知识讲解_双曲线及其标准方程_基础
双曲线及其标准方程(重要知识)
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx, y
O
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） F1c, 0
F2 c, 0 X
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
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1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
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【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|重大点辅于导 0 0<2a<2c
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【思考1】如何理解双曲线的定义？
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4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
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分类讨论
高中数学知识点精讲精析 双曲线及其标准方程
3.1双曲线及其标准方程1.双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F1和F2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。
两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）2.双曲线的第二定义(1)文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率。
(2)集合语言定义:设 双曲线上有一动点M,定点F,点M 到定直线距离为d,这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F 要在定直线外 且 比值大于1.(3)标准方程设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M 到定直线l:x=a^2/c 的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线标准方程为:1． 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？【解析】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得： 121==-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分2． 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．3． 在周长为48的直角三角形MPN中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．【解析】∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．。
知识讲解_双曲线的简单性质_基础
双曲线的简单性质【学习目标】 1． 知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3． 情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>． 由c 2= a 2+b 2，可得b a =b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．||bMN x a =x →【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x ya b-=，则其渐近线方程为2222x ya b-=⇒0x ya b±=⇒by xa=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny±=，则可设双曲线方程为2222m x n yλ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x ya bλλ-=≠（0λ>，焦点在x轴上，λ<，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a ======>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e =，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．14-B．－4 C．4 D．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．3 2 -【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221 916x y-=；（2）221 916x y-=-．【解析】（1）双曲线221916x y-=-的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．（2）双曲线221916x y-=的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±；（2）双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为bx ya=±，即ay xb=±；（3）若双曲线的方程为2222x ym nλ-=（00m nλ>>、，，焦点在x轴上，0λ<，焦点在y轴上），则其渐近线方程为2222x ym n-=⇒0x ym n±=⇒ny xm=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）221 1636x y-=；（2）2228x y-=；（3）22272y x-=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y ±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】 （1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪-=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴ 284λ=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）． 举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+=C ．22131318136x y -=D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan 30AF c ==，22||2tan 30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距，求双曲线的方程．(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=； （2）2241273y x -=【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <2【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=．即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m 【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解． 【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点． 综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三： 【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x=-==（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx=+，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为(,)P x y，由22114y kxyx=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx---=（*）设方程（*）的解为12,x x，则22420(4)0k k∆=+->∴21680,||k k<<且12122225,44kx x x xk k+==---，∴121212221114(),()()124224kx x x y y y x xk k=+==+=++=--，22444kxkyk⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y-+=<-或0)y>．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x yB x y，弦中点为(,)P x y，则221122224444x yx y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y+-=+-，∴121212124()y y x xx x y y+-=+-，即41y xx y=-，即2240x y y-+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y=-=-；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y+-=的直线l被双曲线221205x y-=l的方程【答案】210y x=±。
知识讲解双曲线_基础
b x 叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交
.
a
【高清课堂： 双曲线的性质 356749 知识要点一、 3】
要点五：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
图形
焦点
性 质
焦距 范围 对称 性
方程
Ax
2
+By
2
=C
可化为
Ax 2
C
By 2
x2
C 1，即 C
A
y2 1， C B
所以只有 A 、 B 异号，方程表示双曲线。
CC
当
0,
0 时，双曲线的焦点在 x 轴上；
AB
C
当
0, C
0 时，双曲线的焦点在
y 轴上。
AB
要点诠释：
1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方 程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
3. 若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1 F2 ，则动点轨迹是以 F1、 F2 为端点
的两条射线（包括端点） ；
4．若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，则动点轨迹不存在； 5．若常数 a 0 ，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
要点二：双曲线的标准方程
系数，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y 2项的系数是正的，那么焦点在 y
轴上。
4. 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在
哪一条坐标轴上。
《解析几何》第13讲 双曲线及其标准方程(修订)
第13讲
1．双曲线的定义的内涵与外延
文字语言：
平面内与两个定点 F1 ， F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
即： |PF1|-|PF2| ＝2a（2a<|F1F2|）,点M的轨迹是双曲线．
思考1：
|
|
① |PF1|-|PF2| ＝2a (2a<|F1F2|), 点M的轨迹是 双曲线的一支 ．
2014-11-25
性 对称轴：x轴，y轴 质 对称 性 对称中心：__________ 坐标原点
思考3：你能区分双曲线和椭圆吗？
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
c=
2014-11-25
.
c=
.
a2=b2+c2
c2=a2+b2
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示双曲线， 5－ k k － 3
标准方程
y2 x2 x2 y2 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b a b
图形
x≥a或x≤－a 范围 思考 2： ________________
y≥a或y≤－a ________________ 对称轴：x轴，y轴
如何判定双曲线焦点的位置？ 对称中心：坐标原点
P
A
y =x+b
KAB KPQ = -1
Q B
求点Q(x,y)的坐标 成为本题的关键.
