201x上海初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难点突破(含答案)
绝对值难点突破1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．2．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|=4，求x的值．9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．参考答案与试题解析1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．综上讨论，原式=．（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；当4≤x＜5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|=5，∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x=7或x=﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）有最小值是3．5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，综上，的值为0，故答案为：0．7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，∴a=±5，b=±6．①当a=5，b=6时，a+b=11，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，不满足|a+b|=a+b，故舍去；③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，不满足|a+b|=a+b，故舍去．综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，可得x+2=4或x+2=﹣4，解得：x=2或﹣6；（3）∵|x﹣3|=4，∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，解得：x=7或﹣1．故答案为：（1）3；（2）2或﹣69．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．（3）|x﹣1|=5，x﹣1=﹣5，x﹣1=5，解得x=﹣4或x=6．则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．。
2020初中数学课件上海初一数学绝对值难题解析
2020初中数学课件上海初一数学绝对值难题解析上海初1数学绝对值困难解析灵活利用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在甚么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在甚么条件下成立？经常使用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）应用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
第1类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的应用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左边，请化简以下式子：（1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a1定不是负数；（2）b多是负数；哪一个是正确的？第2类：考察对绝对值基本性质的应用5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x ＋y＋2012的值？6、设a、b同时满足： (1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那末ab等于多少？7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。
8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？ 9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，求|b－a|－|d－c|的值？第3类：多个绝对值化简，应用零点分段法，分类讨论以上这类分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
2016上海初一数学绝对值难题解析
上海初一数学绝对值难题解析灵活应用绝对值地基本性质：（）≥；（）＝·；（）＝(≠)（）－≤ ＋≤＋；（）－≤ －≤＋；思考：＋＝＋，在什么条件下成立？－＝－，在什么条件下成立？常用解题方法：（）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值地数为非负数和负数两种情况）（）运用绝对值地几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等.（）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合.第一类：考察对绝对值代数意义地理解和分类讨论思想地运用、在数轴上表示、两个数地点如图所示，并且已知表示地点在原点左侧，请化简下列式子：（）－－－（）－－＋、设＜－，化简－－－.、设＜＜，化简－＋－.、已知－＝＋，则以下说法：（）一定不是负数；（）可能是负数；哪个是正确地？第二类：考察对绝对值基本性质地运用、已知－＋＋＝，求＋＋地值？、设、同时满足：()－＋－＝－；() －＝；那么等于多少？、设、、为非零有理数，且＋＝，＝，－＝,请化简：－＋－－＋－.、满足－＋＝地非负整数（，）共有几对？、已知、、、是有理数，－≤，－≤，且－－＋＝，求－－－地值？第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合..根据以上材料解决下列问题：（）化简：－－＋（）求－－＋地最大值.、若＋－＋－＋地值恒为常数，则此常数地值为多少？答案()解：∵＜，＞∴－＜＜，＞∴－＜故，原式＝（－）－(－) ＝－()解：∵＜，＜∴－要分类讨论，＋＜当－≥时，≥，原式＝（－）＋(＋)＝当－＜时，＜，原式＝（－）＋(＋)＝.解：∵＜－∴－＜原式＝－－（－）＝－＝＋.解：∵＜＜∴－＞，－＜原式＝（－）－(－) ＝.答：当－≥时，≥，－＝－，由已知－＝＋，得－＝＋，解得＝，这时≥；当－＜时，＜，－＝－，由已知－＝＋，得－＝＋，解得＝，这时＞；综上所述，（）是正确地..解：∵－≥，＋≥∴－＋＋≥又∵已知－＋＋＝，∴－＝, ＋＝∴＝，＝－，原式＝－＋＝．解：∵－≥，－≥∴－＋－＝－≥∴（）式＝－＋－＝－，得－＝，即＝∵－＝∴－＝，＝∵＝∴＝，＝×＝.解：∵＋＝，≠ ∴＜∵＝≥ ，≠，＜∴＜，＋＜∵－＝，≠ ∴＞，－＞，－＜∴原式＝＋（＋）－（－）＋－＝.解：∵，都是非负整数∴－也是非负整数，也是非负整数∴要满足－＋＝，必须－＝，＝或者－＝，＝分类讨论：当－＝，＝时，＝，＝或者＝，＝有两对（，）地取值；当－＝，＝时，＝，＝有一对（，）地取值；综上所述，（，）共有对取值满足题意..分析：此题咋一看无从下手，但是如果把－和－分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：－≤＋即可快速解出.b5E2R。
初一数学绝对值知识点与经典例题
绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。
