课时跟踪检测(五十六)曲线与方程

课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程

1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )

A ．直线

B ．椭圆

C ．圆

D ．双曲线

2．(2012·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )

A ．y 2＝2x

B ．(x －1)2＋y 2＝4

C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2＋y 2＝2

3．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

4．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝－8x

C ．x 2＝8y

D ．x 2＝－8y

5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )

A ．y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)

B ．y 2

－x 2

48＝1(y ≥1)

C ．x 2－y 2

48

＝1(x ≤－1)

D ．x 2

－y 2

48

＝1(x ≥1)

6．(2012·杭州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝2x

C ．y ＝2x －8

D ．y ＝2x ＋4

7．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________．

8．直线x a ＋y

2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．

9．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为______________．

10．(2012·四川高考改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)

构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试

求轨迹C的方程．

11．(2012·苏州模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RP,·RQ,的最小值．

12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个

顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的1

4，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于

不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．

1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P

关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )

A.3

2x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.3

2x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－3

2y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋3

2y 2＝1(x ＞0，y ＞0)

2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )

A ．x 2

－y 2

8＝1(x ＞1)

B ．x 2

－y 2

8＝1(x ＜－1)

C ．x 2＋y 2

8

＝1(x ＞0)

D ．x 2

－y 2

10

＝1(x ＞1)

3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1

＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2

的左，右顶点．

(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；

(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．

答 案

课时跟踪检测(五十六)

A 级

1．选A 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA ＝(3,1)，

OB ＝(－1,3)，

∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，

∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．

2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，

∴|PM |＝

|MA |2＋|P A |2＝ 2.

即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为 (x －1)2＋y 2＝2.

3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y 2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方

程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．

4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .

5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，

∴点F 的轨迹方程为y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)．

6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，