知识讲解双曲线_基础

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知识讲解_双曲线的简单性质_基础

双曲线的简单性质【学习目标】 1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>．由c 2= a 2+b 2，可得b a =b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．||bMN x a =x →【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x ya b-=，则其渐近线方程为2222x ya b-=⇒0x ya b±=⇒by xa=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny±=，则可设双曲线方程为2222m x n yλ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x ya bλλ-=≠（0λ>，焦点在x轴上，λ<，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a ======>；（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e =，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．14-B．－4 C．4 D．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．3 2 -【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221 916x y-=；（2）221 916x y-=-．【解析】（1）双曲线221916x y-=-的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．（2）双曲线221916x y-=的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±；（2）双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为bx ya=±，即ay xb=±；（3）若双曲线的方程为2222x ym nλ-=（00m nλ>>、，，焦点在x轴上，0λ<，焦点在y轴上），则其渐近线方程为2222x ym n-=⇒0x ym n±=⇒ny xm=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）221 1636x y-=；（2）2228x y-=；（3）22272y x-=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3．根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y ±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪-=，解得24a =-，294b =-（舍去）综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴ 284λ=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+=C ．22131318136x y -=D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4．已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan 30AF c ==，22||2tan 30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距，求双曲线的方程．(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）2241273y x -=【变式2】等轴双曲线的离心率为_________【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <2【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=．即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m 【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点．【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程．【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x=-==（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx=+，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为(,)P x y，由22114y kxyx=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx---=（*）设方程（*）的解为12,x x，则22420(4)0k k∆=+->∴21680,||k k<<且12122225,44kx x x xk k+==---，∴121212221114(),()()124224kx x x y y y x xk k=+==+=++=--，22444kxkyk⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y-+=<-或0)y>．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x yB x y，弦中点为(,)P x y，则221122224444x yx y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y+-=+-，∴121212124()y y x xx x y y+-=+-，即41y xx y=-，即2240x y y-+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y=-=-；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y+-=的直线l被双曲线221205x y-=l的方程【答案】210y x=±。

双曲线【知识要点】双曲线的定义第...

双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是．题型三:双曲线的性质及应用例4、已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。

双曲线知识点

练习 1.求与椭圆49 + 24 = 1有公共交点，且离心率为 e=4的双曲线方程。
x2
y2
5
练习 2.求与椭圆的双曲线方程。
y2 x2 1 16 8 有共同焦点，渐近线方程为
x
3y 0
练习 3.点 M（x,y）与定点 F（5,0），的距离和它到定直线 l：的比是常数
5 4
x
b b 的夹角增大当e (1, )时， (0, ), 且e增大, 也增大 e增大时，渐近线与实轴 a a
e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大。（4）等轴双曲线的离心率 e=√2 （5）e= a
C
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
C2=a2+b2
在 a、b、c、e 四个参数中，知二可求二。
例 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
例 2.已知双曲线顶点间的距离为 16，离心率 e=4,焦点在 x 轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5
三.双曲线解题技巧 x2 y2 1.与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
设直线 l : y kx m(m 0) ，双曲线
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB | 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay2 by c 0(a 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 | AB | 1 焦点弦长：

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ）联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=；（2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=，解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

双曲线的基本知识点

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双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

