概率论与数理统计课件：ch6-3 置信区间
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概率论与数理统计课件：ch6-4 正态总体的置信区间
已知体育、卫生、社会福利事业职工工资 X (单位:元)
代入计算得 的置信度为95%的置信区间为(75.05,
84.95), 即在 2 未知情况下, 估计每个旅游者的平
均消费额在75.05元至84.95元之间, 可靠度是95%.
注: 与例1相比, 在标准差 未知时, 用样本的标
准差 S 给出的置信区间偏差不太大.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
7
解 (2) 欲使 1, 即 2u / 2 / n 1,
必须 n (2u / 2 )2 , 于是, 当 1 90%时,
n (2 21.65)2 ,
即 n 44, 即 n 至少为44 时, 的90%置信区间的
长度不超过1.
(3) 当1 95%时, 类似可得 n 62.
注: ①由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则
1 的置信区间. 2 的无偏估计为 S 2 , 从第5章第
三节的定理2知,
n1
2
S2
~
2(n
1),
对给定的置信水平1 , 由
P
2 1
/ 2 (n
1)
n1
2
S2
2 / 2 (n
1)
1 ,
于是方差 2的 1 的置信区间为
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
6
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 未知, 2 4, X1,
, Xn为其样本. (1) 当 n 16时, 试求置信度分别为0.9及0.95的置信
区间的长度.
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
《数理统计》第6章§4正态总体的置信区间
02 针对不同分布类型，采用相应的修正方法来计算置信
区间。
其他非正态分布的影响
03
非正态分布可能导致置信区间的形状和范围与正态分
布不同，需要特别注意。
05
置信区间的应用实例
金融数据的置信区间分析
股票价格的预测
通过分析历史股票价格数据，利 用正态总体置信区间估计股票价 格的未来走势，为投资者提供参 考。
总体方差的置信区间
总结词
总体方差的置信区间是用来估计未知的总体 方差的一个区间范围，基于样本方差和自由 度。
详细描述
在正态分布的假设下，总体方差的置信区间 可以通过样本方差和自由度计算得出。具体 来说，对于给定的置信水平（如95%），我 们可以使用以下公式来计算总体方差的置信 区间：$left(frac{text{样本方差}}{text{自由 度}} pm text{统计量}right)^2$，其中统计量
许多自然现象的观测数据都服从或近似服从 正态分布，如人的身高、考试分数等。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布是重要的 理论基础。
参数估计
利用正态分布的性质进行参数的点估计和区 间估计，如均值和方差的估计。
线性回归分析
在回归分析中，正态分布用于解释因变量的 变异和建立预测模型。
02
置信区间的概念
流行病学研究
在流行病学研究中，利用置信区间分析疾病发病率 、患病率等指标，为制定公共卫生政策提供依据。
诊断试验评价
在评价诊断试验的性能时，使用置信区间分 析试验结果的准确性，为医生提供可靠的诊 断依据。
市场调查数据的置信区间分析
市场份额预测
通过对市场调查数据进行置信区间分析，预测产品在市场 中的份额和潜在增长空间。
区间。
其他非正态分布的影响
03
非正态分布可能导致置信区间的形状和范围与正态分
布不同，需要特别注意。
05
置信区间的应用实例
金融数据的置信区间分析
股票价格的预测
通过分析历史股票价格数据，利 用正态总体置信区间估计股票价 格的未来走势，为投资者提供参 考。
总体方差的置信区间
总结词
总体方差的置信区间是用来估计未知的总体 方差的一个区间范围，基于样本方差和自由 度。
详细描述
在正态分布的假设下，总体方差的置信区间 可以通过样本方差和自由度计算得出。具体 来说，对于给定的置信水平（如95%），我 们可以使用以下公式来计算总体方差的置信 区间：$left(frac{text{样本方差}}{text{自由 度}} pm text{统计量}right)^2$，其中统计量
许多自然现象的观测数据都服从或近似服从 正态分布，如人的身高、考试分数等。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布是重要的 理论基础。
参数估计
利用正态分布的性质进行参数的点估计和区 间估计，如均值和方差的估计。
线性回归分析
在回归分析中，正态分布用于解释因变量的 变异和建立预测模型。
02
置信区间的概念
流行病学研究
在流行病学研究中，利用置信区间分析疾病发病率 、患病率等指标，为制定公共卫生政策提供依据。
诊断试验评价
在评价诊断试验的性能时，使用置信区间分 析试验结果的准确性，为医生提供可靠的诊 断依据。
市场调查数据的置信区间分析
市场份额预测
通过对市场调查数据进行置信区间分析，预测产品在市场 中的份额和潜在增长空间。
6.3 置信区间6.4 正态总体的置信区间
2. σ2为未知:
X S/ n
~ t ( n 1)
Xμ 由 P t α 2 ( n 1) 1 α S n
可得到 μ的置信水平为 1- α的置信区间为
S S t α 2 ( n 1), X t α 2 ( n 1) . X n n
2.导弹接近敌机时引爆战斗部，依靠高速飞行的 弹片将其击毁
估计未知参数的范围比未知参数 的点估计更有应用价值.
