圆O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)6．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB ′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A .11－sin α mB .11＋sin αmC .11－cos α mD .11＋cos αm(第6题图)(第7题图)7．(2016金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4 m ，楼梯宽度1 m ，则地毯的面积至少需要( D )A .4sin θ m 2B .4cos θm 2 C .⎝⎛⎭⎫4＋4tan θm 2 D ．(4＋4tan θ)m 2 8．(2016重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 m 的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20 m ，梯坎坡长BC 是12 m ，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( D )A ．30.6 mB ．32.1 mC ．37.9 mD ．39.4 m(第8题图)(第9题图)9．(2016巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m ，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan 10°C ．AC ＝1.2tan 10° mD ．AB ＝ 1.2cos 10°m10．(2016绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度．(结果精确到1m ，备用数据：3≈1.7，2≈1.4)解：延长PQ 交直线AB 于点 E.(1)∠BPQ ＝90°－60°＝30°；(2)设PE ＝x m ．在直角△APE 中，∠A ＝45°，则AE＝PE＝x m；∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°；在直角△BPE中，BE＝33PE＝33x m，∵AB＝AE－BE＝6 m，则x－33x＝6，解得x＝9＋3 3.则BE＝(33＋3)m，在直角△BEQ中，QE＝33BE＝33(33＋3)＝(3＋3)m.∴PQ＝PE，QE＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m)．答：电线杆PQ的高度约为9 m.11．(2016长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(A) A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m(第11题图)(第12题图)12．(2016廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.927 2，sin46°≈0.719 3，sin22°≈0.374 6，sin44°≈0.694 7)(B)A．22.48海里B．41.68海里C．43.16海里D．55.63海里13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位地东北方向，在后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋103)__m．(结果保留根号)14．(2016潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6 m，CD＝4 m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4，∴DF ＝2，CF ＝CD 2－DF 2＝23，由题意得∠E ＝30°，∴EF ＝DF tan E＝23， ∴BE ＝BC ＋CF ＋EF ＝6＋43，∴AB ＝BE ×tan E ＝(6＋43)×33＝(23＋4)m . 答：电线杆的高度为(23＋4)m .15．(2016广安中考)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5 m ，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB 及两根与FG 垂直且长为1 m 的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D 、C)，且∠DAB ＝66.5°.(参考数据：cos 66.5°≈0.40，sin 66.5°≈0.92)(1)求点D 与点C 的高度DH ；(2)求所有不锈钢材料的总长度．(即AD ＋AB ＋BC 的长，结果精确到0.1 m )解：(1)DH ＝1.5×45＝1.2 m ； (2)过B 作BM ⊥AD 于M ，在矩形BCHM 中，MH ＝BC ＝1 m ，AM ＝AD ＋DH －MH ＝1 m ＋1.2 m －1 m ＝1.2 (m )，在Rt △AMB 中，AB ＝AD cos 66.5°≈3.0 m ， 所以有不锈钢材料的总长度为1 m ＋3.0 m ＋1 m ＝5.0 (m )．。
第17讲直角三角形与锐角三角函数
第17讲直角三角形与锐角三角函数一、考点复习归纳：考点一：直角三角形的性质及判定考点二解直角三角形1.锐角三角函数(1)三角函数的定义及关系(2)特殊角的三角函数的值:2.解直角三角形及其应用(1)解直角三角形的类型:、(2)解直角三角形的实际应用:二、考法研析：考法130°角所对直角边是斜边的一半含30°角的直角三角形具有特殊的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.此结论是由等边三角形的性质推出,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用;②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,以及斜边.例1已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E.求证:BF= FC.分析因为BF与FC不在同一三角形内,所以必须用相等的线段进行转化.因为EF是AB的垂直平分线,所以连接AF,可知BF=AF,在△ACF中,只要证明∠C=30°,∠CAF=90°,再利用有一个角是30°的直角三角形的性质进行证明即可.方法点拨：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”.在题中如果有一个30°的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关系.考法2直角三角形的性质和判定例2在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是()方法点拨直角三角形中线段和角之间的数量关系(1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的重要工具,有时也用于证明线段相等;(2)角:直角三角形的两锐角互余,可用来计算角的大小,也是证明角相等的重要工具;(3)斜边中线:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另外还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则∠C=90°;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用.