双曲线及其性质基础。知识梳理

双曲线【考纲要求】1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握双曲线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长2a （21212F F a PF PF <=-）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：（1）双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；（2）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则此时的曲线是双曲线的靠2F 的一支；（3）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则此时的曲线是两条射线；（4）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程（1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；（2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+.要点诠释：（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准双曲线数形结合思想标准方程及简单性质双曲线的实际背景及定义方程；（2）在双曲线的两种标准方程中，都有222c a b =+；（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当2x 的系数为正时，焦点在x 轴上，双曲线的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当2y 的系数为正时，焦点在y 轴上，双曲线的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -. 考点三、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的简单几何性质（1）范围：{}x x a x a ≤-≥或，y R ∈；（2）焦点)0(，c ±，顶点(0)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ；（3）离心率是1ce a=>；（4）渐近线：x ab y ±=. 双曲线22221y x a b-=)0(>>b a 的简单几何性质（1）范围：{}y y a y a ≤-≥或，x R ∈；（2）焦点(0,)c ±，顶点(0,)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ；（3）离心率是1ce a=>；（4）渐近线：a y x b=±. 考点四、有关双曲线的渐近线的问题（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x 0=±b y a x ⇒x aby ±=（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）（4）特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y x =±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x .考点五、双曲线图像中线段的几何特征：双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的图像如图所示：（1）实轴长122A A a =，虚轴长2b ,焦距122F F c =，（2）离心率：2121122212112211PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>；（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来. 【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1. 求与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且过点(15,4)的双曲线的标准方程。

专题65：双曲线基础知识和典型例题(原卷版)

专题65：双曲线基础知识和典型例题（原卷版）一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称，越大，双曲线的开口越阔离心率渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②. 若，设。

③. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 ====题型一：求双曲线的解析式例1．求下列双曲线的标准方程.（1）与双曲线216x －24y ＝1有公共焦点，且过点22)的双曲线；（2）以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±2x为渐近线的双曲线.例2．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点()3,0，()6,3--；（2）焦点在y 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为()2,5-.题型二：求双曲线的轨迹例3．已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，动点M 满足||||||||MA MB MC MD ⋅=⋅，若||8AB =，||4CD =，求动点M 的轨迹方程．例4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.题型三：双曲线的最值问题例5．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.例6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值.题型四：直线与双曲线的位置关系例7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线2213y x -=的右顶点．⑴求抛物线C 的方程；⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线C 的切线，求切线方程．例8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，且过点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.题型五：弦长问题相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=例9．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB .例10直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213yx -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．题型六：双曲线焦点弦问题例11．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．(Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点，求线段AB 的长题型七：中点弦问题例12已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与椭圆2211814x y +=有共同的焦点，点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．题型八：双曲线面积问题例13．已知双曲线C 的焦点坐标为1F ，2(F ，实轴长为6．（1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．例14．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知12223e e =，1422F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．题型九：双曲线求参数例15．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.例16．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x y m m +=--表示双曲线. （1）若1a =，p 和q 均为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.题型十：双曲线的离心率例17．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.例18．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.题型十一：双曲线渐近线问题例19．已知双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,且离心率为54e =,求双曲线C的方程及其渐近线方程.例20．12F F 、为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线与点P 且1230PF F ∠=，求双曲线的渐近线方程．题型十一：双曲线定值问题例31．已知O 为坐标原点，F 是抛物线C ：24x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q .（1）是否存在过点F ，斜率为k 的直线l ，使得抛物线C 上存在两点关于直线l 对称？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.例22．已知双曲线方程为：22221x y a b-=，左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，其中222+=a b c ，其中a ，b ，c 为定值，且0a >，0b >，0c >，P 为双曲线上的一个动点．（1）设P 点的横坐标为0x ，用0x 来表示1PF 的值；（2）作12PF F ∆的内切Q ，且圆心坐标为(),Q m n ，求证：m 为定值；走进高考一、单选题1，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．322，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（） A ．1B ．2C ．4D ．83，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．23D ．4 4，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．22y x =± D ．32y x =± 5，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b -=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A ．5B ．3C ．2D ．26，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2337，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3）已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–1,)C ．(0,3)D ．(0,)9，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A ．33(,)33-B ．33(,)66-C ．2222(,)33-D ．2323(,)33- 10，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A ．5B ．2C ．3D ．211．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（）A ．B ．3C ．D ．12，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A 2B 3C ．2D 513，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A．324B．322C．22D．3214，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A．2B．2C．322D．2215，2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）已知F是双曲线C：2213yx-=的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为A．13B．12C．23D．3216，2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．17．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则A．2 B．C．D．1 18，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50︒D．1cos50︒19，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（）A ．32B ．52C ．72D ．92二、填空题20．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.21，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．22，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 23．（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．。

