不等关系与不等式-教学设计
不等关系与不等式教学设计
《不等关系与不等式》教学设计一、教学目标1．知识目标：通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式（组）表示不等关系；掌握不等式的基本性质，会利用作差法比较两数（式）大小。
2.过程与方法：根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。
感知不等关系和不等式之间的内在联系，并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。
让学生在获得数学基础知识的基础上，了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题，解决问题。
3. 情感、态度与价值观：让学生感受数学来源于生活，初步体会数学形成过程，逐步培养学生学习数学的良好品质。
二、教学重点与难点教学重点:用不等式（组）表示实际问题的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.并会利用作差法比较两数（式）大小.教学难点: 用不等式（组）正确表示出不等关系以及作差法比较大小变形方法的掌握。
三、教授类型：新授课四、教学过程（1）创设情境在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.例如大小、长短、轻重、高矮,又如在数学上两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等。
设计意图：让学生感受不等关系无处不在，认识学习不等式的重要性，引入课题：不等关系与不等式（2）探究新知探究一、用不等式来表示不等关系1、不等式定义师：用来表示相等关系的式子叫做等式,那类比等式的定义,什么叫不等式呢？答：用来表示不等关系的式子叫做不等式；常用<>,或≠≤≥,,等不等号来表示不等关系.2、师生互动例1：这两个交通标志牌大家见过吗？表示什么意义？如何用不等式表示？答：分别表示速度不超过40和不低于50；不等式表示为：V ≤40，V ≥50变式训练：1.a 与b 的和是非负数；2.某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高 4.5m ”设计意图：亲身体会不等式的实际背景,正确地用不等式表示这些不等关系 例2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教案标题：不等关系与不等式教案教案目标：1. 理解不等关系的概念，并能够正确运用不等关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）。
2. 掌握解不等式的方法，包括图像法和代数法。
3. 能够在实际问题中运用不等关系和不等式解决数学问题。
教学资源：1. 教材：包含不等关系和不等式的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪：用于展示教学内容和解题步骤。
3. 练习题：用于巩固学生对不等关系和不等式的理解和运用能力。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾等关系的概念，例如“大于”和“小于”。
2. 提出问题：“在数学中，我们还可以比较两个数的大小，但不一定是相等的关系，你知道这个叫什么吗？”引导学生理解不等关系的概念。
概念讲解（10分钟）：1. 解释不等关系的符号表示，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 通过示例和图示，帮助学生理解不等关系符号的含义和使用方法。
解不等式的方法（15分钟）：1. 图像法：通过绘制数轴和标记关键点的方式，帮助学生直观地理解不等式的解集。
演示解不等式的图像法步骤，并让学生跟随进行练习。
2. 代数法：通过运用数学运算规则和性质，将不等式转化为等价的形式，从而求解不等式。
演示解不等式的代数法步骤，并让学生进行练习。
练习与巩固（20分钟）：1. 给学生分发练习题，包括不等关系的填空题和不等式的求解题。
确保题目涵盖不同难度和类型，以满足不同学生的需求。
2. 引导学生独立或合作完成练习题，并及时给予指导和反馈。
3. 随堂检查学生的练习情况，并解答他们可能遇到的问题。
拓展应用（10分钟）：1. 提出一些实际问题，要求学生利用不等关系和不等式进行求解。
例如：“某超市举行促销活动，商品原价的80%作为折扣，你能计算出打折后的价格吗？”2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为数学不等式，并运用所学知识解决问题。
总结与反思（5分钟）：1. 总结不等关系和不等式的概念和解题方法。
不等关系与不等式教学设计
《不等关系与不等式》教案【教学目标】1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。
通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。
通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度【重点难点】重点：比较实数大小的方法．难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；2.比较实数大小方法的实际应用【教学方法】体验法、合作讨论法【教学过程】(一)创设情境泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。
合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）（学生思考演算并请学生回答结果）由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？若设人数为n ，记采用方案A 的费用为)(n f ，采用方案B 的费用为)(n g ，则36144)(+=n n f ，n n g 150)(=接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(<⇒>-⇔>n n g n f n g n f 60)()()()(=⇒=-⇔=n n g n f n g n f 60)()()()(>⇒<-⇔<n n g n f n g n f 所以 当62<<n 时，选择方案B;当 6=n 时，选择两种方案都一样； 当 6>n 时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系4任意两个实数具有怎样的关系用逻辑用语怎样表达这个关系活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC| 实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，--b 应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2 ;a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2] ∴a4-b4 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y ∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的证明二【基础训练】1.若，，则下列不等始终正确的是()2.设a，b为实数，且，则的最小值是()4.求证：对任何式数x，y，z，下述三个不等式不可能同时成立。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。
