1.1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示
小题狂做
1、若以集合A={-1，1},B={0，2},则集合 {z︱z=x+y,x A,y B} 中的元素个数为（ ） 。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2 、若以集合S={a,b,c}( a,b,c R)中三个元素为边可 构成三角形，那么此三角形不可能是（ ） 。 A.锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 等腰三角形 D.直角三角形
【分析】集合相等当且仅当集合中元素全部相同。且同一集合中的元素互异。
【解析】由A=B，即A与B的元素一样，则
a+d=aq （Ⅰ）a+2d=aq2
Hale Waihona Puke (Ⅱ)2a+d= aq2 a+2d= aq
由（Ⅰ）消去d，得aq
－2aq＋a=0.
根据已知条件，显然a 0, d 0,解得q=1. 但当q=1时，a=aq=aq2 ，这与集合中元素的互异性矛 盾，故q=1舍去.
05 集合的分类
集合通常可分为有限集、无限集、空集.
（1）有限集 含有有限个元素的集合叫做有限集. (2) 无限集 含有无限个元素的集合叫做无限集. 如{所有的等腰三角形} （3）空集 不含任何元素的集合叫做空集.
你学到了什么？
1、元素与集合的概念 2、常用数集的符号 3、集合中元素的三个特征 ：确定性，互异性， 无序性 4、集合的表示方法：列举法，描述法，图示法 5、集合的分类：有限集，无限集，空集
例题
（2）用描述法表示所有奇数的集合。
解： 任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k z)的形式， 所以我们可以把所有奇数的集合表示为 E={ x Z︱x=2k+1,k z}.
例题
（3）分别用列举法和描述法表示 x2－2=0的所有实数根组成的集合。 方程
数学1：1.1.1_集合的含义与表示
1、1集合一、教材分析：新课标把集合作为现代数学一种基本语言来学习，课标中明确提出了：给一个数学对象怎么去描述？可以用自然语言，可以用venn图，也可以用集合的语言表述数学对象。
把集合作为一种语言来学习，要注意三件事：1）要把集合的有关概念、表示方法、集合之间关系的符号、集合的运算搞清楚，这是教学中首先要把握好的一个重点；2）语意的转换、方法的选择、了解用集合语言和别的语言，优点是什么，提高学生学习的自觉性；3）用集合语言来表述数学对象、数学关系的任务不能在这一章中全部完成，我们仅仅是为了给学生打一个基础，在今后的学习中，只要有适当的机会就主动地引导学生应用、比较，不断提高学生的表达能力，用集合语言来交流的能力。
二、学情分析：在初中阶段已经学习了自然数集合、有理数集合，对集合有了初步的认识，对用集合语言还不熟悉，难在将集合语言和自然语言进行转换。
§1、1、1 集合的含义与表示教学目标：了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系；知道常用数集及其专用记号；了解集合中元素的三大特征；会用集合语言表示有关数学对象，能选择自然语言、集合语言表述不同的具体问题；培养学生抽象概括能力。
教学重点：集合的含义与表示方法教学难点：表示法的适当选择教学情境设计：教师：军训时，我们听到教官口令“高一（9）班同学集合”这里的“集合”作为动词，听到口令后高一（9）班的同学就会从四面八方聚集到一起，不是高一（9）班的同学会走开，这一声“集合”就能把某些指定的对象集在一起,如果把这个集在一起的整体作为研究对象，这个整体即我们数学中所说的集合。
教师：你能举一些集合的例子吗？学生：举例、交流。
教师：引导学生阅读教科书上的8个例子，并思考概括它们的共同特征。
1、集合的含义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
完成P2思考题教师：集合中元素可以是数，可以是点，也可以是事物或其它东西，是不是任何事物一定能构成集合？集合中的元素有什么特征？学生：阅读教科书、举例，发表自己看法。
【数学】1.1.1集合的含义与表示
3、元素与集合的关系
关系 元 素 与 集 合 的 关 系 概念 记法 读法
如果a是集合A中的 于 属于 元素，就说a属于集 a∈A 集合 合A 如果a不是集合A中 不 的元素，就说a不属 a∉A 属于 于集合A
a属 A a不 A
属于 集合
4、常用的数集及记法 名称 意义 记法 非负整数集 全体非负整数组成的 N (自然数集) 集合 所有正整数组成的集 * 正整数集 N 或N＋ 合 整数集 有理数集 实数集 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集 合 全体实数组成的集合 Z Q R
