线性代数教案(正式打印版)

第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。

同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把n D降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。

其中行列式mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211D=为按行列式的运算规则所得到的一个数；而nm⨯矩阵是nm⨯个数的整体,不对这些数作运算。

例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。

设nmijaA⨯=)(，n mijbB⨯=)(都是nm⨯矩阵，当则称矩阵A与B相等,记成BA=。

二、特殊形式n阶方阵：nn⨯矩阵行矩阵：n⨯1矩阵（以后又可叫做行向量），记为),,,(,21naaaAΛ=列矩阵：1⨯m矩阵（以后又可叫做列向量），记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mbbbBM21零矩阵：所有元素为0的矩阵,记为O对角阵：对角线元素为nλλλ,...,,21,其余元素为D的方阵，记为单位阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111OE三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量myyy,...,,21能用变量nxxx,...,,21线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222121212121111这里ija()njmi,,2,1;,,2,1ΛΛ==为常数。

这种从变量nxxx,...,,21到变量m y y y ,...,,21的变换称为线性变换。

线性变换由m 个n 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。

上式的系数可构成一个n m ⨯矩阵()()ij n m ij mn m m n n a a a a a a a a a a a A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211称之为线性变换的系数矩阵。

线性变换和系数矩阵是一一对应的。

如,直角坐标系的旋转变换（变量),(y x 到变量),(y x ''的变换）⎩⎨⎧+-=+=y x y y x x θθθθcos sin 'sin cos ' 的系数矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . 恒等变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mmx y x y x y M 2211 的系数矩阵为例. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111OE 同样，齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 与系数矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，也是一一对应的. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211也是一一对应的。

第二节 矩阵的运算一、加法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(,都是n m ⨯矩阵,则加法定义为第（6）次课授课时间（）。