为什么？ 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
1
三、置信区间的概念
也就是说, 我们希望确定一个区间, 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信度或 置信水平. 习惯上把置信水平记作1 , 这里 α是一个很小的正数. 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 通常可取 0.95 或 0.9 等.
则称区间 ( , ) 是 的置信水平(置信度 )为 1 的 双侧置信区间.
、 分别称为 的双侧置信下限和双侧置信上限.
例3 有一大批糖果, 现从中随机地取 16 袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求:总体均值 μ 的置信水平为 0.95 的置信区间. 解: 这里 1 α 0.95 , α 2 0.025, n 16, n 1 15, t0.025 (15) 2.1314. 1 16 1 16 x x i 503.75 , s ( x x )2 6.2022 . 16 i 1 15 i 1 i 于是得到 μ的置信水平为 0.95 的置信区间为 (500.4, 507.1).
置信区间PPT精选文档
9
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2
概率统计与随机过程课件83 置信区间-文档资料
n
相互独立 (1 ) X S X ~ T (n 1) (2 ) S n n
2
n
( n 1) S 2
2
与 X
课件
5
( II ) 两个正态总体 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体X ~ N ( 1 , 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( 2 , 22 ) 的一个简单随机样本 它们相互独立. m n 1 1 Y Yj 令 X Xi m j 1 n i1 n m 1 1 2 2 2 2 S1 ( X X ) S ( Y Y ) i 2 j n 1 i1 m 1 j 1
1 s ( x x) n 1
n 2 i 1 i
2
根据第七章定理四，统计量 x U
2
V
(n 1)
s ~ (n 1)
2 2
U与V独立
T
s/ n
V
~ t ( n 1)
( n 1)
请比较U与T
x U ~ N (0,1) / n
对给定的，查t分布表可得临界值
1
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6
2
0.06,
2
0.06 ,
n 14.75
n6
于是
x 1.96
x 1.96
n
15.15
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计
y1 , , yn来自 N (2 , )
相互独立 (1 ) X S X ~ T (n 1) (2 ) S n n
2
n
( n 1) S 2
2
与 X
课件
5
( II ) 两个正态总体 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体X ~ N ( 1 , 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( 2 , 22 ) 的一个简单随机样本 它们相互独立. m n 1 1 Y Yj 令 X Xi m j 1 n i1 n m 1 1 2 2 2 2 S1 ( X X ) S ( Y Y ) i 2 j n 1 i1 m 1 j 1
1 s ( x x) n 1
n 2 i 1 i
2
根据第七章定理四，统计量 x U
2
V
(n 1)
s ~ (n 1)
2 2
U与V独立
T
s/ n
V
~ t ( n 1)
( n 1)
请比较U与T
x U ~ N (0,1) / n
对给定的，查t分布表可得临界值
1
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6
2
0.06,
2
0.06 ,
n 14.75
n6
于是
x 1.96
x 1.96
n
15.15
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计
y1 , , yn来自 N (2 , )
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
6.3置信区间
94 94 , [1.8925 , 13.3314]. 19.0228 2.7004
标准差 的95%的置信区间是
[ 1.8925, 13.3314] [1.38, 3.65].
