奥数六年级千份讲义第8讲——比例行程问题

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学

“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着

“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析

2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，

；；来表示，大体可分为以下两种情况：知识点拨

1、

能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；

第8讲

比例行程问题

教学目标

得到s s t v v 甲

乙乙甲，s v s v 甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，

2个物体所

用的时间之比等于他们速度的反比。s v t s v t 甲

甲甲乙

乙乙，这里因为路程相同，即s s s 乙甲，由s v t s v t 乙乙乙甲甲甲，得s v t v t 乙乙甲甲，v t v t 甲

乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的

反比。

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公

式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图

和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

例题精讲

模块一、时间相同速度比等于路程比

例题4 4

例题3

3

例题2

2

例题1

1

甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A 、 B 两地相距多少千米？B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。(“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D 处相遇，且中点距C 、D 距离相等，问A 、B 两点相距多少米？甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，

乙离 A 地还有 10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？

、

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

例题9 9

例题8 8

例题7 7

例题6 6

例题5 5

早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离

还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走

上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？

甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，经过3小时，甲先到B 地，乙还需要

1小时

到达B 地，此时甲、乙共行了35千米．求A ，B 两地间的距离．在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行， 6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、

乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

14例题13

13例题12

12例题11

11例题10

10

小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下

坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，

那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路

程的

3

5

时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？

(2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，

然后以原速的3

4

前进，最终到达目的地晚 1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的3

4

前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．

王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结

果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提

高1/6，于是提前 1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速

行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶

了全部路程的几分之几？

例题14