2016年全国大学生数学建模竞赛题

2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多摘要：运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n 年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理1问题重述某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．表1 存款年利率表校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5 000万元，n＝10年给出具体结果：①只存款不购国库券；②可存款也可购国库券．③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．2模型的分析、假设与建立2.1模型假设①每年发放的奖金额相同；②取款按现行银行政策；③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．2.2符号约定K——发放的奖金数；ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；U——半年活期的年利率；2.3模型的建立和求解2.3.1情况一：只存款不购国库券（1）分析令：支付各年奖金和本金存款方案———Mij （i ＝1，…，10，i ；j 属于N ）． 将各方案ij M 看成元素，构成集合A则ij M 属于A1,210;I =所以A 按I 取值分10行根据仓恩定理：分行集中，任何一单行有上界，则必包含一个极大元素。

又因为A 中每行可以看成一个子集，根据排队定理：一个集一定可以依一个次序排除 所以A 中必有上界M 万元基金存入银行后，每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生，因为最后剩余的金额等于原来的本金，所以用这种发放的奖金总数可以看作是n 年中各种利息的总和．将基金M 分成n 份（M1，M2，…，Mn ），M1存1年，M2存2年，…，Mn 存n 年，对前面的（n －1）年，第i 年的次年年初Mi 到期，将Mi 及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第10年，则用除去M 元后所剩下的钱作为第n 年的奖金发放．一般的模型：11:max n n object M R M R ++（这就是利息表达式）.s t 1n M M M +=11M R K =22n n M R KM R M K==+关键在于如何计算每一个Ri ．基金在年初到位，而学校当年的奖学金一般在次年年初发放．因此，选择存活期或不可能使得到的利息最大．要尽可能提高奖金额，应选择存定期．在定期的选择上，应把尽可能多的钱存到定期长的储种上去；同时由于储种有限（只有半年、1、2、3、5年定期），这就需要对某些储种进行组合优化．即应尽可能地利用年份多的储种（如能用3年的决不用2年定期），对于M1，为了支付第一年的奖金，显然是存1年期拿到本金和利息最高，余者显然亦如此．对于特定年份的定期存款采用现有的储蓄种类的组合（如4年定期采用3年定期和1年定期组合等），要使所得的利息最大，对于该结论的说明如下所述． 存4年定期时的有2种方案：(N 为任意存款），显然，3年定期和一年定期组合最优．同理，通过计算各种组合，Mi 得最大利息的存储方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分别表示定期存的年数）．表2存储方案（1）从表中可以得出以下结论：①这是一个以5年为周期的方案组合，从第6年开始相当于对应的年份再加上一个5年定期，所得的存储方案最为合理．②采用超限归纳法的推论，可将模型论推广到n 年，则可得到如下的结论．对于一个以m 年为周期的方案组合，可以从第m ＋1年开始，在相应的年份上再加上一个m 年定期，此时所得的方案最为合理． （2）每1个Mi 经过i 年后得到的本金和利息，可用于支付奖金，下面可用反证法加以证明．证明：假设有另外一种方案使K1＞K ，则显然存在某个n 年期的存款到期后所得的总额R ，可满足R －K1＞0（因为在我们的计算方式下，R ＝K ，即刚好用完）．则需要将R －K1转存入下一个存款．而按照前面我们得出的结论，要使所得的利息最大，则应尽可能地利用年份多的储种．可推断，由此所得的利息要比一开始就将R －K1存一个更长时间的定期要少．与假设相矛盾．所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大． （3）求解：根据以上的讨论，可以建立以下的方程组：()111221(1)(1)n n n M M MM r K M r K M r +=+=+=+其中ri 是i 年期的存储的一个增长系数由MATLAB 编程的线性优化函数LP （Linear Program －ming ），可得K ＝109．800 0（万元）这样，我们就可以通过把分成这10份，前9份刚好付当年的奖金，第10份刚好满足奖金和原有的基金，并得到了最优化的解（见表3）． 2.3.2 情况二：可存款也可购国库券我们对情形二外加了一个购买国库券的方式．同样把M 分成M1，M2，…，Mn ；存n 年；且n 年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放，在外加购买国库券后，对Mn 达到最大本金和利息有更多的组合及考虑因素．因为国库券发行时间任意，且银行结算与发放奖金均在年终，因此得到购券基金并不能马上购券，需先存银行，国库券到期也不能马上作为奖金发掉，也需存银行．因经购买一次国库券，必定耽误一年的时间使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明显高于活期，又不影响对奖金的发放，所以这一年一定存1个半年定期和半年的活期。

