勾股定理的证明及应用
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将对勾股定理的证明方法进行探讨，并结合实际应用场景进行具体分析。
一、勾股定理的证明勾股定理最早可以追溯到中国古代。
相传，公元前11世纪的周朝时期，中国古代数学家祖冲之发现了勾股定理，并给出了一种证明方法。
他的证明方法基于图形的几何性质，被称为“割弦法”。
具体来说，首先假设有一个直角三角形，三边分别为a、b、c。
利用割弦法，我们可以得到如下等式：sin A = a / ccos A = b / c根据三角函数的定义，我们可以将上述两个等式相加：sin^2 A + cos^2 A = (a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2由于在直角三角形中，sin A 和 cos A 的平方和等于1，即 sin^2 A + cos^2 A = 1，因此可以得到：1 = (a^2 + b^2) / c^2进一步变换得：c^2 = a^2 + b^2因此，勾股定理得证。
二、勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面将以几个实际场景为例，介绍勾股定理的应用。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。
假设我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以利用勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2= 9 + 16= 25因此，斜边的长度为5。
2. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题中有重要作用。
例如，我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的长度满足勾股定理的条件，即c^2 = a^2 + b^2，那么该三角形就是直角三角形。
3. 工程应用勾股定理在工程中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确保房间的角度为直角。
通过测量房间的两个边长，可以利用勾股定理来判断是否满足直角条件。
勾股定理的证明及应用
勾股定理在特殊三角形中的应用
勾股定理
9.如图:一工厂的房顶为等腰 ABC ,AB=AC
,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
D
C
求三角形的边长
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
C
8
A
30°
B
勾股定理
8.如图：在Rt ABC中，AD是斜边的高，AB 24， AC 7，求AD的长。 .
ACB
第1题
90
2.已知直角三角形ABC中, 15 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
A B
C
常见的直角三角形
2
1
勾股定理
5 3
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
C D B
A
A
平面展开问题
勾股定理
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点 出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B C B
平面展开问题
勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2．下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形 １３ ①若 a=5 ， b=12 ，则 c=___________ ； 不是Rt△的是（ ）
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理常见的证明方法
勾股定理常见的证明方法摘要：一、引言二、勾股定理的定义及应用三、常见的证明方法1.欧几里得证明法2.切比雪夫证明法3.平方差证明法4.三角函数证明法5.切线证明法四、证明方法的比较与选择五、结论正文：一、引言勾股定理是数学领域中一条著名的定理，距今已有约2500年的历史。
它在我国古代称为“方圆之术”，在几何学中具有广泛的应用。
本文将对勾股定理的常见证明方法进行详细介绍，以帮助大家更好地理解和应用这一定理。
二、勾股定理的定义及应用勾股定理是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
勾股定理的应用十分广泛，如在建筑、航海、测量等领域都有涉及。
三、常见的证明方法1.欧几里得证明法：利用勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三边满足a + b = c，那么这个三角形一定是直角三角形。
此证明方法简单易懂，适用于初学者。
2.切比雪夫证明法：利用切比雪夫不等式，即对于任意实数x，有(x +1/x) ≥ 4。
将勾股定理中的斜边c看作x，直角边a、b分别看作1和1/x，代入切比雪夫不等式，可得到a + b ≥ c，从而证明勾股定理。