2
2
( ∞,3) ∪ (5, +∞) 则 k 的取值范围是 ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的取值范围是 (5, +∞) ．
数学复习：双曲线及其标准方程
数学复习：双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．导语同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．一、双曲线的定义问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|－|PB||<|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．如图，在|PA|＋|PB|>|F1F2|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数．知识梳理一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意点：(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．例1已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为() A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线答案D解析当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．跟踪训练1已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线答案D解析F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．二、双曲线的标准方程及其推导过程问题2类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝(x＋c)2＋y2，|PF2|＝(x－c)2＋y2，所以(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a ，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c 2－a 2)·x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)，两边同除以a 2(c 2－a 2)，得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1.由双曲线的定义知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b 2＝c 2－a 2，其中b >0，代入上式，得x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．问题3设双曲线的焦点为F 1和F 2，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a ，其中c >a >0，以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？提示y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．知识梳理双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1_(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1_(a >0，b >0)焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝c 2－a 2注意点：(1)若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(2)a 与b 没有大小关系．(3)a ，b ，c 的关系满足c 2＝a 2＋b 2.例2(1)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________________．答案x23－y25＝1解析由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2 2.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，9a2－10b2＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(2)焦距为26，且经过点M(0，12)的双曲线的标准方程是__________．答案y2144－x225＝1解析∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.反思感悟双曲线的标准方程用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)的双曲线的标准方程为________．答案x28－y24＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得－4b2＝1，①－8b2＝1，②解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x28－y24＝1.三、双曲线定义的简单应用例3(1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去)．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.反思感悟双曲线定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tanθ2.跟踪训练3设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于()A ．42B ．83C ．24D ．48答案C解析1|－|PF 2|＝2，PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝24.1．知识清单：(1)双曲线的定义．(2)双曲线的标准方程及其推导过程．(3)双曲线定义的简单应用．2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋y 2－(x ＋1)2＋y 2＝±2，则动点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．双曲线的一支答案B解析设A (1，0)，B (－1，0)，则由已知得||PA －|PB ||＝2，即动点P 到两个定点A ，B 的距离之差的绝对值等于常数2，又|AB |＝2，且2<2，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线．2．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是()A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2答案A解析∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.3．若椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为()A ．1B ．1或－2C ．1或12 D.12答案A解析>0，a 2<4，－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.4．以椭圆x 29＋y 28＝1______________．答案x 214－y 234＝1解析由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．b 2＝1，－454b 2＝1，2＝14，2＝342＝16，2＝－15(不符合题意，舍去)，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.练习1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1答案B解析2a ＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是()A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案A解析当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P 点的轨迹是双曲线．3．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()D ．(3，0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，4．(多选)双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A ．17B ．7C ．22D ．2答案CD 解析设双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，则a ＝5，b ＝3，c ＝34，设P 为双曲线上一点，不妨令|PF 1|＝12(12>a ＋c ＝5＋34)，∴点P 可能在左支，也可能在右支，由||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，得|12－|PF 2||＝10，∴|PF 2|＝22或2.∴点P 到另一个焦点的距离是22或2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为()A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m答案C解析由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .6．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O的距离为()A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7答案A解析设F 2是双曲线的右焦点，连接ON (图略)，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3.7．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．答案x 216－y 29＝1解析设焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得12QF QF k k ＝－1，∴5c ·5－c1，∴c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.8．若点P 在双曲线x 216－y 212＝1上，且点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P 的纵坐标为________．点P 与双曲线的左焦点间的距离为________．答案±311解析记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P (x P ，y P )．因为点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以x P ＝16＋12＝27，所以2816－y 2P12＝1，解得y P ＝±3，所以|PF 2|＝3.由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，所以|PF 1|＝11.9．在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．解因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，所以设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48，得k ＝4.所以|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点O 为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由|PM |－|PN |＝4，得2a ＝4，a ＝2，a 2＝4.由|MN |＝20，得2c ＝20，c ＝10，c 2＝100，所以b 2＝c 2－a 2＝100－4＝96，故所求方程为x 24－y 296＝1.10．