中考数学几何专题——手拉手模型一

手拉手模型

一、手拉手模型

1.手的判别：人站在等腰三角形顶角的位置，张开双臂，左手边的腰为左手，右手边的腰为右手。

2.手拉手模型的定义：

两个等顶角的等腰三角形组成的图形，且顶角的顶点为公共顶点。（顶角相等、等腰三角形、共顶点）

条件模型结论特殊结论

△ABC与△CDE是等腰三角形，且

∠ACB=∠DCE (1)

D ACD@D BC

E (SSS)

(2)AD=BE

(左手拉左手，右手拉右手)

(3)ÐBHA=ÐBCA

(4)HC平分ÐAHE

△ABC与△CDE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°(5)S D BCD=S D ACE

(6)

BD2+AE2=AB2+DE2

正方形ACBP与正方形CEQD是正方形

△ABC 与△CDE是等边三角形(5)D ACM@D BCN

D DCM@D ECN

(6) CM=CN

(7)D CMN是等边三角形

(8)MN∥AE，CD∥AB, CB∥DE

(9) BH+CH=AH

DH+CH=EH

二、手拉手模型的变形：（两三角形相似，且对应角共顶点）

条件模型结论

D BAC∽D DAE,且ÐDAE=ÐBAC (1)D BAD∽D CAE(两边对应成比例且夹角相等) (2)

BD

CE

=

BA

CA

(3) ÐBHC=ÐBAC

【巩固练习】

1、如图所示，若△ABC、△ADE都是正三角形，试比较线段BD与线段CE的大小.

2、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（）

3、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：

（1）说明四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？

4、问题情境：

如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2，CD=CE=1，点D在

AC 边上，点E 在BC 延长线上。将△DCE 从此位置开始绕C 点顺时针旋转，旋转角是a(0°﹤a ﹤180°)。 操作发现：

（1）如图2，当旋转角a=45°时，连接AD 。求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）如图3，当0°﹤a ﹤90°，连接BD ，AE ，判断线段BD 和AE 的数量关系，并说明理由； 解决问题：

（3）如图4，当0°﹤a ﹤180°，连接AD ，点F ，G ，H 分别是线段AB ，AD ，DE 中点，连接

FG ，GH ，FH 。在△CDE

旋转的过程中，AE

和

BD

的数量关系

是 ，位置关系是 ，所以△FGH 始终是一个特殊三角形。当旋转角a=135°时，△ FGH 的面积是 。

图1

B

B

B

B

D

5、如图1，将两个等腰直角三角形纸片ABC 和DEC 的顶点C 重合放置，点D 和E 分别在边AC 和BC

上，其中∠C=90°，AC=BC，DC=EC．

（1）操作发现：

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转45°，点D恰好落在AB边上，填空：①线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC面积为S

1，△AEC的面积为S

2

，则S

1

与S

2

的数量关系是．

（2）猜想论证：

当△DEC绕点C继续旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S

1与S

2

的数量关系仍

然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，AC边上的高DM，EN，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究：

已知∠ABC=60°，点D是∠ABC平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S △DCF=S△BDE，请直接写出相应的线段BF的长．

6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接BD，连接CF并延长，交BD于点G，则线段CG的长等

于。

7、如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE 相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．

8、看图完成下列各题。

【探索发现】如图1，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF之间的数量关系为。【类比探究】在（1）条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE 与AF之间的数量关系有无变化？请仅就图（2）的情形说明理由。

【联想拓展】①如图3，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，延长BC至点P，且以DP为一边作正方形DPMN，使点A在DN上，连接AP，BN，猜想AP与BN之间的数量关系；

②如图4，将正方形DPMN绕点D逆时针旋转a(0°

【解决问题】在（3）②条件下，若BC=DP=4，当旋转角a为多少度时，AP取得最大值？直接写出AP取得最大值时a的度数及AM的长。

9、