分式的运算2
(完整版)分式加减乘除运算
（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
分式的乘除法
分式的乘除法分式是数学中的一种表示形式，它由分子与分母组成，分子表示被分割的数量，分母表示分割成的份数。
在分式中，乘法和除法是常见的运算。
本文将介绍分式的乘法和除法的规则和运算方法。
一、分式的乘法分式的乘法是指两个或多个分式相乘的操作。
下面是分式乘法的规则：规则1：分子乘以分子，分母乘以分母。
示例1：(2/3) * (5/7) = (2 * 5) / (3 * 7) = 10/21规则2：任意常数乘以分式，可以将常数作为分子或分母的一部分。
示例2：3 * (4/5) = (3 * 4) / 5 = 12/5规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(8/12) * (3/5) = (8/3) * (3/5) = 24/15 = 8/5二、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的操作。
下面是分式除法的规则：规则1：除法可以等价为乘法。
示例1：(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6规则2：除法的倒数等于分子和分母交换位置后的分式。
示例2：(3/4) ÷ (2/3) = (3/4) * (3/2) = (3 * 3) / (4 * 2) = 9/8规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(4/6) ÷ (2/3) = (4/6) * (3/2) = (4 * 3) / (6 * 2) = 12/12 = 1/1 = 1三、分式乘除法的综合运算分式乘除法可以结合使用，需要按照运算的优先级和顺序进行计算。
下面是一个综合运算的示例：示例：(2/3) * (3/4) ÷ (4/5) = (2/3) * (3/4) * (5/4) = (2 * 3 * 5) / (3 * 4 * 4) =30/48 = 5/8四、小结分式的乘法和除法是分式运算中常见的操作，掌握其规则和运算方法对于数学学习和实际计算都非常重要。
初中数学分式及其计算
1、分式的概念
A
A
一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成 的形式，如果 B 中含有字母，式子 就叫做
B
B
分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
A
A
A
当 B≠0 时，分式 有意义，当 B=0 时，分式 无意义；当 A=0 且 B≠0，分式 的值等于 0.
＝
＝
，
．
故选：A．
)
，
D．
5.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误(
A．①
B．②
【解答】解：
＝
﹣
﹣
＝
＝
．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
)
C．③
D．④
﹣
6.已知 P＝
(a≠±b)
(1)化简 P；
(2)若点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
解：(1)P＝
﹣
＝
(2)∵点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
)
【解析】(x+3
x3
x3
x2 9
7
2 x2 8x
=(
)
x 3 x 3
x3
x 3
( x 4)( x 4)
·
2 x( x 4)
x 3
x4
，
2x
当 x=1 时，原式
1 4 5
．
2 1 2
a b 2 2a 2b
4a 2
3a
14 先化简，再求值：(
B
B
B
2、分式的性质
(1)分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式， 分式的值不变。
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式平方计算方法
分式平方计算方法分式平方计算方法在数学中有着广泛的应用，它指的是将一个分式进行平方运算。
分式平方不仅可以用于简化复杂的数学问题，还能帮助我们更好地理解数学概念。
下面将详细介绍分式平方的计算方法及相关实用技巧。
一、分式平方的定义和意义分式平方是指将一个分式（分子与分母都是代数式的形式）进行平方运算。
例如，对于分式：(a+b)/(c+d)，其分式平方为：[(a+b)/(c+d)]^2。
分式平方的意义在于，它将原分式中的加法、减法、乘法、除法等运算转化为乘法运算，从而便于我们进行进一步的计算。
二、分式平方的计算方法1.分子平方：将分子进行平方运算，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
2.分母平方：将分母进行平方运算，即(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2。
3.分子与分母的乘积：计算分子与分母的乘积，即(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。
4.代入分式平方公式：将分子平方、分母平方和分子与分母的乘积代入分式平方公式，即[(a+b)/(c+d)]^2 = (a^2 + 2ab + b^2) / (c^2 + 2cd +d^2)。
