不等式中参数范围的求法
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。
常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。
如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。
2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。
对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。
对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。
3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。
对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。
对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。
步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。
根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。
1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。
-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。
2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。
-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。
3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。
步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题：（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a<b）①若，则x>b（大大取大大）；②若，则x<a（小小取小小）③若，则a<x<b（大小小大取中间）④若，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立。
一、用不等式的基本性质求例1、不等式ax>b的解集是，则a的取值范围是（）A.B. a<0C.D. a>0分析：由不等式的基本性质知a<0，故选B。
二、用等值代换法求例2、如果关于x的不等式和2x<4的解集相同，则a的值为____________。
分析：由2x<4得x<2由得所以例3、关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。
解：将原不等式组化简后，得即所以解方程组得a＝－2，三、用不等式组的解集情况求例4、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是____________。
分析：由原不等式组得，因为不等式组无解，所以由“大大小小落空了”得。
例5、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是（）A.B.C.D. m>1分析：由原不等式组得，因为不等式组的解集是x>2，所以由“大大取大大”得，，故选C。
例6、若不等式组的解集为，求a 的取值范围。
解：由原不等式组得以下两个不等式组和，因为原不等式组的解集为，所以由“大大取大大”和“小小取小小”得即，得又有，得a>1所以例7、若不等式组解集为x>－1，则m的值为___________。
分析：这里是“大大取大大”，若，则m＝－1；若m＋2＝－1，则m＝－3因为当m＝－1时原不等式组就是，解集为x>1不合题意；当m＝－3时原不等式组就是，解集为x>－1，所以m＝－3。
求不等式恒成立问题中参数取值范围的几种方法
潦 数 讣 司
（ ） ＜０
即
ｌ ｎ ａ ］ 时
） 在［ ０ ， Ｉ ｎ ａ ］ 上 是 减 函数 ， 而ｆ （ ０ ）＝ ０ ， 所 以 当 ∈［ ０ ，
） ＜０ ． 不符 合题 意 。
叫 。 却
解得 ： ＜１ 或 ≥３
ｌ
数， 设， （ ） ＝ ｇ （ ） 一 ， 若 ≥ ｏ时 （ ） ≥０恒成 立 ， 求实２ 数 。的
取 值范 围 。
２ ２
÷ ） 必 须 在 函 数 ｙ ＝ 的 图 象 上 的 点 （ ÷ ， ÷ ） 的 上 方 。 所 以 ｌ 。 ｇ 。
÷ １ ， 即 。 去 ， 故 去ｃ 。 １ ， 综 上 所 得 去 。 １ 。
综上所述实数a的取值范围是三数型结合法采用数型结合法求解不等式恒成立问题中参数的取值范围是将不等式两端的式子看作是两个函数且正确做出两个函数的根据在给定区间上不等式恒成立必须一个函数的图象在另一个函数图象的上方通过观察两图象特别是交点时的位置关系列出关于参数的不等式从而求出参数的取值范围
语数外学 习
目
所 以当 ＞ １０时 （ ） 是 增 函数 ， 且ｆ （ ）≥ 厂 （ ０ ） ＝ １ 一。