2 2 __ 2 __ 2
__
P{(n u ) p (2n X u ) p n( X ) 0} 1
2 2
记
a n u , b (2n X u ), c n( X )
2 2 2 2
__
__
2
则
b b 4ac b b 4ac p1 , p2 2a 2a 所以 p 的置信区间为 ( p1 , p2 )
U 为标准正态分布的双侧 其中： n为样本容量， 2 分位点，即
X P U 2 / n 1
, X U a X U 2 2 n n
例1、 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋，已 知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克，在 置信度为95%的要求下，计算置信区间。 解：计算平均误差： 6 0.6
ˆ , ˆ) 知参数 的可能取值范围，要求 落在区间 ( 1 2
的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小
1
2
(0 1, 常取5%或1%) 按概率 1 估 计总体参数 可能落入区间 ( ˆ , ˆ )的概率。1
的数
称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命 方差的单侧置信上限（ 0.05 ）.
解 X ~ N ( , ) , , 未知 n 5 , x 1160 ,
2 2
1 2 s ( xi 5 x ) 9950 . 4 i 1
标准差 的95%的置信区间是
[ 1.8925, 13.3314] [1.38, 3.65].
2 2 __ 2 __ 2
__
P{(n u ) p (2n X u ) p n( X ) 0} 1
2 2
记
a n u , b (2n X u ), c n( X )
2 2 2 2
__
__
2
则
b b 4ac b b 4ac p1 , p2 2a 2a 所以 p 的置信区间为 ( p1 , p2 )
U 为标准正态分布的双侧 其中： n为样本容量， 2 分位点，即
X P U 2 / n 1
, X U a X U 2 2 n n
例1、 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋，已 知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克，在 置信度为95%的要求下，计算置信区间。 解：计算平均误差： 6 0.6
ˆ , ˆ) 知参数 的可能取值范围，要求 落在区间 ( 1 2
的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小
1
2
(0 1, 常取5%或1%) 按概率 1 估 计总体参数 可能落入区间 ( ˆ , ˆ )的概率。1
的数
称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命 方差的单侧置信上限（ 0.05 ）.
解 X ~ N ( , ) , , 未知 n 5 , x 1160 ,
2 2
1 2 s ( xi 5 x ) 9950 . 4 i 1
概率论与数理统计第21讲
14
a
(4) 对不等式1U2作恒等变形后化为 P{ q q q }=1-a, (3.5) 则( q,q )就是q的置信度为1-a的双侧置 信区间.
15
三, (0-1)分布参数的置信区间 考虑(0-1)分布情形, 设其总体X的分布率 为 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p, (0<p<1), 现求p的置信度为1-a的置信区间. 已知(0-1)分布的均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p), 设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本, 当n充 分大时, 样本均值X可作为p的点估计, 且近似有 X~N(p, p(1-p)/n)
21
若存在统计量 q =q(X1,X2,…,Xn), 满足 P{q <q}=1-a. 则称(-,q)为q的置信度为1-a的单侧置 信区间, 称q为q的单侧置信上限.
22
例5 从一批灯泡中随机地抽取5只作寿命 试验, 其寿命如下(单位:h) 1050 1100 1120 1250 1280 已知这批灯泡寿命X~N(,2), 求平均寿 命的置信度为95%的单侧置信下限. 解 因为 X - T ~ t (n - 1) S/ n 对于给定置信度1-a, 有 X - P ta (n - 1) 1 - a S / n
5
③置信度与估计精度是一对矛盾. 置信度 1-a越大, 置信区间(q,q )包含q的概率就 越大, 但区间(q,q )的长度就越大, 对未 知参数q的估计精度就越差. 反之, 对参数 q的估计精度越高, 置信区间(q,q )长度 就越小, (q,q )包含q的真值的概率就越 低, 置信度1-a越小. 一般准则是: 在保证 置信度的条件下尽可能提高估计精度.