三、实例演示与计算例子：求分式平方(3x+2)/(x+1)。
1.分子平方：3x^2 + 12x + 4。
2.分母平方：x^2 + 2x + 1。
3.分子与分母的乘积：3x(x+1) + 2(x+1) = 3x^2 + 5x + 2。
4.代入分式平方公式：[(3x+2)/(x+1)]^2 = (3x^2 + 12x + 4) / (x^2 + 2x + 1)。
四、注意事项与实用技巧1.在进行分式平方计算时，务必确保分母不为零，以免出现错误。
2.分式平方计算过程中，可以先进行分子、分母的平方，再进行相除运算，以提高计算效率。
3.当分式较为复杂时，可以通过分式平方简化问题，便于进一步分析和解题。
通过以上介绍，相信大家对分式平方的计算方法有了更加清晰的认识。
21.3分式的运算：2.分式的加减法
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跟进练习
x 1 x2 1.( + ) x 2 2 x x +1 x+ y x+z 2. ( x y )( z y ) ( y x)( y z )
3 1 应该怎样计算？ 如 + 应该怎样计算？ a 4a
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想一想
探索异分母分式的 加减法的法则
请你先完成下 1 2 3 + 1、计算： 计算： 面的计算！ 2a 3a 4a 2、与异分母分数的加减法类似，异 与异分母分数的加减法类似， 分母分式相加减，需要先通分， 分母分式相加减，需要先通分，变为 同分母的分式， 同分母的分式，然后再加减 。
4 xy (6) x y + . x y
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跟进练习
12 2 (2) 2 + m 9 3 m
2
a b (3)a + b +1 a b ba x+2 x 1 4 x (4)( 2 2 )÷ 2 x 2x x 4x + 4 x 2x
2
a +b a b 2ab (5)( 2 )÷ 2 a b a + b (a b)(a + b)
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延伸与拓展
链接一： 链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到 乙两地相距s千米， 乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/ (v+a)千米 乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/ 时的速度行驶，可提前多少小时到达？ 时的速度行驶，可提前多少小时到达？
mn 3 n = ，则 的值等于（ ） 链接二： 的值等于（ 链接二：若 n 4 m
金塔县金塔镇中学数学教师
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
分式的运算
a
b
c
12、若 1 + 1 = 5 ，则分式 2x − 3xy + 2 y = _______
xy
x + 2xy + y
13、计算：
第4页共6页
（1） ( 2x − 3 −1) ÷ x2 − 9
x
x
E you education
（2）
1 − 1 ÷ x +1 x +1 x2 −1 x2 − 2x +1
遇到括号时，要先算括号里面的。
（2）注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算
规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果
必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
5、例题解析： 例题 1：将分式 x +1 化成分母分别为下列整式的分式：
⎞n ⎟⎠
=
an bn
（其中
n
为正整数，a≠0）；
（3）注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、
乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最
后结果要化到最简。
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E you education
4、分式的混合运算：
（1）运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分
式之和的形式参与运算，可使运算简便。
3、分式的乘方：
（1）规定 a− p
=
1 ap
（其中 a
≠
0 ，p
分式的加减乘除
分式的加减乘除分式是数学中的一种常用表示方法，用于表示一个数与另一个数之间的比率关系。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在本文中，我们将详细介绍分式的加减乘除运算。
一、分式的加法分式的加法是指将两个分式相加的运算。
我们可以通过以下步骤来完成分式的加法：Step 1：找到两个分式的公共分母。
Step 2：将两个分式的分子分别乘以对方的公共分母。
Step 3：将两个分式的分子相加，并将结果放在一个新的分子上。
Step 4：将两个分式的公共分母保持不变，并将结果放在一个新的分数上。