练习2：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a ＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，应舍去； 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意． 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} ，与集合中元素的互 异性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择 适当的方法来表示．
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
知识梳理： 1、定 义 一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2、集合与元素 (1)、元素：一般地，我们把研究对象统 称为元素，元素常用小写拉丁字母 a ， b ， c„表示． (2)、集合：把一些元素组成的总体叫做 集合 ( 简称集 ) ，集合通常用大写拉丁字 母A，B，C，„表示． (3)、集合元素的三个特性：确定性、互 异性、无序性．
1.1.1集合的含义与表示
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
1.1.1集 合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到“集合”这个概念。
那什么是集合呢？集合就像是一个“大口袋”，把一些具有特定性质的对象装在一起。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合；一个书架上的所有书籍也能构成一个集合；一年中所有的月份也能形成一个集合。
从这些例子可以看出，集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的每个对象都被称为这个集合的元素。
元素是构成集合的基本单位。
比如在班级同学这个集合中，每一位同学就是其中的一个元素。
那怎么来表示一个集合呢？常见的方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来。
就像咱们刚刚说的一年中所有的月份这个集合，就可以用列举法表示为｛1 月，2 月，3 月，4 月，5 月，6 月，7 月，8 月，9 月，10 月，11 月，12 月｝。
再比如小于 5 的自然数组成的集合，用列举法就是｛0，1，2，3，4｝。
描述法呢，是通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。
比如｛x ｜ x 是小于 10 的正整数｝，这个集合就表示了小于 10 的所有正整数。
又比如｛x ｜ x 是方程 x² 4 ＝ 0 的解｝，通过这样的描述，我们就能清楚地知道这个集合里的元素是哪些。
图示法中，我们常用的是韦恩图。
通过画一个封闭的曲线，把集合中的元素放在这个曲线内部。
比如有两个集合 A 和 B，A 是｛1，2，3｝，B 是｛2，3，4｝，我们就可以用韦恩图来直观地表示它们之间的关系。
集合还有一些重要的特性。
确定性是说，对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
不能模棱两可，比如说“个子高的同学”就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不明确。
互异性指的是集合中的元素不能重复。
比如｛1，2，2，3｝这样的表示就是错误的，应该写成｛1，2，3｝。
无序性则表示集合中的元素排列顺序是无所谓的。
｛1，2，3｝和｛3，2，1｝表示的是同一个集合。
1.1.1集合的含义与表示
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
1.1.1 集合的含义与表示
有理数于3小于11的偶数； { 4,6,8,10 } A=
②1∼10以内的奇数；
1、列举法 B= { 1,3,5,7,9 }
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内； 3、别忘了大括号。
例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
｛x∈R|x<10｝
例2.用描述法表示下列集合：
1. 小于10的所有有理数组成的集合； 2. 所有偶数组成的集合； 2 3. 二次函数 y x 2 的函数值组成 的集合； 2 4. 抛物线 y x 2 上的点组成的 集合；
4、集合与元素的关系:
若a是A中元素，记为
a A,
若a不是A中元素，记为
a A
5、有限集：元素个数有限的集合. 无限集：元素个数无限的集合.