由于国库券发行时间不定，一年中任何一天发行都是可能，这就涉及到数学期望的问题。

可以把一年的分为360天，如果国库券发行在上半年的第n天，则n天到期后的本金和利息为（0.792%×n>180),这笔钱要分半年定期和活期是最优化的. 先不考虑定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是[0.792%×(180-n)/360+1]m那么这笔钱有半年里的本金和利息为[0.792%×(180-n)/360+1]×u=0.00396由上节(2)已证了Mi经过i年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论Mi在i年中存银行或购买国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合.我们对每年Mi的组合都进行分析(见表4),对于M1,M2不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金.对于M3根据情形可得出要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论.从表4可知,最优的方案如表达所示.根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:ro/2)(1+u)=k 与上题同法,用线优化函数(lp)就解得:k=127.5(万元)按照表6所述的对Mi各组达到最优化分配，并保证了所发放的奖金k达到最优值．2.3.3学校基金到位后的第三年的奖金比其他年度多20％要使得基金到位后第3年的奖金比其他年度多20％，问题3与问题1和问题2的情形类同．可分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形．将情形一的（3）式改成其余保持不变．得最优解，K＝107．53（万元）其本金收益计算于见表7．将情形二的（3）式改成M3×（1＋r3）＝1．2×K；其余保持不变．得最优解：K＝124．8（万元）其本金收益见表8．3模型的分析和改进情形一，我们利用超限归纳法及其推论，对结论2给出了一个完整的说明，从而对下述定理的证明及推广也起了很大的作用，该方法使得数学模型大为简化．但情形一中，我们所考虑的是大大简化了的模型，要考虑各方面因素，不会影响该模型，我们只需对原方程中加入一些参数，思路不变．例如：不假设学校一年发两次奖金．对于该题，我们需要考虑存半年期的情况，这也就是与前面最大的不同之处．情形二，前面用有限枚举法，通过与情况一的比较确定更优值，其思想方法简单易行，但计算太复杂．可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限．上限，即国库券随时可购，可用情况一的求解方法，直接求解，然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素，再对各种可能的情况进行分析，计算，从中选出极大值，这就是我们所要求的最优方案．下限，就是考虑到想买买不到的情况．如存9年期的M9，假如第一年国库券发行时间是9月份，买了一个5年期的．那就是到第5年的9月份才能取出来，但第5年的国库券发行时间可能在9月份之前，也就是只有到下一个才能买到．这就有一个最坏的情况，可以求出问题的一个下限．同时我们也要考虑到求每个Mi的增长率时，不能单独考虑．如：对于存9年期的M9如果考虑对M6买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度，那么对M9先买5年期的国库券也要在第一个季度．4 结语这一思想的理论基础是《序数》中所用的“排队定理”和“仓恩定量”．对第一问，通过计算我们得到最优的将基金的本金（加上去）作为奖金发放，同时我们用超限归纳法及其推论，可以证明这样的方案是最优的．而且，对于实际操作，我们给出了一个以5年为周期的规律，便于推广．对于第二问，推广了前面一种情形的思路，增加了购买国库券，其实质就是对这Mi经过i年存款和购买国库券得到的本金和利息最高．对于第三问，我们分只存款不购买国库券和购买国库券两种情况分别给出了结果．参考文献：［1］大学生数学建模竞赛辅导教材［M］．长沙：湖南教育出版社．［2］王丙武．实用教程［M］．北京：中国水利水电出版社．［3］北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组．代数续论［M］．北京：北京大学出版社．。