复数高考题分类汇编
高考数学压轴专题专题备战高考《复数》真题汇编及答案
【高中数学】数学《复数》复习知识点一、选择题1．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】因为734ii ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i ii i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D. 2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因,故由题设, 故,故选D ．考点：复数的概念与运算.3．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】()12i z i +=22(1)112ii i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.4．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x -的最大值为（）A 3B 6C ．26+D ．26【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.5．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2 CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.6．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .10．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．11．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．12．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1 D．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444iie cos isincos isineππππππ+===+，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.15．设复数z a bi=+（i为虚数单位，,a b∈R），若,a b满足关系式2ab t=-，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )A．[0,1]B．[1,1]-C．(0,1)(1,)⋃+∞D．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xy t=-，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩，即2xy t=-，因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x=时，11t-<且10t-≠，解得0t>且1t≠，即t的取值范围是()()0,11,+∞U.故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.16．设复数4273izi-=-，则复数z的虚部为（）A．1729-B．1729C．129-D．129【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求解1712929z i=-，即可得到其虚部.【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.20．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题17 复数 (含答案解析)
十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编专题17复数1.(2019·全国1·文T1)设z=3-i1+2i ,则|z|= ( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1【答案】C 【解析】∵z=3-i1+2i , ∴z=(3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=15−75i,∴|z|=√(15)2+(-75)2=√2.故选C.2.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】D 【解析】z=2i 1+i=2i (1-i )(1+i )(1-i )=2+2i2=1+i.故选D.3.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z ·z =( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5【答案】D【解析】∵z=2+i,∴z =2-i. ∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D.4.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则z =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】D【解析】z=2i+i 2=-1+2i,则z =-1-2i.故选D.5.(2019·全国1·理T2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1 【答案】C【解析】设z=x+yi(x,y ∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=√x 2+(y -1)2=1, 则x2+(y-1)2=1.故选C.6.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由z=-3+2i,得z =-3-2i,则在复平面内z 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·全国1·理T1文T2)设z=1-i1+i +2i,则|z|=( ) A.0 B.12C.1D.√2【答案】C 【解析】因为z=(1-i )2(1+i )(1-i )+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.8.(2018·全国2·理T1)1+2i1-2i =( ) A.-45−35i B.-45+35iC.-35−45i D.-35+45i【答案】D 【解析】1+2i 1-2i=(1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=1-4+4i 5=-35+45i. 9.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2iC.-3-2iD.-3+2i【答案】D【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.10.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i【答案】D【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.11.(2018·北京·理T2文T2)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵11-i =1+i(1-i)(1+i)=1+i2=12+12i,∴12+12i的共轭复数为12−12i,而12−12i对应的点的坐标为(12,-12),点(12,-12)位于第四象限,故选D.12.(2018·浙江·4)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】B【解析】∵21-i =2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.13.(2017·全国1·理T3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 【答案】B【解析】p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.14.(2017·全国2·理T1)3+i1+i=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】D【解析】3+i1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选D.15.(2017·全国2·文T2)(1+i)(2+i)= ( )A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i【答案】B【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.16.(2017·山东·文T2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】(方法一)∵z=1+ii =1+1i=1-i,∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.17.(2017·全国3·理T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A.12B.√22C.√2D.2【答案】C【解析】由题意,得z=2i=1+i,故|z|=√12+12=√2.18.(2017·全国1·文T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【答案】C【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.19.(2017·山东·理T2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+√3i,z·z=4,则a=()A.1或-1B.√7或-√7C.-√3D.√3 【答案】A【解析】由z=a+√3i,得z ·z =|z|2=a 2+3=4,所以a 2=1,a=±1,选A. 20.(2017·全国3·文T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.21.(2017·北京·理T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞) 【答案】B【解析】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以{a +1<0,1-a >0,解得a<-1.故选B.22.(2016·全国2·理T1)已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ) A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3) 【答案】A【解析】要使复数z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足{m +3>0,m -1<0,解得-3<m<1,故选A.23.(2016·全国3·理T2)若z=1+2i,则zz -1=( ) A.1 B.-1C.iD.-I【答案】C【解析】由题意知z=1-2i,则zz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.24.(2016·北京·文T2)复数1+2i2-i=() A.i B.1+iC.-iD.1-I【答案】A【解析】1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i-25=i,故选A.25.(2016·全国1·理T2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=√2,故选B.26.(2016·全国1·文T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】A【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.27.(2016·全国2·文T2)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i【答案】C【解析】由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.28.(2016·全国3·文T2)若z=4+3i,则z|z|= ()A.1B.-1C.45+35i D.45−35i【答案】D【解析】因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=√42+32=5,共轭复数为z =4-3i.故z |z |=4−3i,选D.29.(2016·山东·理T1)若复数z 满足2z+z =3-2i,其中i 为虚数单位,则z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i【答案】B【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),则2z+z =3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 30.(2015·全国2·理T2)若a 为实数,且(2+ai)·(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解之,得a=0. 31.(2015·全国·文T3)已知复数z 满足(z-1)i=1+i,则z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i【答案】C【解析】∵(z-1)i=1+i, ∴z=1+ii +1=(1+i )(-i )-i 2+1=1-i+1=2-i.32.(2015·全国2·文T2)若a 为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=( )A.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.33.(2015·安徽·文T1)设i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i【答案】C【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C. 34.(2015·湖南·文T1)已知(1-i )2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】由已知得z=(1-i )21+i=-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i2=-1-i. 35.