不等关系与不等式教学设计与教学反思
不等关系与不等式教学设计与教学反思不等关系与不等式教学设计与教学反思一、教学目标1、通过具体情境，感受在现实世界与日常生活中存在着大量的数量关系；了解不等式（组）的实际背景，了解不等式的一些基本性质。
2、从具体事例出发，通过列不等式，训练学生的分析判断和逻辑推理能力，给出不等式的性质，并对一些性质给予证明。
3、通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切关系以及对人类历史发展的作用，激发学生学习数学的兴趣与信心。
二、教学方法从一些具体事例出发，通过列不等式引入不等关系，进而给出不等式的性质及其应用。
三、教学重难点重点：不等式的性质难点：不等式性质的应用四、课时安排1课时五、教学过程1、导入新课现实世界和日常生活中既有相等关系又有大量的不等关系。
我们知道的两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等。
人们还经常用长与短、大与小、轻与重等描述某种客观事物在数量或质量上存在的不等关系。
2、讲授新课问题1：某天的天气预报报道，最高气温15℃，最低气温7℃。
问题2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是40v。
问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5℅，蛋白质的含量p应不少于2.3℅，写成不等式组就是2.5%2.3%fp问题4：如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个正方形和圆。
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为：2()4l。
所围成的圆的面积可以表示为：2()2l。
(1)如果要使正方形的面积不小于225cm，那么绳长l应满足怎样的条件？2()254l(2)如果要使圆面积不小于2100cm，则绳长l应满足怎样的条件？2()1002l【设计意图：由生活中的不等关系到数学中的不等关系，然后抽象出不等式概念，便于学生理解】不等式的概念根据等式的一些基本性质可以研究等式，那我们要根据不等式研究不等关系，就需要对不等式的性质有必要的了解。
教学设计2：2.1 第1课时 不等关系与不等式
2.1第1课时不等关系与不等式1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的大小比较3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．初试身手1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40 D．T≥40【答案】C【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m【答案】A【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．【答案】4.5t <28 000【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M ，N 的大小关系为________．【答案】M ＞N【解析】M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N .【例1】 ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2，v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.规律方法在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.跟踪训练1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎫15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎫15－x 2， 依题意有S ≥216，即x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.【例2】 [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.规律方法作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．[解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0，∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2. 类型3 不等关系的实际应用【例3】 其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．规律方法解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．跟踪训练3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．课堂小结1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.当堂检测1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()[提示](1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．【答案】(1)√(2)√(3)×2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0【答案】C3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．【答案】>【解析】因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。
不等关系与不等式教学设计
不等关系与不等式教学设计教学目标：1.理解不等关系与不等式的概念及其应用；2.能够正确表示不等关系和不等式；3.能够解决与不等关系和不等式相关的问题。
教学内容：1.不等关系的概念及表示方法；2.不等式的定义及其解的概念；3.不等式的性质和解决方法。
教学过程：Step 1：导入和概念解释（15分钟）1.教师通过举例子引出学生对不等关系的概念，如：1<2、3≥2等；2.教师解释不等关系的含义，即不相等关系；3.教师讨论学生对不等关系的表示方法的理解，引出不等式的概念。