【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
最新绝对值不等式全题型及解法总结
解得
取交集，画数轴。解集为
7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品？四、
4、“体验化”消费
（五）DIY手工艺品的“价格弹性化” 解集为
三、主要竞争者分析 （不必讨论 的情况）
（在 时，左式不成立，解集为空集）
朋友推荐□宣传广告□逛街时发现的□上网□也就是 解得
取交集，画数轴。解集为
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。五、
分区间讨论
情况比较多，但是不必全部死记，数学是讲理的学科，理解并且灵活应用才是上策。
精品文档精品文档绝对值不等式总结必须在两边都满足时才可以满足不等式答案应取交集也就是精品文档精品文档不必讨论的情况时左式不成立解集为空集也就是的交集综上解法一
绝对值不等式总结
一、 解集为
解集为
二、
解集为
解集为
三、
（无论哪种情况都可满足不等式，答案应取交集）
在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格，点面氛围及服务。解法一：分区间讨论；
解法二：两边同时平方。
大学生个性化消费增多是一种趋势。当前社会、经济飞速发展，各种新的消费品不断增多，流行文化时尚飞速变化，处于校园与社会两者之间的大学生肯定会受影响。目前在大学校园，电脑、手机、CD、MP3、录音笔被称为大学生的“五件武器”。除了实用，这也是一种表明自己生活优越的炫耀性的东西。现下很大一部分大学生中的“负债消费”表现的典型的超前享乐和及时行乐——其消费项目多半是用于奢侈浪费的非必要生活消耗。如举办生日宴会、打网球、保龄球、上舞厅跳舞、进夜总会唱“卡拉ＯＫ”等。“负债消费”使很多学生耽于物欲，发展严重者轻则引起经济纠纷，动武斗殴，影响同窗友谊，重则引发犯罪事件，于社会治安不利。七、
初一数学绝对值难点突破(含答案)
绝对值难点突破1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．2．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|=4，求x的值．9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．参考答案与试题解析1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．综上讨论，原式=．（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；当4≤x＜5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|=5，∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x=7或x=﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）有最小值是3．5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，综上，的值为0，故答案为：0．7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，∴a=±5，b=±6．①当a=5，b=6时，a+b=11，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，不满足|a+b|=a+b，故舍去；③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，不满足|a+b|=a+b，故舍去．综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，可得x+2=4或x+2=﹣4，解得：x=2或﹣6；（3）∵|x﹣3|=4，∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，解得：x=7或﹣1．故答案为：（1）3；（2）2或﹣69．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．（3）|x﹣1|=5，x﹣1=﹣5，x﹣1=5，解得x=﹣4或x=6．则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．。
初一数学绝对值难题解析完整版
初一数学绝对值难题解析Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0）,|a|＝－a（当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。
解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。
初一数学绝对值难题解析
（1）化简：2|x－2|－|x＋4|
（2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值。
解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：
当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8
当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x
答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，
解得b＝0，这时a≥0；
当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b是正确的。
第二类：考察对绝对值基本性质的运用
5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？
∵|x|≤9，|y|≤16∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25
∵已知|x-y|＝25∴|x|＝9，|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7
第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论
以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
那么ab等于多少？
解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b
∵|a－4|＝0∴a－4＝0，a＝4
∵a＝2b∴b＝2 ，ab＝4×2＝8
7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,
解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0
又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0
中学常见绝对值问题的解法
