课时跟踪检测(二十四) 对数函数的概念、图象及性质

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对数函数的定义和基本性质

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

对数函数图像及性质

㈡若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
㈢若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、－1等中间量进行比较
作业：p46（三）1、2（2）
教学反思：
岐山高级中学
王升平.
三维目标：
1、知识与技能（1）理解对数函数的定义（2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的应用。 2、过程与方法（1）形成数学交流能力和与分组合作意识；（2）从对数函数的学习中渗透数形结合、分类讨论的数学思想。 3、情感、态度与价值观（1）通过对对数函数的图象和性质研究，体会知识之间的有机联系，激发学习兴趣.
例2、比较下列各组中，两个值的大小：（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解法1：画图找点比高低解法2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、接受别人意见的优良品质.
教学重点：对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数性质的应用
教学过程：
一、复习引入（1）对数的定义：
（2）对数的运算性质：
那么，今天我们一起来学习对数函数的图像和性质。
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入
一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大
小
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.
比较两个对数值的大小.

对数函数的概念图像及性质

-0.5
1
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8
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0
1
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1
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7
8
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域：值域：
（0，+∞） (,)
在（0，+∞）上是减函数
性质
恒过点（1，0），即当x=1时，y=0 在（0，+∞）上是增函数
x (0,1)
y0
y0
x (0,1)
小结：
1.定义
对数函数
2.图象和性质
3.性质的应用
（1）求对数型函数的定义域（2）比较两个对数的大小
作业：P74.
习题2.2
A组 7 、8
一确定的次数y与它对应，所以x是y的函数。
对数函数的定义：
一般地，函数
y log a x
( a ＞ 0 且 a ≠ 1 )
叫做对数函数。其中 x 是自变量，其定义域为 0, 。
思考：思考 1.为什么要求
a＞0，且a≠1 呢？
根据对数式和指数式的关系，知 y loga x 可化 y 2.你能求出函数的定义域和值域吗？ y 为a x 。由指数函数的概念知，要使 a x有意义必须规定 a 0且a 1 根据对数式和指数式的关系，知 y loga x 可化 y 为 a x 。由指数函数的性质知，不管y取什么值 y 均有 a y 0成立，所以 x (0,) ， (,) 即得定义域为
(0,) ，值域为 (,)
回顾：我们在学习指数函数的时候，根据什么思路来研究指数函数的性质？对数函数呢？