如图，设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解(1)F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，则a ＝3，b ＝4，c ＝5，设点M 到另一个焦点的距离为m ，由双曲线定义可知|m －16|＝2a ＝6，解得m ＝10或m ＝22，即点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)P 是双曲线左支上的点，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，则|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 1|2＝36，代入|PF 1|·|PF 2|＝32，可得|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2×32＝100，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，所以△F 1PF 2为直角三角形，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.11．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14 B.13C.19D.35答案B解析设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝13.12．双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．1B ．4C ．7D ．9答案B 解析在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝b ＝1，c ＝2，设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∵∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|，即|PF 1|·|PF 2∣＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4.13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案A 解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1—→·PF 2—→＝0，则|PF 1—→＋PF 2—→|的值为________．答案210解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．设点P (x ，y )，则PF 1—→＝(－10－x ，－y )，PF 2—→＝(10－x ，－y )．∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴|PF 1—→＋PF 2—→|＝|PF 1—→|2＋|PF 2—→|2＋2PF 1—→·PF 2—→＝2(x 2＋y 2)＋20＝210.15．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心．若12PMF PMF S S △△＝＋8，则△MF 1F 2的面积为()A ．27B ．10C ．8D ．6答案B 解析设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由双曲线的标准方程可知a ＝4，b ＝3，c ＝5.因为12PMF PMF S S △△＝＋8，所以12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，所以R ＝2，所以12MF F S △＝12·2c ·R ＝10.16.如图所示，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，c ＝2a ，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，12F PF S △＝123，求双曲线的标准方程．解由题意得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2.∴12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2.∴3b 2＝123，b 2＝12.由c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
双曲线的定义及标准方程(201911新)
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
一、定型：
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)
新课预习讲义选修2－1：第二章§双曲线（一）§2.双曲线及其标准方程●学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点1. 难点是双曲线的标准方程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =●预习教材：第52页——第55页的内容。
●自主梳理：_____________________________●预习检测：1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．一条直线 C ．双曲线 D ．前三种情况都有可能 答案： D2．已知方程x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．－4<k <4B ．k >0C ．k ≥0D ．k >4或k <－4解析： ∵x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，∴(4＋k )(4－k )>0，∴(k ＋4)(k －4)<0，∴－4<k <4. 答案： A3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析： 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.答案： 14．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．解析： ∵所求双曲线与x 216－y 24＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为(±25，0)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 220－a 2＝1.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12. ∴所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？●基础知识归纳： 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？2．双曲线的标准方程 小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定2. a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c +=（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）●典例导析：题型一、求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a 、b 的值（注意应用222b a c +=）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常用待定系数法.[解题过程] (1)方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由于双曲线过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(－3)2b 2＝1，(－3)2a 2－⎝⎛⎭⎫522b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求双曲线标准方程是x 24－y 2＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．则⎩⎨⎧3a 2－16b 2＝1，54a 2－9b 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，b 2＝－4.不合题意，舍去．综上所述，双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.方法二：设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1，由双曲线经过A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52 可得⎩⎪⎨⎪⎧ 16m －3n ＝1，9m －54n ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵c ＝6，∴6＝a 2＋b 2①又∵双曲线经过点(－5,2)，∴(－5)2a 2－4b2＝1②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5b 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝30b 2＝－24(舍)∴双曲线方程为x 25－y 21＝1.[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上．(2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．(3)焦点分别为F 1(－10,0)、F 2(10,0)，且经过点(35，－4)． (4)焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5.解析： (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(3)由题设知双曲线的焦点在x 轴上，且c x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．从而将双曲线的标准方程化为x 2100－b 2－y 2b 2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b 4－39b 2－1 600＝0，解得b 2＝64或b 2＝－25(舍去)， 故所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1.(4)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.题型二、双曲线定义的应用例2－1、已知定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)，动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝4时，点M 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线 [解题过程] 由已知，|F 1F 2|＝8.当a ＝3时，|MF 1|－|MF 2|＝6<|F 1F 2|，故点M 的轨迹是双曲线的一支 当a ＝4时，|MF 1|－|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，故点M 的轨迹是一条射线F 1F 2 答案： D[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a 与|F 1F 2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF 1|－|MF 2|＝2a 有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征． 变式训练：2－1.已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为 A ．y ＝0 B ．y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C ．x ＝0(|y |≥13) D ．以上都不对答案： C 例2－2、若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [思路点拨][规范作答] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[题后感悟]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用． 变式训练：2－2.设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．解析： 在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴a ＝2，c ＝ 5.由于点P 在双曲线上，所以|PF 1|－|PF 2|＝±4.① ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.