求参数的取值范围
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法一、分离参数在给出得不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 得取值范围。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 得取值范围。
1、若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0,21］都成立，则a 得最小值就是＿＿ 2、设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 得取值范围。
3、已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 得取值范围。
二、分类讨论在给出得不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式得两边，则可利用分类讨论得思想来解决。
例1、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 得取值范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 得解集就是R ，求m 得范围。
例3、关于x 得不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 得取值范围．变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 得值．1、已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 得取值范围．2、求函数)(log 2x x y a -=得单调区间．3、设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 得取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
求参数的取值范围(解析几何)
03求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F ()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线2A Q 斜率的取值范围；解：（1）c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为：222213x y b b+=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ，则k =2A Q k22212A Q y k k x ∴⋅==- Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=-2221123A Q y k k x ∴⋅==--213A Q k k ∴=- 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：（1）c e a ==::a b c ∴2EGF 的周长4C a a ===1b ∴=，椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x y OA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩()()()22228412820k k k ∴∆=-+->，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++ ()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+，由条件25PA PB -<可得：25AB <12AB x ∴-<()()22121220149k x x x x ⎡⎤∴++-<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k -+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-⋅<⇒-+> ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴> 211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22221618=16,411232k t k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+262,,2t ⎛⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l与椭圆交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），求三角形OBE与三角形OBF 面积比值的范围解：（1）c e a == ::a b c ∴由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a=1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBF x S xS x x ∴== 联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=-+>⇒>12122286,01212k x x x x k k +=-=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x x x k k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+，122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t ⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBF S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切，O l d b -∴==b ∴=3a c =，22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =a ∴，221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =- 线段2PF 的垂直平分线交2l 于点2PM MF ∴=，即12M l d MF -=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