中学常见绝对值问题的解法1.引言及预备知识绝对值问题是指绝对值与其他数学知识相结合而生成的新的数学问题.遇到这类数学问题时，对于简单的，如解，或求的值域和定义域，我们还能解决，.本文针对此种情况，在相关资料的基础之上总结出了一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式和一次绝对值函数这三类常见绝对值问题的具体解法，供学习者参考.定义1 绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 定义2 绝对值的几何定义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．性质 绝对值的主要性质：(1) 一个实数的绝对值是一个非负数，即，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．(2) 一个数的绝对值的相反数一定是非正数.(3) 两个相反数的绝对值相等．(4) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.定义3一元一次绝对值方程：我们把绝对值符合中含有一个0=x ()x x f =]6~1[]1[]1[]4[0≥x未知数并且未知数的次数是一次的方程叫做含绝对值符号的一元一次方程，简称为一元一次绝对值方程.定义4一元一次绝对值不等式：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫做含绝对值符号的一元一次不等式，简称为一元一次绝对值不等式. 定义5一次绝对值函数：我们把一次函数中含有绝对值符合的一次函数叫做含绝对值符号的一次函数，简称为一次绝对值函数.2.中学常见的绝对值问题及其解法中学常见的绝对值问题除了绝对值自身定义的应用外，还有本文专门提出的一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式以及一次绝对值函数这三类绝对值问题.下面给出了相应问题的解法，并附有例题以便学习者融会贯通.2.1一元一次绝对值方程的解法（1）形如型的绝对值方程的解法：①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得；③当时，原方程变为或，解得或． 例1．解方程：解：由（1）可知，因为时，原方程变为或，解得或．（2）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；③分别解方程和；④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解． 例2．解方程：解：由（2）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程(0)ax b c a +=≠0c <0c =0ax b +=0ax b +=b x a =-0c >ax b c +=ax b c +=-c b x a -=c b x a--=235x +=05>532=+x 532-=+x 1=x 4-=x (0)ax b cx d ac +=+≠0cx d +≥x ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+0cx d +≥9234+=+x x和；分别解得和；经检验都成立.（3）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；②分别解方程和．例3．解方程：解：由（3）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；分别解得和.（4）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知；②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． 例4．解方程：解：由（4）可知，应分两种情况；①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为．（5）形如型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令，得，令得； ②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．例5．解方程：解：由（5）可知，找绝对值零点：和；①时，解得；②时，解得； 923x 4+=+x )92(34+-=+x x 3=x 2-=x (0)ax b cx d ac +=+≠ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+1312+=-x x 1312+=-x x )13(12+-=-x x 2-=x 0=x ()x a x b c a b -+-=<x a x b a b -+-≥-c a b <-c a b =-a x b ≤≤c a b >-x a <2a b c x +-=x b >2a b cx ++=134x x -+-=124->1<x 0=x 3>x 4=x (0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠0ax b +=1x x =0cx d +=2x x =12x x <1x x <12x x x ≤<2x x ≥23143x x x +--=-5.1-=x 1=x 5.1-<x 34132-=-+--x x x 2.0-=x 15.1<≤-x 34132-=-++x x x 5=x③时，解得.2.2一元一次绝对值不等式的解法解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．（1）不等式｜x｜＜a(a＞0) 和不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集分别是｛x｜－a＜x＜a｝、｛x｜x＞a或x＜－a｝．其解集在数轴上表示如下：把不等式｜x｜＜c与｜x｜＞c(c＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到与型的不等式的解法．（2）的解法是：先化不等式组或，再由不等式的性质求出原不等式的解集.的解法是：先化不等式组, 再由不等式的性质求出原不等式的解集.例6．解不等式：|2x-3|>4解：由|2x-3|>4 （符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得 2x-3>4 或 2x-3<-4分别解之，得x>7/2 或 x<-1/21≥x34132+=--+xxx31-=x)0(>>+ccbax)0(><+ccbax)0(>>+ccbax cbax>+cbax-<+)0(><+ccbax cbaxc<+<-所以原不等式解集为｛x| x>7/2 或 x<-1/2｝例7．解不等式：|3x-5|≤7解：由|3x-5|≤7，（符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得 -7≤3x-5≤7不等式各边都加5，得-2≤3x ≤12不等式各边都除以3，得-2/3≤x ≤4所以原不等式解集为｛x|-2/3≤x ≤4｝（3）我们在解与型不等式的时候，一定要注意a 的正负.当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解.例8．解不等式：|1-2x|<5解法一：由原不等式可得-5<1-2x<5由不等式的性质解得-2<x<3所以原不等式解集为｛x|-5/2<x<11/2｝.解法二：原不等式可化成 |2x-1|<5-5<2x-1<5由不等式的性质解得)0(>>+c c b ax )0(><+c c b ax-2<x<3（4）含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如下题中的解法一，再就是利用绝对值的定义如下题中的解法二、解法三.例9．