往往会 取得 出奇制胜 的效 果。 ①若 ｎ ≤１ 时， 则 （ ）≥ １ 一 ｏ ≥Ｏ ， 此时ｆ （ ） 是增函数， 且 合其 它 知识 ， 例 ４ ： 若对 于任 意 ｔ Ｅ（ 一１ ， １ ］ ， 函数 ， （ ） ＝ ＋（ ｔ 一 ４ ） （ ） Ｏ ）＝ ０ ， 满 足题 意 。 ２ ｔ ＞０恒成 立 ， 求 的取 值范 围。 ②若 Ⅱ ≥１ 时， 则ｌ ｎ ａ＞ ０ ， 则， （ １ ｎ ａ ） ＝一ｌ ｎ ａ＜ Ｏ 解： 设ｇ （ ｔ ） ＝（ 一 ２ ） ｚ ＋ 一 ４ ＋ ４ ， 把 它 的图 象看作 一 因 为当 ｉ ＞０时 （ ） 是 增 函数 ， 所 以当０ ≤ ≤］ ｎ ａ时 （ ） 线， 由题 意知 ， 直线 恒在 横轴 上方 。
不等式中参数取值范围的2种求解方法
“’ 立 ， 符条 件． 成 不 综上 所述 ， ｎ的取 值 范 围是 ａ １ ≥ ．
时 ， 时 Ａ ｎＢ＝ ｛ ４ ９ ， 与 ＡｎＢ一 ｛ ｝ 盾 ． 此 一 ， ｝这 ９矛
， 以 ｉ ＜ ０， 一 ｓｎ
即 ｇ （・ ０ 所 以 ｇ ） （ ， ） 是 减 函 数 ． ） ， ＜ （ 在 ０ 。 上
当 ｘＥ （ 。 时 ， ＜ ｇ（ ） ｏ 即 ０， ） ｇ（ ０一 ， ＞
则 符 合 题 意 ， 时 Ａ ＵＢ－ ｛ ８ 一 ７ 一 ４ ， ， ｝ 此 二 一 ， ， ，４ ９ ．
Ａ一 ｛ ｌ ＋ ４ ｘ一 ０ 一 ｛ ， ４｝ 又 Ａ ＝Ｂ， ｝ ０一 ， ｎ Ｂ＝ ＝ 所
以 Ｂ Ａ．
Ａ、 由 ２个集 合 所 有 的 元素 构 成 的集 合 ， Ｂ， 叫做 Ａ 与 Ｂ 的并集 ． 于并集 的概 念 ， 关 则需要 注 意 以下 ３点 ：
① 记 做 ＡＵＢ； ② 符 号 语 言 表 达 式 为 Ａ ＵＢ一 Ｉ Ｅ Ａ 或 ｚＥ
当∈ｏ ）， 。 ； 。（ （√ 时３ ＜ 当，ｏ ， “ ∈，
） ，“ １ ｃ ｓ ＜ 时 （ 一 ）ｏ ．
要求 ＡｕＢ， 要根 据 ＡｎＢ一｛ ｝ 列 出关 于 需 ９， ，解析 ， 的方 程 ， 后 求 出 ， 而确 定 Ｂ， 若 将 然 从 但 Ａ、 Ｂ中元 素为 ９的 情 况一 并 考 虑 ， 比较 繁 ， 题 可 则 本
步骤 ，① 把 集 合 Ａ、 的元 素 合 在 一起 ；② 使 Ａ、 Ｂ Ｂ
的公 共 元 素 在 并 集 中 只 现 一 次 即 可 ．
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的“妙招”
思路探寻思路探寻式恒成立问题中参数的取值范围时，可将“数”与“形”结合起来，根据代数式的几何意义画出几何图形，借助图形来讨论不等式成立的条件，从而达到解题的目的.在研究图形时，要关注一些极端情形，以及临界的情形，如相交、相切等.例4.设x ∈[-4,0]，若不等式x (-4-x )<43x +1-a 恒成立，求a 的取值范围.解：设y 1=x (-4-x )，则(x +2)2+y 21=4(y 1≥0)，该式可表示是如图所示的上半圆.设y 2=43x +1-a ，其图象为直线.由图可知，要使不等式恒成立，需使半圆始终在直线的下方，即使圆心(-2,0)到直线4x -3y +3-3a =0的距离d =|-8+3-3a|5>2，且1-a >0，可得a <-5，即a 的取值范围为()-∞,-5.我们将y 1=x (-4-x )看作上半圆，将y 2=43x +1-a 看作一条直线，将问题转化为求使半圆恒在直线下方时的a 的取值范围.根据图形找出临界情形：圆与直线相切，求得此时a 的取值范围，即可解题.借助图象分析问题，不仅可以使解题变得更加简单，还会使解题思路更加明朗.四、分类讨论在求不等式恒成立问题中参数的取值范围时，经常要用到分类讨论法对参数进行分类讨论.在解题时，要首先明确参数对不等式的影响，确定分类的标准；然后分几类情况对问题进行讨论，求得每种情况下的结果；最后汇总所得的结果.例5.当x ∈[2,8]时，不等式log 2a -1x >-1恒成立，求a 的取值范围.解：（1）当2a 2-1>1时，由题意知12a 2-1<x 恒成立，即12a 2-1<x min ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1<2，解得a ∈(-∞,-1)⋃(1,+∞)；（2）当0<2a 2-1<1时，由题意知12a 2-1>x 恒成立，即12a 2-1>x max ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1>8，解得a ∈(-34,-)⋃(34)；故a∈(-∞,-1)⋃(-34,-)⋃(34)⋃(1,+∞).根据对数函数的性质，可知需分2a 2-1>1和0<2a 2-1<1两种情况进行讨论，才能求得参数a 的取值范围.在进行分类讨论时，要有明确的讨论思路，逐层逐级进行讨论，避免出现遗漏或重复讨论某种情况.五、利用判别式在求二次不等式恒成立问题中参数的取值范围时，可把问题化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，用判别式法求解.一般地，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 恒大于0⇔ìíîa >0,Δ<0,f (x )=ax 2+bx +c 恒小于0⇔{a <0,Δ<0.据此建立关于参数的不等式，解该不等式即可求得参数的取值范围.例6.若不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解：因为4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0在R 上恒成立，所以2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3⇔f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m >0；要使得f (x )恒大于0，需使Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0，解得1<m <3，故实数m 的取值范围为m ∈(1,3).