不等式求参数的取值范围教案
不等式求参数的取值范围教案教案标题：不等式求参数的取值范围教学目标：1. 理解不等式求参数的取值范围的概念。
2. 能够分析和解决涉及不等式的参数问题。
3. 运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学PPT、教材、练习题。
2. 学生准备：课本、笔记本、写作工具。
教学过程：引入活动：1. 教师通过提问和示例，引导学生回顾不等式的概念和解决不等式的方法。
2. 教师提出一个问题：“如果一个不等式中含有参数，我们如何求解参数的取值范围呢？”引发学生思考。
知识讲解：1. 教师通过PPT或板书，讲解不等式求参数的取值范围的基本方法和步骤。
2. 教师通过示例，详细解释每个步骤的操作和思路。
3. 教师强调注意事项和常见错误，提醒学生注意细节。
示范演练：1. 教师提供一些简单的例题，引导学生逐步解决不等式中参数的取值范围。
2. 教师在黑板上进行解题过程的演示，引导学生参与讨论和思考。
3. 学生根据教师的提示，独立完成一些类似的练习题。
合作探究：1. 学生分组合作，自主解决一些复杂的不等式参数问题。
2. 学生之间互相讨论和交流解题思路，共同解决问题。
3. 教师巡回指导，解答学生的疑问，提供必要的帮助。
拓展应用：1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决。
2. 学生独立思考和解决问题，写出完整的解题过程和答案。
3. 学生展示自己的解题思路和答案，进行讨论和交流。
总结回顾：1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在解决不等式参数问题时应注意的要点。
2. 学生进行自我评价，检查自己的学习情况，提出问题和困惑。
作业布置：1. 教师布置一些相关的练习题，要求学生完成并检查答案。
2. 学生完成作业，并将问题和困惑记录下来，以备下节课讨论。
教学反思：1. 教师根据本节课的教学情况，进行教学反思和总结。
2. 教师根据学生的学习情况，调整教学策略和方法，为下节课做好准备。
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法参数取值范围是指一些变量的取值范围或限制，在不同的场景中，参数的取值范围有不同的定义和限制。
一般来说，我们可以使用以下几种方法来确定参数的取值范围。
1.物理范围：一些参数的取值范围可以根据物理世界中的规律确定。
例如，温度参数的取值范围可以根据物质的相变点或极限温度来确定。
这种方法主要适用于与自然现象或物质性质相关的参数。
2.数学模型：一些参数的取值范围可以通过数学模型来确定。
例如，在统计学中，一些参数的取值范围可以通过概率分布函数或统计量的定义来确定。
这种方法主要适用于与数学模型相关的参数。
3.专家意见：在一些情况下，参数的取值范围可能需要由专家根据经验或领域知识来确定。
例如，在一些金融模型中，一些参数的取值范围可能需要由金融专家来确定。
这种方法主要适用于领域专家无法通过物理或数学方法确定参数的情况。
4.数据分析：在一些情况下，参数的取值范围可以通过对实际数据的分析来确定。
例如，在市场营销中，一些参数的取值范围可以通过对市场调查数据的分析来确定。
这种方法主要适用于可以通过数据分析得到参数取值范围的情况。
5.系统约束：在一些情况下，参数的取值范围可能受到系统约束的限制。
例如，在计算机程序中，一些参数的取值范围可能受到计算机硬件或软件的限制。
这种方法主要适用于与计算机或系统相关的参数。
在确定参数的取值范围时，应该综合考虑以上几种方法，并根据具体情况选择合适的方法。
此外，还需要注意避免参数取值范围过于宽泛或过于狭窄的情况，以充分满足系统需求。
最后，为了确保参数的取值符合要求，还需要进行参数验证和测试，确保参数在取值范围内。
这样可以有效避免由于参数取值范围不合理而引发的问题。
用由集合关系求参数范围
y＝ y＝
x x
22 a
x
,
消去y，得 x2+x-a=0，
∴△=1+4a≥0
a1, 4
∴实数a的取值范围是 [ 1 , ). 4
练习
7.已知M={(x,y)|x2+2x+y=0},N={(x,y)|y=x+a},且M∩N ∅,求实数a的取值范围. （ ，9 ] 4
练 习
8.已知集合A={x|x2-a2≤0，a＞0}，B={x|x2-3x-4＞0} （1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
解得：a≤-3或a≥6，
∴实数a的取值范围（-∞，-3]∪[6，+∞）．
题型三、由集合关系求参数的取值(范围).
已知集合A={x||x-a|≤4，x∈R，a∈R}，集合 B{x| 6 ＜1}．
（1）若A∩B=（5，7]，求实数a的值；
x1
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
解：由|x-a|≤4有-4≤x-a≤4， 解得a-4≤x≤a+4， 即A={x|a-4≤x≤a+4}．
当a<1时， B={x|a<x<1}，
当a>1时，B={x|1<x<a}，
此时B⊆A不成立.
A∩B≠∅, 合题意，
综上，a的范围为{a|0≤a≤1}.
题型三、由集合关系求参数的取值(范围). 已知全集U=R,集合A={x|x≤a-1},集合B={x|x＞a+2},集合C={x|x＜0或x≥4}.
若∁U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围． 解：显然a-1＜a+2， ∴∁U(A∪B)=(a-1，a+2]， ∵∁U(A∪B)⊆C，
x
6
求参数的取值范围的两种思路
伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。
求参数取值范围的方法
求参数取值范围的方法参数取值范围是在科学研究和工程设计中常见的问题。
确定参数的取值范围对于正确的模型建立和系统设计至关重要。
本文将介绍一些常用的方法来确定参数的取值范围。
一、理论分析法理论分析法是通过对问题进行深入研究和分析，结合已有的理论知识和经验，来确定参数的取值范围。