(2015·全国1·理T1)设复数z 满足1+z1-z =i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2【答案】A 【解析】∵1+z =i,∴z=i -1=(i -1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.36.(2015·湖北·理T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数．．．．为( ) A.i B.-i C.1 D.-1【答案】A【解析】∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.37.(2015·安徽·理T1)设i 是虚数单位,则复数2i1-i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】B【解析】由复数除法的运算法则可得,2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=2i -22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B. 38.(2014·全国2·理T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i【答案】A【解析】由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.39.(2014·重庆·理T1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】A【解析】因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A. 40.(2014·全国1·理T2)(1+i )3(1-i )2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-I【答案】D 【解析】(1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )-2i=-1-i.故选D.41.(2014·全国2·文T2)1+3i1-i =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】B 【解析】1+3i1-i=(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )=-2+4i2=-1+2i,故选B.42.(2014·全国1·文T3)设z=11+i +i,则|z|=( ) A.12B.√22C.√32D.2【答案】B 【解析】因为z=11+i +i=1-i (1+i )(1-i )+i=1-i 2+i=12+12i,所以|z|=|12+12i|=√(12)2+(12)2=√22,故选B.43.(2013·全国1·理T2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( ) A.-4 B.-45C.4D.45【答案】D【解析】∵(3-4i)z=|4+3i|, ∴z=53-4i =5(3+4i )(3-4i )(3+4i )=35+45i. 故z 的虚部为45,选D.44.(2013·全国2·文T2)|21+i |=( )A.2√2B.2C.√2D.1【答案】C 【解析】∵21+i =1-i,∴|21+i|=|1-i|=√2. 45.(2013·全国2·理T2)设复数z 满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i【答案】A【解析】z=2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-2+2i2=-1+i. 46.(2013·全国1·文T2)1+2i(1-i )2=()A.-1-12i B.-1+12i C.1+12i D.1-12i【答案】B 【解析】1+2i (1-i )2=1+2i-2i =(1+2i )i 2=-2+i 2=-1+12i.47.(2012·全国·理T3)下面是关于复数z=2-1+i 的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4【答案】C 【解析】z=2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,故|z|=√2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.48.(2012·全国·文T2)复数z=-3+i2+i的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】z=-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5+5i5=-1+i,故z 的共轭复数为-1-i.49.(2011·全国·文T2)复数5i1-2i =( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i【答案】C【解析】5i 1-2i =5i (1+2i )(1-2i )(1+2i )=-10+5i5=-2+i.50.(2010·全国·理T2)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,z 是z 的共轭复数,则z ·z =() A.1 B.1C.1D.2【答案】A【解析】∵z=√3+i (1-√3i )2=√3+i1-2√3i+3i 2 =√3+i -2-23i =√3+i √3i (-2-23i )(-2+23i )=-√34+i 4, ∴z =-√34−i 4.∴z ·z =(-√34-i 4)(-√34+i 4)=316+116=14.51.(2010·全国·文T3)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,则|z|等于( ) A.14 B.12 C.1 D.2【答案】B【解析】z=√3+i 1+3i 2-23i =-√3+i 2+2√3i =-12×2√3-2i 4=i -√34,|z|=14×2=12.52.(2018·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i = .【答案】4-i【解析】6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.53.(2019·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,则|5-i 1+i |的值为___________.【答案】√13【解析】5-i 1+i =(5-i )(1-i )2=4-6i2=2-3i.|5-i 1+i |=√4+9=√13.54.(2019·江苏·T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是____ .【答案】2【解析】∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.55.(2018·上海·5)已知复数z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= .【答案】5【解析】因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|,即√2|z|=5√2,解得|z|=5.56.(2017·浙江·12)已知a,b ∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则a2+b2=_____,ab=________.【答案】5 2【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2. 57.(2017·江苏·T 2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .【答案】√10【解析】由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10,答案为√10.58.(2017·天津·理T9文T9)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a -i 为实数,则a 的值为 .【答案】-2【解析】∵a -i 2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2. 59.(2016·江苏·T 2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .【答案】5【解析】因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z 的实部是5.60.(2016·天津·理T9)已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab 的值为 .【答案】2【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即a b =2.故答案为2. 61.(2016·北京·理T9)设a ∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .【答案】-1【解析】∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.62.(2015·天津·理T9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为. 【答案】-2【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.63.(2015·江苏·T 3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【答案】√5【解析】因为z2=3+4i,所以|z2|=√32+42=5,所以|z|=√5.64.(2015·重庆·理T11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3 ,则(a+bi)(a-bi)= .【答案】3【解析】因为复数a+bi的模为√3,所以2+b2=√3,即a2+b2=3.于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.。
复数—(2018-2022)高考真题汇编
复数—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共35题；共70分)1．（2分）（2022·浙江）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3【答案】B【解析】【解答】由题意得a+3i=bi−1，由复数相等定义，知a=−1，b=3.故答案为：B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i【答案】D【解析】【解答】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故答案为：D【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.3．（2分）（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则（）A．a=1，b=−1B．a=1，b=1C．a=−1，b=1D．a=−1，b=−1【答案】A【解析】【解答】易得(a+b)+2ai=2i，根据复数相等的充要条件可得a+b=0，2a=2，解得：a=1，b=−1．故选：A【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解.4．（2分）（2022·全国甲卷）若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【解答】解：由题意得， z =−1−√3i ，则zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4 则z zz−1=−1+√3i 3=−13+√33i .故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.5．（2分）（2022·全国甲卷）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2【答案】D【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|=√4+4=2√2 ． 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出.6．（2分）（2022·全国乙卷）已知 z =1−2i ，且 z +az̅+b =0 ，其中a ，b 为实数，则（ ）A ．a =1，b =−2B ．a =−1，b =2C ．a =1，b =2D ．a =−1，b =−2【答案】A【解析】【解答】易知 z̅=1+2i 所以 z +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i 由 z +az̅+b =0 ，得 {1+a +b =02a −2=0，即 {a =1b =−2 . 故选：A【分析】先求得 z̅ ，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可. 7．（2分）（2022·北京）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】【解答】由已知条件可知 z =3−4ii=−4−3i ，所以 |z|=√(−4)2+(−3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.8．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，z=1−1i=1−ii2=1+i，则z̅=1−i，则z+z̅=2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，z̅，再求z+z̅即可.9．（2分）（2021·新高考Ⅱ卷）复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【解答】解：2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，表示的点为(12，12)，位于第一象限.故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可10．（2分）（2021·北京）在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A．2+i B．2−i C．1−i D．1+i 【答案】D【解析】【解答】解：z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.11．（2分）（2021·浙江）已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】C【解析】【解答】因为(1+ai)i=3+i，所以1+ai=3+ii=3i−1i·i=1−3i利用复数相等的充分必要条件可得：a=−3.故答案为：C.【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