25
§6.5 正态总体的置信区间
a
(4) 对不等式1U2作恒等变形后化为 P{ q q q }=1-a, (3.5) 则( q,q )就是q的置信度为1-a的双侧置 信区间.
15
三, (0-1)分布参数的置信区间 考虑(0-1)分布情形, 设其总体X的分布率 为 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p, (0<p<1), 现求p的置信度为1-a的置信区间. 已知(0-1)分布的均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p), 设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本, 当n充 分大时, 样本均值X可作为p的点估计, 且近似有 X~N(p, p(1-p)/n)
21
若存在统计量 q =q(X1,X2,…,Xn), 满足 P{q <q}=1-a. 则称(-,q)为q的置信度为1-a的单侧置 信区间, 称q为q的单侧置信上限.
22
例5 从一批灯泡中随机地抽取5只作寿命 试验, 其寿命如下(单位:h) 1050 1100 1120 1250 1280 已知这批灯泡寿命X~N(,2), 求平均寿 命的置信度为95%的单侧置信下限. 解 因为 X - T ~ t (n - 1) S/ n 对于给定置信度1-a, 有 X - P ta (n - 1) 1 - a S / n
5
③置信度与估计精度是一对矛盾. 置信度 1-a越大, 置信区间(q,q )包含q的概率就 越大, 但区间(q,q )的长度就越大, 对未 知参数q的估计精度就越差. 反之, 对参数 q的估计精度越高, 置信区间(q,q )长度 就越小, (q,q )包含q的真值的概率就越 低, 置信度1-a越小. 一般准则是: 在保证 置信度的条件下尽可能提高估计精度.
25
§6.5 正态总体的置信区间
概率6-3
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点 在求置信区间时，要查表求分位点. 定义 设 0 < α < 1 , 对随机变量X，称满足 对随机变量 ，
P( X > xα ) = α ⇔P( X ≤ xα ) = 1 − α
的点 xα 为X的概率分布的上 α 分位点 的概率分布的上 分位点.
P(a < X < b) = 1 − α c P( X < b) − P( X < a) = 1 − α ⇓ P( X < b) = 1 − α , P( X < a) = α 2
(3) = 9.348 (3) = 0.216
对随机变量X， 设0<α<1, 对随机变量 ，称满足
P( X > xα ) = α
的点
xα 为X的概率分布的上α 分位数 的概率分布的上 分位数.
F分布的上 α 分 分布的上 位数 F (n , n2 ) α 1 自由度为n1,n2的 自由度为
α
分布、 分布、 分布的上侧 书末附有 χ分布、t 分布、F分布的上侧 分位数表，供使用. 分位数表，供使用 需要注意的事项在教 材上有说明. 材上有说明
σ
n
uα 2 ]
也可简记为
σ (X ± uα 2 ) n
从例1解题的过程， 从例 解题的过程，我们归纳出求置 解题的过程 信区间的一般步骤如下: 信区间的一般步骤如下 1. 明确问题 是求什么参数的置信区间 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 是多少? 置信水平 1−α 是多少 2. 寻找参数θ 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 θ 和估计量 的函数 和估计量T的函数 U(T,θ ),且其分布为已知 且其分布为已知. 且其分布为已知 称U(T, θ)为枢轴量 为枢轴量.
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
相关主题
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Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
11
例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2 为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自 X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
5
置信区间的概念
例如，若令1 0.95, 重复抽样100次，则 其中大约有95个区间包含 的真值, 大约有5个区间 不包含 的真值. 2. 置信区间( , ) 也是对未知参数 的一种估计,
解
即
P X
n
u
/
n
X
n
u
/
2
1
.
这样, 就得到了 的一个置信水平为1 的置
,
X
n
u
/
2
,
常写成
X
n
u
/
2
.