这种方法适用于已有较为完善的理论模型或经验公式的情况。
通过对模型或公式的推导和分析，可以得到参数的取值范围。
二、实验测定法实验测定法是通过实验手段来确定参数的取值范围。
通过设计合理的实验方案，对参数进行系统的测量和观察，得到参数的实际取值范围。
这种方法适用于对参数的影响机理不清楚或无法通过理论分析得到准确结果的情况。
三、经验估计法经验估计法是通过借鉴过去的经验和类似问题的解决方法，来估计参数的取值范围。
通过对类似问题的分析和总结，可以得到参数的典型取值范围。
这种方法适用于缺乏理论模型或实验数据的情况。
四、专家咨询法专家咨询法是通过请教相关领域的专家来确定参数的取值范围。
专家凭借自己的经验和知识，可以给出合理的参数取值范围。
这种方法适用于问题比较复杂或涉及多个学科领域的情况。
五、参数优化算法参数优化算法是通过数值计算的方法来确定参数的取值范围。
通过建立数学模型和定义优化目标，可以使用优化算法来搜索最优的参数取值范围。
这种方法适用于参数之间存在复杂的相互关系或目标函数不易通过解析方法求解的情况。
在确定参数取值范围时，需要考虑以下几个因素：1. 系统要求：根据系统的要求和性能指标，确定参数的取值范围。
例如，对于一个控制系统，参数的取值范围应该能够满足系统的稳定性和响应速度要求。
2. 物理限制：考虑参数的物理限制，例如材料的强度、温度的范围等。
参数的取值范围应该在物理限制范围内。
3. 经济因素：考虑参数的取值对系统成本的影响。
参数的取值范围应该在经济可接受范围内。
4. 安全因素：考虑参数的取值对系统安全性的影响。
参数的取值范围应该能够保证系统的安全运行。
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法参数取值范围是指参数在特定条件下允许的取值范围。
在软件开发、数据分析、科学实验等领域中，确定参数的取值范围是非常重要的，因为这会影响到结果的准确性、可信度以及应用的有效性。
下面介绍一般的方法来确定参数的取值范围。
1.理论分析法：通过对问题的物理、数学或其他理论进行分析，可以确定参数的取值范围。
例如，在设计一个模型时，可以根据模型的基本原理和公式来确定参数该取值范围。
这种方法特别适用于已有理论支持的情况。
2.经验法：根据以往的经验或类似问题的实例，可以推断参数的取值范围。
这种方法通常适用于缺乏理论依据的情况下。
例如，针对其中一种疾病的药物剂量，可以参考以往的治疗经验来确定剂量的取值范围。
3.数据分析法：通过对已有数据进行统计分析，可以确定参数的取值范围。
例如，在建立一种新的预测模型时，可以通过对历史数据的分析来确定参数的范围。
这种方法可以利用统计方法，如均值、方差、相关性等来分析数据。
4.试错法：通过反复尝试参数的不同取值，观察实际效果，逐步逼近最佳取值范围。
这种方法适用于直观的实验或模拟过程。
例如，在优化算法的应用中，可以通过不断调整参数的取值来获得最佳的结果。
5.常识法：根据实际情况和常识来确定参数的大致取值范围。
例如，在设计一个电子产品的电池寿命时，可以根据用户的使用习惯和常见的电池寿命来估算参数的范围。
总结起来，确定参数的取值范围是一个综合性的问题，需要结合理论、经验、数据分析、试错和常识等多种方法。
在确定参数的取值范围时，需要考虑到参数的物理限制、问题的实际需求以及结果的准确性和可靠性。
此外，还需要根据具体情况灵活运用不同的方法，以确保参数的取值范围能够满足问题的要求。
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
已知函数的单调性求参数的取值范围
条件
由这个结论，本题也可以
这样解答：
Q f '(x) 3x2 6x 9且要使f (x)在区间（a,a 1)上单调递减。
f '(x) 3x2 6x 9 0在区间（a,a 1)内恒成立，
“若函数f (x)在（a,b）上单调递减，则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立” “若函数f (x)在（a,b）上单调递增，则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立”
它们不是充要条件
变式：若函数f (x)=lnx-ax(a 0)的单调增区间为（0,1）, 则实数a的取值范围为 _________。
则(2a,a+1)(0,e)
2a 0 即a 1 e 0 a 1
2a a 1
故实数a的取值范围为0,1
总结 : 1：若函数f(x)（不含参数）在(a,b)（含参数） 上单调递增（递减），则可解出函数f(x)的单调（递减） 区间是(c,d),则(a,b)(c,d)(注意a b)
（二）、参数放在函数表达式 上：
课堂练习： 1.已知函数f (x) x2(x a),若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围为_________。
2.设函数f (x) x2 ax ln x(aR),若函数f (x)在区间0,1上是减函数，
求实数a的取值范围。
答案：（1）a 3或a 9 （2）a 1
2
课后作业：课时作业
即
f f
'(a) 0 '(a 1)
0
1 2
a a
3 2
1
a
利用函数的单调性求参数的取值范围
则f '( x) 0在（0,2）上恒成立
即2ax 3x 2
a 3 x, x (0,2)
2
a
(
3 2
x )max
,
x
(0,2),
a3
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练出高分
B组 专项能力提升
1
2
3
4
5
6
7
例题 2．已知函数 f(x)＝x2(x－a)．
若 f(x)在(2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是
利用函数单调性求参数的 取值范围
澄江一中 普翠萍
பைடு நூலகம்
学习目标：
1、熟练掌握原函数的单调性与导函数的关系； 2、利用分离参数法求参数的取值范围； 3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围。
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
请思考：
问题：在区间(a,b)内f (x) 0
f (x)单调递增
f (x)在(a,b)上单调递增 f (x) 0在(a,b)上恒成立