学年高中数学课时练习22对数函数的概念对数函数y=log2x的图像和性质北师大版必修1

对数函数的概念对数函数y＝log2x的图像和性质【基础全面练】(20分钟35分)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝ln x B．y＝ln (x＋1)C．y＝log x e D．y＝log x x【解析】选A.对数函数底数不能是自变量x，所以C，D都不对．对数函数的真数是自变量x，所以B不对．2．函数f(x)＝11－x＋lg (1＋x)的定义域是( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)【解析】选C.由真数1＋x>0得，x>－1.又因为1－x≠0，所以x>－1，且x≠1.3．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )A．y＝log4x B．y＝log14xC．y＝log12x D．y＝log2x【解析】选D.设f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，过点M(16，4)，所以log a16＝4，所以a＝2.4．若f(x)＝log a x＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．【解析】由已知得a2－4a－5＝0，又因为a＞0，a≠1，所以a＝5.答案：55．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝________.【解析】因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x.所以f(f(5))＝f(log55)＝f(1)＝log51＝0.答案：06．若函数y＝log a(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0).(1)求a的值．(2)求函数的定义域．【解析】(1)将(－1，0)代入y＝log a(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝log a(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2，所以函数的定义域为{x|x ＞－2}．【综合突破练】 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若对数函数f(x)满足f(9)＝2，则f(3)＝( )A ．0B ．1C ．3D ．4【解析】选B.设对数函数为f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，所以2＝log a 9.所以a ＝3.所以解析式为y ＝log 3x.所以f(3)＝log 33＝1.2．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(4，＋∞)D ．(0，4]【解析】选D.由2－log 2x≥0，得log 2x≤log 24，所以x≤4，又因为x>0，所以0<x≤4.【误区警示】本题易忽视真数x>0，从而误选B.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{}y|y ＝log 2x ，0<x≤1 ，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0，1)【解析】选C.因为M ＝(0，1]，N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1].4．函数y ＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 的值域为( ) A ．[2，4]B ．[－1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，1]【解析】选C.因为y ＝log 2x 是增函数，所以y min ＝log 214＝－2，y max ＝log 24＝2. 所以，其值域为[－2，2].5．已知f(x)是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f(1－x)的图像是( )【解析】选C.函数y ＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，故f(x)＝2x ，于是f(1－x)＝21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －1 ，此函数在R 上为减函数，其图像过点(0，2)，所以C 选项中的图像符合要求．【光速解题】本题求出f(x)＝2x后，令x ＝－1，x ＝1，计算y ＝f(1－x)的函数值，从而得到答案．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝log 3x ＋log 13x ，则f( 3 )＝________．【解析】f( 3 )＝log 3 3 ＋log 13 3 ＝12 －12＝0. 答案：07．已知函数f(x)＝log a (x ＋2)，若图象过点(6，3)，f(x)＝________，f(30)＝________．【解析】代入(6，3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，所以a ＝2，所以f(x)＝log 2(x ＋2)，所以f(30)＝log 232，令log 232＝m ，所以2m＝32＝25，所以m ＝5.答案：log 2(x ＋2) 5【误区警示】该题的解析式为f(x)＝log a (x ＋2)，解题过程中注意别写成了f(x)＝log 2x.8．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log 2x ，则当x<0时，f(x)＝________．【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝log 2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝log 2(－x)，故当x<0时，f(x)＝－log 2(－x).答案：－log 2(－x)【补偿训练】函数f(x)＝log 2x 在区间[a ，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．【解析】因为f(x)是增函数，所以f(x)max ＝f(2a)＝log 22a ，f(x)min ＝f(a)＝log 2a. 所以f(x)max －f(x)min ＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3(1－x). (2)y ＝1log 2x. 【解析】(1)因为当1－x>0，即x<1时，函数y ＝log 3(1－x)有意义，所以函数y ＝log 3(1－x)的定义域为(－∞，1).(2)由log 2x≠0，得x>0且x≠1.所以函数y ＝1log 2x的定义域为{x|x>0，且x≠1}． 10．(1)已知f(x)＝log 3x ，若f(x)＝－2，求x 的值．(2)若log 2m<0<log 2n ，求m ，n 满足的关系．【解析】(1)因为f(x)＝－2，所以f(x)＝log 3x ＝－2，由指数、对数式互化得x ＝3－2＝19. (2)因为log 2m<0<log 2n ，所以log 2m<log 21<log 2n ，f(x)＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增加的，所以0<m<1<n.【应用创新练】设方程2x＋x －3＝0的根是a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．【解析】将方程整理得2x ＝3－x ，log 2x ＝3－x.由图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图像与直线y ＝3－x 的交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图像与直线y ＝3－x 交点B 的横坐标．由于函数y ＝log 2x 与y ＝2x互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称，因此，A ，B 两点也关于直线y ＝x 对称．于是点A 为(a ，b)，点B 为(b ，a).由于点A 、点B 都在直线y ＝－x ＋3上，故有b ＝－a ＋3或a ＝－b ＋3，即a ＋b ＝3.【补偿训练】已知对数函数f(x)＝(m 2－m －1)·log (m ＋1)x ，求f(27)的值．【解析】因为f(x)是对数函数，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1>0，m ＋1≠1，解得m ＝2，所以f(x)＝log 3x ，f(27)＝log 327＝3.。

对数函数的概念442对数函数的图象和性质

(1)ln 0.3,ln 2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
a=8 =
1
.
2
所以 f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得 f(n)=log 1 n=2,
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
解析:(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)∵已知函数 f(x)=2log1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log1 x≤1,
2
即 log 1 1
≤2log1 x≤log1 1
(3)
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
对数函数的概念
例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
1
随堂演练

对数函数及其基本性质

对数函数（1）对数函数的定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =l o g x∈+∞(,)0叫做对数函数。

其中x 是自变量，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．（2）对数函数的图象：由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质011A11（3）对三个对数函数y x y x==l o g l o g 212，，y x =lg 的图象的认识。

（4）对数函数的性质：:由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质图象特征与函数性质对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g.l g .21515>；l o g .l g .20101<。

（2）y x=l o g 2的图象与y x =log 12的图象关于x 轴对称。

（3）通过y x=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x=l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg的上方，而位于y x =l o g 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13的示意图。

