2017届中考数学专题复习第6章锐角三角函数第17讲锐角三角函数解直角三角形

第17讲 锐角三角函数（解直角三角形）

☞【基础知识归纳】☜

☞归纳1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，

则∠A 的正弦：sinA=∠A 的对边斜边= a c ； ∠A 的余弦：cosA=∠A 的邻边斜边= b

c

∠A 的正切：tanA=∠A 的对边∠A 的邻边= a

b ； 它们统称为∠A 的锐角三角函数

[注意] 锐角三角函数值只与角的大小有关，与 边的长度 无关. ☞归纳2. 特殊角的三角函数值

sin30°=

1

2

； cos30°； tan30°

sin45°= 2； cos45°= 2 ； tan45°= 1

sin60°； cos60°= 1

2

； tan60°

☞归纳3. 解直角三角形

(1) 定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即 3 条边和 2 个锐角． 由这些元素中的一些已知元素，求出其它未知元素的过程叫做 解直角三角形 (2) 常用关系：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则：

①三边关系(勾股定理)：22a b += 2c ②两锐角关系(互余)：∠A ＋∠B= 90° ③边与角关系：锐角三角函数

☞归纳4.解直角三角形的应用中的专业名词

(1)仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的叫仰角．．， 视线在水平线 下方 的叫俯角．． (2)坡度和坡角

坡度: 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i =h

l

坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ：i=tana

(3)方向角(或方位角): 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角

☞【常考题型剖析】☜

☺ 题型一、锐角三角函数的概念及特殊角函数值

【例1】（2015崇左）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，

则下列三角函数表示正确的是（ ）

A. sinA=1213

B. cosA=1213

C. tanA=512

D. tanB=12

5

【答案】A

【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12,根据勾股定理得5=

A 选项, 12sin 13BC A A

B =

=，正确； B 选项, 5

cos 13AC A AB ==, 错误; C 选项, 12tan 5BC A AC ==, 错误; D 选项, 5

tan 12

AC B BC ==, 错误;

【例2】（2016永州）下列式子错误的是（ ）

A. cos40°=sin50°

B. tan15°•tan75°=1

C. sin 2

25°+cos 2

25°=1 D. sin60°=2sin30° 【答案】D

【解析】sin60°=2，sin30°=1

2

，所以sin60°=2sin30°错误

【举一反三】

1. (2016无锡) sin30°的值为（ ）

A.

1

2

C. 2

【答案】A

【解析】只需熟记特殊角的三角函数值表。

2. (2015玉林) 22cos 45sin 45+=（ ）

A.

12 B. 1 C. 1

4

D. 2

【答案】B

【解析】2

2

22211

cos 45sin 45(

)(12222

+=+=+=

☺ 题型二、解直角三角形

【例3】（2016兰州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=

3

5

，BC=6，则AB=（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】D

【解析】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，3

sin 5

BC A AB =

=,又因为BC=6， 所以3

610sin 5

BC AB A =

=÷=

【举一反三】

3. (2016怀化) 在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=

4

5

，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C

【解析】因为在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=

BC AB =4

5

，假设BC=4a ，AB=5a ， 根据勾股定理，得到AC 2

+BC 2

=AB 2

，即62

+（4a ）2

=（5a ）2

，解得：a=2或a=﹣2（舍去）， 所以BC=4a=8cm

4. (2016襄阳) 如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ( )

A.

1

2

B. 5

C. 10

D. 5

【答案】B

【解析】如下图所示，过C 作CD ⊥AB 交于点D ，根据勾股定理易求得BC ＝2，AB ＝，

所以S △ABC ＝

11

2322

CD ⨯⨯=⨯，解得：CD ，又因为AC

所以，sin CD

A

AC =

＝5