高考数学真题题型分类解析专题专题02 复数
一、复数的概念
（ ） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． 1 i
i2 = −1 k ∈ Z
i 4k = 1, i 4 k +1 = i, i 4k + 2 = −1, i 4k +3 = −i
（2）形如 a + bi(a, b∈ R) 的数叫复数，记作 a +bi∈C ．
高考数学真题题型分类解析 专题 02 复数
命题解读
考向
高考对复数的考查，重点是复数的运 共轭复数、复数的除法运算
算、概念、复数的模、复数的几何意义 等，难度较低.
复数的乘法运算 复数的几何意义
复数的模
考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024 新高考Ⅰ卷，2 2022·新高考Ⅱ卷，2 2023 新高考Ⅱ卷，1 2024·新高考Ⅱ卷，1
综上所述，无论方程的判别式b2 −4ac 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程ax2 +bx + c = 0（ a 、b 、c∈ R 且a ≠ 0 ）的两个根与系数满足关系
， x1
+
x2
=
−
b a
x1 x2
=
c a
4 / 11
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数
=
(1− i)2
−2i
=
= −1− i .
−2i
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数 z 满足： z − i(2 + z) = 0 ，则 z = （ ）
． ． ． ． A −1− i B −1+ i C 1+ i D 1− i 【答案】B
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出． 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 ：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==． 故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ． 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。
复数十年高考题(带详细解析)
复 数●试题类编※1.设复数z 1=－1+i ，z 2=2321+i ，则arg 21z z 等于（ ） A.－125π B.125π C.127π D.1213π2.复数z =iim 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※3.如果θ∈（2π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ）A.θ＋49π B.θ＋4πC.θ4π-D.θ＋47π 4．复数（2321+i ）3的值是（ ） A. －i B.i C.－1 D.15.如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）※6.已知复数ｚ＝i 62+，则arg z 1是（ ）A.6πB.611πC.3π D.35π图12—1※7.设复数z 1＝－1－i 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转65π后得到向量2OZ ，令2OZ 对应的复数z 2的辐角主值为θ，则tan θ等于（ ）A.2－3B.－2＋3C.2＋3D.－2－3※8.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ ）A.23B.－23iC.3－3iD.3+3i※9.复数z ＝)5sin5(cos3ππi --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3［cos （5π-）＋i sin （5π-）］ B.3（cos5π＋i sin5π）C.3（cos54π＋i sin 54π）D.3（cos56π＋i sin 56π） 10.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 11.设复数z 1＝2sin θ＋i cos θ（4π＜θ＜2π)在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为z 2＝ r （cos ϕ＋i sin ϕ），则tan ϕ等于（ ）A.1tan 2tan 2-θθB.1tan 21tan 2+-θθC.1tan 21+θD.1tan 21-θ※12.复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ）A.i 2123±B.i 2123±-C.±i 2123+ D.±i 2123- 13.复数54)31()22(i i -+等于（ ） A.1+3i B.－1+3i C.1－3iD.－1－3i14.设复数z =－2321+i （i 为虚数单位），则满足等式z n =z 且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.6D.715.如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是（ ）A.1B.2C.2D.5二、填空题16.已知z 为复数，则z +z ＞2的一个充要条件是z 满足 .17.对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 ．18.若z ∈C ，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ．19.若复数z 满足方程z i =i －1（i 是虚数单位），则z =_____. 20.已知a =ii213+--（i 是虚数单位），那么a 4=_____.21.复数z 满足（1+2i ）z =4+3i ，那么z =_____. 三、解答题22.已知z 、w 为复数，（1＋3i ）z 为纯虚数，w ＝iz+2，且|w |＝52，求w ．23.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b z＝（a＋2z）2．24.已知z7＝1（z∈C且z≠1）.（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.※25.已知复数z1＝i（1－i）3.（Ⅰ）求arg z1及|z1|；（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.26.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n －1，n ∈N ｝． （Ⅰ）设α是方程x ＋21=x的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z ．27.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z n ，n ∈N ｝． （Ⅰ）设z 是方程x +x1=0的一个根，试用列举法表示集合M z ．若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）若集合M z 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．28.设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.29.已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为z·z，|ω|＝2|z|．实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.※30.设复数z ＝3cos θ＋i ·2sin θ.求函数y ＝θ－arg z （0＜θ＜2）的最大值以及对应的θ值.※31.已知方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实数根b ，且z =a +bi ，求复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围.※32.设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－i cosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.※33.已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.※34.已知向量OZ 所表示的复数z 满足（z －2）i =1+i ，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转4π得1OZ ，设1OZ 所表示的复数为z ′，求复数z ′+2i 的辐角主值.※35.已知复数z =2321+i ，w =2222+i ，求复数zw +zw 3的模及辐角主值.36.已知复数z =2321+i ，ω=2222+i .复数z ω，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别是P 、Q .证明：△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）.37.设虚数z 1，z 2满足z 12=z 2.（1）若z 1、z 2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z 1、z 2； ※（2）若z 1=1+mi （m ＞0，i 为虚数单位），ω=z 2－2，ω的辐角主值为θ，求θ的取值范围.38.设z 是虚数，w =z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （Ⅰ）求|z |的值及z 的实部的取值范围； （Ⅱ）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数； （Ⅲ）求w －u 2的最小值.39.已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且z 1+z 2=2321+i .求z 1、z 2的值.※40.设复数z=cosθ+i sinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.※41.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.※42.已知z =1+i ，（Ⅰ）设w =z 2+3z －4，求w 的三角形式.（Ⅱ）如果122+-++z z bax z =1－i ，求实数a ，b 的值.43.设w 为复数，它的辐角主值为43π，且ωω4)(2-为实数，求复数w .答案解析1.答案：B解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z 1、z 2的辐角主值.arg z 1=43π，arg z 2=3π.所以argπππ12534321=-=z z ∈［0，2π）， ∴arg12521=z z π. 解析二：因为i i i i i z z )2123()2123()2321)(1(2321121++-=-+-=++-=. 在复平面的对应点在第一象限.故选B评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z =51)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-0104m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）＝2（cos4π＋i sin4π）（cos θ＋i sin θ）＝2［cos （θ＋4π）＋i sin （θ＋4π）］∵θ∈（2π，π） ∴θ＋4π∈（43π，45π） ∴该复数的辐角主值是θ＋4π．4.答案：C解法一：（2321+i ）3＝（cos60°＋i sin60°）3＝cos180°＋i sin180°＝－1 解法二：i i 2321,2321+-=-=+ωω， ∴1)()()2321(333-=-=-=+ωωi 5.答案：D 6.答案：D 解法一：35arg 21arg ),3sin 3(cos 22)2321(22ππππ=-=+=+=z z i i z 解法二：)31(2i z +=∴22311iz -=∴z 1,0223,0221<->应在第四象限，tan θ＝3-，θ＝arg z 1． ∴argz 1是35π． 7.答案：C 解析：∵arg z 1＝45π，arg z 2＝125π ∴tan θ＝tan125π＝tan75°＝tan （45°＋30°）＝323333+=-+． 8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是i i i i i 32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(-=--=-+--ππ．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3ππi z--=对应点在第二象限，而选项A 、B 中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D 不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3ππi z --=直接化为复数的三角形式，即).54sin 54(cos 3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3ππππππππi i i z +=-+-=+-= 10.答案：D 解析：ππππ1223arg 47,47arg ,6arg 02121<⋅<=<<z z z z ． 11.答案：A解析：设z 1＝2sin θ＋i cos θ＝|z 1|（cos α＋i sin α）， 其中|z 1|＝||sin 2cos ,cos sin 4122z θαθθ=+， sin α＝||cos 1z θ（24πθπ<<）． ∴z 2＝|z 1|·［cos （α43π-）＋i sin （α43π-）］ ＝r （cos ϕ＋i sin ϕ）．