解不等式：2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于∴即∴原不等式的解集为｛或｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:(Ⅰ)(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解集为｛｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛｝ ∴原不等式的解集是｛或｝. 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或231<≤-x x 627≤<x ⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x ⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x 627≤<x x 231<≤-x x 231<≤-x x 627≤<x(Ⅰ)2＜2x －5≤7(Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛｝ ∴原不等式的解集是｛或｝．（4）解含多重绝对值符号的不等式时，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．例11．解不等式：|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1①由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴ 即均无解；②由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴或627≤<x x 231<≤-x x 231<≤-x x 627≤<x ⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x ⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x即，∴或 综上讨论，原不等式的解集为{x|或}．2.3一次绝对值函数的解法 在中学阶段遇到的一次绝对值函数问题具体有四种：解析式、定义域、值域（最值）以及函数图象.解决此类问题的关键是要通过分类讨论去掉绝对值号，而分类的标准是令绝对值里面的式子等于零，这样就可以把数轴分成几段，然后就可以讨论了，写出函数解析式，画出对应的函数图象，问题就一目了然了.例10． 求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.解： ，首先令x+2=0和x-5=0,得到x=-2和x=5,这时将数轴分为了三部分：①当x<-2时，x+2<0、x-5<0，所以此时：y=-(x+2)-(-（x-5）)=-7；②当时：x+2>0、x-5<0，此时：y=(x+2)+(x-5)=2x-3；③当x>5时，x+2>0、x-5>0，此时：y=(x+2)-(x-5)=7； 综上可知：；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或0>x 32-<x 32-<x 0>x 52--+=x x y 52--+=x x y 52≤≤-x ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤---<-=)5(,7)52(,32)2(,7x x x x y其最大值为7，最小值为-7，由此可知，该函数的值域为[-7，7]，定义域为R.例11．指出函数y=|x-5|+|x+3|的图像画法.解：①首先要去绝对值，找到分界点：x-5=0，x=5 x+3=0，x=-3，则5、-3就是其分界点；②分情况讨论，得出去掉绝对值的函数解析式：x≤-3时，y=|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x-3<x≤5时，y=|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=8x>5时，y=|x-5|+|x+3|=x-5+x-3=2x-8；③按这三个区间对应的函数解析式，就不难画出这个带绝对值的函数图像了.3.绝对值问题专题强化训练此部分专门为学习者所设，供其有针对性的强化训练，真正做到学有所得.3.1一元一次绝对值方程专题练习【1】解方程：【2】方程的解为？ ．【3】解方程 【4】解方程 235x +=21302x --=200520052006x x -+-=4329x x +=+【5】解方程【6】解方程【7】解方程【8】解方程：3.2一元一次绝对值不等式专题练习【9】不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋aB ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－aC ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝【10】不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝【11】下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )A ．｜x －2｜＞5B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜－1｜≤ 525x x -+=-2131x x -=+134x x -+-=2123x x +--=}}2x 21D ．1－｜－1｜＜ 【12】已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ．【13】不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．【14】解下列不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．【15】解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．3.3一次绝对值函数专题练习【16】，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.【17】，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.【18】画出函数的图像.2x 2163+--=x x y 12-++=x x y 72+---=x x y。
初一数学绝对值难点突破（含答案）
绝对值难点突破1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．2．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．第1页（共9页）3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|=4，求x的值．9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．参考答案与试题解析1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．综上讨论，原式=．（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；当4≤x＜5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|=5，∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x=7或x=﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）有最小值是3．