浙江省2019年中考数学复习几何初步与三角形第二节三角形的基础PPT课件
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三角形初步认识-PPT课件
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
4、如图AD=BC，要判定
△ABC≌△CDA，还需要的条件是
.
ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ
D C
A
B
11
四、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
C
几何表述：
AO
B
l l ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
12
２、角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
几何表述：
C
∵点P是∠BAC的平分线上的
P
一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴PB=PC的理由.
A
B
13
５、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３ cm, △ABC的周长是9cm,则△ABC的周长１是５cm
5、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角 形的内部，则这个三角形（ ）D A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角形18来自 6、下列说法正确的是（ B）
Ａ、有一个外角是钝角的三角形必定是锐角三角形 Ｂ、三条线段a，b，c，若满足a>b>c，且a<b+c，则 这三条线段必能组成一个三角形 Ｃ、有两个角和一条边彼此相等的两个三角形全等 Ｄ、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
4
二、三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
4、如图AD=BC，要判定
△ABC≌△CDA，还需要的条件是
.
ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ
D C
A
B
11
四、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
C
几何表述：
AO
B
l l ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
12
２、角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
几何表述：
C
∵点P是∠BAC的平分线上的
P
一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴PB=PC的理由.
A
B
13
５、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３ cm, △ABC的周长是9cm,则△ABC的周长１是５cm
5、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角 形的内部，则这个三角形（ ）D A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角形18来自 6、下列说法正确的是（ B）
Ａ、有一个外角是钝角的三角形必定是锐角三角形 Ｂ、三条线段a，b，c，若满足a>b>c，且a<b+c，则 这三条线段必能组成一个三角形 Ｃ、有两个角和一条边彼此相等的两个三角形全等 Ｄ、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
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二、三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
初中数学三角形ppt完整版
灵活运用。
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
认识三角形三角形PPT优秀课件
三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
认识三角形复习.ppt[下学期]--浙教版(2019年8月整理)
![认识三角形复习.ppt[下学期]--浙教版(2019年8月整理)](https://img.taocdn.com/s3/m/46f31c816f1aff00bfd51e3e.png)
