市北资优九年级分册 第25章 25.1 锐角的三角比的意义+罗健

第二十五章 锐角的三角比 第一节 锐角的三角比
25.1锐角的三角比的意义
如图25. 1. 1，任意画R t △ABC 和R t △A 'B 'C '，使得∠C =∠C '=90°，∠A =∠A '=α，那么
BC AB 与B C
A B
有什么关系，你能分析一下吗？
在图25.1.1中，由于∠C =∠C '=90°，∠A =∠A '=α，所以R t △ABC ∽R t △A 'B 'C '.
因此
BC AB B C A B ，即BC AB =B C
A B
．
这就是说，在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
问题一
我们是否可以得到∠A 的对边与邻边的比也是一个固定值?
通过上面的讨论，可以得到当∠A 大小确定后，不论R t △ABC 的边长怎么变化，∠A 的对边、邻边、斜边其中任意两边之比是一个定值．
因此，如图25. 1.2，在直角三角形ABC 中，∠A 为一锐角，则
∠A 的正弦（sine ）A 的对边斜边∠=
，即sin A =a
c ，
∠A 的余弦（cosine ）A 的邻边斜边∠=
，即cos A =b
c ，
∠A 的正切（tangent ）A A 的对边的邻边∠=
∠，即tanA =a
b ，
∠A 的余切（cotangent ）A A 的邻边的对边∠=
∠，即cot A =b
a
．
锐角α的正弦、余弦、正切、余切统称为∠α这个锐角的三角
比．
这里需要注意的是，根据锐角三角比的定义，计算或运用锐角的三角比必须在直角三角形中，如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角.
例1如图25. 1.3，在R t △ABC 中，∠C =90°，BC =6，sin A =35
，求cos A ，tan B .
解：在R t △ABC 中，∵sin A =BC
AB
，BC =6， ∴10sin BC
AB
A
． 又由勾股定理得，AC =228AB BC ，
∴cos A =45
AC AB ， tan B =
43AC BC
.
例2如图25. 1.4，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠DCB =α，若AD :BC =16:15，求sin α， cot
α的值.
解：设AD 为16k ，BC 为15k . ∵∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，
∴∠A +∠DCA =90°，∠DCB +∠DCA =90°， ∴∠A =α.
在R t △ABC 与R t △BCD 中，
∵sin ,sin ,CB DB
A AB
BC
∴CB DB AB
BC ，即151615k
BD
k BD
K
. 解得25(9BD k BD k 舍），．
∴3sin
5
． 由勾股定理得，CD =2212BC BD k ．
∴124cot
93
CD k BD
k
． 例3如图25.1.5，在△ABC 中，∠ABC = 45°， sin A =35
，AB =14，BD 是AC 边上的中线.求:
(1)△ABC 的面积； (2)∠ABD 的余切值.
分析：由于没有直角三角形，因此条件sin A =3
5
无法直接运
用，需要构造直角三角形.结合∠ABC = 45°，过点C 作高比较有效.
解：(1)作CH ⊥AB ，垂足为点H .
在R t △ACH 中，∵sin A =
CH AC ，又sin A =3
5
， ∴设CH =3x ，那么AH =4x ． ∵∠ABC = 45°，
∴∠BC H = 45°=∠ABC . ∴BH =CH =3x . ∵AB =14， ∴4x +3x =14.
∴2x ，即CH =6． ∴△ABC 的面积等于42.
(2)作DM ⊥AB ，垂足为点M . ∵DM //CH ，AD =CD ，
∴DM =1
13,42
2CH
AM
AH .
∴BM =10.
∴10cot 3
BM ABD
DM
.
练习25.1(1)
1.在直角坐标平面内有一点A(3，1)，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为a，求:sin a、cos a、tan a和cot a.
2.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设∠DCA=a，若AD:BC=7:12，求sin a、tan a的值.
3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求sin∠CBE的值.
4.已知:如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC，BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，
cot∠ADB=4
3
．求:（1）∠DBC的余弦值；(2)DE的长.
5.如图，在等腰R t△ABC中，∠BAC=90°，已知A(1，0)，B(0，3)，M为BC中点.求tan∠MOA.
练习25.1(1)答案
1. sin a=10
，cos a=
310
，tan a=
1
3
，cot a=3
2. sin a=7
，tan a=
7
3.7
25
提示：设BE=x，CE=8－x．于是2
22
68x x，解得
25
4
x，所以
7
4
CE，则cos∠CBE=
7
25
4.
4320
12
541
提示：(1)∵R t△ABD中，cot∠ADB=
AD
AB
，∴
4
312
AD
，即AD=16．∴2222
121620
BD AB AD.∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC= cos∠ADB=
164
205 AD
BD
(2)在R t△BCD中，cos∠DBC=BD
BC
，∴
420
,25
5
BC
BC
.∵AD∥BC，∴
1616
.,
2541
DE AD DE
BE BC BD
1616320
20
414141
DE BD
5.过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△BOA≌△ADC.∴点C(4，1)．
又∵点M为BC中点，∴M(2，2)．
过点M作ME⊥x轴，交x轴于点E，∴tan∠MOA=1
问题2
任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦、余弦、正切和余切的取值范围是怎样的?它们之间又有怎样的关系呢?
1.锐角三角比的取值范围
从锐角三角比的定义可以知道，若∠A为一锐角，则sin A，cos A，tan A，cot A的取值范围分别是:0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0，cot A>0.
2.增减性
正弦(正切)随着锐角度数的增大而增大，余弦(余切)随着锐角度数的增大而减小.
(1)倒数关系：tan A·cot A=1或tan A=
1
cot A
；
(2)商数关系：tan A·cot A=1；
(3)平方关系：22
sin cos1
A A
+=；
(4)互余关系：若∠A+∠B=90°，则sin A=cos B，tan A=cot B．
以上结论，由读者根据锐角三角比的定义自行证明.
例4若x为锐角，2
2sin7sin
x x+3<0，求x的取值范围.
解：因为x为锐角，所以sin x>0，原不等式可化为2
2sin7sin
x x+3<0，即(2sin x－1)(sin x－3)<0，
解得sin x>1
2
，
所以30°<x<90°.
例5比较sin 19°和cos 70°的大小.
分析：利用互余角的三角比关系式，将cos 70°化为sin 20°，再与sin 19°比大小．解：因为cos70° = cos (90°－20°)=sin 20°，而sin 19°<sin 20°，
所以sin 19°<cos 70°．
例6已知tan2，求2sin cos
sin2cos
．
分析：利用
sin
tan
cos
，将原式分子分母都除以cos a，化为tan a的形式.
解：
sin
21
2sin cos 2tan13
cos
sin tan2
sin2cos4
2
cos cos
．
练习25.1（2）
1.设2
cos cos1，为锐角，下面的结论正确的是( ).
（A）2
sin sin 1（B）2
sin sin1
（C）2
sin sin1（D）2
sin sin与1的关系不能确定2.若23是方程25sin10
x x 的一个根，且α为锐角，求tan a的值.
3.已知
1
sin cos,4590,
8
且求cos sin的值.。