集合的三种表示方法：
1、列举法：
2、描述法：
3、图示法：
集合中元素具有 确定性 互异性 无序性
一般 地：我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元 素，用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
若a是A中元素，记为 a A 若a不是A中元素，记为 a A
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集
Q：
R：
练习，用适当的方法表示下列集合
1. 小于100的自然数组成的集合； 2. 不等式 2 x 3 3x 的解集 2 3. 方程 x x 6 0 的解集
必修一教案-1.1.1集合的含义与表示
1.1．1集合的含义与表示（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：x+=的解；（5）（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程210某校2007级新生；（6）血压很高的人；（7）著名的数学家；（8）全班成绩好的学生；（9）平面直角坐标系内所有第三象限的点4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
７．常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；（二）例题讲解：例1．用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N；（2）0 N；（3）-3 Z；（4）2Q；（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。
例2．已知集合P的元素为1，m，m2-3m-1, 若3∈P且-1∉P，求实数m的值。
（一）．集合的表示方法(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
必修1课件1.1.1集合的含义与表示
集合论是现代数学的基础，康托在研究函数论时产生了探 索无穷集和超穷数的兴趣。康托肯定了无穷数的存在，并对无 穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为 现代数学的发展打下了坚实的基础。
1. 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合；
到角的两边的距离相等的所有点的集合； 是角平分线 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 是线段垂直平分线
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x 2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x Z 且10 x 20, 因此, 用描述法表示为 B {x Z | 10 x 20}. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18 , 19, 因此, 用列举法表示为 B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法有两种表述形式： 1.数式形式:在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 形式如：{xxxx|xxxxxxxxx} 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表示 为 {x|x-3＞2}； 由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可 表示为 {(x,y)| y=x+1 }。
(1)方程x 2 0的所有实数根组成的集合;
2
解 : (1)设方程x 2 0的实数根为x, 并且满足条
2
件x 2 2 0, 因此, 用描述法表示为 A {x R | x 2 2 0}. 方程 x 2 2 0有两个实数根 2 , 2 , 因此, 用列举法表示为A { 2 , 2}.
1.1.1集合的含义及表示
考点：元素与集合的关系
一、用合适的符号填空 1、已知A表示大于1且小于10的 所有质数，则 1___A; 2___A;4___A;5___A 2、用P表示我国的直辖市，则 广州___P；重庆___P;北京___P
四、常用数集的符号表示(熟记)
N 正整数集： 或N
整数集：Z 自然数集：N
有理数集：Q
｛， 12 ｝与｛， 21 ｝是相同的集合√ ｛ ｝与｛ 是相同的集合 3.14 ｝
×
二、集合的概念和性质
3、集合相等:两个集合中的元素 完全相同
｛， 12 ｝与｛， 21 ｝是相同的集合 {1 2 ， ｛， ｝= 2 1 ｝
三、元素与集合的关系
1、元素与集合的表示 元素：用a,b,c…表示 集合：用A,B,C…表示 2、元素与集合的关系： 属于，不属于 符号表示：a A, a A
一、接触过的集合的概念
垂直平分线：到线段两端点的距 离相等的点的集合
角平分线：到角两边的距离相等的 点的集合 圆：到定点的距离等于定长的点 的集合
学过的数集： 自然数集→ 整数集 →有理数集→ 实数集 → Z → Q → R N
注： 1、正整数集与自然数集的区别 2、研究的每一个对象称为元素； 这些元素的全体则构成一个集合
实数集：R
五、分析与研究
1、给出下列四个关系：
3 R,0.7 Q,0 {0},0 N
其中正确的个数是_______ A、1 B、2 C、3 D、4
2、下列四个命题：
（1）集合N中最小的元素是1
若 （2） a N , 则
小值是2
a N
（3）若a N , b N ,则a+b中的最 （4） x 4 4 x 的解集是{2，2}
1.1.1集合的含义与表示
3
2.集合: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
4
3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
Hale Waihona Puke 12• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合： • (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合； • (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。 思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
13
• 练习与思考 教材P5练习1、2
14
课堂小结
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
7
判断下列例子能否构成集合 中国的直辖市
√
× ×
身材较高的人
著名的数学家
高一(3)班眼睛很近视的同学
×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
8
5.集合的表示方法 1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并 用花括号{ }括起来的方法叫做列 举法
5
4.常用的数集:
N：自然数集(含0)
N+或N*：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
6
5.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
1.1.1集合的含义与表示
1.1.1 集合的含义与表示一.知识解读1. 一般地，把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫，也简称。