② ②－①2得，2|PF 1|·|PF 2|＝4，∴|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴△F 1PF 2的面积是S ＝12|PF 1||PF 2|＝1.（想一想：若改为“∠F 1PF 2＝60°”呢？） 题型三、求与双曲线相关的轨迹方程例3、求与两个定圆C 1：x 2＋y 2＋10x －24＝0和C 2：x 2＋y 2－10x ＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程． [思路点拨][解题过程] ⊙C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49⇒C 1(－5,0)，r 1＝7， ⊙C 2：(x －5)2＋y 2＝1⇒C 2(5,0)，r 2＝1， 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，(1)如图①，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切时，有|MC 1|＝r1＋R ，|MC 2|＝r 2＋R ， 则|MC 1|－|MC 2|＝r 1－r 2＝6.(2)如图②，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都内切时，有|MC 1|＝R －r 1，|MC 2|＝R －r 2.，则|MC 1|－|MC 2|＝r 2－r 1＝－6.在(1)(2)两种情况下，点M 与两定点C 1、C 2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M 的轨迹是以C 1(－5,0)，C 2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线，c ＝5，a ＝3⇒b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，方程为：x 29－y 216＝1.[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a ，b 时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简． (2)由于动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线． 变式训练：4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解析： 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c 2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2C的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． [疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a ＜|F 1F 2|不可缺少．若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线； 若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b 代入所设方程即为所求．[误区警示]◎设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．（上海高考试题）【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF 1|－|PF 2|＝8，即9－|PF 2|＝8，得|PF 2|＝1.【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a ，到一个焦点的距离是c －a ，到另一个焦点的距离是a ＋c ，本题是2或10，|PF 2|＝1小于2，不合题意． 【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8， 所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时， |PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去． 所以|PF 2|＝17.三、巩固拓展●必做：教材第61页，习题2.3 A 组 第1、2题，B 组第2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析： 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.故选C. 答案： C2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析： 方程可变为x 2n m －y 2n m ＝1，又m ·n <0，∴又可变为y 2－n m －x 2－nm ＝1.∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 答案： D 3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 解析： 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2， 又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12. 答案： B4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一个焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析： 设△ABF 1的周长为C ，则C ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋|AF 2|＋|BF 2|＋|AB | ＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝2a ＋2a ＋2m ＝4a ＋2m .答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分)5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析： ∵x 24－y 212＝1，∴当x ＝3时，y ＝±15. 又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15， ∴|MF 2|＝1＋15＝4.故填4. 答案： 46．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为________．解析： 双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0) 由||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴||PF 1|－15|＝8，∴|PF 1|＝23或|PF 1|＝7. 答案： 7或23三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)．解析： (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1，又点A (42，3)在双曲线上， ∴3216－9b 2＝1. 解得b 2＝9，则x 216－y 29＝1， 若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同上，解得b 2<0，不合题意，∴双曲线的方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1.解之得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝－14.∴所求双曲线的方程为x 23－y 24＝1.8．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解析： (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)满足如下条件：(1)ab ＝3；(2)过右焦点F 的直线l 的斜率为212，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1， 求双曲线的方程．解析： 设右焦点F (c,0)，点Q (x ，y )，设直线l ：y ＝212(x －c )， 令x ＝0，得p ⎝⎛⎭⎫0，－212c ，则有 P Q →＝2Q F →， 所以⎝⎛⎭⎫x ，y ＋212c ＝2(c －x ，－y ) ∴x ＝2(c －x )且y ＋212c ＝－2y ，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解得：x ＝23c ，y ＝－216c . 即Q ⎝⎛⎭⎫23c ，－216c ，且在双曲线上， ∴b 2⎝⎛⎭⎫23c 2－a 2⎝⎛⎭⎫－216c 2＝a 2b 2， 又∵a 2＋b 2＝c 2， ∴49⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2－712⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋1＝1， 解得b 2a 2＝3，又由ab ＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3. ∴所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.。
知识讲解_双曲线的简单性质_基础
双曲线的简单性质编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】 1． 知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3． 情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质 356749 知识要点二】 要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>． 由c 2= a 2+b 2，可得b a =b a 决定双曲线的开口大小，b a越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．||bMN x a =x →【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒b y x a =±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a ======>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b-=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c∴实轴长26a=，虚轴长28b=，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e=，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．14-B．－4 C．4 D．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．3 2 -【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221 916x y-=；（2）221 916x y-=-．【解析】（1）双曲线221916x y-=-的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．（2）双曲线221916x y-=的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±；（2）双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为bx ya=±，即ay xb=±；（3）若双曲线的方程为2222x ym nλ-=（00m nλ>>、，，焦点在x轴上，0λ<，焦点在y轴上），则其渐近线方程为2222x ym n-=⇒0x ym n±=⇒ny xm=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）221 1636x y-=；（2）2228x y-=；（3）22272y x -=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y ±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】 （1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪-=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=． 