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练习1： 若函数f ( x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f '( x) 3x2 2ax, x (0,2)
__(－__∞__，__3_]_∪___92_，__＋__∞__ __； 若 f(x)在(2,3)上不单调，则实数
a
的取值范围是____3_，__92______．
已知函数的值域求参数的取值范围
已知函数的值域求参数的取值范围要求函数的值域或最值，需要先了解函数的定义域和性质。
然后通过分析函数的性质，可以求得参数的取值范围。
以下是一个比较常见的例子，来说明如何求参数的取值范围。
例子：已知函数$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$，求参数$a,b,c,d$的取值范围使得函数的值域为实数集。
首先，由于分母不能为零，所以要求$d\neq0$。
然后，我们来分析函数的性质。
对于实数$x$，函数$f(x)$的值域为实数集，意味着对于任意的实数$y$，存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。
假设我们有一个实数$y$，我们来看是否存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。
根据函数的定义，$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$。
令$f(x)=y$，我们得到$\frac{ax^2+bx+c}{x+d}=y$。
将分式的分子移到等式的另一侧，我们得到$ax^2+bx+c=y(x+d)$。
这是一个二次方程，我们将它转化为标准形式。
即$ax^2+bx+c-y(x+d)=0$。
对于这个二次方程，我们考虑它的判别式$\Delta=b^2-4ac+4yad+4yd^2$。
要使得这个二次方程有实数解，判别式需要满足$\Delta\geq 0$。
将判别式代入，我们得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。
现在，我们来考虑几种情况：当$a>0$时，二次方程的开口向上。
根据$\Delta\geq 0$，我们可以得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。
当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时，二次方程有一个实数解，即方程的判别式为零时。
当$b^2-4ac+4yad+4yd^2>0$时，二次方程有两个实数解，即方程的判别式大于零时。
现在我们考虑一些特殊情况：当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时根据$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$，我们可以得到$b^2-4ac=y(-4ad-4d^2)$。
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k 的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)
高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。
求：参数m 的取值范围。
【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。
根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。
（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。
（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。
第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。
因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。
根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。
首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。
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求参数的取值范围
参数的取值范围可以根据具体的问题和需求来确定。
在以下讨论中，
将介绍一些常见参数的取值范围。
1.自然数（N）：自然数是大于等于0的整数，可以取到的最小值是0，而最大值则取决于具体需求和计算机系统的限制。
2.整数（Z）：整数包含正整数、负整数和0。
正整数的最小值是1，
负整数的最小值是负无穷。
最大值也取决于具体需求和计算机系统的限制。
3.实数（R）：实数包括所有有理数和无理数（如π和e）。
实数的
范围是无限的，没有明确的最大或最小值。
4.百分比（%）：百分比是用小数表示的数值，乘以100后加上百分
号表示。
一般情况下，百分比的取值范围在0到100之间。
5.时间（T）：时间可以表示一天中的一些时刻（小时、分钟、秒）
或一些日期。
最小值和最大值取决于具体的时间格式和需求。
6.日期（D）：日期由年、月、日组成。
最小值和最大值取决于历法
系统，常见的日期范围是公元前4713年1月1日到公元9999年12月31日。
7. 布尔值（Boolean）：布尔值只有两个取值，即真（True）和假（False）。
8.字符串：字符串是由字符组成的序列，可以包含字母、数字和符号。
字符串的长度一般没有固定的最大值，但可能受到特定编程语言和计算机
系统的限制。
9. 列表（List）：列表是一组有序的元素的集合。
元素的类型可以
是任意类型。
列表的长度一般没有固定的最大值，但也可能受到特定编程
语言和计算机系统的限制。
10. 矩阵（Matrix）：矩阵是由行和列组成的二维数组。
矩阵的大小
取决于具体需求和计算机系统的限制。
需要注意的是，参数的取值范围应该符合问题的实际背景和约束条件。
在实际应用中，可能需要根据特定需求和具体情况进行进一步的约束和限制。
另外，计算机系统的内存和处理能力也可能对参数的取值范围有一定
的限制。
因此，在确定参数的取值范围时，需要综合考虑问题的实际需求、约束条件和计算机系统的限制。