2. 关于集合的元素的特性有:(1) , (2) , (3) .3.元素与集合的关系-------从属关系;集合常用大写字母表示，元素用小写字母表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作（或a A）（举例）,（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样．4.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作.5.集合的表示方法（1）列举法：表示集合的方法; （2）描述法：表示集合的方法.二.课堂互动问题1 考查下列每组对象提炼出集合的含义（1）全体高一（3）班的49名学生；（2）１到20以内的所有偶数;（3）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目x->的所有解（4）不等式30（5）到顶点A的距离等于定长l的所有的点问题2 判断以下元素的全体是否能构成一个集合，并说明理由（1）高一（1）班所有高个子同学（2）我国的所有小河流问题3 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，除此之外，还可以用什么方法表示集合呢？例1、选择适当的方法表示下列集合（1）012=-x 的所有实数根组成的集合（2）welcome 中的所有字母组成的集合（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合（4）所有奇数组成的集合（5）以A 为圆心，r 为半径的圆上的所有点组成的集合跟踪训练：选择适当的方法表示下列集合（1）12的正约数（2）不等式712>+x 的整数解（3）抛物线2x y =上的点例2、已知集合A ={1，－2，x 2－1}，B ={1，0，x 2－3x }，且A = B ，求x 的值．例3、已知}4,12,3{32---∈-a a a ，求实数a 的值三、课堂练习见教科书第5页练习四、课堂小结1、牢记集合元素的特性2、如何选择适当的方法来表示集合？五、课后作业1、下列说法中能构成集合的是 ( )A.2009年全国的大中专毕业生;B.英德华粤艺术学校高一(1)班个子较高的男生;C.1,1,2三个元素构成的集合;D.与无理数π无限接近的数.2、 下列各项中，不可以组成集合的是 （ ）A 、所有的正数B 、等于2的数C 、接近于0的数D 、不等于0的偶数3、以下四种说法正确的（ ）(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定4、集合 A=｛（x ，y ）|x ＞0，y ﹥0｝是指………………… …（ ）A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．在第一、三象限内的点集D ．不在第二、四象限内的点集5、{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形6、设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}， },1|{2A x x y y B ∈-==．则Ｂ中的元素是＿＿＿＿＿．7、分别判断下列各组集合是否为同一集合（1）A=｛x|x+3＞2｝ B=｛y|y+3＞2｝（2）A=｛（1,2）｝ B=｛1,2｝（3）A=｛（x,y ）|y=x 2+1｝ B=｛y| y=x 2+1｝8、对于集合A=｛2,4,6｝,若A a ∈，则A a ∈-6，那么a 的值是9、选择适当的方法表示下列集合：（1）方程x 2－16=0的解集； （2）不等式3x －1>5的解集．10、设A 表示集合｛2，3，a 2+2a-3｝,B 表示集合｛|a +3|,2｝，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值。
精品教案 1.1.1 集合的含义与表示
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．三维目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1,2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A,4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．)(3)个元素，则实数(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；(3)1～20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－2，x2＝2，因此，用列举法表示为A＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.课后练习1,2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N，5__________N，16__________N；(2)－12__________Q，π__________Q，e__________∁R Q(e是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．答案：(1)∈∉∈(2)∈∉∈(3)∈3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．解：∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.m＝0不合题意，舍去．∴m只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4. 列举法：{(1,4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2,3,5,7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 此时P ＝Q ＝{1，－1,0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意． (2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98. ∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98. 点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S?活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n 分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·x2是否是集合S中的元素．解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.(2)不妨设x1＝m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z.则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．备课资料集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”。
高中数学课件-1.1.1集合的含义与表示
a
c
包裹
b
◣2：元素与集合的关系◢
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A ，记作a∊A；如果a不 是集合A的元素，就说a 不属于集 合A ，记作a∉A。
例如，用A表示“ 大于1小于10的所有偶
数”组成的集合，则有4 ∊A，3 ∉A，等
等。
3：常用数集的专用记号:
集合 （非自负然整数数集）正整数集 整数集 有理数集 实数集
具有的属性描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所 具有的属性描述出来，即{x| P（x）}或 {x∈A| P（x）}等。
{ x∈A | P（x） }
可以是多个呵
代表元素
满足的条件
{ x | P（x）}
例2．请用描述法表示下列集合： （1）方程 x2 2 0的所有解组成集合.