由于4x 2+6x +3>0在R 上恒成立，于是原问题可转化为一元二次函数f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m 在R 恒大于0的问题，由二次函数的图象可知当a >0时，Δ<0，用判别式法即可解题.虽然由恒成立的不等式求参数的取值范围问题较为复杂，但是同学们只要熟练掌握上述五种求解思路，明确其适用条件，根据解题需求选用合适的方法、思路进行求解，就能有效地提升解题的效率.本文系2021年度云南省教育科学规划单位资助课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题批准号:BE21028）阶段性研究成果.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）53。
不等式组含参问题解法口诀
不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。
一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。
步骤：1、根据不等式求出直线方程。
2、将直线画出。
3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。
4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。
口诀：直线而行，标志清晰。
参数解，交点全描。
于原点，交点证。
或无限，一致性。
例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。
2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。
图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。
当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。
当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。
当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。
4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。
二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。
步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。
2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。
3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。
口诀：解纠结，化简薄。
一变化，再推进。
终得范，系统定。
例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。
化简得 m-2n+20≤0 。
2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。
3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。
三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
不等式的绝对值法与参数范围
不等式的绝对值法与参数范围绝对值是数学中的一个重要概念，它在不等式的研究和解决中起着重要的作用。
本文将介绍不等式的绝对值法以及如何确定参数的范围，帮助读者更好地应用这些方法解决不等式问题。
一、不等式的绝对值法不等式的绝对值法是一种常用的解决不等式的方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过引入绝对值符号来简化计算和分析过程。
下面我们将通过具体的例子来说明这种方法。
例1：解不等式|3x + 2| ≥ 5首先，我们可以将该不等式拆分成两个简单的不等式，来考虑绝对值的两个可能取值：3x + 2 ≥ 5和 -(3x + 2) ≥ 5解第一个不等式，我们得到3x + 2 ≥ 5，进一步推导可得x ≥ 1。
解第二个不等式，我们得到 -(3x + 2) ≥ 5，进一步推导可得x ≤ -7/3。
将得到的结果综合起来，我们得到不等式的解集：x ≤ -7/3 或x ≥ 1。
通过使用绝对值法，我们可以将原本较为复杂的不等式简化为两个简单的不等式，并分别求解，最后得到整个不等式的解集。
二、确定参数范围在解决含有参数的不等式时，我们需要确定参数的范围，以保证不等式的解有意义。
下面我们将通过一个例子来说明如何确定参数的范围。
例2：解不等式 2x^2 + px + 3 > 0，其中 p 是实数。
首先，我们需要考虑二次函数 2x^2 + px + 3 的图像特征。
根据一元二次函数的性质，当二次项系数大于0时，函数的图像开口向上，当二次项系数小于0时，函数的图像开口向下。
我们希望不等式 2x^2 + px + 3 > 0，即函数的取值大于0，因此我们需要考虑函数图像的位置。