对数函数的概念与图象

a>1
y x =1
图
yl oagx(a1)
象
O (1,0)
X
定义域值域
(0,+) R
性特殊点过点（1，0）单调性在(0,+)上是增函数
奇偶性非奇非偶函数
质最值无最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.
0<a<1
y x =1
我很重要
(1,0)
O
X yl oax g (0a1)
坐标,
求出Y值即为定点的纵坐标.
联想：求指数函数的定点坐标方
法是__？
深入探究：函数 y=2X 与y=log2 x 的图象关
系观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2X y=x
y
2 A● B 1●
11
y=log2 x
●A*
1 0
4
2
●
2
3
4
x
- B*
1- 结论(1)：图象关于直线y=x对称。
2024年11月10日星期日
4
4
5、已知 y函 lo2g数 2xalo2gx2b 当x1时有最 1，小a求 ,b值的值
2 例题与练习
2024年11月10日星期日
6、已f知 (x)lg1x,若f(a)1
1x
2
求值 : f(a)例题与练习
2024年11月10日星期日
7、判断下列函数的奇偶性 (1)f (x) lg1x 1x
202X 对数函数及其性质
对数函数的概念与图象
新课讲解：（一）对数函数的定义：
函数 yloga x (a0且 a1)叫做对数函数；

对数函数的图象及性质

解得65<x<3.
2x＋3<5x－6
②当 0<a<1 时，2x＋3>0
，
5x－6>0
解得 x>3.
综上所得，当 a>1 时，原不等式的解集为
x65
<x<3；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x>3}．
与对数函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝log(x－1)(3－x)；(2)y＝ log2x＋1－1；
一．中真数不是自变量x，不是对数函数；二．中对数式后减1，∴不是对数函数；三．中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．
1．下列函数是对数函O 数N E的是( )
A．y＝log32x
1B．y＝log3x2
C．y＝log13x 答案：D．yC＝log131x
对数概念的理解求下列各式中 x 的范围． (1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
4解.求下析列：函数的(值1)域∵． x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
(又1)y＝f(loxg)2＝(x2lo－g42xx＋6在)；(0，＋∞)上是增函数， (∴2)yl＝olgog2(2x(x22－－44xx－＋5)．6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)． (2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9， ∴x2－4x－5 能取得所有正实数． ∴函数 y＝log2(x2－4x－5)的值域是 R.
由题目可获取以下主要信息：(1)中底数相同，真数不同；(2) 中底数不同，真数相同；(3)(4)中底数与真数各不相同.解答本题可考虑利用对数函数的单调性或图象求解.

专题36 高中数学对数函数的概念、图象及性质(解析版)