Step 2：不等关系与不等式（30分钟）1.教师介绍不等式的定义，即一个用不等号连接两个数的算式，如：a≠b；2.教师对不等式的符号以及含义进行解释，如：>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于；3.教师引导学生通过实例学习如何表示不等式，比如：x+1>5，3x-2≤10等；4.教师通过例题展示如何解决不等式，如：2x+3>9，通过移项和化简求出x的解；5.教师让学生通过练习巩固不等式的表示和解决方法。
Step 3：不等式的性质（25分钟）1.教师介绍一元一次不等式的基本性质，如：同加同减不等式两边仍不等，同乘同除不等式两边仍不等等；2.教师通过实例演示不等式性质的应用，如：化简不等式求解；3.教师探讨学生对不等式性质的应用情况，以及在解决实际问题中的意义；4.教师通过练习巩固学生对不等式性质的理解和应用。
Step 4：综合应用与拓展（30分钟）1.教师通过一些应用题目，让学生将所学的不等关系和不等式的知识应用到实际问题中，如：长度、面积等问题；2.教师扩展不等式的应用领域，如：不等式在数学建模、优化问题中的应用；3.教师以小组讨论的形式，让学生针对一个具体实际问题运用不等式解决，并展示解决过程和结果。
Step 5：归纳总结（10分钟）1.教师引导学生对本节课学习的内容进行总结，包括不等关系、不等式的概念和表示方法，不等式的性质和解决方法；2.教师鼓励学生提出遇到的问题和疑惑，进行答疑解惑。
教学设计1：不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式【教学目标】1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3.情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【重、难点】1. 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
2. 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v≤40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示{f ≤2.5%p ≥2.3%问题1：设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点，则d ≤|AB|。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8−x−2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8−x−2.50.1×0.2)x ≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
《不等式与不等关系》教案
《不等关系与不等式》教学设计一教学目标1．掌握比较两个实数大小的方法．2．掌握不等式的八条性质，并能进行简单应用．二教学重难点重点：1.作差法比较两个实数（式）的大小.2.不等式的八条性质的理解和应用.难点：不等式性质的理解和应用.三教学过程（1）复习引入师：在上节课的学习中，我们知道生活中存在着大量的不等关系，怎样用数学语言表示这些不等关系呢？生：用不等式表示.师：本节课我们就具体来学习不等关系与不等式。
（板书课题）（2）课堂探究探究一实数（式）比较大小在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b>0，那么；如果a－b<0，那么；如果a－b=0，那么 .该结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 师：从这种等价关系来看，要比较两个实数a，b的大小，可以由它们的差与0的大小关系来决定，即作差法。
例1 试比较 (x+1)(x+5) 与23（+的大小.x）解由于 (x+1)(x+5)−2)3x(+=)9+xx+x-x6(6+)5(2+=-4<0所以 (x+1)(x+5)<23（+.x）师：请你总结作差法比较实数大小的方法。
生：作差变形判断符号得出结论。
师：在变形时，常用的方法有：配方法，因式分解、分子有理化等，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．练习设a=2x−x,b=x−2,则a与b的大小关系为( ).A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关生：自主思考，由一名学生黑板展示并讲解。
探究二不等式的基本性质师：初中我们学过哪些不等式的性质？生：性质1(对称性) 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.性质3(可加性) 如果a>b，则a+c>b+c.性质4(可乘性) 如果a>b，c>0，则a c>bc；如果a>b，c<0，则a c<bc.师：思考：用“>”或“<”填空（1）如果a>b,c>d,则a+c b+d（2）如果a>b>0,c>d>0,则a c bd(3) 如果a>b>0,则2a2b(4) 如果a>b>0,.生：独立思考后小组交流，由一个小组回答并证明.师：这样我们就讲不等式的性质又拓展出以下四条：1. （同向可加性）如果a >b ，c>d ，则a +c>b+d ；2. （同向同正可乘性）如果a >b>0，c>d>0，则a c>bd ；3. （可乘方性）如果a >b>0，则n n b a >，(n ∈+N )；4. （可开方性）如果a>b>0，则n n b a >，(n ∈+N , n ≥2).例2 若0>>b a ，0<<d c ，则下列结论正确的是（ ）A. 0>-b d c aB.0<-b d c aC.c b d a >D.c b d a <生：思考后，由一名学生回答。
不等关系与不等式 教案
3.1不等关系与不等式教学目标知识与技能通过具体情境，感受在现实和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
过程与方法根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。
感知不等关系和不等式之间的内在联系，并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。
让学生在获得数学基础知识的基础上，了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题，解决问题。
情感、态度与价值观让学生感受数学来源于生活，初步体会数学形成过程，逐步培养学生学习数学的良好品质重点与难点重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
难点用不等式（组）正确表示出不等关系。
一：课题导入教学内容：举出生活中和以前不等关系的例子。
提出问题：在日常生活中，我们经常遇到不等关系的问题，你能举出不等关系的例子吗？引导：以前学过相等关系表示，那么如何表示不等关系呢？设计意图：通过让学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分讨论。
使学生感受到现实世界中存在大量不等关系，引起学生探求新知识的欲望。
二：讲授新课提问题：表示不等关系的符号有哪些？举例子：在数学中我们不等式表示不等关系。
