沪教版(上海)数学高二上册- 空间直线的方向向量 课件

空间直线与平面所成的角：当直线l与平面相交且不
垂直时，设它们所成的角为
0
2
,
d是直线
l的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，d与n
的夹角为
，那么
与
有如下关系：
2
0
2
l
或l
0,
;l
,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0
2
2
于是 sin cos
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空间直线的方向向量
对于空间任意一条直线 l ，与直线 l 平行的 非零向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量。
注：直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向
量是相互平行的
例、已知所有棱长为1的正三棱锥A-BCD，试建立 空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
A
d BD 0,1, 0, d BC 3,1, 0 , d CD 3, 1, 0 B
中点
arccos 1
3
A1 B1
D1 C1
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A
B
x
P
Dy
Q
C
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法向量与方向向量的应用3：空间 点到平面的距离
设A是平面α外任意一点，n 是平面α过点A的法向量， 点M是平面α内任意一点，向量 AM与n 的夹角为θ， 直线AM与平面α所成角为 。
例、 已知 AB=（2，2，1），AC=（4，5，3）求平面
ABC的单位法向量.
例、在放置于空间直角坐标系中的长方体 ABCD A1B1C中1D1， 求下列平面的一个法向量：
（1）平面 ABCD ； （2）平面 ACC1 A1 ；
z
D2 C
4
（3）平面 ACD1
A
B
n 0, 0,1 n 1, 2, 0 n 3, 6, 4
d AB 1, 3, 2 2 , d AC 1, 0, 2 , d AD 1, 3, 2 2
D C
注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的 值比较简单的方向向量。
平面的法向量
对于非零的空间向量 n,如果它所在的直线与平 面α垂直,那么向量 n叫做平面α的一个法向量.
注:(1)平面 有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的； (2)平面 的 法向量 与n平面n0 内 13的, 23所, 23 有向量都垂直
d AM sin AM cos
n AM n AM
AM
n AM
n
A
n
M
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Ex:在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1. 求：（1）顶点B’到平面D’AC的距离；（2）直线 BC’到平面D’AC的距离。
空间两条直线所成的角：设空间直线a与b所成的角为
0
, 它们的一个方向向量分别为
2
d1
l1, m1, n1 ,
d 2 l2, m2, n2 , d1与d2 的夹角为 0 ，根据空间
两条直线所成的角的定义，可知 与是
0
2
2
即cos cos
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法向量与方向向量的应用1：判断平行关系
基础命题1：两条直线平行与重合
方向向量互相平行
基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内
这条直线的方向向量垂直于该平面的
法向量 基础命题3：两个平面平行或重合
它们的法向量互相平行
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Ex：已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都是a，
M是棱 A1B1 的中点，
求：（1）直线 BB1与平面 AMC1 所成角的大小
（2）二面角 M AC1 A1 的大小
z
arcsin 5 5
A
C
arccos 15
B
5
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A1
C1
y
M
Ex：如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形
PD 底面ABCD ，PD=DC，E是PC的中点，作 EF PB交
PB于点F，证明：（1）PA 平面EzDB
（2） PB 平面EFD
P
推论：一条直线与一个平面垂直
FE
这条直线的方向向量
D
y
C
平行于该平面的法向量
A
x
G
B
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使它和对角线A1C所成的角D最1 小。
C1
设向量A1P坐标 （x,y,0）
A1
P
B1
D
C
A
B
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Ex：正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是棱BC和 AD的中点，求直线AE和FC所成角 z
arccos 2 3
A
F
y
B
O
D
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E
C
x
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3
D1
y
C1
x
A1
B1
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二面角：设两个半平面所在的平面α1，α2的法向
量分别为 n1, n2，两个法向量的夹角为 ，二面角
的大小为 0 ，可以看出 或
| cos || cos |
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EX.如图，在长方体 ABCD A' B 'C ' D '中，
求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' Dz '.
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D' A'
C' B'
D A
y
C
B
x
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法向量与方向向量的应用2：空间角的度量
x B1
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Ex：已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别在BC、 CD上运动，且 PQ 2，建立如图所示坐标系
（1）确定P、Q的位置，使得 B1Q D1P z
（2）当 B1Q D1P 时，求二面角 C1 PQ A 的大小
Ex：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E，F分别是BC,CD的 中点，求：
（1）直线A’D与平面EFD’B’所成角的大小；
（2）二面角B-B’E-F的大小。
arcsin 2 6
arccos 2
3
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4 3
2 3
EX.已知直三棱柱 ABC ─A1B1C1 的侧棱 AA1 4 , 底面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 ,
E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
z
C1
23 3
A1
B1
C
A
B
xE
y
• 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面内任 一点，试求过P点在上底面内引一条直线，
Ex：四棱锥S-ABCD的高SO=3,底面是边长为
2,∠ABC=600的菱形,F是SA的中点,E是SC的中点,
求异面直线DF与BE所成角的大小.
z
arccos 2
11
S
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B
x
F E
A
O C
D
y
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