3.平方差证明法：利用(a + b)(a - b) = a - b，将勾股定理中的a、b、c 分别代入，可得到(a + b)(a - b) + 2ab = a - b + 2ab = (a + b) - c，进而证明勾股定理。
4.三角函数证明法：利用正弦函数和余弦函数的定义，设直角三角形ABC 的角A、B、C分别为90°、45°、45°，可得sinA = a/c，sinB = b/c，从而证明勾股定理。
5.切线证明法：在直角三角形ABC中，作斜边c上的任一点D，连接AD、BD。
利用切线的性质，可得到AD + BD = AB，即a + b = c，证明勾股定理。
四、证明方法的比较与选择以上五种证明方法各有特点，适用于不同层次的学生和学习阶段。
勾股定理的简单证明与应用
勾股定理的简单证明与应用勾股定理，又称直角三角形定理，是三角学中最基础和重要的定理之一。
它描述了直角三角形斜边的长度与两条直角边长度的关系。
在这篇文章中，我们将简要介绍勾股定理的证明以及一些实际应用。
一、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几种方法进行，其中最著名的是毕达哥拉斯的几何证明和代数证明。
这里我们将介绍一种简单的几何证明方法。
假设有一个直角三角形，其中较短的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
根据勾股定理，我们要证明的是：a² + b² = c²首先，以边长a和b为邻边，画两个正方形，如下图所示：（插入图片1）正方形的边长分别为a和b，通过连接这两个正方形的顶点和斜边的两个顶点，形成一个大正方形。
根据几何知识，我们可以知道大正方形的边长为：（a+b）（1）然后，我们将这个大正方形分成四个小三角形，同时将直角三角形从大正方形中取出，如下图所示：（插入图片2）根据几何知识，我们可以知道四个小三角形的面积和等于大正方形的面积，即：a² + b² = （a+b）²（2）将式（1）代入式（2），得到：a² + b² = a² + 2ab + b²化简后得：0 = 2ab由于直角三角形的两条直角边长度不可能为0，所以上式不可能成立。
因此，我们得出结论：a² + b² = c²这就完成了勾股定理的证明。
二、勾股定理的应用勾股定理作为数学中的基础定理，广泛应用于各个领域。
下面我们将介绍一些勾股定理的实际应用。
1. 测量直角三角形的边长和角度勾股定理可以用于测量直角三角形的边长和角度。
通过测量两条直角边的长度，可以计算出斜边的长度。
反过来，如果已知斜边的长度和一条直角边的长度，也可以计算出另一条直角边的长度。
此外，勾股定理还可以用于计算三角形的角度，通过已知的边长可以借助三角函数求解。
勾股定理的证明及应用(教案)
在讲解勾股定理的应用时，重点强调如何将实际问题转化为数学模型，例如给出一个直角三角形的两个直角边长度，要求计算斜边的长度，学生需要明确应用勾股定理的公式a² + b² = c²来解决问题。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的证明过程理解，以及在实际问题中的应用。
-难点突破：
-证明过程的理解：学生对数学归纳法和图形面积法的证明过程可能感到抽象和难以理解，需要通过具体图形的演示和步骤的详细解释来帮助学生。
-对于应用题的难点，可以采取以下策略：
-设计不同类型的练习题，如选择题、填空题和解答题，让学生在不同情境下应用勾股定理，增强其解决问题的灵活性。
-在小组合作中，鼓励学生相互讨论解题思路，通过同伴互助来理解和掌握勾股定理的应用方法。
-对于难以理解的问题，教师应提供详细的解题步骤和思路分析，帮助学生建立解题的框架和思维模式。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的发现、证明和应用。
-重点讲解：
-勾股定理的概念及其表述，即直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
-勾股定理的数学证明，包括数学归纳法和图形面积法的步骤和逻辑。
-勾股定理在实际问题中的应用，如求斜边或直角边的长度，以及判断一个三角形是否为直角三角形。
（2）已知直角三角形的一个直角边和斜边，求另一个直角边；
（3）判断一个三角形是否为直角三角形。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握数学归纳法和图形面积法的推理方法，提高逻辑思维水平。
2.培养学生的空间想象力和直观想象力：通过观察直角三角形的图形，引导学生发现勾股定理，并能够运用定理解决实际问题。
勾股定理的证明及应用
自由讨论：勾股定理的应用。
（1）在生活中许许多多的事物都是三 角形组成，而这些三角形的物体许多 都需要是直角三角形，而你手中只有 卷尺，那么此时勾股定理可以帮助你 证明他是不是三角形。 （2， ∠C＝ 90°， AC:BC:AB＝__________；
（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°， ∠A= 30°，则BC:AC:AB＝
___________；若AB＝8,则AC＝ _____________；又若CD⊥AB，
则CD=______________.
