人教版数学八上113角的平分线的性质优秀课件
合集下载
人教版初中八年级数学上册12.3角的平分线的性质ppt课件
D
B
画弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ．
C
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心，大
1 于 ＭＮ的长为半径画弧．两弧在
2 ∠AOB的内部交于Ｃ．
A Ｍ
Ｃ
３．画射线OC．
射线ＯＣ即为所求．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
想一想： 为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC．
求证：OC平分∠AOB．
A
Ｍ Ｃ
证明：在△OMC和△ONC中，
仅做学习交流，谢谢！
问题情境
有一空旷场地，据测定它位于一条铁路和一条公路所成角的平分线上，政 府决定利用它建一个批发市场．那么这个市场离铁路更近还是离公路更近？
公路
铁路
12.3角的平分线的性质
（第1课时）
复习提问
1．角平分线的概念
一条射线 把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线．
A
1
C
o
2
B
2．点到直线距离:
∴CF=EB．
小结反思
这节课我们学习了哪些知识？
点P在OC上
作业设计
教材51页习题12.3第4题、第5题．
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
人教版 初中数学八年级上册 12.3.1角的平分线的性质(共18张PPT)
角平分线性质的应用。
自主学习
阅读教材第48——49页思考前 完成自学检测题
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1 下列结论一定成立的是 ． （1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分 线吗？
A
并证明角的平分线的性质
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
O
A
D C
P
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
自主学习
阅读教材第48——49页思考前 完成自学检测题
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1 下列结论一定成立的是 ． （1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分 线吗？
A
并证明角的平分线的性质
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
O
A
D C
P
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
人教版数学八年级上册12.3.1 角平分线的性质课件(共22张PPT)
思考
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分
线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的
垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比
较，你得到什么结论?
PD=PE.
12.3.1 角平分线的性质
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质?
我们猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2
B
P
A
C
12.3.1 角平分线的性质
(2) 求△PDB 的周长.
解：在Rt△ACP和Rt△ADP中，
PD = PC
D
B
AP = AP
P
∴△ACP≌ PD PB DB PC PB DB
BC DB AC DB AD DB AB 14.
别为点 D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO =∠PEO = 90°
在△PDO 和△PEO 中，
12.3.1 角平分线的性质
∠PDO =∠PEO，
∠AOC =∠BOC，
OP = OP，
∴△PDO≌△PEO ( AAS )
∴PD = PE.
归纳
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC
于点 P，若 PC＝m，AB＝14.
(1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)；
D
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP 平分∠BAC ，PC⊥AC,
∴ PD = PC = m，
∴ SPDB
人教版 初中数学八年级上册 12.3.1角的平分线的性质(共17张PPT)
∴DE=DC
∵ CD:BD=4:5 ∴ 设CD=4x,BD=5x
E
又∵BC=27 ∴4x+5x =27
B
C D
解得 x=3
∴CD=12cm
∴DE=12cm
答：点D到AB的距离为12cm。
活 动 2 实践操作、探索新知
例：如图所示，已知在△ABC中∠C=90 °， AD平分∠BAC.
变式1:若BE=4cm，BC=10cm，求△ BDE的周长？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
活 动 2 实践操作、探索新知
证猜明想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：如图所示，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
八年级数学上册 11.3《角的平分线的性质》课件 新人教版
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1 2
C B
复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条 射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 证明： 在△ACD和△ACB中 A AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） B D ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C E 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ 即：OC平分∠AOB
A Ｍ
Ｃ
Ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｏ
练习1：平分平角∠AOB。
C
B
O D
A
归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线” 的方法。
角平分线的性质
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1 2
C B
复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条 射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 证明： 在△ACD和△ACB中 A AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） B D ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C E 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ 即：OC平分∠AOB
A Ｍ
Ｃ
Ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｏ
练习1：平分平角∠AOB。
C
B
O D
A
归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线” 的方法。
角平分线的性质
角平分线的性质优质课ppt课件
角的平分线的性质
（第1课时）
新人教版 八年级 上册
1
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
2
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
C
B
N
O
4
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
5
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
变题2：如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C ＝90°，DE⊥AB于E，BC=8， A BD=5，求DE.
C
F C
E DB
E DB
9
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
A
E B
F
D
C
Back
（第1课时）
新人教版 八年级 上册
1
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
2
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
C
B
N
O
4
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
5
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
变题2：如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C ＝90°，DE⊥AB于E，BC=8， A BD=5，求DE.
C
F C
E DB
E DB
9
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
A
E B
F
D
C
Back
人教版八年级数学上册教学课件-12.3 角的平分线的性质10优质课件PPT
证明： ∵OE是△OAB的角平分线，EC、ED分别垂直OA，OB ∴ EC = ED , ∠ ACE=∠BDE=900 在Rt△ACE和Rt△BDE中 EA=EB EC = ED
Rt△ACE ≌ Rt△BDE (HL)
∴ AC=BD
C A
O
D
E
B
课堂检测
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别
少了任何一个。
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边
O
2
A
D P
E
B
的距离相等)
图形语言
角平分线的性质定理应用所具备 的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； O （3）垂直距离。 定理的作用：证明线段相等。
D
A
C P
E B
课堂练习
1、判断 ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
角的平分线的性质
复习导入
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的平分线.
A
C
1
2
B
O
P
2.下图中能表示点P到直线l
的距离的 PC
.
l A B CD
3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( C )
A.SAS B.AAS
C.SSS
D. ASA
新课
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
∴ BD =CD （ X）
，( 只有角平分线，没有垂直,不 )
能用角平分线性质定理
B
A
D
C
课堂练习
2、判断 ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
D
B
对 应 边C相 等 ） E
第3页/共19页
活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平 分仪或量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
第4页/共19页
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
1
圆心．大于 ＭＮ的长为
试试自己写
DC=DE (因为角的平分线的性质) 证明。你一
再用HL证明.
第12页/共19页
定行！
一、过程小结： 情境→观察→作图→应用→探究→再应用 二、知识小结： 本节课学习了那些知识？
第13页/共19页
1：画一个已知角的角平分线； (注意作图痕迹和几何语言的表达)
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等． 3：角平分线的性质的应用
活 动 1 不利用工具，请你将一张
用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？
（对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
第1页/共19页
活动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 A
钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求．
第5页/共19页
C 活动 4
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，
把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线
AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
第8页/共19页
活动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
利用此性质
怎样书写推理过 A
程?
D
1
PC
2
O
EB
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
用数学语言表述：
第9页/共19页
思考：
EA
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意
∴P B
第16页/共19页
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，
AC⊥BC，AD为∠BAC的平
分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，
AC＝3㎝，求BE的长。
第17页/共19页
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
C
第18页/共19页
感谢您的欣赏！
第19页/共19页
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证）
活
A
如 图 ： 在 △ABC 中 ， F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD=DF；
求证：CF=EB
C
D
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
第2页/共19页
B C E
2、证明：
在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
第6页/共19页
活 动探究5角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展 开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等.
第7页/共19页
探究角平分线的性质
活动 5
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
O
P C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不
是角平分线上任一点这个角两
边的距离,所以不一定相等直
第10页/共19页
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
第11页/共19页
第14页/共19页
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角 的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点
O
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是
D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个 角的两边距离相等).
第15页/共19页
A D
1
P
2
C
E B
随堂练习
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB