10-5驻波(1)
10-4~5~6驻波、多普勒效应
2 cos
2
cos
2
2π 2π y y1 y2 (2 A cos x ) cos t —— 驻波方程 T
驻波的振幅 从上式可看出: 合成以后各点都在作同周期的简谐 振动( 即驻波的周期还是原来波的周期 ) ；各点的振幅随 位置x 的不同而不同, 与时间 t 无关。
第十章 波动
由图得
A = 0.1m
y/cm 10
O -5
u
30 x/cm
坐标原点处质点的振动表达式为
0.6m 由图可知：
则
u
T
0.2m/s
该波波动表达式
2π x y x , t 0.1cos t 0.2 3
π m 2
第十章 波动
4
物理学
T 3
A yo 0.05 m 2 0 。 且有v o
1 t s 4
1 t s 4
o
2π 2π 1 π 2π t t 则 3 3 4 2 3
第十章 波动
2π ? 3
y(m)
3
物理学
第五版
π 2
2π rad / s 3
x y = 0.03cos 4 t - - u 2
第十章 波动
5
物理学
第五版
x 即： y 0.03cos 4 t - 0.20 2
将xo= - 0.05m 代入波动方程,得坐标原点O的振动方程:
0.05 yO 0.03cos 4 t 0.2 2 0.03cos 4 t 2
19
10-5驻波
1010-5驻 波stationary wave
Chapter 10 波动 wave
五 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时， 两端固定的弦线形成驻波时，波长 λn 和弦线长 l 固定的弦线形成
u ν 应满足 l = n ，n =n 2 2l
λ
)
各质点都在作同 频率的简谐运动
zhaocq@
HOHAI UNIVERSITY
1010-5驻 波stationary wave
Chapter 10 波动 wave
讨论
cos 2 π ν t 驻波方程 y = 2 A cos 2 π λ x 1）振幅 2 A cos 2 π 随 x 而异， 与时间无关 而异， 与时间无关. ）
HOHAI UNIVERSITY
λn
n = 1,2,L 由此频率
zhaocq@
决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式 决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式. 简正模式
1010-5驻 波stationary wave
Chapter 10 波动 wave
两端固定的弦 两端固定的弦 固定 振动的简正模式
l = n
千斤
λ
2
n = 1, 2 , L
波速 u =
nu 频率 ν = = λ 2l
u
T
ρ
l
码子
HOHAI UNIVERSITY
1 基频 n = 1 ν 1 = 2l
T
n 谐频 n > 1 ν n = 2l
ρ T
= 262 Hz
ρ
zhaocq@
大
波 波 位 相 相
HOHAI UNIVERSITY
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
10-5 驻波
第十章 波动
8
物理学
第五版
二、半波损失
1010-5
驻波
实验中B点固定，形成波节， 实验中B点固定，形成波节，说明入射波 和反射波反相位。 和反射波反相位。 (1)入射波和 (1)入射波和 反射波同相位
(2)入射波和 (2)入射波和 反射波反相位 入射波和反射波有π的相位突变____ 入射波和反射波有π的相位突变____半波损失
t + x y2 = A cos 2π T λ
驻波
合成波： 合成波：
y = y1 + y 2
t x t x = Acos 2π ( − ) + cos 2π ( + ) T λ T λ
2π = ( 2 A cos x) cos t λ T
2π
A x ) = 2Acos (
物理学
第五版
一. 驻波
1010-5
驻波
是由振幅相同， 驻波: 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。
驻 波 的 形 成
第十章 波动
1
物理学
第五版
1010-5
驻波
第十章 波动
2
物理学
第五版
1010-5
驻波
驻波的形成： 驻波的形成：
第十章 波动
9
物理学
第五版
1010-5
驻波
对于波沿分界面垂直入射的情形, 与波速u 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度ρ 与波速 较大的介质称为波密介质 波密介质， 较小的介质称 的乘积ρu 较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称 波疏介质。 为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 分界面反射点形成波节。 分界面反射点形成波节。 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 分界面反射点形成波腹。 分界面反射点形成波腹。 若反射点为自由端，无半波损失。 若反射点为自由端，无半波损失。 自由端 若反射点为固定端，有半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 固定端
实验指导书(驻波)
上海电力学院物理实验指导书所属课程：大学物理实验实验名称：驻波（一）（二）面向专业：全院理工科实验室名称：物理实验室2006年2月驻波（一）一．实验目的：1.观察在弦线上形成的驻波；2.了解弦线振动时驻波波长与弦线所受张力的关系,并利用它来测定电动音叉的频率.二、实验仪器、设备：名称型号、规格备注电动音叉f=103.3Hz滑轮1个弦线μ=2.61×10-3g/cm砝码20g米尺1m劈形木板2个三、实验原理1.驻波：两个振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时。
叠加后直线上各质点形成稳定的振动状态，称此为驻波。
让相干前进的波与反射波叠加就能形成驻波。
2.在张紧的弦线上观察驻波：一根弦线横跨在音叉的一端A和劈形木块P的刀口B之间，在刀口右面通过滑轮H和砝码m给弦线施加一定的张力。
音叉由电磁策动力维持振幅恒定的振动。
当音叉振动时,在弦线上激起一横波，此波向右行进。
当此波遇到固定点B时又被反射，形成向左行进的反射波，这两个波在弦上相互叠加就形成驻波。
驻波从B开始就被分成几段,每段的两个端点的振幅为零，固定不动，这些点称为波节。
每段中的各质点则同步作上下振动。
两相邻的波节中间的点振幅最大，称为波腹。
相邻两波节（或波腹）之间的距离L等于形成这驻波的相干波波长的一半，即L=λ/2。
当弦线AB段的长度接近半波长的整数倍时，驻波振幅最大而且稳定。
由于B端是固定点，所以B端一定是波节。
3.当改变音叉频率或改变加上弦线的张力F时，就可改变半波长L。
在本实验中，采用改变张力F来改变L。
在弦线上传播的横波的波速u和张力F及弦线的单位长度的质量μ有如下关系：u2=F/μ又u=λf从上两式可知张力F的改变，引起u的变化。
由于音叉频率f不变，所以λ改变。
由上两式得f2=F/(μλ2)所以只要测得F、μ及λ就能求得电动音叉的频率f。
四．实验内容与步骤：1.记下弦线单位长度质量（由实验室给出）。
μ=2.45×10-4kg/m=2.45×10-3g/cm(原悬线值)μ=2.61×10-4kg/m=2.61×10-3g/cm(2001/9/10重测新悬线值)2.在弦线下垂端加砝码140克，记下张力（化为达因）。
10-5 驻波
33
物理学
第十章 波动
20
1010-5
驻波
例题3 一平面简谐波某时刻波形如图所示， 例题 一平面简谐波某时刻波形如图所示，此波以波速 u沿x轴正方向传播，振幅为 ，频率为 。 轴正方向传播， 沿 轴正方向传播 振幅为A，频率为υ。
y
B D
x
点为x轴的坐标原点并以此 （1）若以图中 点为 轴的坐标原点并以此 ）若以图中B点为 时刻为t=0时刻 写出此波的波函数。 时刻， 时刻为 时刻，写出此波的波函数。 点为反射点， （2）图中 点为反射点，且为一节点。若以 点为 ）图中D点为反射点 且为一节点。若以D点为 X轴的坐标原点，并以此时刻为 时刻，写出此波 轴的坐标原点， 时刻， 轴的坐标原点 并以此时刻为t=0时刻 的入射波的波函数和反射波的波函数。 的入射波的波函数和反射波的波函数。
第十章 波动
18
1010-5
驻波
第十章 波动
19
1010-5
驻波
t x 例题2 如果入射波是y1 = A cos 2 π( + ) ， T λ 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 在 x = 0 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 设反射后波的强度不变， 设反射后波的强度不变，则反射波的方程式为 y2 = Acos 2π(t / T x / λ) ，在 x = 2 λ 处质点 ______________________， 3 合振动的振幅等于______. 合振动的振幅等于 A
y = (2Acos
x ∈ (
2π
λ λ
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2Acos
10-5驻波
12-5 驻波1、理解驻波形成的条件和特点驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；2、理解驻波中的相位和能量，建立半波损失的概念。
重点：驻波形成的条件和特点、驻波方程的建立、驻波中的相位和能量；难点：驻波的形成，半波损失课堂讲授（MCAI教学）1个学时干涉是特定条件下波的叠加，驻波是特定条件下波的干涉。
一、驻波的产生及特征1、产生条件：两列波：（1）满足相干条件；（2）相同振幅；（3）速度相同；（5）沿同一直线相向传播相遇而产生驻波。
2、驻波的特征(1)某些点始终不动—波节，某些点振动最大—波腹。
(2)波腹、波节等间隔稳定分布(波形没有跑动)。
(3)媒质质元分段振动，各分段步调一致，振幅不同。
二、驻波方程分析1、驻波方程：设两列平面相干波沿x轴正、负向传播，在x=0处相位相同。
右行波：1cos2πνλ⎛⎫=-⎪⎝⎭xy A t左行波：x 轴上的合振动为：122cos 2cos 2ππνλ=+=x y y y A t 2、驻波的振幅 由驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=x y A t 与时间无关的因子为振幅分布因子，与时间有关的为谐振动因子。
振幅为：2cos 2πλxA(1) 驻波的振幅沿x 轴周期变化。
(2) 波腹——振幅最大最大振幅为2A 由22cos 22πππλλ=⇒=±xxA A k 相邻两波腹间距12λ+∆=-=k k x x x 波腹处坐标：2λ=±⋅x k （k = 0，1，2，…）(3) 波节——振幅为零 由22cos 20(21)2πππλλ=⇒=±+x x A k (21)4λ=±+x k 相邻两波节的间距12λ+∆=-=k k x x x3、驻波的相位 2cos 2πνλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x y A t驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=xy A t 可写为： 2c o s 2c o s 2(c o s 20)ππνπλλ=>x x y A t 2cos 2cos(2)(cos 20)ππνππλλ=+<x xy A t驻波的相位与坐标无关，说明不象行波随位置依次落后，即驻波的相位不向前传播。
10-5 驻波
振子
细绳
固定端
从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波， 在绳上被分成几段，
每一段两端的点固定不动， 而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的 独立振动； 中间的点，振幅最大， 越靠近两端的点，振幅越小， 而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。
振子
细绳
固定端
波腹
波节
此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变， 而没有振动状态或位相的逐点的传播， 也即没有什么“跑动”的的波形， 所以这种波称为驻波。
3 x 2 2
2
3 2 5 x 2 2
讨论 位相
y 2 A cos
2
x
●
x2
●
x cos t
●
x
x3
●
x1
2
●
3 x 2 2
x1 x x2 x 2 x x3
2
3 2 5 x 2 2 cos 2
2 A cos
2
振幅 ——驻波的振幅与位置有关，与时间无关 波腹的位置——振幅最大的位置 发生在
x
cos
2
x 1
振幅
2 A cos
2Hale Waihona Puke x cos 2波腹的位置——振幅最大的位置
2
2
x k
xk
2
x 1
k 0， 1， 2， 3，
波节的位置——振幅最小的位置
相邻波腹（或波节）的距离
x k 1 x k
2
2
2
讨论 位相
y 2 A cos
实验指导书(驻波)
上海电力学院物理实验指导书所属课程：大学物理实验实验名称：驻波（一）（二）面向专业：全院理工科实验室名称：物理实验室2006年2月驻波（一）一．实验目的：1.观察在弦线上形成的驻波；2.了解弦线振动时驻波波长与弦线所受张力的关系,并利用它来测定电动音叉的频率.二、实验仪器、设备：名称型号、规格备注电动音叉f=103.3Hz滑轮1个弦线μ=2.61×10-3g/cm砝码20g米尺1m劈形木板2个三、实验原理1.驻波：两个振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时。
叠加后直线上各质点形成稳定的振动状态，称此为驻波。
让相干前进的波与反射波叠加就能形成驻波。
2.在张紧的弦线上观察驻波：一根弦线横跨在音叉的一端A和劈形木块P的刀口B之间，在刀口右面通过滑轮H和砝码m给弦线施加一定的张力。
音叉由电磁策动力维持振幅恒定的振动。
当音叉振动时,在弦线上激起一横波，此波向右行进。
当此波遇到固定点B时又被反射，形成向左行进的反射波，这两个波在弦上相互叠加就形成驻波。
驻波从B开始就被分成几段,每段的两个端点的振幅为零，固定不动，这些点称为波节。
每段中的各质点则同步作上下振动。
两相邻的波节中间的点振幅最大，称为波腹。
相邻两波节（或波腹）之间的距离L等于形成这驻波的相干波波长的一半，即L=λ/2。
当弦线AB段的长度接近半波长的整数倍时，驻波振幅最大而且稳定。
由于B端是固定点，所以B端一定是波节。
3.当改变音叉频率或改变加上弦线的张力F时，就可改变半波长L。
在本实验中，采用改变张力F来改变L。
在弦线上传播的横波的波速u和张力F及弦线的单位长度的质量μ有如下关系：u2=F/μ又u=λf从上两式可知张力F的改变，引起u的变化。
由于音叉频率f不变，所以λ改变。
由上两式得f2=F/(μλ2)所以只要测得F、μ及λ就能求得电动音叉的频率f。
四．实验内容与步骤：1.记下弦线单位长度质量（由实验室给出）。
μ=2.45×10-4kg/m=2.45×10-3g/cm(原悬线值)μ=2.61×10-4kg/m=2.61×10-3g/cm(2001/9/10重测新悬线值)2.在弦线下垂端加砝码140克，记下张力（化为达因）。
10-5 驻波
)
y2 A cos 2π (t
x
x
y y1 y2
A cos 2π (t
)
x
2 A cos 2π
x
) A cos 2π (t
)
cos 2π t
4
第十章 波动
物理学
第五版
10-5
驻波
讨论 驻波方程 y 2 A cos 2π (1)振幅 2 A cos 2π
15
第十章 波动
物理学
第五版
10-5
驻波
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复 变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的 转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中 在波节，但无能量的定向传播. 原因 两列波各自向相反方向以相同速度传播 同样大小的能量，其平均效果为零.
第十章 波动
16
物理学
第五版
2 x1 x2
) ( 2
x x1
2
)
( x 1)
当Δφ = (2k+1)π时静止， ( x 1) (2k 1)
x 2(k 1), k 0,1,2
27
第十章 波动
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 10-5
10-6 10-7
惠更斯原理 波的衍射和干涉 驻波
多普勒效应 平面电磁波
第十章 波动
28
)
x A cos( t 2 ) L 5
x 2 xM
)
第10章 波动习题解答(课堂使用)
6
10-7 一横波在沿绳子传播时的波动方程 为 y 0.20cos（2.50t x）， 式中y和x的单位 为 m ， t的单位为s.（1） 求波的振幅、波速、 频率及波长；（2）求绳上的质点振动时的最 大速度；（3）分别画出t 1s 和 t 2s 时的波 形，并指出波峰和波谷.画出x 1.0m处质点的 振动曲线并讨论其与波形图的不同.
解： 设波源为坐标原点（如图）
yo Acos(t )
yu
x
t
0,y2oyW/ T0y,vOAV01c0o00sA(1cs0o0s1(1(0t01t 0x202)
)
2
O
)
9
yW
Acos(100 (t
x) 100
)
2
A cos( 100t
x
)
2
（1）距波源 15.0m 和 5.0m 两点处质
点的运动方程和初相； 注意：波源为坐标原点
x） u
]
2
(C)yA cos [ω（t Nhomakorabeax）
]
(D)y Acos[ω（t x） ]
u2
u
x 0, t T
y
u u: 速度大小
A
4
代入C式： 2
T
yo
A cos[ω( T 4
0 ） u
2
]
yo Acos0 A
x
O
-A
图a
代入D式：yo
A cos[ω( T 4
0 ） u
]
yo
A cos[
y
A cos[ (t
x) u
0
]
y 0.2cos[ 2.5 (t x )]
驻波的概述
即
y1
Acos(2 t
2
x)
y2
A c os(2 t
2
x)
两波相遇，其合成波为
y
y1
y2
A c os(2 t
2
x)
A c os(2 t
2
x)
2Acos 2 x cos2 t (x) (t)
变量分离 2
2、驻波特征
① 振幅分布的特点
➢波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各
x
0
Dy2
A c os2
t T
x
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。
故应选 (D)
12
例 5－1０ 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
a
（B） 2
A
b
（C）5 4
o
（D） 0
A
2
9
8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
5
／4
(x) ＞0 (x) < 0 3／4
5／4
相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任 一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π ，
──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相 邻两段位相相反。
6
③、驻波能量分布特点：
y(t t, x x) 2Acos2 (x x) cos2 (t t) y(t, x)
驻波的概述
一、驻波现象
在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一 直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。
P
A
B
m
绳上的驻波
科技大学大学物理下册第六版答案
第九章振动习题：P37〜39 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16.49-1 一个质点作简谐运动，振幅为忙在起始时刻质点的位移为-今，且 向尤轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢童为（ ）分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为-冲/2.且向震轴负方 向运动•图（町是其相应的錠转矢最图.山旋转矢童法可知初相位为2TT /3•振动 曲线上给出质点从-A/2处运动到十M 处所需时间为I 矢由对应旋转矢量图可 知相应的相位差A 甲=4ir/3，则角频率孙二、中£Z = （4ir/3） 6_ \故选（D ）»本题 也可根分析与解（巧图中旋转矢量的矢端往耳轴上投影点的位移为-片/2,且投 影点的运动方向指向0龙轴正向，即其速度的耳分量大于零*故满足题意因而正 确答案为少-2已知某简谐运动的振动曲线如图心）所朋■则此简谐运动的运动方 程为（（A ） （C ） X = 2 COS J -yTTi - -^-71 “2叫CTD )cm(R)工 h 2<X»s( ； TTi + -j-7T (D) x =+ y I ( cm )cm )据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案.9*3 两个同周期简i皆运动曲线如图（"所示*，的相位比勺的相位（）5）落后牙（R）超前壬（C）落后仃（D）超前7T分析与解由振动曲线图作出相应的旋转久量图（b）即可得到答案为（叭9-4 一质点做简谐运动，周期为T,当它由平衡位置向X轴正方向运动时,从1/2最大位移处到最大位移处这段路程所需的时间（）A、T/12B、T/8C、T/6D、T/4分析（C）,通过相位差和时间差的关系计算。
可设位移函数y=A*sin（w t）,其中w =2n /T ;当y=A/2, w t1= n /6 ;当y=A, w t2= n /2 ;△t=t2 -t1=［n /（2 w ）］-［n /（6 w ）］= n /（3 w ）=T/69 -目当质点以频率¥作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A 】寺「B）P（（J）2胖（D） 4卩分析与解质点作简谐运动的动能表武为- （a +护），可见其周期为简谐运动周期的一半［则频率为简谐运动频率卩的两倍+因而止确答案为（C）.9- E ］图（町巾所啣的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加+ 则合成的余弦振动的初相位为（ ）31（A ）亍力（B ）（｛；） TT（D ） 0分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动, 它们的相位差是“（即反相位）+运动方程分别为口 = A cos a ）t 和x 2 = -^-cos （（ot+£灯）》它们的振幅不同•对于这样两个简谐运动，叮用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为^=ycos 族.因而正确答案为（D ）.9-0有一个弹簧振子，振幅/ =2.0x107叫周期°趴初相炉二 3ir/4.试写出它的运动方程，并作出火"图卩“图和a"图.解因3=2IT /T\则运动方程根据题中给出的数据得x - 2. 0 x 10 _2€08（ 2衣 + 0. 75TT ） （in ）振子的速度和加速度分别为v = dx/dt 石x 10'2ftin(27TZ +0* 75ir) ( m • s'1)(i = d 2x/di 3 - - 8TT 2 x 10 2CDS (21TZ + 0* 75TF ) (m ・ s 1)尤- — f 及＜i 7图如图所示*X = /lcos( (dt + 少)=4cos/ 2打『9-0 若简谐运动方程为x=o. 10 ws(20m+0. 257T)(m)r求：(1)振幅、频率.角频率、周期和初相；(2) t=2合时的位移、速度和加速度.解(1 )将x =0, lOcos (20ir^ + 0. 25ir) ( ni)与女二A€os(t^(十炉)比较后可得;振幅4二①【0 m,角频率w = 20^-\初柑申 Z 25□则周期T = = 0. I筑频率卩=1/『二10 Hz.(2) t^2s时的位移、速度、加速度分别为x =0. 10CO9(40TT +O.25TT) =7J)7 xlO*2mv = dx/d/ =「27T5in(40ir +0. 25TT)=- 4.44 m - s« - d^/di1= -40ir2cos(407r +0. 25ir) = -2. 79 x 10L m ・少-凹某振动质点的工-丄曲线如图(町所示，试求：(1)运动方程；(2)点戶对应的相位；(3)到达点尸相应位置所需的时间.解（1）质点振动振幅=0. W m 而由振动曲线可画出q =0和=4 8 时旋转矢量，如图（b ）所示.由IS 可见初相気二亠忻/3（或純=5ir/3） t 而由-和)=ir/2 + TT /3得曲=5^/24 & ' +则运动方程为文=0.］仇0彳 - TT /3)( m)（2） 图（町中点F 的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处.对应的旋转矢量图如图（町所示.当初相取列=7用时’点P 的相位为和十。
大学物理学机械波练习题
《大学物理学》机械波部分自主学习材料（解答）一、选择题10-1．图（a ）表示0t =时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b ）为一质点的振动曲线，则图（a ）中所表示的0x =处质点振动的初相位与图（b ）所表示的振动的初相位分别为（ C ） （A ）均为2π； （B ）均为π-； （C ）π与π-； （D ）2π-与2π。
【提示：图（b ）为振动曲线，用旋转矢量考虑初相角为2π-，图（a ）为波形图，可画出过一点时间的辅助波形，可见0x =处质点的振动为由平衡位置跑向负方向，则初相角为2π】10-2．机械波的表达式为0.05cos(60.06)y t x ππ=+，式中使用国际单位制，则（ C ） （A ）波长为5m ； （B ）波速为110m s -⋅；（C ）周期为13秒； （D ）波沿x 正方向传播。
【提示：利用2k πλ=知波长为1003λ=m ，利用u k ω=知波速为1100u m s -=⋅，利用2T πω=知周期为13T =秒，机械波的表达式中的“+”号知波沿x 负方向传播】10-3．一平面简谐波沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u ，设4Tt =时刻的波形如图所示，则该波的表达式为（ D ）（A ）cos[()]xy A t u ωπ=-+； （B ）cos[()]2x y A t u πω=--；（C ）cos[()]2x y A t u πω=+-；（D ）cos[()]xy A t uωπ=++。
【提示：可画出过一点时间的辅助波形，可见在4Tt =时刻，0x =处质点的振动为由平衡位置向正方向振动，相位为2π-，那么回溯在0t =的时刻，相位应为π】OO10-4．如图所示，波长为λ的两相干平面简谐波在P 点相遇，波在点1S 振动的初相是1ϕ，到P 点的距离是1r 。
波在点2S 振动的初相是2ϕ，到P 点的距离是2r 。
以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ D ） （A ）21r r k π-=； （B ）212k ϕϕπ-=； （C ）212122r r k ϕϕππλ--+=；（D ）122122r r k ϕϕππλ--+=。
10-5 驻波1
§10-5
y1 A cos( t
驻 波
) 2
例 如图所示，在绳上传播的入射波方 2x 程为 入射波在x=0处反射，反射端固定。设反射波不衰减， 求驻波方程及波节和波腹的位置。 解:入射波在x=0处引起的振动为
y10 A cos( t ) 2
由于反射端固定，反射波在x=0处有半波损失引起的 振动为
) A cos( t ) 2 2 2x 反射波沿ｘ轴正向传播， y2 A cos( t ) 2 故反射波方程为
y20 A cos( t
§10-5
合成的驻波方程为
驻 波
2x 2x y y1 y2 A cos( t ) A cos( t ) 2 2 2 2 2 A cos( x ) cos t 2a sin( x) cos t 2 当 sin( 2 x) 0 即 2 x n , n 0,1,2, 时， 为波节。 1 波节位置为 x n , n 0,1,2, 2 2 2 当 sin( x) 1 即 x n , n 0,1,2, 时， 2 为波腹。
§10-5
波 密 介 质
驻 波
波 疏 介 质
u
较 大
u
较 小
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 反射波 在分界处不产生相位跃变.
