分式运算方法

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分式运算的技巧

【精练】计算：

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.

【解】=

=

=

【知识大串联】

1．分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简

2、分式的基本性质

（M为不等于零的整式）

3．分式的运算

(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．

(异分母相加，先通分)；

4．零指数

5．负整数指数

注意正整数幂的运算性质

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．

分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．

1．顺次相加法

例1：计算：

【分析】本题的解法与例1完全一样.

【解】=

=

=

2．整体通分法

【例2】计算：

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.

【解】==.

3．化简后通分

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．

4．巧用拆项法

例4计算：.

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.

解：原式=

=

==

5．分组运算法

例5：计算：

分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.

解：

=

=

=

=

=

【错题警示】

一、错用分式的基本性质

例1化简

错解：原式

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、错在颠倒运算顺序

例2计算

错解：原式

分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.

正解：原式

三、错在约分

例1 当为何值时，分式有意义？

[错解]原式.

由得.

∴时，分式有意义.

[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.

[正解]由得且.

∴当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

例2 为何值时，分式有意义？

[错解]当，得.

∴当，原分式有意义.

[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.

[正解] ，得，

由，得.

∴当且时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3 计算.

[错解]原式

=.

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

[正解]原式

.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当为何值时，分式的值为零.

[错解]由，得.

∴当或时，原分式的值为零.

[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

[正解]由由，得.

由，得且.

∴当时，原分式的值为零.

七、错在“且”与“或”的用法

例7 为何值时，分式有意义

错解：要使分式有意义，须满足，即.

由得，或由得.

当或时原分式有意义.

分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与

同时成立，才能保证一定成立.

故本题的正确答案是且.

八、错在忽视特殊情况

例8解关于的方程.

错解：方程两边同时乘以，得，即.

当时，，

当时，原方程无解.

分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.

正解：方程两边同时乘以，得，即

当且时，，当或时，原方程无解.