考法3锐角三角函数值的求法例3(2016·贵州)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()方法点拨：格点图中求某个角的三角函数值的方法通常的做法是构造合适的直角三角形,然后根据格点来表示出各边的长,从而求出相应的三角函数值.在构造直角三角形时需注意,通常我们要去求的边或是角不要分割,另外就是构造的直角三角形的边尽可能的是整个的格点数,这样便于我们求值.考法4有关特殊角三角函数值的计算分析先分别算出的算术平方根、30°角的正弦值以及负指数幂与零指数幂的化简,再把所得的各结果相加减.方法点拨1.一般地, =|a|;2.特殊角的锐角三角函数值要记熟,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相关定理与性质直接推导计算也可;考法5锐角三角函数的应用例5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A的值为()答案C解析设BC=m,则AB=2m,根据勾股定理可求得AC= m,方法点拨：求直角三角形中某锐角的三角函数值,常需利用勾股定理求出有关边长,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转化到直角三角形中.考法6解直角三角形的实际应用例6(2016·黑龙江大庆)一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为多少海里/时?方法点拨：1.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形;有时所给的角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.另外,当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.2.一般过程是:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形,转化为解直角三角形问题).(2)根据题目已知特点选用适当锐角三角函数(或边角关系)去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.三、作业：1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC=.2.“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:≈1.41,≈1.73)3.如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为() A. B.2 C. D.4.如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是多少？。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
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第17讲 锐角三角函数（解直角三角形）☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，则∠A 的正弦：sinA=∠A 的对边斜边= a c ； ∠A 的余弦：cosA=∠A 的邻边斜边= bc∠A 的正切：tanA=∠A 的对边∠A 的邻边= ab ； 它们统称为∠A 的锐角三角函数[注意] 锐角三角函数值只与角的大小有关，与 边的长度 无关. ☞归纳2. 特殊角的三角函数值sin30°=12； cos30°； tan30°sin45°= 2； cos45°= 2 ； tan45°= 1sin60°； cos60°= 12； tan60°☞归纳3. 解直角三角形(1) 定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即 3 条边和 2 个锐角． 由这些元素中的一些已知元素，求出其它未知元素的过程叫做 解直角三角形 (2) 常用关系：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则：①三边关系(勾股定理)：22a b += 2c ②两锐角关系(互余)：∠A ＋∠B= 90° ③边与角关系：锐角三角函数☞归纳4.解直角三角形的应用中的专业名词(1)仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的叫仰角．．， 视线在水平线 下方 的叫俯角．． (2)坡度和坡角坡度: 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i =hl坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ：i=tana(3)方向角(或方位角): 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、锐角三角函数的概念及特殊角函数值【例1】（2015崇左）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）A. sinA=1213B. cosA=1213C. tanA=512D. tanB=125【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12,根据勾股定理得5=A 选项, 12sin 13BC A AB ==，正确； B 选项, 5cos 13AC A AB ==, 错误; C 选项, 12tan 5BC A AC ==, 错误; D 选项, 5tan 12AC B BC ==, 错误;【例2】（2016永州）下列式子错误的是（ ）A. cos40°=sin50°B. tan15°•tan75°=1C. sin 225°+cos 225°=1 D. sin60°=2sin30° 【答案】D【解析】sin60°=2，sin30°=12，所以sin60°=2sin30°错误【举一反三】1. (2016无锡) sin30°的值为（ ）A.12C. 2【答案】A【解析】只需熟记特殊角的三角函数值表。