∴tan ϕ＝1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos )43cos()43sin(cos sin -+=-+=-+=--=θθθθθθααααπαπαϕϕ12.答案：D 解法一：∵－i =cos23π+i sin 23π ∴－i 的三个立方根是cos 3223sin 3223ππππk i k +++（k =0，1，2）当k =0时，i i i =+=+2sin 2cos 323sin 323cos ππππ； 当k =1时，i i i 212367sin 67cos 3223sin 3223cos --=+=+++ππππππ；当k =2时，i i i 2123611sin 611cos 3423sin 3423cos-=+=+++ππππππ. 故选D.解法二：由复数开方的几何意义，i 与－i 的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为－21,排除A 、B 、C ，选D. 评述：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷.13.答案：B解法一：)4sin4(cos2222ππi i +=+，故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26，1－)3sin3(cos23ππi i -=，故35sin35cos 2)31(55ππi i +=-.于是i i i i i 31)2321(22)35sin 35(cos2)31()22(5654+=--=+-=-+ππ, 所以选B.解法二：原式=i i i i i 23212)2321()2(21)2321(2)1(1622554--=+--=+--+i i i314)31(4314+-=--=+-=∴应选B解法三：2+2i 的辐角主值是45°，则（2+2i ）4的辐角是180°；1－3i 的一个辐角是－60°，则（1－3i ）5的辐角是－300°，所以54)31()22(i i -+的一个辐角是480°，它在第二象限，从而排除A 、C 、D ，选B.评述：本题主要考查了复数的基本运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示作用，考查了考生观察问题、思考问题、分析问题的综合能力.14.答案：B 解析：z =－2321+i 是z 3=1的一个根，记z =ω，ω4=ω，故选B. 15.答案：A解析：设复数z 在复平面的对应点为z ，因为|z +i |+|z －i |=2，所以点Z 的集合是y 轴上以Z 1（0，－1）、Z 2（0，1）为端点的线段.|z +1+λ|表示线段Z 1Z 2上的点到点（－1，－1）的距离.此距离的最小值为点Z 1（0，－1）到点（－1，－1）的距离，其距离为1.评述：本题主要考查两复数之差的模的几何意义，即复平面上两点间的距离. 16.答案：Rez ＞1解析：设z =a +bi ，如果z +z ＞2，即2a ＞2∴a ＞1反之，如果a ＞1，则z +z =2a ＞2，故z +z ＞2的一个充要条件为Rez ＞1. 评述：本题主要考查复数的基本概念、基本运算及充要条件的判断方法. 17.答案：2π解析：设i y x z i y x zOP OP 221121,+=+=∵w 1⊙w 2＝0 ∴由定义x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2＝2π．18.答案：z ＝－3－i解析：∵（3＋z ）i ＝1 ∴3＋z ＝－i ∴z ＝－3－i 19.答案：1－i解析：∵z i =i －1，∴ii z 1-==（i －1）（－i ）=1+i∴z =1－i . 20.答案：－4 解析：a 4=［（i i 213+--）2］2=［5)21)(3(i i ---］4=（555i +-）4=（－1+i ）4=（－2i ）2=－421.答案：2+i 解析：由已知i ii i i i z-=-++=+-+=++=25)83(6441)21)(34(2134，故z =2+i .22.解法一：设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则（1＋3i ）z ＝a －3b ＋（3a ＋b ）i ． 由题意，得a ＝3b ≠0．∵|ω|＝25|2|=+iz， ∴|z |＝10522=+b a ． 将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±15． 故ω＝±ii++2515＝±（7－i ）． 解法二：由题意，设（1＋3i ）z ＝ki ，k ≠0且k ∈R ， 则ω＝)31)((i i k ki++．∵|ω|＝52，∴k ＝±50．故ω＝±（7－i ）． 23.解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝（a ＋2b ）＋（a －2b ）i ，（a ＋2z ）2＝（a ＋2）2－4＋4（a ＋2）i ＝（a 2＋4a ）＋4（a ＋2）i ， 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝（a ＋2z ）2得⎩⎨⎧+=-+=+).2(42,422a b a a a b a 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2．所以，所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2． 24.（Ⅰ）解法一：z ，z 2，z 3，…，z 7是一个等比数列.∴由等比数列求和公式可得：011171=--=--=--=zzz z z z z a q a a S n n ∴1＋z ＋z 2＋z 3＋…＋z 6＝0解法二：S ＝1＋z ＋z 2＋…＋z 6 ① zS ＝z ＋z 2＋z 3＋…+z 6＋z 7 ②∴①－②得（1－z ）S ＝1－z 7＝0 ∴S ＝z-10＝0 （Ⅱ）z 7＝1，z ＝cos α＋i sin α∴z 7＝cos7α＋i sin7α＝1，7α＝2k π z ＋z 2＋z 4＝－1－z 3－z 5－z 6＝－1－［cos （2k π－4α）＋i sin （2k π－4α）＋cos （2k π－2α）＋i sin （2k π－2α）＋cos （2k π－α）＋i sin （2k π－α）］＝－1－（cos4α－i sin4α＋cos2α－i sin2α＋cos α－i sin α） ∴2（cos α＋cos2α＋cos4α）＝－1，cos α＋cos2α＋cos4α＝－21 解法二：z 2·z 5＝1，z 2＝551-=z z同理z 3＝4-z ，z ＝6-z∴z ＋z 2＋z 4＝－1－4-z －2-z －z ∴z ＋z ＋2-z ＋z ＋4-z ＋z ＝－1 ∴cos2α＋cos α＋cos4α＝21-25.（Ⅰ）解：z 1＝i （1－i ）3＝i （－2i ）（1－i ）＝2（1－i ） ∴|z 1|＝222222=+，arg z 1＝22（cos 47π＋i sin 47π）∴arg z 1＝47π （Ⅱ）解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋i sin θ |z －z 1|＝|cos θ＋i sin θ－2＋2i | ＝)4sin(249)2(sin )2(cos 22πθθθ-+=++-当sin （θ4π-）＝1时|z －z 1|2取得最大值9＋42 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1解法二：|z |＝1可看成z 为半径为1，圆心为（0，0）的圆. 而z 1可看成在坐标系中的点（2，－2） ∴|z －z 1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z －z 1|max＝22＋126.（Ⅰ）解：∵α是方程x 2－2x ＋1＝0的根∴α1＝22（1＋i ）或α2＝22（1－i ） 图12—2当α1＝22（1＋i ）时，∵α12＝i ，α12n －1＝1121)(αααnn i = ∴)}1(22),1(22),1(22),1(22{}1,,1,{11111i i i i i i M -+---+=--=ααααα 当α2＝22（1－i ）时，∵α22＝－i ∴12}1,,1,{2222ααααααM i i M =--=∴M α＝)1(22),1(22),1(22),1(22{i i i i -+---+｝ （Ⅱ）证明：∵ω∈M z ，∴存在M ∈N ，使得ω＝z 2m －1于是对任意n ∈N ，ω2n －1＝z (2m －1)(2n －1)由于（2m －1）（2n －1）是正奇数，ω2n －1∈M z ，∴M ω⊆M z ． 27.解：（Ⅰ）∵z 是方程x 2＋1＝0的根， ∴z 1＝i 或z 2＝－i ，不论z 1＝i 或z 2＝－i ， M z ＝｛i ，i 2，i 3，i 4｝＝｛i ，－1，－i ，1｝ 于是P ＝31C 224=． （Ⅱ）取z ＝i 2321+-， 则z 2＝2321--i 及z 3＝1． 于是M z ＝｛z ，z 2，z 3｝或取z ＝2321--i ．（说明：只需写出一个正确答案）． 28.解：设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ）， ∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25， 而（3＋4i ）z ＝（3＋4i ）（x ＋yi ）＝（3x －4y ）＋（4x ＋3y ）i ，又∵（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，得y ＝7x ∴x ＝±22，y ＝±227 即z ＝±（22＋227i ）；2z ＝±（1＋7i ）．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即（1－m ）2＋72＝50， 得m =0，m =2. 当2z ＝－（1＋7i ）时，同理可得m ＝0，m ＝－2．29.解：（Ⅰ）由题设，|ω|＝|0z ·z |＝|z 0||z |＝2|z |， ∴|z 0|＝2，于是由1＋m 2＝4，且m ＞0，得m ＝3，因此由x ′＋y ′i ＝)31(i -·i y x y x yi x )3(3)(-++=+，得关系式⎪⎩⎪⎨⎧-='+='yx y y x x 33（Ⅱ）设点P （x ，y ）在直线y =x +1上，则其经变换后的点Q （x ′，y ′）满足⎪⎩⎪⎨⎧--='++='1)13(3)31(x y x x 消去x ，得y ′＝（2－3）x ′－23＋2，故点Q 的轨迹方程为y ＝（2－3）x －23＋2．（Ⅲ）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为y =kx +b （k ≠0）.解：∵该直线上的任一点P （x ，y ），其经变换后得到的点Q （x ＋3y ，3x －y ）仍在该直线上，∴3x －y ＝k （x ＋3y ）＋b ，即－（3k ＋1）y ＝（k －3）x ＋b ，当b ≠0时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在. 当b ＝0，由kk k 31)13(-=+-， 得3k 2＋2k 3-＝0，解得k ＝33或k ＝3-， 故这样的直线存在，其方程为y ＝33x 或y ＝3-x . 评述：本题考查了复数的有关概念，参数方程与普通方程的互化，变换与化归的思想方法，分类讨论的思想方法及待定系数法等.30.解：由0＜θ＜2π得tan θ＞0．由z ＝3cos θ＋i ·2sin θ，得0＜arg z ＜2π及tan （arg z ）＝32cos 3sin 2=θθtan θ故tan y ＝tan （θ－arg z ）＝θθθθθtan 2tan 31tan 321tan 32tan 2+=+-∵θtan 3＋2tan θ≥26 ∴θθtan 2tan 31+≤126 当且仅当θtan 3＝2tan θ（0＜θ＜2π）时， 即tan θ＝26时，上式取等号. 所以当θ＝arctan26时，函数tan y 取最大值126 由y ＝θ－arg z 得y ∈（2,2ππ-）．由于在（2,2ππ-）内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan126． 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.31.解：∵方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实根b ， ∴b 2＋（4＋i ）b ＋4＋ai ＝0， 得b 2＋4b ＋4＋（b ＋a ）i ＝0，即有⎩⎨⎧=+=++00442a b b b∴⎩⎨⎧-==,22b a得z =a +bi =2－2i ，∴i c c ci i ci z )22(22)1)(22()1(-++=-+=-． 当0≤c ≤1时，复数z （1－ci ）的实部大于0，虚部不小于0， ∴复数z （1－ci ）的辐角主值在［0，2π) 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝arctanc c 2222+-＝arctan （c+12－1），∵0＜c ≤1，∴0≤c+12－1＜1， 有0≤arctan （c +12－1）＜4π， ∴0≤arg ［z （1－ci ）］＜4π．当c ＞1时，复数z （1－ci ）的实部大于0，虚部小于0， ∴复数z （1－ci ）的辐角主值在（23π，2π） 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝2π＋arctan c c 2222+-＝2π＋arctan （c+12－1）．∵c ＞1，∴－1＜c+12－1＜0， 有4π-＜arctan （c +12－1）＜0，∴47π＜arg ［z （1－ci ）］＜2π． 综上所得复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围为［0，4π)∪（47π，2π）．评述：本题主要考查复数的基本概念和考生的运算能力，强调了考生思维的严谨性. 32.解：设z =a +bi （a ，b ∈R ），则z =a －bi ，代入4z +2z =33+i得4（a +bi ）+2（a －bi ）=33+i .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a .∴z =2123+i . |z －ω|=|2123+i －（sin θ－i cos θ）| =)6sin(22cos sin 32)cos 21()sin 23(2πθθθθθ--=+-=-+- ∵－1≤sin （θ－6π）≤1，∴0≤2－2sin （θ－6π）≤4.∴0≤|z －ω|≤2.评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.33.解：由（z 1－2）i =1+i 得z 1=ii+1+2=（1+i ）（－i ）+2=3－i ∵z 2的虚部为2.