新课导入 — 观察下列对象：
(1) 14班的所有同学 (2)大于1小于10的所有偶数 (3)丰城九中校园所有的树 (4) 坐标轴上所有的点
一、集合的含义
1、集合的含义： 把所指对象的全体叫做集合（简
称集）， 把集合里的每一个对象叫做
为元素。用大写字母A，B，C…表示 集合，用小写字母a,b，c …表示集合 中的元素
（2）大于10小于20的所有整数组成的集合.
四.回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？
集合的含义,集合元素的性质： 确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系： ∊， ∉。
3：集合的表示法:列举法,描述法
试试看,行吗?
1.方程组
x
x
y yLeabharlann 2 5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为 .
记号
N
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
1.1.1集合的含义与表示
集合
无限集（元素的个数是无数多个）
空集 ø（集合中不含有元素）
集合的另一种表示方法：图示法
为了形象，常常用一条封闭曲线的 内部表示一个集合 。 （称为韦恩图 或文氏图）
A
小结
集合与元素
集合与元素的关系： ∈ 、 集合的表示法：1、列举法；2、描述法；
3、图示法
集合的分类：有限集、无限集、空集。 集合中元素的特性: 确定性、互异性、 无序性
例1
具有下列特征的对象能否构成一个集合:
(1) 体重很重的人.
(2) 直角坐标平面内第二象限的点.
(3) 直角坐标平面内某些点.
(4) 不大于5 的实数. (5) 方程x2- 3 x=0的有理数解. 解:(1)不能. “体重很重”的标准不明确。 (2)能.横坐标小于0且纵坐标大于0的点都是第二象限的点. (3)不能.“某些”指哪些？标准不明确. (4)能.就是小于或等于5的数. (5)能.该方程的有理数解为x=0
集合的含义与表示
[来源:学_科_网]
一，集合的定义
定义大西洋，印度洋，北冰洋”组成一个集合。
集合表示方法：
A)大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} B)大写拉丁字母表示： A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
二，元素：集合中的每个对象叫做这个集合的
练习3 P6 4
练习4：用描述法表示下列集合：
（1）{ 4，6，8，10，12 }
（2）不在坐标轴的点的集合。
（3）被5除余1的自然数的集合。
答案:(1){x|x=2k,1<k<7,k∈z}
(2){(x,y)|x≠0且y≠0}
(3){x|x=5k+1,k∈z}
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象能否构成集合? （1）满足X－3＞2的全体实数 （2）本班的全体男生 （3）我国的四大发明 （4）2008年北京奥运会中的球类项目 （5）不等式2X+3 < 9的自然数解； （6）所有的直角三角形；
那么这些集合有没有其它的表示方式？
四、集合的表示法
1. 列举法：将集合的元素一一列举出 来，并置于花括号“{ }”内。 用这种方法表示集合，元素要用逗 号隔开，但与元素的次序无关。
三、集合与元素的关系
如果元素a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果元素a不是集合A的元素，就记作a
Ï
A，读作a不属于A。
例2 用符号“∈”或“Ï ”填空： (1) 3.14＿Q； (3)0 ＿ N+ ； (2) π＿Q； (4)0 ＿ N ；
(5)(-2)0 ＿ N+ ； (6) 2 5 ＿ Z； (7) 2 5 ＿ Q.