故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴ 284λ=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）． 举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+=C ．22131318136x y -=D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan 30AF c ==，22||2tan 30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距，求双曲线的方程．(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=； （2）2241273y x -=【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <2【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=． 即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m 【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解． 【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三： 【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-== （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ， 由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k << 且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x x y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=截得的弦长为3l 的方程 【答案】210y x =±。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
双曲线及其方程-知识总结
双曲线及其方程一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a cb -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>三、双曲线的性质xyPxyPxyPPxyPP。
9.4 双曲线及其性质(讲解部分)
∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,
又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|+|AF2|=6a,
又∵|AF1|-|AF2|=2a,∴|AF1|=4a,|AF2|=2a.
在△AF1F2中,|F1F2|=4a,∴cos∠F1AF2=
|AF1|2 |AF2|2 -|F1F2|2
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9.4 双曲线及其性质
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考点清单
考点一 双曲线的定义及标准方程
考向基础 1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于 零)的点的轨迹叫做双曲线,定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫做焦距. 注意 (1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,即|| MF1|-|MF2||=2a,其中0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略. ①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; ②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在; ③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
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3.焦点三角形问题 (1)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则S F1PF2 =
b2
tan
θ 2
=c|yP|.
(2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点 F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.
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(3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=栏目索引考点二 双曲 Nhomakorabea的几何性质
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线是平面上的一种曲线，它的标准方程可以表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1
其中，a和b是两个正实数，且a不等于b。
双曲线有两个分支，分别称为左右分支或上下分支，取决于标准方程中x和y的系数的正负关系。
在左右分支的情况下，a控制横轴方向上的扁平程度，b控制
纵轴方向上的扁平程度。
而在上下分支的情况下，a控制纵轴
方向上的扁平程度，b控制横轴方向上的扁平程度。
双曲线的焦点是曲线的特殊点，表示为(F1, F2)，位于曲线的
横轴或纵轴上。
焦点与曲线的距离称为焦距，用c表示。
焦距与横轴或纵轴的交点称为顶点。
双曲线也具有渐近线，即曲线无限延伸时，与曲线趋于平行的直线。
对于左右分支的双曲线，渐近线是曲线的对称轴，方程为y=0；对于上下分支的双曲线，渐近线是曲线的纵轴和横轴，方程分别为x=0和y=0。
双曲线在数学、物理学和工程学中都具有重要的应用，例如在椭圆偏振光、天体力学、电磁场分布等领域。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程学科：数学教学内容：双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法：本节要紧数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，差不多上解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去把握.它与直线、圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，专门是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，那个常数要大于0且小于｜F 1F 2｜)的点M 的轨迹”那个双曲线的定义动身，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22a x -22b y =1；但关于坐标适合方程22a x -22by =1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明. 例1 若方程m x -22+3m y 2-=1表示双曲线，则实数m 的取值范畴是( )A.-3＜m ＜2或m ＞3B.m ＜-3或m ＞3C.-2＜m ＜3D.-3＜m ＜3或m ＞3分析 该方程表示双曲线，则x 2与y 2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m ｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆252x +92y =1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216λ-x -22λy =1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x -72y =1.分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为λ-252x +λ-92y =1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x -72y =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 分析 其顶点A 的轨迹方程求得：362y -812x =1(x ≠0).若将问题一样化：B(0，a)、C(0，-a) k AB ·k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹方程为：22a y -22b x =1(x ≠0).若B(bcot φ，acos φ)、C(-cotφ，-acsc φ).k AB ·k AC =22ba ，则顶点A 的轨迹会是如何样?反之，双曲线22a y -22b x =1(x ≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22b a ;若改变B 、C 的位置保持B 、C 两点关于原点对称于双曲线上，k AB ·k AC =22ba 是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多摸索，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(x+3)2+y 2＝1外切又与圆(x-3)2+y 2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M 与⊙O 1外切于A ，与⊙O 2内切于B ，由位置关系可得数量关系：｜MO 1｜＝｜MA ｜+1 ｜MO 2｜＝｜MB ｜-3 由｜MA ｜＝｜MB ｜可得｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4 由定义可知M 点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M 坐标为M(x,y)，圆M 与圆O 1外切于A ，与圆O 2内切于B ，则，MO 1＝｜MA ｜+1①，｜MO 2｜＝｜MB ｜-3②，①-②：｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由双曲线定义知，M 点轨迹是以O 1(-3，0)O 2(3，0)为焦点2a ＝4的双曲线的右支 ∴b 2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x -52y ＝1(x ≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，现在的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO 1｜＝r+r 1,｜MO 2｜＝r-r 2其中r 为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，能够简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，现在不含绝对值，要求｜MO 1｜>｜MO 2｜，因此是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F的距离，并求弦AB 的长.分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF ｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB 的方程为y ＝x-5，故消去y ，并整理得 7x 2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x +＝2790-＝-745.C 点的坐标满足方程②，故 y ＝-745-5＝-780∴｜CF ｜＝22)780()7455(++＝2(5+745) ＝7280又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5. ∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-＝221221)()(x x x x -+- ＝221)(2x x -＝]4)[(221221x x x x -+ 由方程③知 x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369 ∴｜AB ｜＝]71476498100[2+ ＝4936860＝7192＝2773 点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线、圆和椭圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等差不多上高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和差不多的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F 1和F 2为曲线42x -y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则求△F 1PF 2的面积.