§10-5
四 驻波的能量
驻 波
位移最大时
波 节
波 腹 A B C
x x
平衡位置时
y 2 dWp ( ) x
y 2 dWk ( ) t
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化
2
2 A cos(
驻波
2π r1 2π r1 A1 cos(1 ) A2 cos( 2 )
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1
常量
平面简谐波的波函数
A A 2 A1 A2 cos r2 r1 2 1 2π A
y1 A1 cos(t 1 )
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p A1 cos( t 1 2π r1 )
点P 的两个分振动 r2 y2 p A2 cos( t 2 2π )
平面简谐波的波函数
s1 s2
r1
r2
点P 的两个分振动
平面简谐波的波函数
解 （a）设反射波方程为
x y2 10 cos[ 200 π(t ) 0 ] (m) 200
3
（ 2）
由式（1）得A点的反射振动方程
L y1 A 10 cos[ 200 π(t ) π] (m) 200
3
（ 3）
y
O
L
1 2 A
x
平面简谐波的波函数
P 15m 解：
BP 25 m
u
0.10 m
A
20m
B
设 A 的相位较 B 超前，
则.
A B π
B A 2π
点P 合振幅
BP AP
25 15 π 2π 201 π 0.1 A A1 A2 0
平面简谐波的波函数
波疏介质
波节
波密介质
波腹
平面简谐波的波函数
波疏介质 介质 波 疏 介 质 u 较 小
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、驻波方程
x y1 A cos 2 (t )
y2 A cos 2 (t )
x
y y1 y2 2 A cos 2
振幅为 A 2 A cos 2
x
x
cos 2t
振动方程
前一项表明：不同 x 处质点振幅按余弦分布
四、实际的驻波形成条件
弦 线 上 驻 波 形 成 条 件
§6.驻波 / 四.实际的驻波形成条件
•形成驻波的条件： ln
n
2
当
u
u 为 的整数倍的波才能形成驻波。 2l
§6.驻波 /四.实际的驻波形成条件
u n n , n 1,2,3 2l
•两端开口管中形成驻波的条件 •形成驻波的条件： ln
§6.驻波 /四.实际的驻波形成条件
五、半波损失
为何固定端或封闭端形成波节而开口 端或自由端形成波腹？。
•自由端没有 半波损失 •固定端有半 波损失，相 位跃变
§6.驻波 / 五 四.半波损失
波在媒质分界面上反射时：
1
2
用 Z1 1u1 和Z 2 2u2 分别表示两媒 质的特性阻抗。两种媒质比较，Z 值较大的 称为波密媒质，Z 值较小的称为波疏媒质。
2、相位特点
y 2 A cos 2 cos 2t x cos 2 0 相位为 2t
x
x
cos 2
0
相位为
2t
把相邻两波节之间的各点叫一段
波节两侧的振动相位 相反。 两波节间振动相位相同
所以驻波实际上是分段振动现象，各 段作为一个整体，同步振动。
§6.驻波 /三、驻波的特征
后一项表明：各质点作频率相同的谐振动。
§6.驻波 / 二驻波方程
y y1 y2 2 A cos 2
x
cos 2t
振动方程
显然： 相位: y(t, x) y(t t, x x)
相位不传播
§6.驻波 / 二驻波方程
三、驻波的特征