数学高二双曲线知识点

数学高二双曲线知识点在高中数学的学习中，双曲线是一个重要的知识点。

它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍高二数学中关于双曲线的一些基础概念和性质。

一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上两个定点F1和F2到平面上所有点P的距离之差的绝对值等于定值2a所确定的点的轨迹。

双曲线的方程可以表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1，其中a和b分别为正实数。

双曲线的几个重要性质如下：1. 双曲线有两个不相交的分支，分别称为左、右狭双曲线。

2. 双曲线的对称轴是y轴或x轴。

3. 双曲线的顶点为原点(0, 0)。

4. 双曲线的渐近线是通过两个焦点和顶点的直线。

二、双曲线的焦点和直径在双曲线上，焦点是与曲线定义密切相关的点。

对于左狭双曲线，焦点位于x轴的正半轴上；对于右狭双曲线，焦点位于x轴的负半轴上。

双曲线的直径是通过顶点，且在曲线上的最长的线段。

双曲线的直径长度为2a。

三、双曲线的离心率和通径离心率是描述双曲线形状的一个重要参数，它定义为焦距与直径之比的绝对值，即e = c/a，其中c为焦距，a为直径的一半。

双曲线的通径是垂直于对称轴且通过焦点的线段。

对于左狭双曲线，通径长度为2b；对于右狭双曲线，通径长度为-2b。

四、双曲线的图像和方程形式1. 左狭双曲线的方程形式为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。

图像在y轴两侧打开，曲线与对称轴的交点为顶点，曲线逐渐靠近渐近线。

2. 右狭双曲线的方程形式为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1。

图像在x轴两侧打开，曲线与对称轴的交点为顶点，曲线逐渐靠近渐近线。

五、双曲线在实际问题中的应用双曲线在物理、经济等领域有广泛的应用。

以下是一些实际问题中双曲线的应用案例：1. 空间科学中，双曲线被用来描述行星轨道、彗星轨道等天体运动。

2. 电子学中，双曲线被用来描述电场和磁场的分布与相互作用。

双曲线的基础知识点

双曲线的基础知识点双曲线是一种常见的曲线形式，它在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用，尤其是在解决椭圆积分、热传导方程、调制等方面。

在本文中，我们将讨论双曲线的一些基础知识点包括定义、性质、图像和相关方程。

一、双曲线的定义在平面直角坐标系中，如果一个点到两个定点F1和F2的距离之差等于一个常数2a，则这个点的轨迹为双曲线。

此时，F1和F2分别称为双曲线的两个焦点，a称为双曲线的半轴长。

双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b分别表示双曲线的半轴长。

二、双曲线的性质1. 对称性双曲线以x轴和y轴为对称轴。

2. 渐近线双曲线有两条与x轴和y轴平行的渐近线，分别为直线y = b/a和y = -b/a。

3. 离心率双曲线的离心率为$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

4. 参数方程双曲线的参数方程为：$x = a\cosh t$，$y = b\sinh t$，其中$\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$，$\sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$。

三、双曲线的图像双曲线的图像特征是左右开口或者上下开口，这取决于方程中$x^2$和$y^2$的系数符号。

当$x^2$的系数为负，$y^2$的系数为正时，双曲线上下开口。

反之，当$x^2$的系数为正，$y^2$的系数为负时，双曲线左右开口。

4. 图像的应用拱形状的喷泉水流线是一种双曲线，因为水流速度从中心放射状的较慢变为外围的快速，所以在各个地方所花费的时间是相等的，使得水流线呈现左右对称的双曲线形状。