5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，综上，的值为0，故答案为：0．7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，∴a=±5，b=±6．①当a=5，b=6时，a+b=11，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，不满足|a+b|=a+b，故舍去；③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，满足|a+b|=a+b，此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，不满足|a+b|=a+b，故舍去．综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，可得x+2=4或x+2=﹣4，解得：x=2或﹣6；（3）∵|x﹣3|=4，∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，解得：x=7或﹣1．故答案为：（1）3；（2）2或﹣69．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．（3）|x﹣1|=5，x﹣1=﹣5，x﹣1=5，解得x=﹣4或x=6．则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．。
初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。
在数轴上，一个数a的绝对值就是表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
而在代数意义上，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的运算符号是“| |”，取绝对值就是去掉绝对值符号。
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由符号和绝对值组成，如-5符号是负号，绝对值是5.我们可以通过比较两个负有理数的绝对值的大小来利用绝对值。
两个负数，绝对值大的反而小。
绝对值非负性是|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0，如a+b+c=0，则a=b=c=0.除此之外，绝对值还有其他重要性质。
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a≥|a|，且|a|≥|-a|。
若a=b，则a=±b。
ab=|a|·|b|，a²=|a|²。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
要去掉绝对值符号，我们需要找零点，分区间，定正负，去符号。
解绝对值不等式必须化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解。
证明绝对值不等式主要有两种方法：一是去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明，包括换元法、讨论法、平方法；二是利用不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。
在考试中，我们需要掌握绝对值的必考题型。
例如，已知|x-2|+|y-3|=k，求x+y的值。
由绝对值的非负性可知x-2=±k，y-3=±k。
当x-2=k，y-3=k时，x+y=2k+6；当x-2=-k，y-3=-k 时，x+y=4.因此，x+y的值为2k+6或4.我们还需要掌握相反数等于它本身、倒数等于它本身的是±1，绝对值等于它本身的是非负数等知识点。
关于绝对值的几种题型及解题技巧
关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即0≥a 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。
如：5=a ，则5=a 和5-=a 。
合并写成：5±=a 。
于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。
因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如2)2(=--。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）a 0 a 0 0=a a - 0 a-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
初一绝对值问题较难问题详解
初一绝对值问题较难问题详解 之蔡仲巾千创作例1211x x x -+-=分析：倒推不是很方便我们采纳0点法去失落绝对值.先从最里面去.年夜情形2个1x ≥的时候有211x x x -+-= 有311x x --= 其实显然有 3x-1-x=1 x=1年夜情形2 x<1的时有211x x x --+= 11x x -+=这里没上个年夜情形好办绝对值有商量的余地当1x ≥-的时候有左边为x-x-1=-1的绝对值是1恒等式小 情况2x<-1 获得11x x ++=获得x=0或-1都不在年夜前提下矛盾. 综上11x -≤≤为所求例2 224321x x --=-求所有解的和分析; 12x ≥左边显然非负利用非负性获得接下来我们再用0点法去绝对值年夜情况1 2x ≥时候4x-11=2x-1 x=5年夜情形2 x<2的时候843x -- =2x-18-4x-3=2x-1 x=1解的和为6例3a,b,c,d 为整数2a b b c c d d a +++++++=求d a +分析：4个非负整数和为2, 可能为3个0一个2或2个0, 2个1第一个情况是不存在的由对称性无妨设前3个加数为0 a+b=0,b+c=0,c+d=0,获得a=c,b=d获得b=-a.d=-a 结果a+d=0与绝对值为2矛盾.那么只能是2个1, 2个0所以结果为1或0例4 (2)21a x a b +-+<解集是13x -<<求a+b分析;采纳端点代入法我们可以获得221a a b ---+=, 31a b += 再把-3代入当方程解3621a a b +-+=获得7a b += 于是代入731a a +=+ 所以a+7=3a+1或a+7+3a+1=03a =,10b =或2,5a b =-=只第一组代入验算确实-1<x<3 所以a+b=13例5设d c b a ,,,都是实数, 若,2,4=+=+d c b a 且bd a c d b c a -+-=-+-, 则d c b a +++的最年夜值为_____________分析：注意a+b 为一个整体, c+d 为一个整体分别设为x,y 我们获得了4,2x y == 且x y y x -=-马上就有y>x 所以x=-4,y=2或-2题目问的相当于x+y 的最年夜值那就是-2例6求2222232{25[4(2)]}x y xy x y xy x y ----的值 分析：此题要求值先要求出x,y.此题结构如此复杂肯定考了配对思路.注意积累经典的模型()x a x b a b -+-<最小值b-a a x b ≤≤取最小()x a x b a b ---<最小为a-bX 不年夜于a 取最小值这2条通过结合数轴都很容易证明14x x -+-≥3, 23x x ---≥-1第一个取等号的条件是1≤x ≤4第二个条件是x ≤2综上1≤x ≤2的时候第一个括号取得最小2, 我们看第二组51x x ++-≥6, 31y y -++≥4第二组结果至少4所以最小为10(-5≤x ≤1,-1≤y ≤3) 第三组在用配对思路23y y -++不小于5, 1y +不小于0和不小于5所以三个括号的积不小于100所以第一个为2, 第二个为10, 第三个为5有分析的取等号的条件可以获得x=1,y=-1然后化简获得2222232{25[4(2)]}x y xy x y xy x y ----=229344x y xy -代入获得 -93-44=-137例7 0<x<10 3x a -=整数a 有几多个？