对于一元二次函数，我们可以通过判别式来确定函数的根的情况。
判别式的计算公式为Δ = p^2 - 4ac。
根据判别式的不同情况，可以得到函数的根的性质：1. 当Δ = p^2 - 4ac = 0 时，函数有两个相等的实数根，此时函数图像与 x 轴有一个交点，开口向上。
题型21已知不等式求参数的范围
结论
本研究通过对汉英无主句翻译策略的探究，为翻译实践提供了有益的启示。 在翻译过程中，应根据具体情况选择合适的翻译策略，以保证译文的质量和准确 性。同时，翻译实践也是提高翻译能力的重要途径。未来研究方向包括进一步深 化对汉英无主句翻译策略的研究，探究更加有效的翻译技巧和方法，以及加强汉 英翻译人才的培养和实践能力的提高。
2、多样性：文化遗产涵盖了众多领域，包括历史、艺术、科学、宗教和文 化等，具有多样性。
3、传承性：文化遗产是在历史长河中不断传承和发展起来的，是代代相传 的。
4、价值性：文化遗产具有重要的历史、艺术、科学、宗教或文化价值，是 人类宝贵的财富。
二、文化遗产的分类
根据不同的分类标准，文化遗产可以分为不同的类型。以下是常见的分类方 法：
概念析出
文化翻译策略是指在翻译过程中，根据两种语言和文化的差异，采用一系列 有针对性的方法和技巧，以传递原文中的文化信息，并确保译文的可读性和可接 受性。文化翻译策略不仅语言的转换，还重视文化的传递和适应。在当今翻译领 域中，随着全球化和多元文化的不断发展，文化翻译策略的重要性日益凸显。
分类探究
2、科学规划和管理：制定文化遗产保护规划和实施方案，明确保护的目标、 措施和责任主体，确保保护工作的科学性和有效性。
3、专业技术支持：加强文化遗产保护专业技术的研究和应用，提高保护工 作的科学水平和技术含量。
4、社会参与和宣传：加强文化遗产保护的宣参与文化遗产保护的良好氛围。
文化遗产是指历史、艺术、科学、宗教或文化价值的重要物质和非物质遗产， 包括历史遗迹、艺术作品、文学作品、社会风俗、传统技艺等。这些遗产不仅反 映了我们祖先的生活方式、价值观念和智慧成果，也为我们提供了丰富的文化资 源和精神寄托。
不等式参数的取值范围解法技巧
不等式参数的取值范围解法技巧在数学中，不等式是用于比较两个数或表达一组数之间的关系的数学语句。
不等式参数的取值范围是指满足不等式条件的参数的取值范围。
在解决不等式问题时，了解并应用合适的解法技巧可以帮助我们更快地找到参数的取值范围。
本文将介绍一些常见的不等式解法技巧，并提供一些示例来帮助读者理解这些技巧的应用。
绝对值不等式绝对值不等式是指形如|x−a|≥b或|x−a|≤b的不等式，其中x是参数，a 和b是常数。
对于不等式|x−a|≥b，我们可以将其分解为两个不等式x−a≥b和x−a≤−b，分别求解这两个不等式得到的参数范围，再取并集即可。
示例：解不等式|x−3|≥2。
将不等式分解为两个不等式：x−3≥2和x−3≤−2。
对于x−3≥2，解得x≥5；对于x−3≤−2，解得x≤1。
取并集，得到参数x的取值范围为(−∞,1]∪[5,∞)。
一元二次不等式一元二次不等式是指形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c是常数，且a≠0。
对于一元二次不等式，可以通过求解相应的二次方程来找到参数的取值范围。
示例：解不等式x2−3x+2>0。
首先，我们需要找到二次方程x2−3x+2=0的解。
通过因式分解或求根公式可以得到解为x=1和x=2。
接下来，我们将二次方程的解点对应在数轴上，并选择一个测试点。
例如，我们可以选择x=0进行测试。
当x<1时，不等式x2−3x+2>0成立；当1<x<2时，不等式x2−3x+2<0成立；当x>2时，不等式x2−3x+2>0成立。
综上所述，参数x的取值范围为(−∞,1)∪(2,∞)。
分式不等式分式不等式是指形如f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0的不等式，其中f(x)和g(x)是多项式。
为了解决分式不等式，我们需要找到分子和分母的零点，然后确定分子和分母对应的区间，进而确定参数的取值范围。
不等式组求参数范围的问题
不等式组求参数范围的问题标题：探究不等式组求参数范围的问题导言：不等式组是高中数学中的重要概念，其中涉及到参数范围的求解。
本文将从简单到复杂逐步介绍不等式组求参数范围的方法，并通过实例详细说明。
一、一元不等式求解1. 一元不等式的基本性质一元不等式中，如果两个数之间的关系保持不变，那么它们所代表的不等式的关系也保持不变。
根据这个性质，我们可以通过图像、试验法以及代数方法来求解一元不等式。
2. 一元不等式组的解法对于一元不等式组，我们可以使用代数方法进行求解。
将每个不等式都转化为标准形式，并确定每个不等式的解集。
通过对这些解集进行取交集或并集的方式，得到整个不等式组的解集。
二、二元不等式组求参数范围1. 二元不等式组的基本性质二元不等式组是由两个不等式组成的方程组。
为了求解二元不等式组中参数的范围，我们需要使用图像、试验法以及代数方法。
2. 利用图像法求解二元不等式组a. 我们可以将每个不等式转化为标准形式，并在坐标平面上画出其对应的图像。
b. 通过分析两个图像的交集部分，确定参数的范围。
3. 利用试验法求解二元不等式组a. 我们可以随机选择一组满足不等式组的参数值。
b. 通过改变参数的值，观察不等式组的解集的变化情况。
c. 根据试验结果确定参数的范围。
4. 利用代数方法求解二元不等式组a. 将每个不等式转化为标准形式。
b. 通过分析参数在不等式中的系数、常数项以及不等式之间的关系，建立参数的范围条件。
c. 求解这些条件，得到参数的范围。