5. 双曲线方程的应用在物理学中，通常使用的双曲线方程为：$y=A\sinh\frac{x}{\lambda}$。

其中，A和$\lambda$分别表示振幅和波长。

这个方程也被称为双曲正弦方程，它描述了在空间中一个无限长的有机会在两个平行面之间反射的波的形态。

知识讲解_双曲线及其标准方程_基础

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双曲线． 1F 2F 12F F 定点、叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 1F 2F 要点诠释：1．双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=，这可以借助于三角形中边的相1212PF PF F F -<关性质“两边之差小于第三边”来理解；2．若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 1212PF PF F F -<0>2F 若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 2112PF PF F F -<0>1F 若常数=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 1212PF PF F F -=若常数=，则动点轨迹不存在；1212PF PF F F ->若常数=，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．12=0PF PF -要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．（3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M F 2|=±2a }．∵ 12||||MF MF ==2a =±(4)化简将这个方程移项，得2a =±两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：①()()22222222ca x a y a c a --=-（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导）由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，即，所以． 22c a ，c a ，220c a -，令，222(0)c a b b -=，代入上式得：， 222222b x a y a b -=两边同除以，得：22a b 即，其中． 22221x y a b -=(0,0)a b >>222c a b =+这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．x 要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：，其中．22221y x a b -=(0,0)a b >>222c a b =+3．两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零1F 2F 且小于）的点的集合12F F 图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >>不同点焦点坐标， ()10F c ，()20F c ，，()10F c ，()20F c ，a 、b 、c 的关系222c a b =+相同点焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大）（a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大）（0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程，（焦点在x 轴） 22221x y a b +=，（焦点在y 轴） 22221y x a b +=其中a ＞b ＞0，（焦点在x 轴） 22221x y a b -=，（焦点在y 轴） 22221y x a b -=其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的统一形式 221x y m n+=（当时，表示椭圆；当时，表示双曲线）0,0,m n m n >>≠0mn <2．方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C可化为，即，221Ax By C C+=221x y C C A B+=所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线．当时，双曲线的焦点在x 轴上； 0,0C CA B ><当时，双曲线的焦点在y 轴上． 0,0C CA B<>要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；a b c ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．＝1(y >0)22197x y -=C ．或22197x y -=22179x y -=D ． (x >0)22197x y -=【答案】　D【解析】　由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：(x >0)22197x y -=【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不12||F F 存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】A例2．已知P 是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值2216436x y -=12,F F 1||17,PF =2||PF 【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线中，故．221164x y -=8,6,a b ==10c =由P 是双曲线上一点，得． 12||||||16PF PF -=∴或 2||1,PF =2||33,PF =又得2||2,PF c a ≥-=2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略这一条件，而得出错误的结论或 2||2,PF c a ≥-=2||1,PF =2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求的面221916x y -=12,F F P 12PF PF ⊥1 2 PF F ∆积．S 【答案】16【解析】中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．221916x y -=设，，由题意可知，11PF r =22PF r = 112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以，()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦因为是直角三角形，所以．1 2 PF F ∆111==162S r r 【变式2】过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为，另一焦点22221(0,0)x y a b a b-=>>1F AB m 2F ，求的周长．2ABF ∆【解析】∵，且，2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=11||||AF BF m +=∴ 2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴的周长为：．2ABF ∆22||||||42AF BFAB a m ++=+【变式3】已知点P (x ，y )，则动点P 的轨迹4=是（）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．；；； 22(1)142x y -=22(2)4936y x -=22(3)638x y -=；；．822(5)134x y +=22(6)1515x y +=-【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值．【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，=4，=2，=6，所以a =2，b，c． 2a 2b 222=c a b +（2）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=9，=4，=13．所以a =3，b =2，c．22194x y -=2a 2b 222=c a b +（3）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=，=，=4，所以a，b2214833x y -=2a 432b 83222=c a b +c =2．（4）能．该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则=9，所以b =3．． 222=b c a （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程．（7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线为标准方程的步骤为： 22Ax By C +=（1）常数化为1：两边同除以，将双曲线化为； C 221Ax By C C +=（2）分子上的系数化为1：22x y ，利用，将双曲线化为；1b a b a ⨯=221x y C C A B +=（3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为； 221x y C C A B =若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为． 221y x C C BA=【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．，0) B ．，0)C ．0) D ．0)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为，22=11y x ，∴a 2＝1，b 2＝，∴12c =故右焦点的坐标为0)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．【答案】 1±【解析】当k >0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k =1； 22118x y k k =22183a b c k k =====，当k <0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k ＝－22181x y k k=22813a b c k k =====，1．所以k 的值为．1±例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为；22114425x y -=当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为．22114425y x -=【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．12(5,0),(5,0)F F -（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点．(0,6)-(5,6)A -【答案】（1）；（2）．221169x y -=2211620y x -=【变式2】求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．221164x y -=2)【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为－=122a x 22by 由已知得，22220a b c +==又双曲线过点2)241b-=∴ 222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩故所求双曲线的方程为．221128x y -=解法二：依题意设双曲线方程为，221164x yk k-=-+将点代入，解得，2)221164x y k k -=-+4k =所以双曲线方程为．221128x y -=类型三：双曲线与椭圆例5．讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 221259x y k k+=--【思路点拨】观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于：221x y m n+=当时，方程表示椭圆；当时，方程表示双曲线． 0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩0mn <【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为． 221259x y k k -=--此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A2212736x y +=的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线(M >0，n>0)和椭圆(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两221x y m n -=221x y a b+=曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】　a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝①±|MF 1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7．已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足， ||||330413202000PA PB -=⨯=<又所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． ||||,PA PB >以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，得21320,22000a c ==660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是 221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记a 录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸340a =点P 到AB 中点M 的距离．【答案】米。