例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段时，应使汽车的速度v不超过40km/h，谢忱不等式就是V≤40某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪含量f 应不少于2.5%蛋白质含量p 应不少于2.3%写成不等式组就是{f ≤2.5%且p ≥2.3%}设计意图：通过引例以及自例的处理过程，培养学生的问题意识与探究意识。
三、应用举例问题1 设点A 与平面a 的距离d,平面a 上任一点，则d ≤│AB │问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入扔不低于20万元呢？问题3铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种。
高三数学不等关系与不等式教案
高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。
2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。
三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。
2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。
3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。
四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。
五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。
六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等关系与不等式（第一课时）
一、教学任务分析
1、感受不等关系的普遍存在
通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。
2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系
通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。
3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。
二、教学重点和难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
三、教学基本流程
四、教学情景设计
1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。
介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。
设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。
2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。
师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。
问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？
生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。
师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。
设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。
3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。
师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。
学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。
完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。
师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。
设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。
小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。
展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。
师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。
激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。
4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。
生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。
师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。
若结果大于0，则前者大于后者；若……。
设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。
5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。
生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。
师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。
点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式：
①化成非负或非正式子的和②因式相乘（除），强调变形中配方法、因式分解的方法。
并引导学生总结作差法步骤并板书。
设计意图：让学生动手练习具体题目，掌握作差法比较代数式大小的方法和步骤，特别注意变形的结果及用到的方法。
6、课堂小结：学生反思学到了什么知识、方法？
几生发言补充，教师总结。
⑴不等关系在现实世界和日常生活中普遍存在，可以用不等式（组）来表示；
⑵通过具体情景，建立不等式模型，体会了不等式（组）刻画不等关系的意义和价值；
⑶比较两实数和代数式大小的方法——作差法．
7、作业：1、课本习题3.1A组2、3；B组1；
2、预习课本不等式的性质
五、板书设计
五、教学评价及反思
1、教学过程基本符合教学设计的预设，基本完成预设目标。
2、学生对于与实际结合紧密的实例表现积极感兴趣，特别是身边具体某超市的例子，今后
教学中还要注意多结合学生熟悉的身边的一些例子。
3、时间安排上还需进一步斟酌，合理安排预习要求和课堂每一环节的要求。
小结由于时间
原因未能让学生自己总结，不便于学生对于课堂学习情况的反思。
4、作差法练习中学生在变形中问题多，还需要进一步巩固。
5、数学来源于生活，应用于生活，需要在教学中长期渗透。
6、 .
7、
8、。