专题36 对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.题型一对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2) y ＝log 6x ；(3) y ＝log x 3；(4) y ＝log 2x ＋1. [解析] (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ； ⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. 3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R)；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B. 4．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 5．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D ，其他的不符合．故选D. 6．下列函数是对数函数的有( )①y ＝2log 3x ；②y ＝1＋log 3x ；③y ＝log 3x ；④y ＝(log 3x )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知A 正确． 7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______.[解析]由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝⎛⎭⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38[解析]∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log ax 为对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3.故选B. 9．若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.[解析]因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.10．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.[解析] 由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝4.11．若对数函数y ＝f (x )满足f (4)＝2，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析]设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2. ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________.[解析]设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 13．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. [解析]设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.14．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. [解析]由f (3)＝1得l o g 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 15．已知f (x )为对数函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. [解析]设f (x )＝log a x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝log a 12＝－2，得a ＝2，f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2 14＝－4. 16．已知函数f(x )＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，则f(2019)的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析]f(x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝alog 2 x ＋blog 3 x ＋2＋alog 21x ＋blog 31x ＋2＝4，所以f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，又因为f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.[解析]当x >0时，f (x )＝log 2x ，由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1.综上a ＝－1或 2.18．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于___． [解析]∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥4)，f (x ＋2)(x ＜4)，则f (log 23)＝________.[解析]因为log 23＜4，log 23＋2＝log 23＋log 24＝log 212＜4，log 212＋2＝log 212＋log 24＝log 248＞4，所以f (log 23)＝f (log 248)＝2log248＝48.20．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 [解析]由题意可知f (x )＝log 3x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32 题型二对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝lg (2－x )；(4)y ＝1log 3(3x －2)．[解析] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2，解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x >23，且x ≠1. 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)；(3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．[解析] (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解析] (1)定义域为(0，＋∞)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x ≤78，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，78. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1log 0.5(x －1)；(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a ≠1)．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，2x －1≠0，解得1<x ≤2，∴定义域为{x|1<x ≤2}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}． (3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒34<x ≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 34<x ≤1；当a>1时，4x －3≥1⇒x ≥1，∴定义域为{x|x ≥1}. 5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； [解析] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 6．函数y ＝lnx －2的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[4，＋∞) [解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x －2＞0，即x ＞2.故选C. 7．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4.8．函数f(x)＝1－2log 5x 的定义域为________．[解析]由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.[答案] (0，5]9．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.10．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．11．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)． 12．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1][解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.13．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.14．函数y ＝3－x2－log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－∞，3)D ．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1＞0，2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )A ．0B ．10C ．1D ．110[解析]由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．[解析] (1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}． 17．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.18．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，54 B.⎣⎡⎭⎫0，54C.⎣⎡⎦⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞[解析]由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立．k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎡⎭⎫0，54，故选B. 19．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.20．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14.若定义域为R ，求实数a 的取值范围； [解析] 要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 题型三对数函数的图象问题1．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )[解析]由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lgx 的图象向左平移1个单位． (或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)，[答案] C 2．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．3．函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )[解析]由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合． 4．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1[解析]作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. 5．已知m ，n ∈R ，函数f(x)＝m ＋log n x 的图象如右图，则m ，n 的取值范围分别是( )A ．m>0,0<n<1B ．m<0,0<n<1C ．m>0，n>1D ．m<0，n>1 [解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x ＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C6．如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1. 过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ，显然b >a >1>d >c >0.7．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )[解析]∵a>1，∴0<1－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.a<1，∴y＝a8．已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D10．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－log b x与函数y＝log b x的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．16．若函数f(x)＝－5log a(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．17．若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∴c＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.18．已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解析]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解析](1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为0<a <2.20．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg(1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．21．已知函数f (x )＝lg |x |，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，所以|x 1|>|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.所以lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 22．若不等式x 2－log m x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． [解析]由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.。

对数函数的概念及其性质

对数函数的概念及其性质2．2．2对数函数及其性质学案课前预习学案一、预习目标记住对数函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质.二、预习内容1、对数函数的定义_______________________________________.2、对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图像和性质研究函数和的图象；请同学们完成x，y对应值表，并用描点法分别画出函数和的图象: X…1……0……0…观察发现:认真观察函数y=log2x的图象填写下表：（表一）图象特征代数表述图象位于y轴的________.定义域为：图象向上、向下呈_________趋势.值域为：图象自左向右呈___________趋势.函数在(0,+∞)上是：观察发现:认真观察函数的图象填写下表：（表二）图象特征代数表述对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图像和性质：（表三）01图象定义域值域性质三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. 2掌握对数函数的性质.学习重难点对数函数的图象与性质二、学习过程探究点一例1：求下列函数的定义域:（1）;(2).练习：求下列函数的定义域:（1）;（2）.解析:直接利用对数函数的定义域求解，而不能先化简．解：略点评：本题主要考查了对数函数的定义域极其求法．探究点二例2：比较下列各组数中两个值的大小:(1)(2)（3）loga5.1，loga5.9(a＞0,且a≠1).（1）____;（2）____;(3)若（4）若>，则m____n.三、反思总结四、当堂检测1、求下列函数的定义域（1）（2）2、比较下列各组数中两个值的大小（1）（2）课后练习与提高１.函数f(x)=lg()是（奇、偶）函数。