（3）等边出△ABC的边长为 a，则 高AD＝__________， S △ABC＝
______________
勾股定理
• 勾股定理又名华氏定理：在一个直角三角 形中，斜边边长的平方等于两条直角边边 长的平方之和。
• 据考证 ，人类对这条定理的认识，少说也 有4000年！又据记载 ，现世界上一共有超 过300个对这定理的证明！
古人的方法：
如图，将图中4个直角三角形涂上红色中间的 小正方形涂上白色，以弦为边的正方形成为弦 实，然后经过拼补搭配：令出入相补，各从其 类。他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定 理的。而赵爽对勾股定理的证明显示了我国数 学家高超的证题思想，较为简明，直观。
课后练习
（1）了解自己身边的直角三角形，并且可以 熟悉的应用好勾股定理。
（2）完成书后本课时练习以及练习册上的练 习。
随着下课铃声的响起，我们该下课了，请记 住我们这堂课的内容并可以运用自如。
再见！
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明及应用摘要：本文对勾股定理及其逆定理、推论、推广和变形进行了诠释，详细介绍了勾股定理的几种典型证明方法，如面积法、向量法、方程法、演段算法、行列式法，并通过列举一系列范例揭示勾股定理在代数问题中的应用、在几何问题中的应用、在立体图形中的应用、在实际生活中的应用。
说明了勾股定理是数学中的一个非常重要的定理，它是数学发展史的里程碑，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。
灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现勾股定理的重要性及较强的应用性。
关键词：勾股定理；证明；应用Abstract:In this paper,the Pythagorean theorem and its inverse theorem, corollary, diffusion and deformation are explained in detail. What’s more, several typical the Pythagorean theorem proofs, such as the area method, vector method, equation method, speech segment algorithm and determinant method,Furthermore, the paper reveals the application of the Pythagorean theorem in algebraic problem in the application, in the geometry question application, in the application of three-dimensional graphics and in real life applications through a series of examples. The Pythagorean theorem is a very important mathematics inequality. Within its Mathematics history the milepost, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of the Pythagorean theorem and the strong capability of application.Keywords:The Pythagorean theorem; proof; application1绪论 (3)1.1 本课题的研究目的与研究意义 (3)1.2 国内外对勾股定理的研究现状 (3)1.3 本课题主要解决的问题 (3)2勾股定理的诠释 (5)2.1 勾股定理 (5)2.2 勾股定理的逆定理 (5)2.3 勾股定理的推论 (6)2.4 勾股定理的推广 (6)2.5 勾股定理的变形 (7)3勾股定理的证明 (8)3.1 面积法 (8)3.2 向量法 (8)3.3 演段算法 (9)3.4行列式法 (10)4勾股定理的应用 (13)4.1 在代数问题中的应用 (13)4.2 在初等几何问题中的应用 (15)4.3在立体几何问题中的应用 (16)4.4 在实际生活中的应用 (17)结论 (20)谢辞 (21)参考文献 (22)数学界的学者普遍认为勾股定理是数学发展史上的里程碑。
勾股定理的应用与证明
勾股定理的应用与证明勾股定理是数学中的重要定理，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍勾股定理的应用，并对其证明方法进行探讨。
一、勾股定理的应用勾股定理是解决直角三角形问题的基础，常被应用于以下方面：1. 测量和测绘：在地理测量和测绘学中，勾股定理被用于计算地面上两点间的直线距离。
此外，勾股定理还可应用于测量斜坡的高度、测量建筑物的高度以及绘制地图等。
2. 工程和建筑：在工程和建筑领域，勾股定理可用于计算构建斜面或倾斜物体的长度、高度和角度。
例如，在设计一座大桥时，工程师需要根据两座桥塔之间的距离和高度，以及斜杆的角度，来计算桥索的长度。
3. 电子技术：在电子电路设计中，勾股定理可用于计算电路中的电流、电压和电阻之间的关系。
特别是在直流电路中，应用勾股定理可以更方便地计算电流、电压和电阻的数值。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于三维空间中的几何计算。
通过勾股定理，可以快速计算出点与点之间的距离，从而实现三维图形的绘制和渲染。
二、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中最著名的有三种：几何证明、代数证明和进一步发展的解析几何证明。
1. 几何证明：勾股定理最初由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并有他名字命名。
几何证明是最早的一种证明方法，通过构造直角三角形，利用几何图形的性质来证明。
这种证明方法直观清晰，易于理解。
2. 代数证明：代数证明是利用代数运算和方程的性质来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是基于平方差公式，假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则根据平方差公式得到方程a^2 + b^2 = c^2，进而证明了勾股定理。
3. 解析几何证明：解析几何证明是通过引入坐标系和向量的概念，将直角三角形的顶点表示为坐标点，利用向量运算和距离公式来证明勾股定理。