Step 5：将新的分子和分母进行约分，得到最简分数。
例如，我们有以下两个分式需要相加：1/3 + 2/5Step 1：两个分式的公共分母为15。
Step 2：将1/3乘以5/5，得到5/15；将2/5乘以3/3，得到6/15。
Step 3：5/15 + 6/15 = 11/15。
Step 4：保持公共分母为15。
Step 5：11/15已经是最简分数。
所以，1/3 + 2/5 = 11/15。
二、分式的减法分式的减法是指将一个分式减去另一个分式的运算。
我们可以通过以下步骤来完成分式的减法：Step 1：找到两个分式的公共分母。
Step 2：将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母。
Step 3：将第二个分式的分子乘以第一个分式的分母。
Step 4：将第一个分式的分子减去第二个分式的分子，并将结果放在一个新的分子上。
Step 5：将两个分式的公共分母保持不变，并将结果放在一个新的分数上。
Step 6：将新的分子和分母进行约分，得到最简分数。
例如，我们有以下两个分式需要相减：3/4 - 1/8Step 1：两个分式的公共分母为8。
Step 2：将3/4乘以2/2，得到6/8。
Step 3：将1/8乘以4/4，得到4/32。
Step 4：6/8 - 4/32 = 24/32 - 4/32 = 20/32。
Step 5：保持公共分母为32。
分式的乘除运算
分式的乘除运算分式的乘除运算是数学中常见的运算方法，它可以用来计算两个或多个分数之间的乘法和除法。
在进行分式的乘除运算时，我们需要注意一些规则和技巧，以确保计算结果的准确性。
下面将详细介绍分式的乘除运算，并给出一些例子来帮助理解。
1. 分式的乘法：分式的乘法是指将两个分数相乘的运算。
要进行分式的乘法，我们需要将两个分数的分子和分母分别相乘，并将结果作为新分数的分子和分母。
例如，计算以下分式相乘：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$首先，将两个分数的分子相乘：$2 \cdot 4 = 8$；然后，将两个分数的分母相乘：$3 \cdot 5 = 15$；最后，将相乘得到的分子和分母组合在一起，得到最简分数：$\frac{8}{15}$。
因此，$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
2. 分式的除法：分式的除法是指将一个分数除以另一个分数的运算。
要进行分式的除法，我们需要将被除数乘以除数的倒数，即将被除数与除数的倒数相乘。
例如，计算以下分式相除：$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$首先，找出除数的倒数，即将除数的分子和分母互换位置：$\frac{5}{4}$；然后，将被除数乘以除数的倒数：$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}$；接下来，按照分式的乘法规则计算：$2 \cdot 5 = 10$，$3 \cdot 4 = 12$；最后，将相乘得到的分子和分母组合在一起，得到最简分数：$\frac{10}{12}$，可以约分为$\frac{5}{6}$。
因此，$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{6}$。
3. 分式的乘除运算混合计算：分式的乘除运算可以根据需要进行混合计算，先进行乘法，再进行除法。
例如，计算以下分式的乘除运算：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \div \frac{1}{2}$首先，按照分式的乘法规则计算乘法部分：$\frac{2}{3} \cdot\frac{4}{5} = \frac{8}{15}$；然后，将除法运算转化为乘法运算，即将除数的倒数作为新的分数相乘：$\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{1}$；按照分式的乘法规则计算：$8 \cdot 2 = 16$，$15 \cdot 1 = 15$；最后，将相乘得到的分子和分母组合在一起，得到最简分数：$\frac{16}{15}$。
分式的运算法则公式
分式的运算法则公式一、分式的加法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的和可以表示为一个新的分式：a/b + c/d = (ad + bc)/bd例如：1/2+2/3=(1*3+2*2)/(2*3)=7/6二、分式的减法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的差可以表示为一个新的分式：a/b - c/d = (ad - bc)/bd例如：2/3-1/4=(2*4-1*3)/(3*4)=5/12三、分式的乘法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)例如：1/2*2/3=(1*2)/(2*3)=1/3四、分式的除法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的除法可以表示为一个新的分式：(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)例如：1/2÷2/3=(1/2)*(3/2)=(1*3)/(2*2)=3/4五、带分数的乘积法则公式设a是一个整数，b/c是一个带分数，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：a*(b/c)=(a*b)/c例如：2*(11/2)=(2*3)/2=3设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的倒数可以表示为一个新的分式：1/(a/b)=b/a例如：1/(2/3)=3/2设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的负数可以表示为一个新的分式：-(a/b)=(-a)/b=a/(-b)例如：-(2/3)=(-2)/3=2/(-3)以上就是关于分式的运算法则公式的详细介绍。
通过运用这些公式，我们可以简化分式的运算，更加方便地求解分式的加减乘除问题。
分式的乘除加减运算
分式的运算 姓名：1、 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 用式子表示为：db c a d c b a ⋅⋅=⋅ 2、 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为：c bd a c d b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷ 3、分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. n b a )(=n nba . （n 为正整数） 4、分式加减法的法则是：（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=± （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 一、计算1、3232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a 2、32432⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a b a b3、2223x y mn ·2254m n xy ÷53xym n ．4、22121a a a -++÷21a a a -+．5、2216168m m m -++÷428m m -+·22m m -+． 6．计算22121a a a -++÷21a a a -+．二、计算(1)213x ＋34x (2) 56ab －23ac ＋34abc． （3） 23---x x x x（4）39y y --259y -； (5) a a -+-21442 (6)2m m n +-m+n三、计算1、1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 2、222)2222(x x x x x x x --+-+-3、22224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 4、x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+四、先化简，后求值：1、已知：2a =2b =+322222222a b a b a ab a ab b a b+-÷++-的值．2、3,32,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中。
分式的加减法
分式的加减法
知识要点：
1、多个分式之间用“+”“－”连接起来的运算叫分式的加减法。
2、同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
3、通分：利用分式基本性质，将异分母分式化成同分母分式的过程。
4、异分母的分式相加减，先通分，化成同分母分式相加减，再按同分母分式相
加减的运算法则运算。
注意：整式与分式相加减时，可以把整式看成分母为1的式子。
解题方法：
1、先将分式中所有分母分解因式，若不能分解的，把分母本身看成一个因式。
2、确定公分母：取所有分母系数的最大公倍数作为公分母的系数，取所有分母
中含未知数的不同因式和相同因式的最高次幂的乘积作为公分母的字母项，系数与字母项的乘积作为公分母。
（注意：互为相反数的因式，可以提出负号，使其变成相同的因式）
3、用公分母分别除以各个分式原来的分母，把商分别与各分式的分子相乘，所
得的积作为各分式的分子。
4、把公分母作为最后和或差的分母，把各个变化后的分子相加减。
各个分子的
符号与各个分式前的符号相同，如果分子是多项式，要在分子两端加括号。
5、能合并的合并，能约分的约分。
最后化简成最简分式。
同分母和异分母相加减混合运算方法：
1、合并同分母项，移项时要注意与分式前的符号一起移动。
2、再按异分母分式加减法则进行计算。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
分式的运算-2.分式通分PPT课件
3c 3c5bc2 4a2b 4a2b5bc2
201a5b 2bc23c2,
5b 2ac2
25 ab c211 00 aa bb 22
20 5a 02 abb23c2.
2020年9月28日
11
方法归纳
确定最简公分母的方法： （1）系数：各分母系数的最小公倍数； （2）字母：各分母的所有字母的最高次幂；
44x12x2与x211.