三、实例分析：探究不等式组求参数范围的具体步骤假设我们要求解以下不等式组：{2x - 3y < 5, x + y > 2} 中参数x和y的范围。
1. 图像法求解a. 将不等式转化为标准形式得到：y > (2x-5)/3; y > -x+2。
b. 在坐标平面上画出两个不等式的图像，分别为直线y=(2x-5)/3和y=-x+2。
c. 通过分析两个图像的交集部分，得出参数x的范围为(-∞, +∞)，参数y的范围为(-∞, +∞)。
不等式在特定解集情况下确定参数的取值范围
不等式在特定解集情况下确定参数的取值范围不等式是数学中常见的一类表示式，它描述了数之间的大小关系。
而不等式的解集表示满足这个不等式关系的全体解。
在不等式的求解过程中，我们通常需要确定参数的取值范围，以满足特定的条件。
本文将通过一些具体的例子来说明如何在特定解集情况下确定参数的取值范围。
假设我们要求解下列不等式：1）2x-3<5x-22）(x-2)/(x+3)>03）x^2-3x+2<0第一类不等式为线性不等式，可以通过简单的代数运算来求解。
我们将不等式中的未知数集中在一边，将常数集中在另一边，得到2x-3-5x+2<0，整理化简得到-3x+1<0。
我们可以将-3x+1看做一个新的不等式，即-3x+1<0。
然后我们确定-3x+1=0的解集，得到x=1/3、有了这个解集，我们可以将数轴分成3个区间：x<1/3，x=1/3，x>1/3、我们选择每个区间中的一个数进行测试，例如选择x=0，带入原不等式，得到2*0-3<5*0-2，化简得到-3<-2，结论为真。
我们可以根据这个结果判断在x<1/3时，原不等式成立。
综合上述结果，我们得到解集为x<1/3第二类不等式为有理不等式，可以通过分析函数在数轴上的正负性来求解。
我们将(x-2)/(x+3)=0，得到x=2、我们选择一个数轴上该点两侧的点进行测试，例如选择x=-4和x=0，带入原不等式，得到(-4-2)/(-4+3)>0和(0-2)/(0+3)>0，化简得到-6/-1<0和-2/3<0，结论为真。
我们可以根据这个结果判断在x<-3或者-2<x<2时，原不等式成立。
综合上述结果，我们得到解集为x<-3或者-2<x<2第三类不等式为二次不等式，可以通过分析函数的图像来求解。
我们将x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2、然后我们画出该二次函数的图像，观察图像在不同区间的走势。
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0,21］都成立，则a 的最小值是＿＿2.设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例1、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围．变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值．1.已知752+->x x xa a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间．3.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式参数的取值范围解法
不等式参数的取值范围解法在数学中，不等式是指含有不等号（大于、小于、大于等于、小于等于）的数学表达式。
解不等式就是确定使不等式成立的变量取值范围。
本文将讨论如何通过不等式参数的取值范围解法来解决不等式问题。
我们来了解一下什么是参数。
在数学中，参数是指不等式中的变量。
对于一个不等式，我们通常会有一个或多个参数，而我们的目标就是找到使不等式成立的参数取值范围。
解不等式的步骤通常包括以下几个方面：1. 理解不等式的含义：首先，我们需要理解不等式的含义。
不等式可以表示两个数之间的大小关系，或者表示一个数与某个范围之间的关系。
我们需要仔细阅读不等式，确定其含义和要求。
2. 分析不等式的特点：接下来，我们需要分析不等式的特点。
我们可以观察不等式中的参数和系数，看是否存在特殊的模式或关系。
这有助于我们找到解的思路和方法。
3. 确定参数的取值范围：在解不等式时，我们需要确定参数的取值范围。
这可以通过观察不等式中的系数、符号和常数项来确定。
我们可以使用数轴上的点、区间表示法或集合表示法来表示参数的取值范围。
4. 解不等式：根据参数的取值范围，我们可以开始解不等式。
根据不等式的类型和特点，我们可以使用不等式的性质和规则来进行推导和变形。
通过逐步推导和变形，我们最终可以得到不等式的解集。
5. 验证解的正确性：最后，我们需要验证得到的解是否符合原始不等式的要求。
我们将解代入不等式中，检查是否使不等式成立。
如果解符合不等式的要求，那么我们的解就是正确的。
通过以上步骤，我们可以有效地解决不等式问题。
下面，我们将通过一个具体的例子来演示不等式参数的取值范围解法。
例题：解不等式3x + 2 > 5我们来理解不等式的含义。
这个不等式表示3x + 2大于5。
我们的目标是找到使不等式成立的参数取值范围。
接下来，我们分析不等式的特点。
这个不等式是一个一元一次不等式，系数3表示参数的变化率，常数项2表示参数的初始值，符号>表示大于。
由不等式成立求参数范围问题
由不等式成立求参数范围问题发表时间：2015-05-08T15:44:11.380Z 来源：《素质教育》2015年4月总第175期供稿作者：谢娟妮[导读] 由不等式成立求参数范围是高考命题的热点、难点，综合性强，能力高，一般有两个角度：一是不等式恒成立求参数范围；二是不等式存在成立求参数范围。