这种证明方法在数学上更为严格，但也更为抽象一些。
三、结语勾股定理作为数学中的重要定理，不仅具有理论意义，更有广泛的实际应用。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍勾股定理的原理和证明，并介绍其在实际应用中的一些重要示例。
一、勾股定理的原理和证明勾股定理是一个关于直角三角形斜边与两个直角边的关系定理。
它的表述可以归纳为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。
根据勾股定理，有c² = a² + b²。
证明该定理的方法多种多样，其中一种比较简单的方法是利用面积关系进行证明。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
将该三角形移动到一个边长为a、边宽为b的矩形内，如图1所示。
[图1：勾股定理证明过程的示意图]显然，通过镜像方式将三角形补全，可以构成一个边长为c、边宽为c的正方形，如图2所示。
[图2：利用镜像补全三角形后构成正方形]由于正方形的面积等于边长的平方，我们可以得到两个式子：面积1 = a * b面积2 = c * c由于直角三角形的面积1等于正方形的面积2，我们可以得到：a *b =c * c进一步变换可得：c² = a² + b²上述证明过程说明了勾股定理的原理，并证明了定理的正确性。
二、勾股定理的应用示例勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的示例。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以被用于测量直角三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。
例如，如果直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，可以使用勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5因此，该直角三角形的斜边长度为5。
2. 建筑和工程应用勾股定理在建筑和工程领域中具有重要的应用。
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 .【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.222c b a =+ab 21∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ .【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.()2b a +()22214c ab b a +⨯=+222c b a =+ab 21∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED ，()2a b -()22214c a b ab =-+⨯222c b a =+ab 21221c ()221b a +()222121221c ab b a +⨯=+222c b a =+∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则, ∴ .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=222c b a =+∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =.同理可证，矩形MLEB 的面积 =.∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积221a 2a 2b∴ ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABCa 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD ∶AC = AC ∶AB ，即 .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 .∴ ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.222b ac +=222c b a =+AB AD AC ∙=2AB BD BC ∙=2()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+222c b a =+∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为①∵=，，∴ = . ②把②代入①，得= = .∴ .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.543212S S S S S c ++++=()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438abb 212-985S S S +=824321S ab b S S --=+812S S b --98812212S S S S b S S c ++--++=922S S b ++22a b +222c b a =+∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 .过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 .由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，27S S =58S S =64S S =543212S S S S S c ++++=612S S a +=8732S S S b ++=27S S =58S S =64S S =∴ ==，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴ .【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c ，AC = BD = b ，∴ ，即 8736122S S S S S b a++++=+52341S S S S S ++++2c 222c b a =+ADAE AC ∙=2()()BD AB BE AB -+()()a c a c -+22a c -222a cb -=222c b a =+BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙222AC BC AB +=22b ac +=a b aa B ACD c∴ .