解：（3）最简公分母是3(a-3)(a+3),
3 a 2 93a 2 3 a a 33,a a 2 1 93a 3 3 a a 1 3;
（4）最简公分母是2x(2-x)(x+1)(x-1),
1 4x 2x2
x 1 2x2 xx
x 1 1x
1
,
1 x2 1
2x
2
8
练一练
找最简公分母:
(1)
3 2a2
与
b 3ac
；
(2)
3 与ab； 2a2b ab2c
(3) 2 与 3x ； x(x5) x5
(4) 2xy 与 x . x22xyy2 x2y2
6a 2c
2a 2b 2c
x(x-5)（x+5） (x+y)2 (x-y)
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例3 通分:
(1)
2 a2 b2c
最简公分母
最小公倍数 最高次幂 单独字母
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(2) 2x 与 3x . x5 x5
（ 1 x 5）（ 1 x 5）
1 （ x -5）（ x + 5） 不同的因式
提醒：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最 小公倍数，因式取各分母中所有因式的最高次幂.
2.2 分式的运算
2.2 分式的运算破解策略1．分式的运算技巧在分式的运算中，可根据分式的具体特点，选择合适的方法，从而简化运算过程．常见的分式运算的技巧如下．（1）分组通分法若算式中各个分式中分母之间有部分相同或存在某种对称关系，可先进行适当分组通分，然后再整体通分（2）整体通分法算式中既有分式又有整式，可把整式部分看成分母为1的分式，然后整体通分，简化运算．（3）逐项通分法算式中的分式的各分母之间存在某种递进关系，若一次通分计算量太大，可利用这种递进关系逐步通分，避免复杂的计算．（4）约简法观察每个分式的分子、分母，如有公因式，则可先约分，再选用适当的方法通分，这样可简化运算过程．（5）裂项法若通分相加较复杂，可考虑把每个分式分解成几个分式之和的形式，然后再运算．常见的裂项形式有：①A BAB+＝AAB±BAB＝1B±1A；②mA nBAB±＝mAAB±nBAB＝mB±nA；③1(1)n n+＝1n－11n+；④1()n n k+＝1k(1n－1n k+)．（6）分离常数法①当算式中分式的分子次数与分母次数相同时，可先利用分离常数法对分子进行降次后再通分，从而降低运算的复杂程度．例如：321mm-+＝－231mm-+＝－2(1)51mm+-+＝－2＋51m+．②当算式中分式的分子次数高于分母次数时，类似于分离常数法，可将假分式变形成一个整式与一个真分式分式的和，从而减少运算量．例如2223a aa-+-＝(3)(1)53a aa-++-＝a＋1＋53a-．（7）换元法观察每个分式，如有相同的部分，可以设一个变量来替换相同的部分，从而简化运算过程．2．分式中求代数式的值在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解．（1）直接代入法先将分式化简为最简分式或整式，然后直接代入已知量得到分式的值．（2）整体代入法把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，然后整体代入求值；或先把条件进行化简采用上述方法求值．（3）公式变形法若求解的分式中含有两数（或两式）的平方和时，可考虑用完全平方公式对分式进行恒等变形；若含有两①()2222a b a b ab +=+-；②()2222a b a b ab +=-+；③()()224a b a b ab +--=；④()()22222a b c a b c ab ac bc ++=++-++．（4）参数法如果代数式中字母较多，整体较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，然后用含有参数的代数式来表示已知中的变量，得到关于参数的分式，然后再化简求值．这种方法在解答含有比例式的题目时最为常见．（5）倒数法在进行某些分式求值时，有时会出现已知条件或所求分式不易化简变形的问题．但如果把该式的分子、分母颠倒，变形就会容易许多，此类问题通常采用倒数法来解决．（6）利用方程思想将已知的等式看成方程（或方程组），将其中一个未知量当作已知量，从而先用该未知量表示出其他的未知量，再代入所求的分式进行计算．（7）利用比例的性质若已知条件是比例式，可利用比例的性质将其变形，得到新的关系式，然后再选择合适的方法来求分式的值．常用的比例的性质有： ①合比性质：如果a cb d =，那么a bcd b d++=； ②分比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d--=； ③合分比性质：如果1a c b d =≠，那么a b c d a b c d++=--； ④等比性质：如果()0a c m b d n b d n ===+++≠……，那么a c m a b d n b+++=+++……． （8）特殊值法 根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程．3．分式的值为整数如果分式的值为整数，根据整除的性质，可知分式的分母一定是分子的约数．