和是几多？分析:我们把x=1-9分别代入可以确定a 的范围 -2≤a ≤6所以0≤a ≤6整数有7个和为21例8已知1,1≤≤y x , 设421--++++=x y y y x M , 求M 的最年夜值与最小值分析：分析我们先把明显的绝对值符号去失落 2y-x-4=2(y-1)-(x+1)-1<0所以第三个和第二个加数的绝对值没有商量马上去失落获得1425M x y y x y x y x y =+++++-=+++-X=-1,y=1的时候M 取得最小值3 分两种情况当x+y 不小于0的时候获得M=2x+5M 最年夜值为7当x+y 不年夜于0的时候M=-x-y+5+x-y=5-2y y=-1的时候最年夜为7综上M 的最年夜值为7, 最小值3小结：解决绝对值问题注意方法就是界说, 非负性, 结合数轴, 0点分区间.固然还要注意可以积累一些经典模型, 做题就变得很容易.我们如果遇到多重绝对值的问题可以倒推或从内到外去失落绝对值符号.注意特别是指定了范围的可以没有讨论余地的绝对值先处置能商量的后处置, 这样计算可以变得简洁.0点分区间是用界说来得最直白的方法可是在应用之前可以先想下有无更好的方法.特别可以注意配对思路和例5两个基本模型的应用.看到重复结构的换元那些意识是基本功.深刻体会分类讨论和数形结合的思想.。
初一数学：绝对值难题解析（完整版）
初一数学：绝对值难题解析（完整版）绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴ a＋c＜0，但是a－c 要分类讨论当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，这时b＞0；综上所述，（1）是正确的。
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析考验它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，绝对值是初一数学的一个重要知识点，的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
（0）（当a＜0）, |a|＝－a 即|a|＝a（当a≥2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
（灵活应用绝对值的基本性质：0)≠|a/b|＝|a|/|b|(b＝|a|·|b|；（3）（1）|a|≥0；（2）|ab| ；|a|＋|b|≤|a－b|≤b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|＋（4）|a|－|b|≤|a ，在什么条件下成立？|a|＋|b|思考：|a＋b|＝，在什么条件下成立？－|b||a－b|＝|a| 常用解题方法：）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（1 ）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（2 ）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
（3 例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用的点在原点左侧，请化简下cb两个数的点如图所示，并且已知表示1、在数轴上表示a、列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；1，＋bb－a＝aa，由已知|a－b|＝a＋b，得－当ab＜0时，a＜b，|a－b|＝b－；＞0a＝0，这时b解得）是正确的。
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--知识点回顾：1、一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做绝对值，记做a。
2、由绝对值的定义可知：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.3、两个数比较大小的方法：1)数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左往右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2)一般地①正数大于0,0大于负数，正数大于负数。
②两个负数，绝对值大的反而小。
小试牛刀：1．－8的绝对值是，记做。
2．绝对值等于5的数有。
3．若︱a︱=a,则a。
4．的绝对值是2004，0的绝对值是。
5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点到的距离。
6．如果x＜y＜0,那么︱x︱︱y︱。
7．︱x－1︱=3，则x ＝。
8．若︱x+3︱+︱y－4︱=0，则x+y=。
9．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则ab,︱a︱︱b︱。
10．︱x︱＜л，则整数x=。
11．已知︱x︱－︱y︱=2，且y=－4，则x=。
12．已知︱x︱=2，︱y︱=3，则x+y=。
13．已知︱x+1︱与︱y－2︱互为相反数，则︱x︱+︱y︱=。
14. 式子︱x+1︱的最小值是，这时，x值为。
15. 下列说法错误的是（）A一个正数的绝对值一定是正数B一个负数的绝对值一定是正数C 任何数的绝对值一定是正数D 任何数的绝对值都不是负数16．下列说法错误的个数是（）（1） 绝对值是它本身的数有两个，是0和1（2） 任何有理数的绝对值都不是负数（3） 一个有理数的绝对值必为正数（4） 绝对值等于相反数的数一定是非负数A3B2C1D017．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a+b+c 等于（）A －1B0C1D2拓展提高：18．如果a ，b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子 a b a b c ++++m －cd 的值。
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2016上海初一数学绝对值难题解析
灵活应用绝对值的基本性质：
（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)
（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？
|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？
常用解题方法：
（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）
（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用
1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下
列式子：
（1）|a－b|－|c－b|
（2）|a－c|－|a＋c|
2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
第二类：考察对绝对值基本性质的运用