1、波节和波腹
A 2 A cos 2
§6.驻波 / 例题1
y y1 y2 2 A cos(
2x
2 2x 2Asin cost
( 2k 1 )
) cost
波腹位置：
2x
2Leabharlann ;x (2k 1)
4
k 0;1;2
k k ; x 波节位置： 2 •比一比：上述两种情况下波节 与波腹位置关系
2x
解： （1）反射端是自由端： 2x y1 A cos( t ) 2 当x 0 时
y0 A cos( t ) 2
2x y2 A cos( t ) 2
§6.驻波 / 例题1
y y1 y2 2 A cos
波腹位置：
2x k ;
波从波疏媒质传向波密媒质，而在波 密媒质面上反射时，反射波的相位有 的突变——半波损失（获得）。形成驻波在此
处是波节。当波从波密—波疏媒质界面上反射时，无半波损失， 形成驻波此处是波腹。
计算波程时要附加
§6.驻波 /驻波 四.半波损失 §6. / 五.半波损失
2
y1 A cos( t ) 并在x 0 例2：设入射波方程为， 2 处反射，在下述两种情况下，分别求出在无衰减时的 合成驻波方程，并分别就（1）（2）两种条件下说明 何处是波腹，何处是波节。（1）反射端是自由端， （2）反射端是固定端
第 5节
驻波
一、驻波的产生
由振幅、频率和传播速度都相同 的两列相干波，在同一直线上沿相反 方向传播时叠加而成的一种特殊形式 的干涉现象。
§6.驻波 / 一、驻波的产生
不同时刻的波形
t0
t T 4
虚线表向右传的波； 实线表向左传的波。
T t 2
t 3T 4
OA B C D EFG H
波形不传播
n
2
u n n , n 1,2,3 2l u 基频： 1 2l n 1, n 称为谐频
（和弦）
§6.驻波 /四.实际的驻波形成条件
•想一想：一端开 口，一端封闭管 形成驻波的条件？
ln •形成驻波的条件：
n
4
u n n , n 1,3,5,7 4l
2x
cos( t ) 2
k x 2
k 0;1;2
2x 波节位置： ( 2k 1 ) ; 2
x (2k 1)
4
（2）反射端是固定端： 考虑半波损失
反射波在O 点引起 的振动为
y0 A cos( t
2
)
2x y2 A cos( t ) 2
§6.驻波 / 例题1
2x
作业
• P90习题
• 10-13；10-14；10-20；10-21；10-24
x
cos 2
x
波节位置 x 2 (2k 1) , x (2k 1) , k 0,1,2 2 4
0
振幅为0 ——波节
两相邻波节间的距离
xk 1 xk 2
§6.驻波 / 三、驻波的特征
cos 2
2 x
x
1
A 2 A cos 2
3、波形和能量特点 波形不传播 能量不传播 相位不传播
——“驻”
驻波的能量并不作定向传播,只是交替地由波腹 附近转向波节附近,再由波节附近转向波腹附近. 动能和势能不断相互转换.
相位不传播
§6.驻波 /三、驻波的特征
• 例1： 已知一驻波在t 时刻各点振动到最大位 移处，其波形如图（A）所示.一行波在t 时刻 的波形如图（B）所示，试分别在图（A）、 图（B）上注明所示的a、b、c、d四点此时的 运动速度的方向（设为横波）
x
振幅为2A ——波腹
k
波腹位置
x k
2
其他点振幅？
, ( k 0,1,2, )
两相邻波腹间的距离
xk 1 xk 2
两相邻波节与波腹间的距离
§6.驻波 /三、驻波的特征
4
既然两相邻波腹，波节之间的距离都 是半波长，这为我们提供了一种测定 波长的方法：只要测出相邻两波节 （波腹）之间的距离，就可以确定原 来两列行波的波长。