（1）若分式的分子或分母为常数，则可以直接求解；（2）若分式的分子、分母都含有字母，则可利用分离常数法，将分式分解成一个整式与一个分子或分母为常数的分式之和，再解之．例题讲解例1计算：12212112x x x x -+---++ 分析：观察算式中每个分式的分母，利用分组通分法即可． 解答：例2 计算：211x x x +-- 分析：算式中既有分式又有整式，可利用整体通分法计算．解答：例3 计算：2411241111x x x x+++-+++ 分析：从算式中每个分式的分母来看，适合用平方差公式进行逐步通分． 解答：例4 计算：222263223a a a a a a ++-+++- 分析：先因式分解各分式的分母，发现算式中每个分式的分子、分母都有公因式，故可先约分再通分． 解答：例5计算：（1）2221113256712x x x x x x ++++++++ （2）222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+ 分析：（1）先因式分解分式的分母，然后利用()11111n n n n =-++来裂项，再两两相抵消，即可得出结果；（2）先因式分解各分式的分母，然后利用11A B AB A B +=+来裂项，再将同分母分式相结合即可．例6 计算：（1）23451234x x x x x x x x ++++--+++++ （2）2223225312a a a a a a ++++-++分析：（1）算式中每个分式的分母与分子都同次，可利用分离常数法简化计算；（2）每个分式的分子都比分母次数高，类似于分离常数法，将每个假分式都化成整式与真分式之和的形式．例7 计算：()()()()()()()()()()()()222222y x z x z y x y x z y z x y z x y z x y z y z x y z x x y z ------++-++-+-+-+--+ 分析：注意到各分式的分母与分子之间的关系，如，故可利用换元法简化计算．解答：例8 先化简，再求值：213222xx x x x +⎛⎫÷-+ ⎪++-⎝⎭，其中3x =． 分析：选择合适的分式运算技巧化简，然后直接代入求值即可．解答例9 先化简，再求值：222444124x x x x x x -++⎛⎫-÷- ⎪+-⎝⎭，其中x 2＋2x －15＝0． 分析：代数式化简后能用已知条件表示，然后整体代入求值即可．解答：例10（1）已知2510a a -+=，求441a a +的值； （2）已知216a +=且01a <<，求41a -的值．分析（1）等式两边同时除以a ，得到15a a +=，然后对441a a +进行变形即可；（2）先化简代数式得到1a a -，从而对已知等式进行变形，得到1a a-的值． 解答：例11（1）已知0345a b c ==≠，求322a b c a b c-+--的值； （2）已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--==，求223c b b a-+的值． 分析：（1）由已知条件易想到参数法，设345a b c k ===，然后用k 表示a ，b ，c ，代入代数式即可；（2）所求分式的分子分母次数相同，如果a ，b ，c 均能用含同一个参数的因式表示，即可约去参数，故可设232537a b b c c a k +--===，然后用k 来表示a ，b ，c ． 解答：例12（1）已知a ，b ，c 均不为0，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abc ab bc ca ++的值； （2）已知271aa a =-+，求2421a a a ++的值．分析（1）从已知关系式和所求代数式的结构来看，利用倒数法可以进行裂项，从而快速解答；（2）所给的条件中，分母复杂，分子简单，利用倒数法能减少计算量．例13已知3a －4b －c ＝0，2a ＋b －8c ＝0，且abc ≠0，求2222a b c ab bc ac ++++的值． 分析：把c 当作已知数，解方程组得到a ＝3c ，b ＝2c ，然后直接代入代数式化简即可．解答：例14已知b c a c a b a b c+++==，求()()()a b b c c a abc +++的值．分析：观察等式的结构，对a ＋b ＋c 的取值进行讨论；当a ＋b ＋c ≠0时，由等比性质可得2b c a c a b b c a c a b a b c a b c++++++++====++，从而得到分子、分母间的关系；当a ＋b ＋c ＝0时，变形代入即可．解答：例15（1）已知a 为自然数，若分式()()10515a a ++的值是整数，求a 的值； （2）求使分式6321x x +-的值为整数的x 的值． 分析：（1）由题意可得()()15a a ++是105的因数，把105分解因数，再根据a 为自然数，分情况确定a 的值即可；（2）利用分离常数法可得63632121x x x +=+--，若分式的值为整数，则21x -为6的因数，再根据x 为整数分情况确定．解答：进阶训练1．