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r.∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ = = r + r = 2r,即 ，∴ .∴ ，即 ，∵ ，∴ ，又∵ = = == ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ .【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设，即假设 ，则由==可知 ，或者 . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：222c b a =+()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+CD CE +r c b a 2=-+c r b a +=+2()()222c r b a +=+()222242c rc r ab b a ++=++ab S ABC 21=∆ABC S ab ∆=42AOC BOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=br ar cr 212121++()r c b a ++21()r c c r ++221rc r +2()ABC S rc r ∆=+442()ab rc r 242=+22222c ab ab b a +=++222c b a =+222c b a ≠+222AB BC AC ≠+AB AB AB ∙=2()BD AD AB +BDAB AD AB ∙+∙AD AB AC ∙≠2BD AB BC ∙≠2c b a r r r O F D B ABC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，的假设不能成立.∴ .【证法15】（辛卜松证明）222AB BC AC ≠+222c b a =+ab 21ab 21ab 21ab 212c2b 2a B C b a b a b a b a b ac c c cb ab ab b a b a设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 =.∴ ,∴ .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ―a = b.又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，()ab b a b a 2222++=+()22214c ab b a +⨯=+22c ab +22222c ab ab b a +=++222c b a =+()a b +∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ ， ， ， ，∴ ===∴ .勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数54322S S S S c +++=6212S S S b ++=732S S a +=76451S S S S S +===6217322SS S S S b a ++++=+()76132S S S S S ++++5432SS S S +++2c222c b a =+量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。
勾股定理的证明方法勾股定理的应用
一、勾股定理是什么
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
二、勾股定理的主要意义
1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
勾股定理的10种证明方法常见勾股定理证明方法
勾股定理的10种证明方法：课本上的证明勾股定理的10种证明方法：邹元治证明勾股定理的10种证明方法：赵爽证明
勾股定理的10种证明方法：1876年美国总统Garfield证明勾股定理的10种证明方法：项明达证明
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勾股定理的10种证明方法：切割定理证明
勾股定理的10种证明方法：直角三角形内切圆证明勾股定理的10种证明方法：反证法证明。
高中几何知识解析勾股定理的证明与应用
高中几何知识解析勾股定理的证明与应用一、勾股定理的证明勾股定理是数学中最基础的几何定理之一，也是高中数学必学的重要内容。
下面我们将介绍几种常见的证明方法。
1. 几何法证明:勾股定理最常见的证明方法之一是几何法证明。
具体的证明过程可以用一个平面直角三角形来说明。
假设在直角三角形ABC中，角C为直角，边AC与边BC分别记为a和b，边AB记为c。
我们可以通过将边BC沿AC边作为底边展开，构造一个以直角三角形ABC为底面的正方形ABDE以及一个以边AC为直径的半圆。
首先，我们可以发现正方形ABDE的边长等于c，而半圆的直径为AB，即也等于c。
由于正方形的面积等于边长的平方，所以正方形ABDE的面积为c²，而半圆的面积为πc²/4（其中π为圆周率）。
接下来，我们可以将正方形ABDE切割成4个直角三角形，它们与直角三角形ABC面积相等。
将这些三角形沿AC边折叠，可以将它们放置在以边AC和边BC为直径的半圆内。
由于直角三角形ABC的面积等于这些折叠后的三角形的面积之和，即等于半圆的面积减去正方形的面积。
代入式子，我们可以得到：a*b/2 = πc²/4 - c²，化简后可以得到勾股定理的成立：a² + b² = c²。
2. 代数法证明:除了几何法证明外，我们还可以通过代数法来证明勾股定理。
我们可以用平面直角坐标系表示直角三角形ABC，假设顶点A位于原点，点B的坐标为(c, 0)，点C的坐标为(0, b)。
根据直角三角形的定义，我们可以得到点C与点B的连线为直角边AC，点A与点C的连线为直角边BC。
根据坐标公式，直角边AC和BC的长度分别为a和b。
根据两点间距离公式，我们可以得到：a = √((0 - c)² + (b - 0)²) = √(c² + b²)，二次方根表示距离的长度，代入式子，我们可以得到勾股定理的成立：a² + b² = c²。
认识勾股定理及其应用
认识勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它在几何学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍勾股定理的概念、证明以及实际应用，并探讨其在各个领域的重要性。