∴可设z 2=a +2i （a ∈R ） z 1·z 2=（3－i ）（a +2i ）=（3a +2）+（6－a ）i 为实数. ∴6－a =0，即a =6 因此z 2=6+2i ，|z 2|=1022622=+.34.解：由（z －2）i =1+i 得z =ii+1+2=3－i ∴z ′=z ［cos （－4π）+i sin （－4π）］=（3－i ）（2222-i ）=2－22iz ′+2i =2－2i =2（2222-i ）=2（cos 47π+i sin 47π） ∴arg （z 1+2i ）=47π评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一：zw +zw 3=zw （1+w 2）=（2321+i ）（2222+i ）（1+i ） =22（1+i ）2（2321+i ）=)2123(2)2321(222i i i +-=+⋅ )65sin 65(cos2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π. 解法二：w =2222+i =cos 4π+i sin 4πzw +zw 3=z （w +w 3）=z ［（cos4π+i sin4π）+（cos4π+i sin4π）3］=z ［（cos4π+i sin4π）+（cos43π+i sin 43π）］=z （i i 22222222+-+） =)2123(22)2321(i i i +-=⨯+)65sin 65(cos 2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π.评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力. 36.证法一：)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+于是z ω=cos12π+i sin 12π，ωz =cos （－12π）+i sin （－12π）.z 2ω3=［cos （－3π）+i sin （－3π）］×（cos43π+i sin 43π）=cos 125π+i sin 125π 因为OP 与OQ 的夹角为125π－（－12π）=2π.所以OP ⊥OQ又因为|OP |=|ωz |=1，|OQ |=|z 2ω3|=|z |2|ω|3=1 ∴|OP |=|OQ |.由此知△OPQ 为等腰直角三角形. 证法二：∵z =cos （－6π）+i sin （－6π）.∴z 3=－i 又ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+. ∴ω4=－1于是i z z z z z z z z ===2433232||ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，|OP |=|OQ |故△OPQ 为等腰直角三角形. 37.解：（1）因为z 1、z 2是一个实系数一元二次方程的两个根，所以z 1、z 2是共轭复数. 设z 1=a +bi （a ，b ∈R 且b ≠0），则z 2=a －bi于是（a +bi ）2=（a －bi ），于是⎩⎨⎧-==-bab a b a 222解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a∴i z i z i z i z 2321,23212321,23212121+-=--=--=+-=或（2）由z 1=1+mi （m ＞0），z 12=z 2得z 2=（1－m 2）+2mi∴ω=－（1+m 2）+2mi tan θ=－mm m m 12122+-=+由m ＞0，知m +m1≥2，于是－1≤tan θ≤0 又 －（m 2+1）＜0，2m ＞0，得43π≤θ＜π 因此所求θ的取值范围为［43π，π）. 38.解：（Ⅰ）设z =a +bi ，a 、b ∈R ，b ≠0 则w =a +bi +i ba bb b a a a bi a )()(12222+-+++=+ 因为w 是实数，b ≠0，所以a 2＋b 2=1，即|z |=1.于是w =2a ，－1＜w =2a ＜2，－21＜a ＜1， 所以z 的实部的取值范围是（－21，1）. （Ⅱ）i a bb a bi b a bi a bi a z z u 1)1(2111112222+=++---=++--=+-=. 因为a ∈（－21，1），b ≠0，所以u 为纯虚数. （Ⅲ）1212112)1(12)1(222222++-=+--=+-+=++=-a a a a a a a a a b a u w .3]11)1[(2-+++=a a . 因为a ∈（－21，1），所以a +1＞0， 故w －u 2≥2·211)1(+⋅+a a －3=4－3=1. 当a +1=11+a ，即a =0时，w －u 2取得最小值1. 39.解：由|z 1＋z 2|=1，得（z 1+z 2）（21z z +）=1，又|z 1|=|z 2|=1，故可得z 12z +1z z 2=－1，所以z 12z 的实部=1z z 2的实部=－21.又|1z z 2|=1，故1z z 2的虚部为±23， 1z z 2=－21±23i ，z 2=z 1)2321(i ±-. 于是z 1+z 1i i 2321)2321(+=±-， 所以z 1=1，z 2=i 2321+-或z 1=i 2321+-，z 2=1. 所以⎪⎩⎪⎨⎧+-==i z z 2321121，或⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1232121z i z 40.解法一：z 2+z =（cos θ+i sin θ）2+cos θ+i sin θ=cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ =2cos23θcos 2θ+i ·2sin 23θcos 2θ=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ）=－2cos2θ［cos （π+23θ）+i sin （π+23θ）］∵θ∈（π，2π），∴2θ∈（2π，π），∴－2cos2θ＞0 ∴复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角为2k π+π+23θ（k ∈Z ）解法二：z 2+z =z （1+z ）=（cos θ+i sin θ）（1+cos θ+i sin θ） =（cos θ+i sin θ）（2cos 22θ+i ·2sin 2θcos 2θ） =2cos2θ（cos θ+i sin θ）（cos 2θ+i sin 2θ）=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ）以下同解法一.41.解法一：如图12—3，设Z 1、Z 3对应的复数分别为z 1、z 3，则由复数乘除法的几何意义有z 1＝21z 2［cos （4π-）＋i sin （4π-）］＝i i i 213213)2222)(31(21-++=-+图12—3z 3＝i i i i z 231231)2222)(31(21)4sin 4(cos 212++-=++=+ππ．注：求出z 1后，z 3＝iz 1＝i 231231++- 解法二：设Z 1、Ｚ3对应的复数分别是z 1、z 3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得⎩⎨⎧=-=+213231iz z z z z z∴z 1＝21z 2（1－i ）＝21（1－3i ）（1－i ）＝213231-++i z 3＝z 2－z 1＝（1＋3i ）－（213231-++i ）＝231231++-i 评述：本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力.此题以复平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念、性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用.42.解：（Ⅰ）由z =1+i ，有w =（1+i ）2＋3（1－i ）－4=－1－i ，所以w 的三角形式是2（cos ππ45sin 45i +）（Ⅱ）由z =1+i ，有iia b a i i b i a i z z b az z )2()(1)1()1()1()1(12222+++=++-+++++=+-++ ＝（a ＋2）－（a ＋b ）i由题设条件知，（a +2）－（a +b ）i =1－i .根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+-=+1)(12b a a解得⎩⎨⎧=-=21b a所以实数a ，b 的值分别为－1，2.评述：本题考查了共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力. 43.解：因为w 为复数，arg w ＝π43，所以设w =r （cos π43＋i sin π43）， 则R,])4(4[22)4)(1(22)4)(2222(1]4)23sin 23(cos )[43sin 43(cos 14)(222222∈-++=-+=---=---=-i r r ri r i r i r i r i r i r w w ππππ，从而4－r 2＝0，得r =2. 因此w ＝2（cos )43sin 43ππi +＝－2＋2i ．。
2024年全国高考数学真题分类( 复数和平面向量)汇编(附答案)
2024年全国高考数学真题分类（复数和平面向量）汇编一、单选题 1．（2024ꞏ全国）若1i 1zz =+-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．（2024ꞏ全国）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024ꞏ全国）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．24．（2024ꞏ全国）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B ．2C ．2D ．15．（2024ꞏ全国）设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024ꞏ全国）设5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024ꞏ全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件8．（2024ꞏ北京）已知i 1iz=-，则z =（ ）． A ．1i -B ．i -C ．1i --D ．19．（2024ꞏ北京）已知向量a ，b ，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（ ）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024ꞏ天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-= ．11．（2024ꞏ天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．12．（2024ꞏ上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．13．（2024ꞏ上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ．参考答案1．C【详细分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【答案解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C. 2．D【详细分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【答案解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D. 3．C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案解析】若1i z =--，则z ==故选：C. 4．B【详细分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【答案解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而= b 故选：B. 5．D【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D 6．A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.8．C【详细分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【答案解析】由题意得()i i 11i z =-=--， 故选：C.9．A【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【答案解析】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【答案解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅= ， 因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【详细分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【答案解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =． 故答案为：15． 13．2【详细分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【答案解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232311bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。
高考文科数学试题分类汇编复数精品
