概率论与数理统计课件：ch6-3 置信区间

Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
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引言 让我们能较大把握地 (其程度可用概率来度量之) 相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估 计显然更有实用价值.
本节将引入的另一类估计，即区间估计.在区间估计 理论中，被广泛接受的一种观点是置信区间， 它是由奈曼(Neymann)于1943年提出的.
抽样多次，得到样本 X1, X2 , Xn 的多个样本值 x1, x2 ,, xn , 对应每个样本值都确定了一个置信区
间 ( , ), 每个这样的区间要么包含了 的真值, 要么 不包含 的真值. 根据伯努利大数定理, 当所样次数 k充分大时，这些区间中包含 的真值的区间大约有
k(1 )个，不包含 的真值的区间大约有 k个.
使得
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 为 的1 双侧置信区间, 称
1 为置信度，又分别称 与 为 的双侧置信下
限与双侧置信上限.
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置信区间的概念
注: 1. 置信度1 的含义：在随机抽样中，若重复
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置信区间的概念
定义 设 为总体分布的未知参数，X1, X2 ,, Xn 是 取自总体 X 的一个样本，对给定的数1 (0 1),
若存在统计量
( X1, X2 ,Xn ), ( X1, X2,, Xn ),
P{1 U 2} 1 ,
通常可选取满足
P{U
1 }
P{U
2 }
2
的
1
与 2 , 在常用分布情况下，这可由分位数表查得；
（4） 对不等式 1 U 2作恒等变形化为
P{ } 1 ,
则 ( , ) 就是 的置信度为1 的置信区间.
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置信区间的概念
例如，若令1 0.95, 重复抽样100次，则 其中大约有95个区间包含 的真值, 大约有5个区间 不包含 的真值. 2. 置信区间( , ) 也是对未知参数 的一种估计,
解
即
P X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
u
/
n
X
n
u
/
2
1
.
这样, 就得到了 的一个置信水平为1 的置信区间
X
n
u
/
n
,
X
n
u
/
2
,
常写成
X
n
u
/
2
.
若取 0.05, 即 1 0.95, 及 1,n 16, 查
表得 u / 2 u0.025 1.96, 则得到一个置信水平为0.95 的置信区间 ( X 0.49).
第六章 参数估计
Chapter 6 Parameter Estimation
教学内容 Content
§6.1 点估计问题概述 §6.2 估计量的常用方法 §6.3 置信区间 §6.4 正态总体的置信区间
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一般准则是：在保证置信度的条件下尽可能提高估 计精度.
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寻求置信区间的方法
基本思想：在点估计的基础上, 构造合适的含样本
有待估参数 的函数U , 且U的分布已知, 并针对
给定的置信度导出置信区间. 一般步骤：
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例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
解 已知 X是 的无偏估计, 且
X
/
n
~
N
(0,1),
而N (0,1)不依赖于任何未知参数. 按标准正态分布
的双侧 分位数的定义, 有
P
X
/
n
u
/
2
1,
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例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2 为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自 X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
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例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2 为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自 X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
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引言 前面讨论了参数的点估计，它是用样本值算出的一 个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数 的一个近似值，它没有给出这个近似值的误差范围.
例如，在估计某湖泊中鱼的数量的问题中，若根据 一个实际样本，利用最大似然估计法估计出鱼的数 量为50000条，这种估计结果使用起来把握不大. 实 际上，鱼的数量的真值可能大于50000条，也可能小 于50000条，且可能偏差较大. 若能给一个估计区计，
区间的长度意味着误差，故区间估计与点估计是互 补的两种参数估计.
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置信区间的概念
3. 置信度与估计精度是一对矛盾, 置信度1 越 大, 置信区间 ( , ) 包含 的真值的概率就越大, 但 区间 ( , )的长度越长, 对未知叁数 的估计精度就 越差. 反之,对参数 的估计精度越高,置信区间( , ) 长度就越小，( , )包含 的真值的概率就越低,置信 度1 越小.
（1） 选取未知参数 的某个较优估计量 ;
（2）
围绕
构造一个依赖于样本与参数
的函数
U U( X1, X2 ,, Xn , ), 且 U的分布已知；
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寻求置信区间的方法
（3） 对给定的置信水平 1 , 确定 1与 2 , 使