1. 勾股定理的概念与证明勾股定理是指在直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：c² = a² + b²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
为了证明这一定理，我们可以利用平面几何的知识进行推导。
首先，我们将直角三角形的直角边沿着斜边的延长线平移，形成一个边长相等的正方形。
然后，利用几何定理和面积的计算公式，我们可以推导出正方形的面积。
再根据直角三角形与正方形的关系，得到勾股定理的证明过程。
2. 勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个重要领域。
2.1 建筑工程在建筑工程中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。
例如，在房屋建设中，我们可以利用勾股定理计算房屋的斜边长度，从而确定合适的位置和尺寸。
此外，勾股定理还可以用于测量建筑物之间的距离、角度等，为建筑工程提供基础数据支持。
2.2 地理测量勾股定理在地理测量中也扮演着重要的角色。
通过使用勾股定理，地理学家可以测量山脉、河流、湖泊等地理要素之间的距离和角度，进而揭示地球表面的地理特征。
同时，勾股定理还能够帮助测算地球的周长和半径等重要参数。
2.3 物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于描述力、速度和加速度之间的关系。
例如，在运动学中，我们可以利用勾股定理计算物体在斜面上滑动时的加速度和速度。
此外，勾股定理还可以用于解决力学、光学等领域中的复杂问题。
2.4 金融学在金融学中，勾股定理可以应用于计算利息、资产回报率等关键指标。
通过利用勾股定理，金融分析师可以准确计算投资回报的预期收益率，并作出相应的决策。
综上所述，勾股定理是一条重要的数学定理，它在各个领域都有着广泛的应用。
无论是建筑工程、地理测量、物理学还是金融学，勾股定理都以其简洁而强大的原理为人们提供了极大的便利。
勾股定理的证明及其在几何学中的应用
勾股定理的证明及其在几何学中的应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，它揭示了直角三角形中边与边之间的关系。
在几何学中，勾股定理具有广泛的应用，不仅在解决实际问题时有重要意义，也在研究纯粹的几何问题时扮演着关键角色。
一、勾股定理的证明勾股定理的证明历史悠久，最早可追溯至公元前中国和印度。
欧几里德给出了一种经典的证明方法，被广泛接受并应用至今。
欧几里德的证明方法基于几何关系，具体来说就是利用三角形的相似性和平行线的性质来展开。
首先，取一个直角三角形，假设较短的两条边分别为a和b，斜边为c。
然后，通过作图，将三角形分割成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两条边长度分别是a和b，另一个直角三角形的两条边分别是b和c-a。
接下来，我们可以看出这两个直角三角形的内角和相等，并根据相似三角形的性质得到下述等式：a/b = c-a/b进一步计算可得：a^2 + b^2 = c^2这就是勾股定理的证明过程。
这个证明方法简洁明了，且具有普适性，适用于各种类型的直角三角形。
二、勾股定理在几何学中的应用勾股定理在几何学中有广泛的应用，下面将介绍它在几何学中的两个经典应用。
1. 测量三角形的边长勾股定理可以应用于测量三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个边长时，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，我们已知一个直角三角形的两条边分别为3 cm和4 cm，通过勾股定理，可以计算出斜边的长度为5 cm。
这种应用在实际测量及工程设计中非常常见。
2. 判断三角形是否为直角三角形勾股定理也可用于判断一个三角形是否为直角三角形。
当一个三角形的边长符合勾股定理时，我们就可以得出结论，该三角形是个直角三角形。
例如，如果一个三角形的边长分别为5 cm、12 cm和13 cm，通过计算可以得到：5^2 + 12^2 = 13^2，满足勾股定理。
因此，可以确定该三角形是一个直角三角形。
勾股定理还有很多其他的应用，如在导航中计算位置、在工程建设中测算角度及角度变化等等。
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中一条经典的几何定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。
本文将就勾股定理的证明以及其在实际应用中的意义进行阐述。
1. 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，其中一种经典的证明方法是使用几何图形。
假设有一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，有a² + b² = c²。
证明勾股定理时，可以利用平面几何的知识。
首先，画出一个正方形，边长为a+b。
然后，根据直角三角形的性质，将正方形的四个角分别连接成四个直角三角形。
这四个直角三角形的两条直角边分别为a、b和b、a，斜边分别为c。
根据几何知识可知，这四个直角三角形的面积之和等于正方形的面积。
而正方形的面积为(a+b)²，即(a+b)² = 2ab + c²。
同时，这四个直角三角形的面积之和也等于a² + b² + a² + b² = 2(a² + b²)。
因此，得到等式2(a² + b²) = 2ab + c²，即a² + b² = c²。
证明完毕。
2. 勾股定理的应用勾股定理在实际应用中具有广泛的意义。
以下将介绍几个常见的应用领域。
2.1. 测量与导航勾股定理在测量与导航领域中被广泛应用。
例如，在三角测量中，勾股定理能够帮助测量人们无法直接测量的距离。
通过测量两个已知距离和一个已知角度，可以利用勾股定理计算出未知距离。
此外，在导航系统中，勾股定理也用于计算航空和航海中的飞行距离和航程。
2.2. 工程建设勾股定理在工程建设中起到关键作用。
例如，在建筑设计中，根据勾股定理可以计算建筑物的对角线长度，从而确保建筑结构的稳定性。
此外，勾股定理还常用于计算电线杆、铁路轨道等工程中的距离和角度。
2.3. 三角学与物理学勾股定理是三角学的基础，广泛应用于物理学中的力学、光学等领域。
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用
ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB ∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，K∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27SS =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58SS =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -， 即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = bAD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC ADDC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42， 又∵AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴()ab rc r 242=+， ∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们D D C拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。
勾股定理的应用与证明
勾股定理的应用与证明勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中最经典的定理之一。
它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边平方的关系，具体表达为：在直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a²+b²=c²。
勾股定理的应用非常广泛，从几何学到物理学，都能见到它的身影。
下面将从不同角度探讨勾股定理的应用，并给出一种证明方法。
一、勾股定理在几何学中的应用1. 解决直角三角形的边长和角度问题：根据已知条件，可以利用勾股定理求解直角三角形的边长，或者通过已知边长求解角度。
这在测量和设计等工作中具有重要的实际意义。
2. 判定三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三个边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形；反之，如果一个三角形是直角三角形，那么它的边长一定满足勾股定理。
3. 构造平分角：根据勾股定理，可以构造出任意角的平分角。
以直角三角形为例，如果将直角边的一部分作为斜边，那么剩下的部分满足勾股定理，就可以得到一个平分角。
二、勾股定理在物理学中的应用1. 轨迹问题：勾股定理可以用来描述物体在运动过程中的轨迹。
例如，如果一个物体以一定的初始速度和角度抛出，那么可以通过勾股定理来确定其飞行距离和落点的位置。
2. 力学问题：在力学中，勾股定理可以用来计算物体在斜面上滑动的速度和距离。
通过求解斜面的倾角和重力加速度，可以利用勾股定理得到所需的结果。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多，其中一种常见且简洁的证明方法是利用几何图形。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以构造一个以a和b为直角边的正方形，以c为斜边的正方形，再将两个正方形拼接在一起，形成一个大正方形。
根据图形的对称性，可以得知大正方形的边长为a+b。
而大正方形也可以划分为四个小三角形和一个以c为边长的小正方形。
小正方形的面积为c²，小三角形的面积之和为两条直角边的乘积的一半，即ab/2。
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能力展示
勾股定理
郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉 开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他 算出来吗？
A
x米
(X+1)米
C
5米
B
能力展示
勾股定理
印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷 花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”， 请用学过的数学知识回答这个问题。
C
2 X A
B
X+0.5
能力展示
勾股定理
如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B D
A E
C
牛刀小试
勾股定理
7、 已知等边三角形ABC的边长是 6cm，(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
B
D
C
能力展示
勾股定理
z
576
③
基础练习
勾股定理
1.在Rt△ABC中 1.在Rt△ABC中，∠C=90°， C=90° 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形 下列各组数中， １３ a=5，b=12， c=___________； ①已知一个Rt△的两边长分别为3和4， ； 若a=5，b=12（ 则c=___________ ， 不是Rt 的是（ Rt△ 不是Rt△的是 ） 3．已知一个Rt△的两边长分别为3
美丽的勾股树
勾股定理
拼图游戏
勾股定理
赵爽弦图
勾股定理
c
b
a
印度婆什迦罗的证明
勾股定理
c b a
∴ c2 = b2 + a2
直接观察验证
勾股定理
a2
a2 c2 b2 ∴ a 2 + b 2 = c2
总统法
勾股定理
a
b
c
a
c b
华罗庚:青出朱入图
勾股定理
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
华罗庚:青出朱入图
勾股定理
④
⑤ ①
b
c
a
③
②
概念复习
勾股定理
勾股定理: 勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理: 勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a， b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形 作用: 作用:计算长度与判断是否是直角三角 形
等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高。
A
13 13
H
提示：利用面积相等的关系
1 1 BC • AD = AC • BH 2 2