2009－20年高考文科数学试题分类汇编——复数一、选择题1.（20年广东卷文）下列n的取值中，使＝1（i是虚数单位）的是（）（A）n＝2 （B）n＝3 （C）n＝4 （D）n＝52.（2009浙江卷文）设z＝1＋i（i是虚数单位），则＋z2＝（）（A）1＋i（B）－1＋i （C） 1－i （D）－1－i3.（2009山东卷文）复数等于（）（A）1＋2i（B）1－2i（C）2＋i（D）2－i4. （2009安徽卷文）i是虚数单位，i（1＋i）等于（）（A）1＋i （B）－1－i （C）1－i （D）－1＋i5.（2009天津卷文）i是虚数单位，＝（）（A）1＋2i （B）－1－2i （C）1－2i （D）－1＋2i6. （2009宁夏海南卷文）复数＝（）（A）1 （B）－1 （C）i （D）－i7. （2009辽宁卷文）已知复数z＝1－2i，则＝（）（A）＋i（B）－i（C）＋i（D）－i8.（2010湖南文数1）复数等于（）（A） 1＋i（B） 1－i （C）－1＋i （D）－1－i9.（2010浙江理数）对随意复数z＝x＋（x R，y R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）（A）－|＝2y（B）z2＝x2＋y2（C）－|≥2x（D）≤＋10．（2010全国卷2理数）复数（）2＝（）（A）－3－4i（B）－3＋4i（C）3－4i（D）3＋4i11.（2010陕西文数）复数z＝在复平面上对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限12.（2010辽宁理数（2））设a，b为实数，若复数＝1＋i，则（）（A）a＝，b＝（B）a＝3，b＝1（C）a＝，b＝（D）a＝1，b＝313.（2010江西理数）已知（x＋i）（1－i）＝y，则实数x，y分别为（）（A）x＝－1，y＝1 （B）x＝－1，y＝2（C）x＝1，y＝1 （D）x＝1，y＝214.（2010安徽文数（2））已知i2＝－1，则i（1－i）＝（）（A）－i（B）＋i （C）－－i （D）－＋i15.（2010浙江文数）设i为虚数单位，则＝（）（A）－2－3i （B）－2＋3i（C）2－3i （D）2＋3i16.（2010山东文数）已知＝b＋i（a，b R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1（B） 1 （C）2 （D） 317.（2010北京文数（2））在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为A，B，若C为线段的中点，则点C对应的复数是（）（A）4＋8i （B）8＋2i （C）2＋4i （D）4＋i18.（2010四川理数（1））i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）（A）－1 （B）1 （C）－i（D）i19.（2010天津文数）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋2i （B）2＋4i （C）－1－2i （D）2－i20.（2010天津理数）i 是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i （B）5＋5i （C）－5－5i （D）－1－i21.（2010广东理数）若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝（）（A）4＋2 i （B） 2＋ i （C） 2＋2 i （D）322.（2010福建文数）i是虚数单位，（）4等于（）（A）i （B）－i （C）1 （D）－123.（2010全国卷1理数（1））复数＝（）（A）i （B）－i（C）12－13i（D） 12＋13i24.（2010山东理）已知＝b＋i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1 （B）1 （C）2 （D）325.（2010安徽理数1）i是虚数单位，＋3i) ＝（）（A）－,12) I（B）＋,12) i（C）＋,6) i（D）－,6) i26. （20年北京理）复数＝（）（A）i （B）－i （C）－－i （D）－＋i27.（20年福建理）i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则（）（A）i S（B）i2S（C）i3S（D）S28.（2010湖北理数）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）（A）E（B）F（C）G（D）H29.（20年安徽理（1））设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）（A）2 （B）－2 （C）－（D）30.（20年福建文）i是虚数单位，1＋i3等于（）（A）i （B）－i （C）1＋i （D）1－i31.（20年广东理1）设复数z满意（1＋i）z＝2，其中i为虚数单位，则Z＝（）（A）1＋i （B）1－i （C）2＋2i （D）2－2i 32.（20年广东文1）设复数z满意＝1，其中i为虚数单位，则z＝（）（A）－i（B）i（C）－1（D）133.（20年湖北理1）i为虚数单位，则（）2011＝（）（A）－i（B）－1（C）i（D）134.（20年湖南理1）若a，b R，i为虚数单位，且（a＋i）i＝b＋i，则（）（A）a＝1，b＝1（B）a＝－1，b＝1（C）a＝－1，b＝－1（D）a＝1，b＝－135.（20年江西理1）设z＝i) ，则复数＝（）（A）－2－i（B）－2＋i（C）2－i（D）2＋i36.（20年江西文1）若（x－i）i＝y＋2i，x，y R，则复数x＋＝（）（A）－2＋i （B） 2＋i （C）1－2i（D）1＋2i37.（20年辽宁理1）a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝（）（A）2 （B）（C）（D）138.（20年辽宁文2）i为虚数单位，＋＋＋＝（）（A）0 （B）2i（C）－2i（D）4i39.（20年全国Ⅰ理（1））复数的共轭复数是（）（A）－i（B）i（C）－i（D）i40.（20年全国Ⅰ文（3））已知复数z＝＋i,(1－i)2) ，则＝（）（A）（B）（C）1 （D）241.（20年全国Ⅱ理（1））复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝（）（A）－2i（B）－i（C）i（D）2i42.（20年山东理）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限43.（20年四川理2）复数－i＋＝（）（A）－2i（B）i（C）0 （D）2i44.（20年天津理1）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i（B）5＋5i（C）－5－5i（D）－1－i45.（20年天津文1）i是虚数单位，复数（）（A）1＋2i（B）2＋4i（C）－1－2i（D）2－i46.（20年浙江文）若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则（1＋i）z＝（）（A）1＋3i（B）3＋3i（C）3－i（D）347.（20年重庆理（1））复数＝（）（A）－－i （B）－＋i （C）－i（D）＋i48.【2012安徽文1】复数z满意（z－i）i＝2＋i，则z＝（）（A）－1－i（B）1－I（C）－1＋3i（D）1－2i49.【2012新课标文2】复数z＝的共轭复数是（）（A）2＋i （B）2－i （C）－1＋i （D）－1－i50.【2012山东文1】若复数z满意z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则为（）（A）3＋5i （B）3－5i （C）－3＋5i（D）－3－5i51.【2012浙江文2】已知i是虚数单位，则＝（）（A）1－2i （B）2－i （C）2＋i （D）1＋2i52.【2012上海文】若1＋i是关于x的实系数方程x2＋＋c＝0的一个复数根，则（）（A）b＝2，c＝3（B）b＝2，c＝－1（C）b＝－2，c＝－1（D）b＝－2，c＝353.【2012辽宁文3】复数＝（）（A）－i （B）＋i（C）1－i（D）1＋i54.【2012江西文1】若复数z＝1＋i（i为虚数单位）是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为（）（A）0 （B）－1 （C）1 （D）－255.【2012湖南文2】复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）（A）－1－i （B）－1＋i （C）1－i （D）1＋i56.【2012广东文1】设i为虚数单位，则复数＝（）（A）－4－3i（B）－4＋3i（C）4＋3i（D）4－3i57.【2102福建文1】复数（2＋i）2等于（）（A）3＋4i （B）5＋4i （C）3＋2i （D）5＋2i58.【2102北京文2】在复平面内，复数对应的点的坐标为（）（A）（1 ，3）（B）（3，1）（C）（－1，3）（D）（3 ，－1）59.【2012天津文科1】i是虚数单位，复数i)＝（A）1－i （B）－1＋i（C）1＋i（D）－1－i60.（20年辽宁卷（文））复数的z＝i－1)模为（）（A）（B）,2)（C）（D）261．（20年课标Ⅱ卷（文））||＝（）（A）2（B）2 （C）（D）162．（20年北京卷（文））在复平面内，复数i（2－i）对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限63．（20年山东卷（文））复数z＝（i为虚数单位），则＝（）（A）25 （B）（C）5 （D）64．（20年课标Ⅰ卷（文））＝（）（A）－1－i （B）－1＋i（C）1＋i （D）1－i65.（20年福建卷）复数z＝－1－2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限66．（20年广东卷（文））若i（x＋）＝3＋4i，x，y R，则复数x＋的模是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）567.（20年江西卷）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限68．（20年四川卷（文））如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A （B）B（C）C（D）D69.（20年浙江卷（文））已知i是虚数单位，则（2＋i）（3＋i）＝（）（A）5－5i （B）7－5i （C）5＋5i （D）7＋5i70.（20年安徽）设i是虚数单位，若复数a－（a R）是纯虚数，则a的值为（）（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3二、填空题71.（2009江苏卷）若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数（z1－z2）i的实部为.72.（2009福建卷文）复数i2（1＋i）的实部是．73.（20年江苏3）设复数i满意i（z＋1）＝－3＋2i（i是虚数单位），则z 的实部是74.（20年浙江理2）已知复数z＝，其中i是虚数单位，则＝.75.【2012湖北文12】若＝a＋（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝.76.【2012江苏3】设a，b为实数，a＋＝（i为虚数单位），则a＋b的值为．77.【2012上海文1】计算：＝（i为虚数单位）78.（20年湖南）复数z＝i·（1＋i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于．79.（20年天津卷（文））i是虚数单位. 复数（3＋i）（1－2i）＝ .80.（20年重庆卷（文））已知复数z＝1＋2i （i是虚数单位），则＝.81.（20年上海卷（文科））设m R，m2＋m－2（m2－1）i，是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m＝.82.（20年湖北卷（文））i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝.三、解答题83.（20年上海理19）已知复数z1满意（z1－2）（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．。
复数高考题汇总含答案
2021——2021年各省市高考题汇总1．[2021·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A2．[2021·全国卷] 设z ＝10i 3＋i，那么z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i【答案】D3．[2021·安徽卷] 设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．假设z ＝1＋i ，那么z i＋i·z －＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2 D ．2i【答案】C4．[2021·北京卷] 复数⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2＝________． 【答案】-15．[2021·福建卷] 复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i【答案】C6．[2021·广东卷] 复数z 满足(3＋4i)z ＝25，那么z ＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】D7．[2021·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i【答案】A8．[2021·湖南卷] 满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【答案】B9．[2021·江西卷] z －是z 的共轭复数，假设z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，那么z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i【答案】D10．[2021·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，那么z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i【答案】A11．[2021·新课标全国卷Ⅰ] 〔1＋i 〕3〔1－i 〕2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】D12．[2021·山东卷] a ，b ∈R ，i 是虚数单位，假设a －i 与2＋b i 互为共轭复数，那么(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i【答案】D13．[2021·四川卷] 复数2－2i 1＋i＝________． 【答案】-2i14．[2021·天津卷] i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i 【答案】A1．[2021 全国卷1]假设a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-，那么a = 〔 〕A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B2.