若取 0.05, 即 1 0.95, 及 1,n 16, 查
表得 u / 2 u0.025 1.96, 则得到一个置信水平为0.95 的置信区间 ( X 0.49).
抽样多次，得到样本 X1, X2 , Xn 的多个样本值 x1, x2 ,, xn , 对应每个样本值都确定了一个置信区
间 ( , ), 每个这样的区间要么包含了 的真值, 要么 不包含 的真值. 根据伯努利大数定理, 当所样次数 k充分大时，这些区间中包含 的真值的区间大约有
k(1 )个，不包含 的真值的区间大约有 k个.
区间的长度意味着误差，故区间估计与点估计是互 补的两种参数估计.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
6
置信区间的概念
3. 置信度与估计精度是一对矛盾, 置信度1 越 大, 置信区间 ( , ) 包含 的真值的概率就越大, 但 区间 ( , )的长度越长, 对未知叁数 的估计精度就 越差. 反之,对参数 的估计精度越高,置信区间( , ) 长度就越小，( , )包含 的真值的概率就越低,置信 度1 越小.
使得
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 为 的1 双侧置信区间, 称
1 为置信度，又分别称 与 为 的双侧置信下
限与双侧置信上限.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
4
置信区间的概念
注: 1. 置信度1 的含义：在随机抽样中，若重复
9
例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
解 已知 X是 的无偏估计, 且
X
/
n
~
N
(0,1),
而N (0,1)不依赖于任何未知参数. 按标准正态分布
的双侧 分位数的定义, 有
P
X
/
n
u
/
2
1,
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
10
例1 设总体 X ~ N ( , 2 ), 2 为已知, 为未知, 设 X1, X2 , Xn 是来自 X 的样本, 求 的置信水平为 1 的置信区间.
一般准则是：在保证置信度的条件下尽可能提高估 计精度.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
7
寻求置信区间的方法
基本思想：在点估计的基础上, 构造合适的含样本
有待估参数 的函数U , 且U的分布已知, 并针对
给定的置信度导出置信区间. 一般步骤：
1
引言 前面讨论了参数的点估计，它是用样本值算出的一 个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数 的一个近似值，它没有给出这个近似值的误差范围.
例如，在估计某湖泊中鱼的数量的问题中，若根据 一个实际样本，利用最大似然估计法估计出鱼的数 量为50000条，这种估计结果使用起来把握不大. 实 际上，鱼的数量的真值可能大于50000条，也可能小 于50000条，且可能偏差较大. 若能给一个估计区计，
第六章 参数估计
Chapter 6 Parameter Estimation
教学内容 Content
§6.1 点估计问题概述 §6.2 估计量的常用方法 §6.3 置信区间 §6.4 正态总体的置信区间
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
P{1 U 2} 1 ,
通常可选取满足
P{U
1 }
P{U
2 }
2
的
1
与 2 , 在常用分布情况下，这可由分位数表查得；
（4） 对不等式 1 U 2作恒等变形化为
P{ } 1 ,
则 ( , ) 就是 的置信度为1 的置信区间.
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
（1） 选取未知参数 的某个较优估计量 ;
（2）
围绕
构造一个依赖于样本与参数
的函数
U U( X1, X2 ,, Xn , ), 且 U的分布已知；
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
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寻求置信区间的方法
（3） 对给定的置信水平 1 , 确定 1与 2 , 使
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
3
置信区间的概念
定义 设 为总体分布的未知参数，X1, X2 ,, Xn 是 取自总体 X 的一个样本，对给定的数1 (0 1),
若存在统计量
( X1, X2 ,Xn ), ( X1, X2,, Xn ),
Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation
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引言 让我们能较大把握地 (其程度可用概率来度量之) 相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估 计显然更有实用价值.
本节将引入的另一类估计，即区间估计.在区间估计 理论中，被广泛接受的一种观点是置信区间， 它是由奈曼(Neymann)于1943年提出的.