双曲线知识点总结

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义:在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。

其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）4.焦点三角形的面积2cot221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=±2aa ＞c ＞0， a 2－c 2=b 2（b ＞0）0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0），（a ＞b ＞0），（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）。

双曲线的基本知识点

双曲线的基本知识点
1、双曲线的定义：
一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。

2、双曲线的分支：
双曲线有两个分支。

当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。

3、双曲线的顶点：
双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。

4、双曲线的实轴：
两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。

5、双曲线的渐近线：
双曲线有两条渐近线。

渐近线和双曲线不相交。

渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。

6、应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。

7、双曲线的标准方程和几何性质：。

知识讲解_双曲线的简单性质_基础

双曲线的简单性质编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】 1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质 356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>．由c 2= a 2+b 2，可得b a =b a 决定双曲线的开口大小，b a越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．||bMN x a =x →【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒b y x a =±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a ======>；（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b-=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c∴实轴长26a=，虚轴长28b=，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e=，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．14-B．－4 C．4 D．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．3 2 -【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221 916x y-=；（2）221 916x y-=-．【解析】（1）双曲线221916x y-=-的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．（2）双曲线221916x y-=的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±；（2）双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为bx ya=±，即ay xb=±；（3）若双曲线的方程为2222x ym nλ-=（00m nλ>>、，，焦点在x轴上，0λ<，焦点在y轴上），则其渐近线方程为2222x ym n-=⇒0x ym n±=⇒ny xm=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）221 1636x y-=；（2）2228x y-=；（3）22272y x -=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3．根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y ±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪-=，解得24a =-，294b =-（舍去）综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴ 284λ=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+=C ．22131318136x y -=D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4．已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan 30AF c ==，22||2tan 30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距，求双曲线的方程．(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）2241273y x -=【变式2】等轴双曲线的离心率为_________【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <2【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=．即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m 【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点．【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程．【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-== （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k << 且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-，即41y x x y =-，即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=截得的弦长为3l 的方程【答案】210y x =±。