２．已知函数f(x)=log0.5(-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为。

３．已知函数在0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．。

《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数

指数函数性质
当底数为负数时，指数函数的图象关于原点对称；当底数为1时，其图象为直线；当底数为正数时，其图象向右上方倾斜且为连续的曲线。
对数函数性质
对数函数的图象与底数a的取值有关，a>1时，函数图象单调递增；0<a<1时，函数图象单调递减。
指数函数与对数函数的图象及性质
指数函数图象
根据不同的底数a，指数函数的图象形状不同。当a>1时，图象为连续的曲线且单调递增；当0<a<1时，图象也为连续的曲线但单调递减。
常用对数
以10为底数的对数，如log10(1000) = 3。
反对数
对于任何一个正实数x，都存在一个唯一的实数y ，使得xy = e^y = x。
对数函数的定义
定义域
对数函数的自变量可以是正实数，也可以是正无穷大，但不能取负值和零。
函数表达式
y = log(a)x（其中a是底数，x是自变量，y是因变量）。
性质
指数函数具有连续性、非线性、递增等特性，当底数大于1时，函数值随自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随自变量的增加而减少。
对数函数与指数函数的转换
对数函数与指数函数是相互转化的，对数函数$y = log_a(x)$（其中$a > 0$且$a \neq 1$）可以看作是以$a$ 为底数的指数函数$y = a^x$的反函数。
值域
对数函数的值域为实数集，即y属于R。无论底数为何值，对数函数均有正值，这是因为任何正数的对数值均为实数。
定义域
对数函数的定义域为正实数集，即x>0。这是因为只有当x为正数时，才能确保对数值有意义。
03
指数函数与对数函数的关系
指数函数的定义和性质

对数函数的的概念、图像及性质

log108
＜
log0.56
log0.54
log0.10.5
log0.10.6
log1.51.6
log1.51.4
1
3
2
4
5
＜
＞
＞
例3 ㏒1.10.7 ，㏒1.20.7
y
解：
0.7 ㏒1.20.7 ㏒1.10.7
y=㏒1.1x Y=㏒1.2x x
由图可知：㏒1.10.7 ＜㏒1.20.7
小结：底数不同但真数相同的题目中，
8
即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减
函数,于是
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小
于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解：当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是
作业
202X 课本第25页习题2-1A组题1
一般采用作图法。
练习：（1）㏒1.1 2.3 ，㏒1.2 2.2
解：㏒y 1.1
2.3＞㏒1.1
X=1
2.2
㏒1.1 2.2
㏒1.2
2.2
o
Y=㏒1.1 x Y=㏒1. 2 x
2.2
x
㏒1.12.2＞㏒1.2 2.2 ㏒1.1 2.3＞㏒1.2 2.2
例4 比较下列各组中两个值的大小:
（1） log 3π , log 2 0.8 . （2）log 67 , 85.62 10 …
y=log10x … -1-1/2 0 1/4 1/2 1 …
x …1/81/4 1/2 1 2 4 8 …

初中数学知识归纳对数函数的性质与像

初中数学知识归纳对数函数的性质与像对数函数是数学中常见的一类函数，它在数学、物理、经济等领域中发挥着重要的作用。

对数函数的性质与像是初中数学知识中的一个重要概念，本文将对对数函数的性质与像进行归纳和总结。

一、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0，值域为实数集。

对数函数y=logx的定义可以表示为x=10^y。

2. 对数函数的图像特点对数函数的图像在x轴的左侧逐渐上升，呈现出右凸的形状。

对于对数函数y=logx，当x>1时，y>0；当x=1时，y=0；当0<x<1时，y<0。

这一特点在函数图像中体现出来。

3. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：（1）对数函数的反函数是指数函数，即指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)互为反函数。

（2）对数函数与指数函数之间存在对应关系，即y=loga(x)与y=a^x在直角坐标系中对应点关于y=x对称。

（3）对数函数的图像关于直线y=x对称，即对于点(x,y)，若y=loga(x)，则x=loga(y)。

（4）不同底数的对数函数之间可以通过换底公式进行转换，即对于任意正实数x和任意正整数a、b，在同一定义域上，loga(x)=logb(x)/logb(a)。

二、对数函数的像1. 对数函数的像的定义对于对数函数y=loga(x)，x属于定义域，所对应的y值即为像。

像是自变量x通过函数变换所得到的因变量y的数值。

2. 对数函数的像的特性（1）对数函数的像随着自变量x的增加而增大，但增速逐渐减缓。

当x趋于无穷大时，对数函数的像也会趋于无穷大。

（2）当自变量x等于1时，对数函数的像等于0。

这是因为任意底数的对数函数，底数1的对数都等于0。

（3）当自变量x在(0,1)区间内时，对数函数的像为负数。

这是因为在这个区间内的自变量通过对数函数的映射，得到的值在0附近，所以是负数。

（4）当自变量x大于1时，对数函数的像为正数。

中学数学教案对数函数的性质与图像

中学数学教案对数函数的性质与图像对数函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学与实际问题中有着广泛的应用。