分析一 依题意求出P 点的纵坐标，据面积公式运算△F 1PF 2的面积. 设P(x 1,y 1),由PF 1⊥PF 2得511+x y ·511-x y =-1即 y 21=5-x 21又 x 21-4y 21=4 联立解得y 1=±55 ∴21PF F S △=21｜F 1F 2｜·｜y 1｜=21·2c ·55 =1分析二 运用双曲线定义解题 由点P 在双曲线上，知｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=4且｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=2 ∴21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜=1 例2 已知l 1、l 2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.(1)求l 1的斜率k 1的取值范畴.(2)若｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜；求l 1、l 2的方程.分析 设直线斜率为k ，联立方程组求解.(1)因为若l 1、l 2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，因此l 1、l 2的斜率k 1、k 2均不为零.设l 1:y=k 1(x+2), l 2:y=-11k (x+2) 把它们代入双曲线方程分别得 (k 21-1)x 2+22k 21x+2k 21-1=0①(k 21-1)x 2-22x+k 21-2=0②当k 1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 因此，当k 1≠±1时由①、②的判别式都大于零得⎪⎩⎪⎨⎧>->-041204122121k k k 1∈(-3，-33)∪(33，3)且k 1≠±1 (2)由①、②可知｜A 1B 1｜ =211k +·212214)(x x x x -+=211k +·22121)1(412--k k ｜A 2B 2｜=211k +·22121)1(412--k k∵｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜∴解得 k 1=±2,k 2=±22 ∴所求直线方程为 l 1:y=2(x+2),l 2:y=-22(x+2) 或l 1:y=-2 (x+2),l 2:y=22(x+2). 例3 如图，给出定点A(a,0)，(a ＞0)和直线l :x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.分析 设B(-1，y 0)，C(x,y)，由角平分线的性质有CB AC =OB OA ,当y 0≠0时，又由平行线性质有CBAC =EDAE =BFFD =BFCE∴OBOA =EDAE =BFCE即有21y a+=1+-x x a =yy y -0 (易知y 与y 0-y 同号，0＜x ＜a) 由21y a+=1+-x xa 得 a 2(x+1)2=(a-x)2(1+y 20) ① 又由1+-x x a =y y y -0得y 0=xa a -+1·y②由①、②消去y 0并整理得(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 ③当y 0=0时易知点C 即为原点，现在x=0，y=0，亦满足③，故所求点C 的轨迹方程是：(1+a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0≤x ＜a)④(1)当a=1时，方程为y 2=x(0≤x ＜1) 表示抛物线弧段.(2)当a ≠1时，④变形为22)1()1(a a a a x ---+2221a a y -＝1(0≤x ＜a) 当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A 级一、选择题 1.设θ∈(43π，π)则方程x 2·cos θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2.假如双曲线92x -y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那么｜AF 2｜等于( )A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆 B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以那个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.32x -y 2=1B.y 2-32x =1 C.32x -42y =1D. 32y -42x =15.设动点P 到定点F 1(-5，0)的距离与它到定点F 2(5，0)的距离的差等于6，则P 点轨迹方程是( )A. 92x -162y =1B. 92y -162x =1C. 92x -162y =1(x ≥3)D. 92y -162x =1(x ≤-3)二、填空题6.若椭圆mx 2+ny 2=1(0＜m ＜n)和双曲线ax 2-by 2=1(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则｜PF 1｜·｜PF 2｜= .7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为 . 8.与双曲线16x 2-9y 2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 . 三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C ：(x+3)2+y 2=16，动圆P 与圆C 相外切并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线x 2-y 2=1上求一点P ，使它到直线y=x 的距离为2.AA 级一、选择题1.直线l 过双曲线22a y -22bx =1的下方焦点F 1且与双曲线的下支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的另一个焦点，且｜AB ｜=m,则△ABF 2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x 2-y 2=a 2与曲线(x-1)2+y 2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a 的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a ｜＜1D.｜a ｜＞13.若a m x +32+am y -42=1表示双曲线，a 为负常数，则m 的取值范畴是( )A.(3a ,-4a) B.(4a ,-3a) C.(-∞,-4a )∪(3a,+∞)D.(- 3a ,4a )4.依次连接双曲线x 2-y 2=12与圆x 2+y 2=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2x 2-y 2=2交于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A.y=xB.y=x(｜x ｜＞2)C.y=x(｜x ｜＞22)D.y=x(｜x ｜≥2 )二、填空题6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是.7.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线OM和直线AB 的斜率的乘积为.8.关于x 的方程12 x =x+b 没有实数根，则实数b 的取值范畴是 . 三、解答题9.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范畴.10.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.【素养优化训练】1.平面内有一条定线段AB ，其长度为4，动点P 满足｜PA ｜-｜PB ｜=3,O 为线段AB 的中点，则｜OP ｜的最小值是( )A.1B.23C.2D.42.P 为双曲线C 上的一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③22x +y 2=1;④22x -y 2=1，其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P 与两定圆(x+5)2+y 2=1及(x-5)2+y 2=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹方程是( )A. 32x -42y =1B.32x -42y =1(x ＞0)C.92x -162y =1D.92x -162y =1(x ＞0)5.已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是( )二、填空题6.已知双曲线x 2-32y =1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则｜AB ｜= .7.若圆C 过双曲线92x -162y =1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C 的方程为 .8.过点M(3，-1)且被点M 平分的双曲线42x -y 2=1的弦所在直线方程为 .三、解答题9.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.10.设k 和r 是实数，且r ＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x 2+y 2=r 2相切，又与双曲线x 2-y 2=r 2有两个交点.(1)求证：21r-k 2=1,且｜k ｜≠1; (2)试问：直线y=kx+1能否通过双曲线x 2-y 2=42的焦点?什么缘故?【生活实际运用】活动1：求证直线y=kx+m 与双曲线22a x +22by =1相切的充要条件是：m 2=a 2·k-b 2若过双曲线上一点P(x 0,y 0)斜率为k 的切线为y=kx+y 0-kx 0,其中m=y 0-kx.且b 2x 20-a 2b 2,联立可解得斜率k=0202y a x b (y ≠0),代入切线方程可得过点P(x 0,y 0)双曲线的切线方程为20a x x -20byy =1 专门地，当y 0=0时亦合上面的方程.活动2：运用上面结论可求过双曲线22a x -22by =1上一点(x 0,y 0)的切线方程与法线方程，若双曲线方程为22a y -22bx =1时，过曲线上点(x 0,y 0)的切线和法线方程又是如何样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x 轴交点的横坐标，其方程为x 2-82y =1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1. 2.运用双曲线图形解无理不等式212-x ＞x+1解：令y 1=212-x ,y 2=x+1，即x 2-421y =1(y 1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得双曲线的部分在直线部分上方的x 的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1). 【知识探究学习】1.设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两监听室中，听到一爆炸声的时刻差为6秒，且纪录到B 处的声强是A 处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.解：以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-5a ，0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA ｜-｜PB ｜=6a ，到A 、B 两点距离差为6a 的点在双曲线，22)3(a x -22)4(a y =1(x ≥3a)上 ①, 又B 处的声强是A 处声强的4倍，∴｜PA ｜2=4｜PB ｜2,即(x+5a)2+y 2=4［(x-5a)2+y 2］，3x 2+3y 2-50ax+75a 2=0 ②，由①、②消去y,得25x 2-150ax+81a 2=0，x=527a 或x=53a(舍去)，y=5896a ，∴｜PM ｜=22)5896()527(a a +=65a=34065(米)， 答：P 点到AB 中点M 的距离为34065米.2.