计算：（1）2222142442a a a a a a a a a+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭； （2）11111212x x x x -----++； （3）()3211x x x x -++-； （4）22224424a a a a a x a x a x a x -++-+++； （5）222464244a a a a a a a +-++++； （6）()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---；（7）22221343562a a a a a a -+-+-++-；（8）222222610118569943x x x x x x x x x x ++-+++-++-++；（9）22323972431111x x x x x x x x x ++-+++--+--；（10）222121212123x x x x x x -++-++++． 2．已知()()342323x A B x x x x +=+-+-+，求A ，B 的值．3．计算：()()()()()()()11111122320162017a a a a a a a a +++++++++++…．4．先化简，再求值：23111x x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭，其中2x =．5．已知x 是方程2310x x +-=的根，求代数式2352236x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值．6．已知14x x+=，求下列各式的值． （1）221x x +；（2）331x x+．7．已知2410x x -+=，求下列各式的值．（1）2421x x x ++；（2）4232412x x x x x -+++．8．（1）已知0357x y z ==≠，求x y z x ++的值．（2）已知234a b c ==，且0abc ≠，求2a b c b +-的值．9．已知0a b c d b c d a ===≠，求2222ab bc cd da a b c d++++++的值．10．已知1xy x y =+，2yz y z =+，3xz x z =+，求x 的值．11．已知()201x a a x x =≠++，求2421x x x ++的值．12．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0且a ，b ，c 均不为0．求2222222423a b c a b b c ac -+-+的值．13.已知a b c a b c a b c c b a +--+-++==，求()()()a b a c b c abc+++的值.14.已知a +b =c ，且abc ≠0，求222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-==的值.15.已知abc =1，求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值.16.已知分式22106a a +-的值为正整数，求正整数a 的值.17.当整数x 取何值时，分式2484x x x -+-的值是整数？。
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持。
分式的加减法(一)
教学目的：会通分，利用法则正确进行分式的加减运算；掌握运算顺序，进行分式的四则混合运算.
教学重点：通分，异分母的分式加减法.
教学难点：分式的四则混合运算.
教学过程：
讲解新课.
一．基本知识
1．分式的加减法
法则如下：
同分母的分式相加减，把分子相加减，分母不变；异分母的分子相加减，先将异分母的分式通过能份化为同分母的分式。
(1)把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫通分。
(2)通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母。
(3)通分时，最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
(4)如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。
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持。
3．分式的混合运算
运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号，若是同级混合运算，按从左到右的顺序进行。
二．例题精选
1.通分
例1通分 (1)
331xy ，y x 221，y x 391; (2)2)(1b a +，b a +-2，223b a -； (3)412-x ,10352-++x x x ,14
5722---x x x x . 2．同分母分式的加减
例2 计算题
222y x y x -+－223y x x y --－2243y
x y x --. 例3计算题
22y x x -－22x y y -.
3．异分母分式的加减
例4 计算题
2441x x +-－42-x x +4
21+x 例5．计算题
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持。
11
23
----x x x x . 例6 计算题
例7 计算题。