B
10
D
C
能力展示
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D C 8 A
A A
勾股定理
B
CBΒιβλιοθήκη 探索与提高：勾股定理
如图所示，现在已测得长方体木块的长 3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜 伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这 个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
H G F B
D A C
勾股定理 （1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面
向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线， 它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到 最短路径吗？ （2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛 沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓 H B 到苍蝇？ F
求下列直角三角形中未知边的长: 求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
牛刀小试
勾股定理
5
8
17
x
20
16
x
x
12
可用勾股定理建立方程. 方法小结: 可用勾股定理建立方程
牛刀小试
勾股定理
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ② 625
G
D A C
有一个圆柱,它的 高等于12厘米,底 面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它 想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面 爬行的最短路程是 多少? (π的值取3)
勾股定理 B
我怎 么走 会最 近呢? 近呢
A
B 高 12cm A A
9cm
B
勾股定理
的值取3) 长18cm (π的值取 的值取
常见的直角三角形
勾股定理
5 3
1
2
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
8，15，17 9, 12, 15 12，35，37 20，21，29 20，99，101 48，55，73 60，91，109
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4， Ａ a=1.5， A、a=1.5，b=2,c=3 b=___________； ２０ 则第三边长的平方是（ Ｄ ） 则第三边长的平方是（B、a=7,b=24,c=25 a=15，c=25， ②若a=15，c=25，则b=___________； C、a=6,b=8,c=10 C、、a=3,b=4,c=5 25 D7 A、25 B、14 D 、7 或
30° °
B
勾股定理
1．若△ABC的三边a、b、c满足 ABC的三边a 的三边 +50=6a+8b+10c， ABC的面积 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积 ABC中 AB=13cm，AC=24cm， 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证： ABC是等腰三角形 BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形 已知：如图， 1=∠2，AD=AE， BC上 3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上 一点， BD=DC， 求证： 一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证： A AB2=AE2+CE2
１１ ③若c=61，b=60，则a=__________； c=61，b=60， a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10， a∶b=3∶4，c=10， ２４ Rt△ABC的面积为________。 的面积为________ 则Rt△ABC的面积为________。
基础练习
勾股定理
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b） ABC的三边a 的三边 满足（ =0， ABC是 （a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） 等腰三角形； A．等腰三角形； 直角三角形； B．直角三角形； 等腰三角形或直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； 等腰直角三角形。 D．等腰直角三角形。 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1： ABC的三边a 的三边 满足a c=1： 试判断△ABC的形状 1： ，试判断△ABC的形状 2
E
B
D
C
勾股定理 思考题 1（05、江苏宿迁）如图，将 一根25㎝长的细木棒放入长、宽、 高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面 C 的最短长度是 ㎝．
A
B
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 分别等于５５ ５５cm，１０cm和 分别等于５５ ，１０ 和６cm，A和B是这个台阶 ， 和 是这个台阶 的两个相对的端点， 点上有一只蚂蚁 想到B点去吃 点上有一只蚂蚁， 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发 点出发， 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 点出发，沿着 台阶面爬到B点 最短线路是多少？ 台阶面爬到 点，最短线路是多少？
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152
∴ AB=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米 蚂蚁爬行的最短路程是 厘米. 厘米