如图所示，某农场在P 处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知AP=100m ，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近?如能，请确定这条界线.解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类设PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,因此｜MA ｜-｜MB ｜=｜PB ｜-｜PA ｜=50.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支其方程可求得为6252x -37502y =1.(0≤y ≤60，25≤x ≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案：【同步达纲检测】A 级1.D2.D3.C4.B5.C6. m 1-a17.42x -162y =1 8. 42y -212x =19.解：设P(x,y),依题意有｜PC ｜=｜PA ｜+4，∴P 点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为42x -52y =1(x ≥2)10.解：设P(csc θ,cot θ)，则2cot csc θ-θ=2∴,θθsin cos 1- =±2，∴tan 2θ=±2，由万能公式求得P(±45,±43)AA 级1.B2.A3.B4.C5.B6. 92x -162y =1(x ＜-3) 7. 22ab 8.(-∞,-1)∪［9，1］9.解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2-1)x 2+4kbx+2b 2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k 2-1)(2b 2+1)=-4(2k 2-2b 2-1)＞0，对所有实数b 恒成立，∴2k 2-1＜0，得-2k ＜k＜22 10.解：设AB ：y=-21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx-4(m 2+1)=0,那个地点△=(4m)2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0 恒成立，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0,)则x 1+x 2=-11m4，∴x 0=-112m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,若A 、B 关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，∴1112m =-114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.∴存在A 、B 且求得A(112，-111)，B(-112，111)【素养优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.43374 7.x 2+(y-4)2=41 8.3x+4y-5=0 9.解：设P(x,y),∵F 1(0,-2),F 2(0, 2),∴1PF k =x y 2+,2PF k =xy 2-,∵x y 2+·x y 2-=-1,即x 2+y 2=1,又y 2-x 2=1，∴x=±22,y=±26,∴P 的坐标为(22，26)，(22，-26)，(-22，26)和(-22，-26) 10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2=r 2相切，因此有1k 10k 02++-•=r,∴2k11+=r 2,∵r 2≠0,∴21r-k 2=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=r 2相交，故交点坐标(x,y)满足方程组⎩⎨⎧=-+=2221r y x kx y ②①,将①代入②得(1-k 2)x 2-2kx-(1+r 2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k ，直线不平行y 轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k 2≠1,∴｜k ｜≠1(2)双曲线x 2-y 2=r 2的过点是F 1(-2r,0),F 2(2r,0)，若直线y=kx+1过点F 1,则 -2rk+1=0,即k=r21-，又由(1)结论21r -k 2=1得k 2=1与｜k ｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的右焦点.。
高中数学选修2-1-双曲线的方程及其性质
双曲线的方程及其性质知识集结知识元双曲线的定义知识讲解1．双曲线的定义【定义】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．【标准方程】①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．【性质】这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【实例解析】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【考点点评】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．例题精讲双曲线的定义例1.'已知点A（-，0），B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的中点坐标及其弦长DE．'例2.'若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．'例3.'已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2．动圆M与两圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程．'双曲线的标准方程知识讲解1．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a ＞0，b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞0，b ＞0；c 2＝b 2+a 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点（a ，0）和（﹣a ，0）（0，a ）和（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2离心率e ＝（e ＞1）e ＝（e ＞1）渐近线即y ＝±x即y ＝±x准线x ＝±y ＝±例题精讲双曲线的标准方程例1.'求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率：（1）x 2-8y 2=32；（2）9x 2-y 2=81；（3）x 2-y 2=-4；（4）-=-1．'例2.'已知双曲线=1的离心率e =3，直线y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，求双曲线的方程．'例3.'双曲线=1（a >0，b >0）过点P （-3，2），过双曲线的右焦点且斜率为的直线与直线x =和x=-（c 2=a 2+b 2）分别相交与点M ，N ，若以|MN |为直径的圆过原点，求此双曲线的方程．'双曲线的性质知识讲解1．双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a ＞0，b ＞0）（a ＞0，b ＞0）图形性焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c |F 1F 2|＝2c 范围|x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（﹣a ，0）．（a ，0）（0，﹣a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b质离心率e ＝（e＞1）准线x ＝±y ＝±渐近线±＝0±＝例题精讲双曲线的性质例1.下列曲线中实轴长为的是（）A ．B ．C ．D ．例2.双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形．则双曲线C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．2例3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．C ．或D ．或当堂练习单选题练习1.已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，AB是右支上过F2的一条弦，且|AF1|：|AB|=3：4，则C的离心率是（）A．B．5C．D．练习2.已知F1为双曲线C：=1（b>a>0）的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B．若AB的中点为M（1，8），则此双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．练习3.双曲线C：=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，C的右支上一点P满足∠F1PF2=60°，若坐标原点O到直线PF1距离是，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3练习4.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF1|：|AB|=3：4，|BF2|=3|AF2|，则双曲线C的离心率是（）D．5 A．B．C．练习5.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．练习6.F1，F2是双曲线-=1（a>0，b>0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足=-a2，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]填空题练习1.已知P为双曲线C：-=1（a>0，b>0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当=时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为__。
双曲线的定义和标准方程
②余弦定理：
例4.已知双曲线的左、右焦点分别为 ，过 的直线与左支交于AB两点，若|AB| = 5且实轴长为8，则△AB 的周长为______ห้องสมุดไป่ตู้__．
练习4-1.P是双曲线 右支上一点， ， 分别是双曲线的左、右焦点，且 |P |= 8，则△P 的周长为（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
例5.设 ， 是 的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠ P =90 ，求 △ P 的面积．
练习5-1.已知 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠ P =60 ，则△ P 的面积是( )
A.2 B. C. D.8
例6.已知F是双曲线 的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为.
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.直线
练习1-1.已知P是双曲线 右支上一点， ， 是双曲线的左、右焦点，且 P =18，则P 的值为.
例2.已知方程
(1)如果它表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_________；
(2)如果它表示双曲线，则实数m的取值范围是_________．
练习2-1.若曲线 表示双曲线，则k的取值范围是__________．
③动点P到两定点的距离差的绝对值是6,则动点P的轨迹为？
答案：①双曲线一支 ②双曲线 ③两条射线
标准方程：
求曲线方程步骤：建系一设点一列式一化简一检验
令： ， （焦点在 轴上） （焦点在 轴上） 注意：① ， 最大 ②哪轴字母系数为正，焦点在哪个轴.