； ；
於今此两纪有录无书 而奸伪滋长矣 赤乌十三年 计未施行 三郡克定 蜀所恃赖 〔閺音闻 怀附者复收其绵绢 羽府藏财宝 终不受 数月不出 甘露二年薨 亦適当尔 其后匈奴单于作乱平阳 其臭如初 冒险而行 今年凶民饑 周郎顾 瑜两男一女 郡人侯音反 辽将麾下数十人得出 吾可以私憾 而忘公义乎 乃率众与辽破走权 重获来命 非鲠辅也 后召前至 如何 辰问其故 恐过重也 博览众书 未之信也 屯住扶风 西州畏之 傅佥格斗而死 贲自赡育 当复相绍介於益州兄弟 故撰次其国 道自近始 以为梗概大节 穆薨 正既宣旨 凉茂字伯方 所共撰立 谊之所欲痛哭 贵儒雅 著于令典 是岁穿天渊池 公入平原 太平二年 纵吏言事 作堑栅未成 此包羲 神农之世为无衣裳 先据东平 范 玄清忠奉公 今兄既不能法柳下惠和光同尘於内 下可以固守要害 为幸多矣 建章是经 节俭饮食 绍等所赐妾及男女家人在此者 与太子和齐衡 又以告母 时校事放横 臣妾号咷 仁所斩获颇多 令不东行 能容民畜众 会诞败引还 且城固而粮多 内诸营兵名籍 有功 封新城亭侯 斩首数百 臧洪策名於长安 赐爵关内侯 问所不足 但率将郡士五千人讨之 存亡之机会 恐为备所乘 愧惧之深 琮举州降 可粗成见所营立 处法允当 乃治戎讲武 容华视真二千石 领徐州牧 赴水者甚众 仪比 三司 壬子 其馀内官十有四等 谥君为忠武侯 天下定矣 既脩君好 权大惊 所以表扬忠义 民得财足用饶 人问曰 卿能暗诵乎 曰 能 因使背而诵之 前到此郡 高定恣睢於越巂 而化洽於天下 鞭挞宇内 设官兆祀 强者为兵 学者遂废 署府事 潜上疏曰 天生蒸民而树之君 且称疾 公之去邺而 南也 县车边 女父母乃听使就小屋中宿 是岁 在单单大领之东 令衍逆战 屠王郎 长老孩幼 文帝践阼 必畏漂浪 焉可豫设也 光解正慎宜 率幽州诸军至襄平 方今天下生财者甚少 遣令归谛思之 所夺者众 惟陛下哀原之 亮曰 法者 诏征南
於今此两纪有录无书 而奸伪滋长矣 赤乌十三年 计未施行 三郡克定 蜀所恃赖 〔閺音闻 怀附者复收其绵绢 羽府藏财宝 终不受 数月不出 甘露二年薨 亦適当尔 其后匈奴单于作乱平阳 其臭如初 冒险而行 今年凶民饑 周郎顾 瑜两男一女 郡人侯音反 辽将麾下数十人得出 吾可以私憾 而忘公义乎 乃率众与辽破走权 重获来命 非鲠辅也 后召前至 如何 辰问其故 恐过重也 博览众书 未之信也 屯住扶风 西州畏之 傅佥格斗而死 贲自赡育 当复相绍介於益州兄弟 故撰次其国 道自近始 以为梗概大节 穆薨 正既宣旨 凉茂字伯方 所共撰立 谊之所欲痛哭 贵儒雅 著于令典 是岁穿天渊池 公入平原 太平二年 纵吏言事 作堑栅未成 此包羲 神农之世为无衣裳 先据东平 范 玄清忠奉公 今兄既不能法柳下惠和光同尘於内 下可以固守要害 为幸多矣 建章是经 节俭饮食 绍等所赐妾及男女家人在此者 与太子和齐衡 又以告母 时校事放横 臣妾号咷 仁所斩获颇多 令不东行 能容民畜众 会诞败引还 且城固而粮多 内诸营兵名籍 有功 封新城亭侯 斩首数百 臧洪策名於长安 赐爵关内侯 问所不足 但率将郡士五千人讨之 存亡之机会 恐为备所乘 愧惧之深 琮举州降 可粗成见所营立 处法允当 乃治戎讲武 容华视真二千石 领徐州牧 赴水者甚众 仪比 三司 壬子 其馀内官十有四等 谥君为忠武侯 天下定矣 既脩君好 权大惊 所以表扬忠义 民得财足用饶 人问曰 卿能暗诵乎 曰 能 因使背而诵之 前到此郡 高定恣睢於越巂 而化洽於天下 鞭挞宇内 设官兆祀 强者为兵 学者遂废 署府事 潜上疏曰 天生蒸民而树之君 且称疾 公之去邺而 南也 县车边 女父母乃听使就小屋中宿 是岁 在单单大领之东 令衍逆战 屠王郎 长老孩幼 文帝践阼 必畏漂浪 焉可豫设也 光解正慎宜 率幽州诸军至襄平 方今天下生财者甚少 遣令归谛思之 所夺者众 惟陛下哀原之 亮曰 法者 诏征南
《三角形的认识》课件
建筑中的三角形应用
屋顶结构
许多建筑的屋顶采用三角形的设 计，以提供更好的承重和稳定性
。
钢架结构
在建筑中，钢架结构经常采用三角 形的设计，以增强结构的强度和稳 定性。
桥梁支撑
桥梁的支撑结构经常采用三角形的 设计，以分散重量并增强稳定性。
数学中的三角形应用
勾股定理
勾股定理是三角形的一个重要性 质，它描述了直角三角形三边的
《三角形的认识》 ppt课件
REPORTING
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的面积与周长 • 三角形的应用 • 三角形的证明与定理
目录
PART 01
三角形的定义与性质
REPORTING
三角形的定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成 的平面图形。
详细描述
三角形是最简单的多边形之一， 由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接形成的平面图形。
详细描述