5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？
6、设a、b同时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那么ab等于多少？
7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,
请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。
8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？
9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，
求|b－a|－|d－c|的值？
第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论
以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
10.根据以上材料解决下列问题：
（1）化简：2|x－2|－|x＋4|
（2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值。
11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？
答案
1(1) 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0
c＜0，b＞0 ∴c－b＜0
故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a
(2) 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0
当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a
当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c
2.解：∵x＜－1 ∴x－2＜0
原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x
3. 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0
原式＝（a－3）－(a－6) ＝3
4. 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；
当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，
解得a＝0，这时b＞0；
综上所述，（1）是正确的。
5. 解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0
又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0
∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝2012
6．解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b
∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0，a＝4
∵ a＝2b ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝8
7. 解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0
∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0
∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0
∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b
8. 解：∵a，b都是非负整数∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数
∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1
分类讨论：
当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者 a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；
当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；
综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。
9. 分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。
解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|
∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25
∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7
10（1）解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8
当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x
当x＞2时，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8
（2）2）使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比
较，从中选出最大值。
令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：
当x≤-1时，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1＜x≤1时，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此时无最大值；
当x＞1时，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此时无最大值。
综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。
11. 解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。
即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4
令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：
当x≤1/3时，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；
当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此时恒为常数7；
当x＞4/5时，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此时也不是恒值。
综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。
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