2. (2015玉林) 22cos 45sin 45+=（ ）A.12 B. 1 C. 14D. 2【答案】B【解析】2222211cos 45sin 45()(12222+=+=+=☺ 题型二、解直角三角形【例3】（2016兰州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】D【解析】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 5BC A AB ==,又因为BC=6， 所以3610sin 5BC AB A ==÷=【举一反三】3. (2016怀化) 在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=45，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C【解析】因为在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=BC AB =45，假设BC=4a ，AB=5a ， 根据勾股定理，得到AC 2+BC 2=AB 2，即62+（4a ）2=（5a ）2，解得：a=2或a=﹣2（舍去）， 所以BC=4a=8cm4. (2016襄阳) 如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ( )A.12B. 5C. 10D. 5【答案】B【解析】如下图所示，过C 作CD ⊥AB 交于点D ，根据勾股定理易求得BC ＝2，AB ＝，所以S △ABC ＝112322CD ⨯⨯=⨯，解得：CD ，又因为AC所以，sin CDAAC =＝55. (2016白银) 如图，点A(3, t) 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=32， 则t 的值是____________【答案】92【解析】如下图所示，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （3，t ）在第一象限，∴AB=t ，OB=3， 又∵tan α=3AB t OB ==32，∴t=92☺ 题型三、解直角三角形的实际运用【例4】(2016岳阳) 如图，一山坡的坡度为i =A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了 米．【答案】100【解析】根据坡度的定义得到tanA= tan3BC A AC ===, 所以030A ∠=， 011t 30200100()22R ABC A BC AB m ∠=∴==⨯=V Q 在中，，【举一反三】6. (2016南宁) 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A. 5sin36°米B. 5cos36°米C. 5tan36°米D. 10tan36°米【答案】C【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=ADBD，∴AD=BD•tan36°=5tan36°7. (2016宁波) 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）(第7题图) (第8题图)【答案】【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE（m），∴（m）．∴旗杆高BC为．8. (2016枣庄) 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为 米（结果精确到0.1） 【答案】2.9【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m ，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC ）2，代入数可得答案．【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，∴DM=4m ， ∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米， ∵∠MBC=30°，∴BC=2MC ， ∴222(2)MC MB MC +=22122(2)MC MC += ∴则﹣4≈2.9（米）．☞【巩固提升自我】☜1. (2016广东) 如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4, 3），那么cos α的值是（ ） A.34 B. 43 C. 35 D. 45图1 图2 【答案】D 【解析】【解析】如下图所示，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （4，3）在第一象限，∴AB=3，OB=4，根据勾股定理得到AO=5 ∴cos α=45OB AO =,2. (2016深圳) 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图2，无人飞机从A 处水平飞行 至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°． 已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）【分析】如图，作AD ⊥BC ，BH ⊥水平线，根据题意确定出∠ABC 与∠ACB 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由CD+BD 求出BC 的长， 即可求出BH 的长．【解答】如图，作AD ⊥BC ，BH ⊥水平线，由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB ∥CH ， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°， ∵AB=32m ，m ，∴BC=CD+BD=（m ，则BH=BC•sin30°=（）m ．3. (2016茂名) 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度， 先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上 的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离AD ；（结果保留根号） （2）求旗杆CD 的高度．【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD 的长；（2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．【解答】解：（1）∵教学楼B 点处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m ，∴AD=4tan tan 30AB ADB =∠（m ），答：教学楼与旗杆的水平距离是；（2）∵在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，m ，（m ），答：旗杆CD 的高度是12m ．4. (2016广州) 如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B, D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续 飞行30m 到达A′处，（1）求A ，B 之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过A′作A′E⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A′D，于是得到A′E=AC=60，，在Rt △ABC 中，求得DC=3可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ，∴AB=0sin 30AC =6012=120（m ）；（2）过A′作A′E⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A′D，则在Rt △ABC 中，AC=60m ，∠ADC=60°， ∴∴∴tan ∠AA′D=tan∠A′DC='A E DE答：从无人机A′上看目标D。