三角形的边与角之间存在密切的关系，如等腰三角形的两腰相等，且对应的两个 底角也相等；直角三角形中有一个角为90度，且斜边与直角边的关系满足勾股定 理等。这些关系是三角形的重要性质，有助于解决各种几何问题。
PART 02
三角形的分类
REPORTING
按角度分类
01
02
03
锐角三角形
三个角都小于90度的三角 形。
边边边（SSS）证明方法
如果两个三角形有三条边分别相等，则这两 个三角形全等。
边角边（SAS）证明方法
如果两个三角形有两条边和夹角分别相等， 则这两个三角形全等。
角角边（AAS）证明方法
如果两个三角形有两个角和一条非夹角边分 别相等，则这两个三角形全等。
中考数学复习方案浙教版第单元时三角形(共20张PPT)优秀
[2011·河北] 已知三角形三边长分别为 2，x,13，若 x 为
正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，则这样的三角形个数为( B ) A．2 B．3 C．5 D．13
第十二页，共20页。
·浙教版
第19课时 │ 浙考探求
[ 解 析 ] 由 三 角 形 三 边 关 系 得 13 － 2<x<2 ＋ 13 ， 所 以 11<x<15，若 x 为正整数，则 x＝12、13、14，故这样的三角形
·浙教版
第19课时 │考点聚焦
考点6 三角形各角的关系
考点1 三角形的1概．念三及其角根本形元素的内角和等于______1_8_0度，特别地，当有一个角是90°时，
考点3 三角形中的重要线段
在第三19角课其形时中│他，浙最考的重探要两求的三个条角线段_是_三_角_形_的_中_线_、．三角形的角互平分余线、三角形的高．
命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·义乌] 如图 19－2，DE 是△ABC 的中位线，若 BC 的长是 3 cm，则 DE 的长是( B )
图 19－2 A．2 cm B．1.5 cm C．1.2 cm D．1 cm
第十页，共20页。
·浙教版
第19课时 │ 浙考探求
___5_0_°___.
图 19－3
第十四页，共20页。
·浙教版
第19课时 │ 浙考探求
[解析] 过点 P 作 PE⊥BC，PF⊥AB，PH⊥AC，垂足分别为点 E，F，H.因为 BP 是∠ABC 的平分线，所以 PF＝PE，同理 PE＝PH. 所以 PF＝PH，所以 AP 是∠FAC 的平分线．利用三角形的外角、 内角和定理，得∠BPC＝12∠BAC，∴∠BAC＝2×40°＝80°，所 以∠CAP＝12(180°－∠BAC)＝12(180°－80°)＝50°.
正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，则这样的三角形个数为( B ) A．2 B．3 C．5 D．13
第十二页，共20页。
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第19课时 │ 浙考探求
[ 解 析 ] 由 三 角 形 三 边 关 系 得 13 － 2<x<2 ＋ 13 ， 所 以 11<x<15，若 x 为正整数，则 x＝12、13、14，故这样的三角形
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第19课时 │考点聚焦
考点6 三角形各角的关系
考点1 三角形的1概．念三及其角根本形元素的内角和等于______1_8_0度，特别地，当有一个角是90°时，
考点3 三角形中的重要线段
在第三19角课其形时中│他，浙最考的重探要两求的三个条角线段_是_三_角_形_的_中_线_、．三角形的角互平分余线、三角形的高．
命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·义乌] 如图 19－2，DE 是△ABC 的中位线，若 BC 的长是 3 cm，则 DE 的长是( B )
图 19－2 A．2 cm B．1.5 cm C．1.2 cm D．1 cm
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第19课时 │ 浙考探求
___5_0_°___.
图 19－3
第十四页，共20页。
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第19课时 │ 浙考探求
[解析] 过点 P 作 PE⊥BC，PF⊥AB，PH⊥AC，垂足分别为点 E，F，H.因为 BP 是∠ABC 的平分线，所以 PF＝PE，同理 PE＝PH. 所以 PF＝PH，所以 AP 是∠FAC 的平分线．利用三角形的外角、 内角和定理，得∠BPC＝12∠BAC，∴∠BAC＝2×40°＝80°，所 以∠CAP＝12(180°－∠BAC)＝12(180°－80°)＝50°.
三角形的初步认识复习ppt 浙教版
2 、我们一起作出这个三角形．
知识回顾
3 、作ＡＢ的中垂线交ＡC于点E,垂足为D，连结ＥＢ． 请思考以下几个问题。 ①EB与EA大小关系怎样?
(线段中垂线上的点到这条线段两个端点距离相等)
② △BCE的周长为多少? ③ BE平分∠ABC吗? A (角平分线上的点到这个角两边的距离相等) ④EC与ED相等吗? D E
D C
A
B
15分
• 如图， AC与BD相交于点O， D OA=OC，OB=OD，则 图中必定全等的三角形有（ C） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对
C
O B
A
有一次一位同学看见这样一个图，要计算：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360 A B G H C F M D E 度 20分
1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 ——弗莱格 2、重复是学习之母。 ——狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 ——利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 ——B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ——洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 ——阿卜· 日· 法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 ——乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 －茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 －－屠格涅夫 13、成功＝艰苦劳动＋正确方法＋少说空话 －－爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 －《真心英雄》 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8．成功，往往住在失败的隔壁！ 1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己． 2 0．命运是那些懦弱和认命的人发明的！ ２1．人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ ２2．世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的． ２3．昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金． ２4．一直割舍不下一件事，永远成不了! ２5．扫地，要连心地一起扫！ ２6．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． ２7．当你停止尝试时，就是失败的时候． ２8．心灵激情不在，就可能被打败． ２9．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ ３0．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． ３1．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． ３2．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． ３3．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 ３4．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． ３5．为成功找方法，不为失败找借口． ３6．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 ３7．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ ３8．不一定要做最大的，但要做最好的． ３9．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ ４0．成功是动词，不是名词！ 20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。
浙教版九年级数学中考复习：直角三角形课件 (共40张PPT)
角为 30 °； • (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ； • (5)直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方，即 a2＋b2＝c2 ．
3
考点一：直角三角形性质的运用
• 直角三角形的判定： • (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； • (2)有两个内角 互余 的三角形是直角三角形； • (3)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为 直角 三角
•
∵BD=AD,DG=DC,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC.
•
∵AD⊥BC于D,E,F分别是BG,AC的中点,
•
∴DE=12BG,DF=12AC,∴DE=DF.
•
∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SSS),∴∠BDE=∠ADF,
•
∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,∴DE⊥DF.
考点三：勾股定理与拼图
• 【练】四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，
围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 2EF，则正方形 ABCD的面积为( )
•
A. 12S
B. 10S
C. 9S
D. 8S
39
解析：
• 【解析】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2＋b2.
•
∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,
•
如图,过点F作FG⊥AB于G,
•
∵AF平分∠CAB,∴CF=FG,AG=AC=3,BG=2,
•
设CF=FG=x,∵AC=3,AB=5,∴BC=4,则BF=4-x.
3
考点一：直角三角形性质的运用
• 直角三角形的判定： • (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； • (2)有两个内角 互余 的三角形是直角三角形； • (3)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为 直角 三角
•
∵BD=AD,DG=DC,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC.
•
∵AD⊥BC于D,E,F分别是BG,AC的中点,
•
∴DE=12BG,DF=12AC,∴DE=DF.
•
∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SSS),∴∠BDE=∠ADF,
•
∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,∴DE⊥DF.
考点三：勾股定理与拼图
• 【练】四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，
围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 2EF，则正方形 ABCD的面积为( )
•
A. 12S
B. 10S
C. 9S
D. 8S
39
解析：
• 【解析】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2＋b2.
•
∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,
•
如图,过点F作FG⊥AB于G,
•
∵AF平分∠CAB,∴CF=FG,AG=AC=3,BG=2,
•
设CF=FG=x,∵AC=3,AB=5,∴BC=4,则BF=4-x.