[2021 全国卷2]设复数z 满足1+z 1z-=i ，那么|z|=〔 〕 〔A 〕1 〔B〔C 〔D 〕2【答案】A3．[2021 ·北京卷]复数()i 2i -=〔 〕A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A4. [2021 ·山东卷]假设复数Z 满足1Z i i =-，其中i 为虚数为单位，那么Z=〔 〕〔A 〕1-i 〔B 〕1+i 〔C 〕-1-i 〔D 〕-1+i【答案】A5．[2021 ·广东卷]假设复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，那么z =〔 〕A ． 3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 【答案】D6. [2021 ·江苏卷]设复数z 满足234z i =+〔i 是虚数单位〕，那么z的模为_______.7、[2021 ·福建卷]假设集合{}234,,,A i i i i = 〔i 是虚数单位〕，{}1,1B =- ，那么A B 等于〔 〕A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ【答案】C8. [2021 ·四川卷]设i 是虚数单位，那么复数32i i-=〔 〕A.-iB.-3iC.i. 【答案】C9.[2021 ·湖北卷] i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为〔 〕 A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A10．[2021 ·天津卷] i 是虚数单位，假设复数()()12i a i -+ 是纯虚数，那么实数a 的值为【答案】-21、〔2021年北京高考〕设a R ∈，假设复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，那么a =_______________.【答案】1-.2、〔2021年山东高考〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z =〔A 〕1+2i〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B3、〔2021年上海高考〕设ii Z 23+=，期中i 为虚数单位，那么Im z =______________________【答案】-34、〔2021年天津高考〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1)(1)i bi a +-=，那么a b的值为_______.【答案】25、〔2021年全国I 高考〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +〔A 〕1 〔B〔C 〔D 〕2【答案】B6、〔2021年全国II 高考〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是〔 〕〔A 〕(31)-，〔B 〕(13)-，〔C 〕(1,)∞+〔D 〕(3)∞--，【答案】A7、〔2021年全国III 高考〕假设12z i =+，那么41i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i(D)-i【答案】C8、(2021江苏省高考)复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，那么z 的实部是________________【答案】5。
高考复数的知识题型总结归类
结总型高考复数的知识题一、复数的有关概念（1）复数1. 定义：形如a＋bi （a，b∈R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. （i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1）2. 表示方法：复数通常用字母z 表示，即z＝a＋bi （a，b∈R），叫做复数部，b 叫做复数z 的虚部.（注意b 是虚部而不是的代数形式，a 叫做复数z 的实bi ）（2）复数集1. 定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2. 表示：大写字母C.（3）复数的分类复数集、实的关系数集、虚数集、纯虚数集之间( 4 ) 复数相等的充要条件a＋bi ＝c＋di ? a＝c 且b＝da＋bi ＝0? a＝b＝0. （a,b,c,d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋b i （a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念是b，复数z=a+bi ( a、b∈R)可用点Z( a，b) 表示，坐标是a，纵点Z 的横坐标叫做叫做实轴，y轴系来表示复数的平面叫做复平面，x轴这个建立了直角坐标实轴上的点都表示实数虚轴数（1）实轴上的点都表示实上的点都表示纯虚数（2）虚轴数对为(0，0)（3）原点对应的有序实三、复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→平面向量→OZ四、复数的模复数z＝a＋b i （a，b∈R）对应的向量为O Z ，则O Z 的模叫做复数z 的模，记作| z| ，且大小.的模表示实数，可以比较大小的，但它们注意：两个虚数是不可以比较五、复数的运算设z1=a+bi ，z2=c +di ( a、b、c、d∈R)是任意两个复数，z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=( a+bi )+( c +di )=( a+c )+( b+d) i .z1 与z2 的减法运算律：z1- z2=( a+bi )-( c +di )=( a- c)+( b- d) i .z1 与z2 的乘法运算律：z1·z2= ( a+bi )( c +di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .z1 与z2 的除法运算律：z1÷z2 =( a+bi ) ÷( c +di )= （分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1. 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。
高考数学压轴专题《复数》难题汇编
一、复数选择题1．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数31iz i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =-D ．直线12y5．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．6．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -9．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上10．3（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．812．复数22(1)1i i-+=-（ ）A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i13．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．114．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1 BC D ．215．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =20．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >21．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z22．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为223．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限24．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 25．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数26．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --27．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=28．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D 解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D2．D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--，所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.3．B 【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案． 【详解】则，的虚部为 故选：B解析：B 【分析】化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案． 【详解】()311==11i iz i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1- 故选：B4．C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.5．B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.6．B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】 ，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得，其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.8．A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A9．A 【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，， 根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上， 故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上， 故选：A ．10．B 【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】 复数. 故选：B解析：B 【分析】首先3i i =-，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】133i ii +====. 故选：B11．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】 ，故 则 故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D12．C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；解： 故选：C解析：C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+12i i =+- 1i =-故选：C13．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 14．B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模． 【详解】 由题意，∴．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模． 【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．C 【分析】由复数除法求出，再由模计算． 【详解】 由已知， 所以． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算． 【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=． 故选：C ．二、多选题 16．AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD解析：AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.19．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.20．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.21．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 22．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围23．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.24．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 25．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.26．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.27．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
山东省各地市2024年高考数学(文科)最新试题分类大汇编24：复数-推理与证明