C
C
Q
§1.1集合
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动 清清的湖水里，一群鱼在自由地游动； －－－－－
“集合”在现代汉语解释为许多的人或物聚在一起
C
1.根据下面的例子向同学介绍你家原来就读的学校、现在班级 同学的情况。
例：“我原来就读于第二中学” “我现在的班级是高一（2）班，全班共40人，其中男生23人，女 生17人。”
(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x Î Z 且10 < x < 20, 因此, 用描述法表示为 B = {x ? Z |10 x < 20}. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
1.1.1 集合的含义与表示
xI
元素的一般符号及取值 (或变化)范围
元素所具有的共同
特征
思考：
1. a与{a}的含义是否相同？
不同，前者为元素，后者为集合.
2. 集合{y|y=x2,x∈R}与集合{x|y=x2, x∈R}相同吗？
不同，前者是函数的所有函数值组成的集合；
后者是函数的所有自变量组成的集合.
3.集合 {( x , y ) | y x 2 , x R}的几何意义是什么？ 曲线y=x2图象上所有点的集合.
通常用大写拉丁字母A，B，C，...来表示集合.
元素a与集合A的关系： 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A ； 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A， 记作a∉A.
已知：（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班
x y 1 2.方程组 2 的解集是 ( 2 x y 9
)
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成成的集合.
（3）由1～20以内的所有素数组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
第一章 集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示
问题：在小学和初中我们学过哪些集合？ 自然数的集合 、有理数的集合、 不等式 x 7 3 的解的集合等。
那么集合的含义是什么呢？
观察下列例子：
(1) 1~20以内的所有素数
(2) 我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星
1.1.1集合的含义与表示
D
)
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
9．若 x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素 x 应满足的条件是__________．
3≠x， 2 解析：由集合中元素的互异性知3≠x －2x， x≠x2－2x，
解之得 x≠－1，且 x≠0，且 x≠3.
答案：x≠－1，且 x≠0，且 x≠3
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10．已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}． (1)若 A 中只有一个元素，求 a 的值；(2)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．
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4．设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，则 P＋Q 中元素的个数是( B ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析：集合 P＋Q 的含义就是 P、Q 集合中各取一个因素之和的不同值的个数，有 0＋ 1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋2,5＋6，共 8 个，故选 B.
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|a| |b| 6．设 a，b 是非零实数，那么 ＋ 可能取的值组成的集合是______． a b
解析：当 a、b 同正时值为 2，当 a、b 同负时值为－2，当 a、b 异号时值为 0，故组成 的集合是：{－2,0,2}．
答案：{－2,0,2}
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例2、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
a∈R}只有一个元素，求a的值与这个元素. 解：（1）当a＝0时，x＝－1.
（2）当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. 综上所述：a＝1时，这个元素为－2. a＝0时，这个元素为－1.
练习、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
1. 定 义
一般地, 把研究对象统称为
元素. 把一些元素组成的总体叫
做集合（又简称集）.
2.
集合的表示
一般用花括号”{ }（表示全体）” 表示集合 也常用大写的拉丁字母A、B、C…表 示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属 于集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象:
（1） 1-20以内所有的素数；
（2）到直线l的距离等于定长d 的所有 的点；
（3）满足x－3＞2 的实数；
（4）宣汉中学2013年9月入学的所有的高一 学生； （5）抛物线y=x2上的点； 观察上面各对
（6）所有的正方形.
象，这6个实例 的共同特征是 什么?
问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？ 显然这个集合没有元素.我们把这样的集合 叫做空集，记作.
⑶空 集：不含任何元素的集合.记作 ．
2、按元素性质分为： 数集和点集
例1、设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D ＝ { ( x , y ) | y ＝ x 2－ 1 } 它们表示含义相同吗? 解：集合A表示由一个等式(或方程或函数)组成的集
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4．集合元素的性质：
（1）确定性： 集合中的元素必须是确定的．也就说任给一个对 象,要么是这个集合中的元素,要么不是这个集合中 的元素,二者必居其一,不能模棱两可。
例如：一些形容词“很”“较”“非常”等修饰元 素的词语就不能构成集合。
（2）互异性: 集合的元素必须是互不相同的.也就是说,集合中 的元素是不允许重复的.集合中的任何两个元素,都 是不同的对象,相同的对象归入任何一个集合,只能 算是一个元素. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1},而非{1，1}.