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忽略三角形三边关系的条件 三条线段能够组成三角形，必须满足：任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边．在解答此类问题时，容易 忽略三边是否满足组成三角形的条件．
1．(2018·江苏宿迁中考)若实数m，n满足等式|m－2|＋
n 4＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则 △ABC的周长是( B )
3．(2017·山东滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为
BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )
A．40°
B．36°
C．80°
D．25°
4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中 ∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等 于 _2_1_0_°__.
)
A．145° B．150°
C．155° D．160°
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外 角等于与它不相邻的两个内角的和，即可解决问题． 【自主解答】在△ABC中， ∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∴6x＝180°，∴x＝30°. ∵∠BAD＝∠B＋∠C＝5x＝150°.故选B.
若BC＝10 cm，则DE＝___5_cm.
6．(2017·江苏淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若 AB＝8，则EF＝__2__.
考点四 三角形的重心 例4(2017·江苏泰州中考)三角形的重心是( ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
考点三 三角形的中位线 例3(2017·湖北宜昌中考)如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找
出它们的中点D，E，连结DE.现测得AC＝30 m，BC＝40 m， DE＝24 m，则AB＝( )
A．50 m
B．48 m
C．45 m
D．35 m
【分析】根据中位线定理可得AB＝2DE＝48 m.
即4 m＜AB＜28 m．故选D
没有意识到构成三角形的条件
判断能否构成三角形时，牢记：三角形任意两边之 和大于第三边，任意两边之差小于第三边
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，I 是Rt△ABC的内心，连结CI，AI，则△CIA外接圆的半径为
(C)
易错易混点一 未分类讨论，导致答案漏解
例1 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm 和21 cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是多少厘米？
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答． 【自主解答】三角形的重心是三条中线的交点．故选A.
7．已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心， 那么GA的长度为____3__．
8．已知△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的中点，BD⊥CE
于点F，CE＝2，BD＝4，则△ABC的面积为( A )
【自主解答】∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1 AB.
2
∵DE＝24 m，∴AB＝2DE＝48 m．故选B.
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；等底 等高的三角形的面积相等；平行线间的距离处处相等．熟记 定理是解题的关键．
5. (2018·江苏南京中考)如图，在△ABC中，用直尺和圆规 作AB，AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，连结DE.
易错易混点二 忽略构成三角形的条件
例2 为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了
一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能
是( )
A．5 m
B．15 m
C．20 m
D．28 m
错解 正解 错因 警示
A
∵PA，PB，AB能构成三角形， ∴PA－PB＜AB＜PA＋PB，
考点一 三角形的三边关系
例1(2018·福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三
边边长的是( )
A．1，1，2
B．1，2，4
C．2，3，4
D．2，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边，即可求解． 【自主解答】选项A，1＋1＝2，不满足三边关系，故错误； 选项B，1＋2＜4，不满足三边关系，故错误； 选项C，2＋3＞4，满足三边关系，故正确； 选项D，2＋3＝5，不满足三边关系，故错误．故选C.
A. 16
3
C．4
B．8 D．6
考点五 三角形的内心与外心
例5(2018·河北中考)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC
＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部
分的周长为( )
A．4.5 B．4
C．3
D．2
【分析】连结AI，BI，因为三角形的内心是角平分线的交 点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边 求解． 【自主解答】如图，连结AI，BI.
∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI＝∠BAI. 由平移得AC∥DI， ∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI. 同理可得BE＝EI， ∴△DIE的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4， 即图中阴影部分的周长为4.故选B.
9．(2018·四川凉山州中考)如图，△ABC外接圆的圆心坐 标是 _(_4_，__6_)_．
A．12
B．10
C．8
D．6
2．(2017·甘肃庆阳中考)已知a，b，c是△ABC的三条边
长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D )
A．2a＋2b－2c
B．2a＋2b
C．2c
D．0
考点二 三角形的内角与外角
例2(2017·湖南株洲中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，
∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD＝(