教师在进行数学教学时，需要制定合理的教案，以帮助学生全面理解对数函数的性质与图像。

本文将探讨中学数学教案设计中对数函数的性质与图像的重要内容。

一、对数函数的定义与性质对数函数是指以一个正实数为底的对数函数，一般表示为y = logₐx，其中 a 为底数，x 为底数为 a 的对数函数的自变量，y 为它的因变量。

在教案设计中，首先要明确对数函数的定义，并阐述其与指数函数之间的关系。

对数函数有以下性质：1. 定义域与值域：对数函数的定义域为正实数集，即 x ∈ (0, +∞)，而值域为实数集，即 y ∈ (-∞, +∞)。

2. 增减性：对数函数在定义域内是递增函数，即当 a > 1 时，logₐx 随 x 的增大而增大；当 0 < a < 1 时，logₐx 随 x 的增大而减小。

3. 对称性：对数函数关于直线 y = x 对称，即logₐx 的图像与 y = x 的图像关于直线 y = x 对称。

二、对数函数的图像对数函数的图像是教案设计中需要重点讲解的内容之一。

在教学中，可以通过以下步骤绘制对数函数的图像：1. 找出横轴与纵轴上的标尺，并确定底数 a 的取值。

在绘制对数函数的图像时，首先需要确定横轴与纵轴上的标尺，选择合适的比例尺。

同时，需要确定底数 a 的取值，根据实际情况选择整数或分数。

2. 确定对数函数的特殊点。

对数函数的特殊点包括对数函数的原点 (1, 0)，以及 x = 0 时对数函数的无定义点。

需要将这些点标注在坐标系中。

3. 计算其他点的坐标。

通过代入合适的 x 值，计算对应的 y 值，并将这些点绘制在坐标系中。

4. 连接所有点，绘制出对数函数的图像。

将绘制的点按照顺序依次连接，最终可得到对数函数的图像。

三、应用实例在教案设计中，除了讲解对数函数的性质与图像外，还需要提供一些实际应用的例子，帮助学生理解对数函数在实际问题中的应用。

对数函数的概念、图像和性质

列
x . . .1 1 1 2 4 . . . 42
表
. . . ylog2x
2 1 0 1
2 ...
y
描
2
点
1
11
连
42
Байду номын сангаас
0 1 23 4
x
线
-1
-2
回顾旧知创设情境探求新知实战演练课堂小结作业布置
在同一直角坐标系中画出 y lo g 1 x 的图象
2
列表
x . . .1 1 1 2 4 . . .
应用: ⑵ log 0.31.8 ＜ log 0.32.7
解:(2)log 0.31.8 ，log 0.32.7可以看作对数函数y log0.3 x
x=1.8,x=2.7时的值. 因为它的底数0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数, 又因为1.8<2.7,所以
lo0.3g 1.8lo0.3g 2.7
练习 1 ：求下列函数的定义域：
（ 1） y lo g 5 (1 x )
(3)ylog7 113x
(2)y 1 log2 x
(4)ylog2(3x)
解(1)： xx1
(2)xx0且 x1
(3)x
x
1 3
(4)x x3
回顾旧知创设情境探求新知实战演练课堂小结作业布置
回顾旧知创设情境探求新知实战演练课堂小结作业布置
蓝藻细胞1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y为 y = 2 x 新问题：反过来，分裂多少次可以得到1万个细胞，10万个……则此时分裂次数 x 关于细胞的个数 y 的关系式是什么？x是y的函数吗？

对数函数(听课)

高一导学案编号：编制人：郑海滨审核人：侯传莹3.2.2 对数函数【学习目标】基础知识目标：1、理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