”填 Q
Q (2)
(3) 0 N+ 2 3 (5) Q
(4) (6)
0 (-2) N+ 2 3
R
练
习
2、判断下列说法是否正确：
(2) 若4x=3,则 xN
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}√
√
(3) 若x Q,则 x R (4)若X∈N,则x∈N+
2 x y 6
你能用列举法表示下列集合吗？ ①不等式x－7＞3的解集； ②抛物线y=x2上的点组成的集合；
注：列举法通常用来表示元素个数是有限 且较少的集合。
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表 示集合的方法称为描述法。
其一般格式如下：{ P│P适合的条件 } A＝ { x R│1＜) x＜ 2 }. P:该集合中的元素是什么 (代表元素 P适合的条件:这些元素具有的共同的特征 和性质 具体做法是：在花括号内先写上表示这个集 合元素的一般代表符号及取值（或变化）范 围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合 元素所具有的共同特征（或性质，或满足的 条件）。
身材较高的人
著名的数学家 大于3小于11的偶数； 我国的小河流
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
√ ×
5．重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N＋: 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集
(5) R：实数集
练
习
1. 用符号“∈”或“
空 (1) 3.14
课堂小结 1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法； 5. 集合的分类.。
作 业
教 教材P.6
教材Ｐ.11
Ａ组 Ｔ1，2，3，４
合,它只有一个元素,这个元素就是等式(或方程或函数) y＝x2－1；
集合B表示函数y＝x2－1 自变量x的取值范围 即定义域，化简后为实数集R。 集合C表示函数y＝x2－1因变量(或函数值)y 的取值范围即值域，化简为 { y | y≥－1 } 集合 D表示函数y＝x2－1 图像上所有点组成 的集合，今后常说表示函数y＝x2－1的图像。
× ×
6、集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一列出来， 并用花括号“｛｝”括起来的表示集合的 方法叫做列举法。元素之间用逗号隔开。
例2、用列举法表示下列集合： ①小于10的所有自然数组成的集合； ②方程x2=x的解的集合； ③有1~20以内的所有素数组成的集合； x y 3 的解； ④方这个元素.
例3、若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
解： ∵x≠1且x2≠1且x2≠x， ∴ x≠1且x≠－1且x≠0. 练习、设集合A={1，a，b},B={a, a2,ab},
且A=B,求a,b的值。
例 4 、已知集合 A={a+2 ， (a+1)2 ， a2+3a+3} ， 且1∈A，求实数a 的值 解：若 a+2=1 ，则 a=-1 ，此时 A={1 ， 0 ， 1} 违反互异性，舍去 若（a+1）2=1，则a=0或-2 当a=0时，此时A={2，1，3} 当 a=-2 时，此时 A={0 ， 1 ， 1} 违反互 异性，舍去 若a2+3a+3=1，则a=-1(舍去)或a=-2（ 舍去） 综上所述：a=0
⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合． 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
7、集合的分类 1、按元素个数分
⑴有限集：含有有限个元素的集合． ⑵无限集：含有无限个元素的集合．
（3）无序性: 集合中的元素是无先后顺 序的，集合中任何两个元素是可以交换 位置的，如:{1，2}，{2，1}为同一集合. 那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合? 集合相等：只要构成两个集合的元素是一样 的，我们就称这两个集合是相等的。
例1、判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√ × ×
注：描述法通常用来表示元素个数是无限 且较多的集合。
例3、用合适的方法表示下列集合： 1、方程x2-2=0的解的集合； 2、由大于10小于20的所有整数组成的集合； 3、二元一次方程2x-y=2的解的集合； 4、不等式(2+x)(1-x)≥0的解集； 5、满足不等式2x-3<2的正整数x组成的集合; 6、函数y=x2+2x的自变量x的取值组成的集 合。 7、函数y=x2+2x的函数值组成的集合； 8、函数y=x2+2x的图像上所有的点组成的集 合；