【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】1．已知i 是虚数单位,=-+i i21（ ）A ．i 5151+ B ．i 5351+C ．i 5153+D ．i 5353-【答案】B【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】13．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y = x 与双曲线y = x1的一个交点; 命题2：点(2,4)是直线y = 2x 与双曲线y = x8的一个交点; 命题3：点(3,9)是直线y = 3x 与双曲线y = x27的一个交点; … … .请视察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为： .【答案】),(2n n ） 是直线y=nx 与双曲线yn y 3=的一个交点【山东省济宁市鱼台二中2024届高三11月月考文】6．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -1【答案】D【山东省济宁市汶上一中2024届高三11月月考文】7、计算=+-i i13（ ）A 、i 21+B 、i 21-C 、i +2D 、 i -2【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】6.复数z 满意(12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数z =A.i 31+B. i 31-C. i +3D. i -3【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】16. )(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对随意x 、R ∈y 都有)()()(y x f y f x f +=，若))((,21*1N n n f a a n ∈==，则数列{}n a 的前n 项和n S 为A ．12121+-=n n SB ．1211+-=n n S C.n n S 211-= D ．n n S 2121-=【答案】C【山东省济宁市重点中学2024届高三上学期期中文】11. 若复数3(R,12a iz a i i+=∈-是虚数单位），且z 是纯虚数，则|2|a i +等于( )A ．5B ．210C ．25D ．40 【答案】B【山东省济宁一中2024届高三第三次定时检测文】2．复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【山东省莱州一中2024届高三其次次质量检测】对于连续函数)(x f 和)(x g ,函数|)()(|x g x f -在闭区间［b a ,］上的最大值为)(x f 与)(x g 在闭区间［b a ,］上的“肯定差”，记为b x a x g x f ≤≤∆)).(),((则322221331≤≤-+∆x x)x ,x (= 【答案】103【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】13．若复数312a ii-+（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】6【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】15.在一次演讲竞赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(18)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这8个数据中的平均数，则输出的2S 的值为_ ____【答案】15【山东省青州市2024届高三上学期期中文16．已知数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，则n a = 。
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复数高考真题分类汇编题型一 复数的概念及分类1．（2015·天津卷）i 是虚数单位，若复数))(21(i a i +-是纯虚数，则=a ．2．（2016·江苏卷）复数)3)(21(i i z -+=，i 为虚数单位，则z 的实部是 ．3．（2016·上海卷）设ii z 23+=，其中i 为虚数单位，则其虚部为 ． 4．（2017·天津卷）已知R a ∈，i 为虚数单位，若i i a +-2为实数，则a 的值为 ． 5．（2017·全国卷）设有下面四个命题：:1p 若复数满足R z ∈1，则R z ∈； :2p 若复数满足R z ∈2，则R z ∈；:3p 若复数1z 、2z 满足R z z ∈21，则21z z =； :4p 若复数R z ∈，则R z ∈；其中真命题为（ ）A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 题型二 与共轭复数、复数相等有关的问题1．（2013·山东卷）复数满足5)2)(3(=--i z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）A ．i +2B ．i -2C ．i +5D ．i -52．（2013·安徽卷）设i 是虚数单位，若z i z z 22=+⋅，则=z （ ）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数i z 21+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数ii z +=12（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是_____ 6．（2013·天津卷）已知R b a ∈、，i 是虚数单位，若bi i i a =++)1)((，则=+bi a ．7．（2014·陕西卷）原命题为“若21,z z 互为共轭复数，则21z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真假真B ．假假真C ．真真假D ．假假假8．（2014·山东卷）已知R b a ∈、，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a （ ）A ．i 45-B ．i 45+C ． i 43-D ．i 43+9．（2014·江西卷）z 是z 的共轭复数．若2=+z z ，2)(=-i z z ，i 为虚数单位，则=z （ ）A ．i +1B ．i --1C ．i +-1D ． i -110．（2014·安徽卷）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z i iz （ ） A ．2- B ．i 2- C ．2 D ．i 211．（2014·全国卷）设i i z +=310，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 31+- B ．i 31-- C ．i 31+ D ．i 31-12．（2014·福建卷）复数i i z )23(-=的共轭复数为（ ）A ．i 32--B ．i 32+-C ．i 32-D ． i 32+13．（2015·广东卷）若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则=z （ ）A ．i 32-B ．i 32+C ．i 23+D ．i 23-14．（2015·湖北卷）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-15．（2015·全国卷Ⅱ）若a 为实数，且i i a ai 4)2)(2(-=-+，则=a （ ）A ．1-B ．0C ． 1D ． 216．（2015·山东卷）若复数满足i i z =-1，其中i 为虚数单位，则=z （ ） A ．i -1 B ．i +1 C ．i --1 D ．i +-117．（2016·山东卷）若复数满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则=z （ ）A ．i 21+B ．i 21-C ．i 21+-D ．i 21--18．（2016·天津卷）已知R b a ∈、，i 是虚数单位，若a bi i =-+)1)(1(，则ba 的值为______． 19．（2017·山东卷）已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=⋅z z ，则=a （ ）A ．1或1-B ．3或3-C ．3-D ．320．（2017·浙江卷）已知R b a ∈、，i bi a 43)(2+=+（i 是虚数单位），则=+22b a ______，=ab ________．题型三 复数的模1．（2013·辽宁卷）复数11-=i z 的模为（ ） A ．21 B ．22 C ．2 D ．22．（2013·江苏卷）设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为______．3．（2013·陕西卷）设21z z 、是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A ．若021=-z z ，则21z z =B ．若21z z =，则21z z =C ．若21z z =，则2211z z z z ⋅=⋅D ．若21z z =，则2221z z = 4．（2013·重庆卷）已知复数ii z 215+=（i 是虚数单位），则=z _____． 5．（2015·全国卷）设复数z 满足i zz =-+11，则=z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．26．（2015·江苏卷）设复数满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为_____．7．（2015·重庆卷）设复数bi a +（R b a ∈,）的模为3，则=-+))((bi a bi a ____．8．（2016·全国卷）设yi x i +=+1)1(，其中y x 、是实数，则=+yi x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．（2017·江苏卷）已知复数)21)(1(i i z ++=，曲终i 是虚数单位，则z 的模是______．10．（2017·全国卷Ⅲ）设复数z 满足i z i 2)1(=+，则=z （ ）A ．21B ．22C ．2D ．2题型四 复数的四则运算1．（2013·全国卷）设复数满足i z i 2)1(=-，则=z （ ）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．（2013·浙江卷）已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i （ ）A ．i +-3B ．i 31+-C ．i 33+-D ．i +-13．（2013·广东卷）若复数满足i z i 42+=⋅，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．)4,2(B ．)4,2(-C ．)2,4(-D ．)2,4(4．（2014·北京卷）复数=-+2)11(ii ______． 5．（2014·江苏卷）已知复数2)25(i z -=（i 为虚数单位），则z 的实部为____．6．（2014·四川卷）复数=+-ii 122______． 7．（2014·天津卷）i 是虚数单位，复数=++ii 437（ ） A ．i -1 B ．i +-1 C ．i 25312517+ D ．i 725717+- 8．（2014·全国卷）=-+23)1()1(i i （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --19．（2014·辽宁卷）设复数满足5)2)(2(=--i i z ，则=z （ ）A ．i 32+B ．i 32-C ．i 23+D ．i 23-10．（2014·湖北卷）i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i11．（2014·湖南卷）满足i z i z =+（i 是虚数单位）的复数=z （ ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i 2121+- D ．i 2121-- 12．（2014·广东卷）已知复数满足25)43(=+z i ，则=z （ ）A ．i 43+-B ．i 43--C ．i 43+D ．i 43-13．（2015·北京卷）复数=-)2(i i （ ）A ．i 21+B ．i 21-C ．i 21+-D ．i 21--14．（2015·福建卷）若集合{}432,,,i i i i A =（i 是虚数单位），{}1,1-=B ，则=B A （ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．Ø15．（2015·湖南卷）已知i zi +=-1)1(2（i 为虚数单位），则复数=z （ ）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --116．（2015·四川卷）设i 是虚数单位，则复数=-i i 23（ ） A ．i - B ．i 3- C ．iD ．i 3 17．（2016·全国卷Ⅲ）若i z 21+=，则=-14z z i （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -18．（2016·四川卷）设i 为虚数单位，则6)(i x +的展开式中含4x 的项为（ ）A ．415x -B ．415xC ．420ix -D ．420ix19．（2017全国卷Ⅱ）=++i i 13（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2题型五 复数的几何意义1．（2013·湖南卷）复数)1(i i z +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数i z 21+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数i i z +=12（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是_____5．（2014·全国卷Ⅱ）设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=21z z （ ）A ．5-B ．5C ．i +-4D ．i --46．（2014·重庆卷）在复平面内表示复数)21(i i -的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2015·安徽卷）设i 是虚数单位，则复数i i -12在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．（2016·北京卷）设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ________．9．（2017·北京卷）若复数))(1(i a i +-在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,(-∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1(+∞-。