（重点）2、熟练掌握对数函数的图像与性质。

（重点、难点）基本能力目标：1、会画对数函数的图像。

（重点）2、能利用对数函数的图像和性质解决相关的问题。

（重点、难点）【自主学习】知识点1 对数函数的概念1、函数叫做对数函数，其中是自变量。

【预习体验】1、已知函数y = log a x是减函数，则实数a的取值范围是（）A、0 ＜ a ＜ 1B、 a ＞ 1C、 a ＞ 0D、 a ＜ 12、若log a 0.8 > log a 1.2，则a的取值范围是（）A、 a ＞ 1B、0 ＜ a ＜ 1不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海C、 a ＞ 0且a 1D、 a【合作探究】例1.求下列函数的定义域：(1) y = log 2（2-x） (2) y =(3) y= log x（2-x）小结：求函数定义域规律:变式训练1求下列函数的定义域(1)y = log 2（x2-4x-5） (2)y = log(x+2)(16-4x )例2.比较下列各组数中两个值的大小：(1) log2 3.4 , log2 8.5; (2) log0.3 1.8, log0.3 2.7;(3) log0.1 3, log0.2 3;高一导学案编号：编制人：郑海滨审核人：侯传莹小结：对数值比较大小常用的方法变式训练2:比较下列各题中两个值的大小:⑴ log106 log108⑵ log0.56 log0.54⑶ log57 log67课堂小结：课后作业：导学练层级训练AA层：1-10 B层：1-9 C层：1-6。

课时跟踪检测(二十四) 对数函数的概念、图象及性质

课时跟踪检测（二十四）对数函数的概念、图象及性质A 级——学考合格性考试达标练1．(2019·衡水高一月考)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C 由x 2－x ＞0，解得x ＜0或x ＞1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.2．对数函数的图象过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4xB ．y ＝log 41xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x解析：选D 设该函数为y ＝log a x ，由于对数函数的图象过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.3．函数y ＝log a (x －2)(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的定点是( ) A ．(1，0) B ．(2，0) C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C 令x －2＝1，得x ＝3.当x ＝3时，y ＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)． 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C 由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2xB ．12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________．解析：由对数函数的定义可知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5. 答案：57．已知函数f (x )＝3log 13x 的定义域为[3，9]，则函数f (x )的值域是________．解析：∵y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数，∴当3≤x ≤9时，log 139≤log 13x ≤log 133，即－2≤log 13x ≤－1，∴－6≤3log 13x ≤－3，∴函数f (x )的值域是[－6，－3]．答案：[－6，－3]8．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是________．①m ＞0，0＜n ＜1 ②m ＜0，0＜n ＜1 ③m ＞0，n ＞1 ④m ＜0，n ＞1解析：由图象知函数为增函数，故n ＞1.又当x ＝1时，f (1)＝m ＞0，故m ＞0. 答案：③9．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2，所以函数的定义域为{x |x ＞－2}． 10．已知函数f (x )＝log 3x .(1)在所给的平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象；(2)由图象观察当x ＞1时，函数的值域．解：(1)函数图象如图：(2)当x ＞1时，f (x )＞0.故当x ＞1时，函数值域为(0，＋∞)．B 级——面向全国卷高考高分练1．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －122＋1x ＋2 的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，12 B. (－2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选C 对于函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －122＋1x ＋2，有⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2＞0.解得x ＞－2且x ≠12.故定义域为⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．已知对数函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，且图象过点(9，2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝4xB ．g (x )＝2xC ．g (x )＝9xD ．g (x )＝3x解析：选D 由题意得log a 9＝2，∴a 2＝9.又∵a ＞0，∴a ＝3.∴f (x )＝log 3x ，∴f (x )的反函数为g (x )＝3x .3．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10 C ．1D.110解析：选C 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0，10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.4．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵a ＞1，∴函数y ＝log a x 的图象如图所示，函数y ＝log a (x －b )(b ＜－1)的图象就是把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |(|b |＞1)个单位长度，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b )的图象不经过第四象限．5．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2，若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解．答案：(1，2)6．已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m ，值域为[0，1]，则m 的取值范围为________．解析：作出f (x )＝|log 12x |的图象(如图)可知f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝1，f (1)＝0，由题意结合图象知：1≤m ≤2.答案：[1，2]7．已知f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x .(1)当x ∈(－∞，0)时，求函数f (x )的解析式；(2)在给出的坐标系中画出函数f (x )的图象，写出函数f (x )的单调区间，并指出单调性．解：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝log 2(－x )，又f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝log 2(－x )(x ∈(－∞，0))． (2)由(1)可得函数图象如图所示．f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．8．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，且y ＝log 12x 为减函数，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y m ax ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132. C 级——拓展探索性题目应用练设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式及定义域． (2)求f (x )的值域．解：(1)∵lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]， ∴lg y ＝3x (3－x )， ∴y ＝103x (3－x )(x ∈R )．∵y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，故x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x ＞0，lg y ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.∴y ＝f (x )的定义域为(0，3)．(2)∵3x (3－x )＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274，且y ＝f (x )的定义域为(0，3)， ∴y 的值域为(1，10274]．。

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