谢娟妮陕西省西安市周至中学710000由不等式成立求参数范围是高考命题的热点、难点，综合性强，能力高，一般有两个角度：一是不等式恒成立求参数范围；二是不等式存在成立求参数范围。
角度一：由不等式恒成立求参数范围例：设函数f（x）=lnx- ax2-bx令F（x）=f（x）+ ax2+ bx+ （0<x≤3），其图像上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤ 恒成立，求实数a的取值范围。
解析：F（x）=ln+ ,x∈（0，3），则有k=F`（x0）= ≤ ，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（- x02+x0）max，x0∈（0，3],当x0=l，- x02+x0取得最大值，所以a≥ 。
由题悟到：利用不等式恒成立求参数范围的方法：1.根据不等式分离参数；2.利用分离后的不等式构造新函数F(x);3.判断F(x)的单调性及求最值；4.根据参数m≥F（x）max或m≥F（x）min求参数范围。
角度二：由不等式存在成立求参数范围例：已知函数f（x）= +alnx-2（a>1），若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）>2（a-1）恒成立，试求实数a的取值范围。
解析：f`（x）=- + = ，由f`（x）>0解得x> ;由f`<0得0<x< ，x∈（，+∞），f（x）单调递增；x∈（0，），f（x）单调递减，所以当x= 时，函数f（x）取得最小值ymin=f（），∵x∈（0，+∞）都有f（x）>2（a-1）成立,∴f（）>2（a-1）即可。
则+aln -2>2（a-1），由aln >a解得0<a< ，所以a的取值范围是（0，）。
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不等式中参数范围的求法
不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或
几何图形大小关系。
参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取
值范围的确定。
一、一元一次不等式的参数范围求法
对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值
范围可以通过以下步骤来确定：
1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；
2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；
3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体
实数。
二、一元二次不等式的参数范围求法
对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b
和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：
1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两
个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；
2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值
范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；
3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。
三、多元一次不等式的参数范围求法
对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。
以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：
1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没
有限制；
2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；
3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没
有限制。
四、绝对值不等式的参数范围求法
对于绝对值不等式，ax+b，<c （或，ax+b，>c）中，参数a、b和
c的取值范围可以通过以下步骤来确定：
1.当a=0时，不等式变为，b，<c（或，b，>c），此时c=0，解集为
b=0；
2.当a>0时，不等式解集为x∈(-∞,-b/a-c)∪(-b/a+c,+∞)；
3.当a<0时，不等式解集为x∈[-b/a-c,-b/a+c]。
五、分式不等式的参数范围求法
对于分式不等式(f(x))/g(x)<0（或(f(x))/g(x)>0）中，参数的范围
求法较为复杂，常常需要进行分式的分解和考虑分母为零的情况。
1.分式的分解：将分式化简成多个分母相同或者部分分式的形式；
2.考虑分母为零：找出使得分母为零的x值，将其加入解集；
3.考虑分子和分母的正负性：对于每个分解出的分式，确定其分子和分母的符号。
如果分子和分母正负性相同，那么其符号为正，否则为负；
4.根据分解后的各个分式的符号确定不等式的解集。
综上所述，不等式中参数范围的求法根据不同类型的不等式采用不同的求解方法，需要通过对不等式形式的分析和辨别，运用相关的知识和技巧来确定参数的取值范围。