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b x 叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交
.
a
【高清课堂：双曲线的性质 356749 知识要点一、 3】
要点五：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
图形
焦点
性质
焦距范围对称性
方程
Ax
2
+By
2
=C
可化为
Ax 2
C
By 2
x2
C 1，即 C
A
y2 1， C B
所以只有 A 、 B 异号，方程表示双曲线。
CC
当
0,
0 时，双曲线的焦点在 x 轴上；
AB
C
当
0, C
0 时，双曲线的焦点在
y 轴上。
AB
要点诠释：
1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
3. 若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1 F2 ，则动点轨迹是以 F1、 F2 为端点
的两条射线（包括端点）；
4．若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，则动点轨迹不存在； 5．若常数 a 0 ，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
要点二：双曲线的标准方程
系数，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y 2项的系数是正的，那么焦点在 y
轴上。
4. 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在
哪一条坐标轴上。
要点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再
e 表示，记作 e
2c
c
；
2a a
由 c2=a2+b2，可得 b a
c2 a2 a2
( c )2 1 a
e2 1 ，所以 b 决定双曲线的开口大小， a
b 越大， e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度； a
③等轴双曲线 a b ，所以离心率 e 2 .
渐近线
我们把直线 y
做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 .
要点诠释：
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆；
②双曲线的焦点总在实轴上；
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 .
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用
②因为 c＞a＞ 0，所以双曲线的离心率 e c 1 ； a
要点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a（ a 大于 0 且 2a F1F2 ）
的动点 P 的轨迹叫作双曲线 .这两个定点 F1 、 F2 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的
焦距 . 要点诠释：
1. 双曲线的定义中，常数 2a 应当满足的约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，这可以
由条件确定方程中的参数 a 、 b 、 c 的值。其主要步骤是 “先定型，再定量 ”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
要点诠释：若定义中 “差的绝对值 ”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定
方程类型，再确定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论
2. 双曲线标准方程中， a、 b、 c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，
分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： c＞a，
c＞ b，且 c2=b 2+a2 。
3. 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
x2、 y2 的
借助于三角形中边的相关性质 “两边之差小于第三边 ”来理解；
2. 若去掉定义中的 “绝对值 ”，常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 （ a 0 ），
则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F2 的一支；若 PF2 PF1 2a F1F2 （ a 0 ），则动点
轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F1 的一支；
双曲线 x 2 a2
y2 b2
1 （ a＞ 0，b＞ 0）是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点
为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心
.
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点；
②双曲线
x2
2
y2 2 1 （ a＞ 0，b＞ 0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标
ab
分别为
A 1（ -a， 0）， A 2（ a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点；
③两个顶点间的线段 A 1A 2 叫作双曲线的实轴；设 B 1（ 0， -b），B2（0， b）为 y 轴上的两
个点，则线段 B 1B 2 叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为
|A1A 2|=2a， |B1B2|=2b。 a 叫
.
【高清课堂：双曲线的性质 356749 知识要点二】要点四：双曲线的简单几何性质
x2 y2 双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0，b＞ 0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线点的横坐标满足 x≤-a 或 x≥a.
对称性
x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上
F1( c,0) ， F2 (c,0)
2
2
| F1F2 | 2c (c a b )
{ x x a或x a} ， y R
F1 (0, c) a b )
{ y y a或y a} ， x R
【学习目标】
双曲线
编稿：李霞
责编：张林娟
1. 掌握双曲线的定义和标准方程；
2. 能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题
.
3. 理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质
.
4. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程 .
5. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题
.
【要点梳理】
双曲线的标准方程：
x2 1. 当焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程： a 2
y2 b2
1 (a
0, b 0) ，其中 c2
a2 b2 ；
y2 2. 当焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程： a2
x2 b2
1 (a
0,b
0) ，其中 c2
a 2 b2 .
方程
Ax
2
+By
2
=C
（
A
、
B
、
C
均不为零）表示双曲线的条件