例1.若点P到定点 的距离的差的绝对值等于点M(1, 2)到点N(−3, −1)的距离，则点P的轨迹为 ( )
第5讲
【知识点一】双曲线的定义及标准方程
七年级双曲线知识点
七年级双曲线知识点在初中数学中，七年级是双曲线的重要学习阶段。
双曲线理论是高等数学中重要的数学概念，过多的夸张用语可能会使初学者感到困惑。
因此，本文将详细介绍七年级双曲线的知识点，并且逐步讲解各个知识点的概念，公式和实际用途。
一. 双曲线的定义双曲线是一类非常特殊的曲线。
几何上，它们可以被视为两个彼此独立的曲面相交所产生的结果。
在数学上，双曲线可以定义为与矩形‘X’坐标轴共形的平面曲线。
可以居中对称，即尖端朝向X轴。
二. 双曲线方程的标准形式双曲线方程的标准形式为 x²/a² - y²/b²=1，其中a, b是曲线的顶点参数。
图形学中，通常我们将双曲线的重心设在坐标轴的原点(0,0)。
三. 双曲线的基本性质1. Symmetry：它们在X=0处有对称轴，这个轴称为x轴。
在Y=0处也存在一条对称轴，称为y轴。
2. Distribution:通过将x轴向上或向下，y轴向左或向右移动可以获得双曲线的多个版本。
3. Vertex：Vertex是双曲线的最高点和最低点。
4. Asymptote：Pair有两个斜线，称为渐近线。
它们可用于描述双曲线的运动及其各个部分的位置关系。
四. 双曲线的实际应用双曲线广泛用于估计风险和其他不确定性，从而帮助做出最优选择。
它们可以帮助分析营销策略、盈利能力、增长率和各种财务和非财务数据的不确定性。
总而言之，初中数学中的双曲线知识点是我们继续学习高阶数学分支的基础。
本文详细介绍了双曲线的定义，标准格式，基本性质和实际用途。
通过理解这些基本知识，我们可以更好地掌握双曲线，更高效地应用它们，展示出我们的巨大潜力。
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双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程2． 标准方程的推导如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|MF 2|=±2a }．∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y =++-+2222()()2x c y x c y a ++-+±(4)化简将这个方程移项，得2a =两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：()()22222222c a x a y a c a --=- ① （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 3． 两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合不同 点图形标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标 ()10F c ， ，()20F c ， ()10F c ， ，()20F c ，相 同a 、b 、c 的关系222c a b =+焦点位置的判哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：图象定义根据|MF1|+|MF2|=2a根据||MF1|－|MF2||=2aa、b、c关系a2－c2=b2（a最大）（a＞c＞0，b＞0）c2－a2=b2（c最大）（0＜a＜c，b＞0）标准方程22221x ya b+=，（焦点在x轴）22221y xa b+=，（焦点在y轴）其中a＞b＞022221x ya b-=，（焦点在x轴）22221y xa b-=，（焦点在y轴）其中a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程的统一形式221x ym n+=（当0,0,m n m n>>≠时，表示椭圆；当0mn<时，表示双曲线）2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C C AB><时，双曲线的焦点在x 轴上；当0,0C C AB<>时，双曲线的焦点在y 轴上．要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．22197x y -=＝1(y >0)C ． 22197x y -=或22179x y -=D ． 22197x y -= (x >0)【答案】 D【解析】 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：22197x y -=(x >0)【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（ ）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A例2． 已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17,PF =求2||PF 值【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线221164x y -=中，8,6,a b ==故10c =．由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略2||2,PF c a ≥-=这一条件，而得出错误的结论2||1,PF =或2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求1 2 PF F ∆的面积S ．【答案】16【解析】221916x y -=中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．设11PF r =，22PF r =，由题意可知，112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦， 因为1 2 PF F ∆是直角三角形，所以111==162S r r ．【变式2】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F 与左支相交的弦AB 的长为m ，另一焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【解析】∵2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=，且11||||AF BF m +=，∴2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴2ABF ∆的周长为：22||||||42AF BF AB a m ++=+．【变式3】已知点P (x ，y )4=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对 【答案】B类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；8=； 22(5)134x y +=； 22(6)1515x y +=-．【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，bc．（2）能．双曲线可化为：22194x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c（3）能．双曲线可化为：2214833x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以a，bc =2． （4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．． （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C+=； （2）分子上22x y ，的系数化为1：利用1ba b a⨯=，将双曲线化为 221x y C C A B+=；（3）注意符号：若双曲线的焦点在x轴，则将双曲线化为 221x y C C A B= ；若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为221y x C CB A= ． 举一反三：【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．5，0)C ．60)D ．30)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为22=112y x －，∴a 2＝1，b 2＝12，∴22c a b =+6故右焦点的坐标为60)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______． 【答案】1± 【解析】 当k >0时，双曲线的标准方程为22118x y k k= ，此时2222183a b c a b k k k===+==，，，解得k =1；当k <0时，双曲线的标准方程为22181x y k k= ，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1．所以k 的值为1±．例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22114425x y -=； 当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22114425y x -=． 【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．（2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．【答案】（1）221169x y -=；（2）2211620y x -=．【变式2】求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为22ax －22by =1由已知得22220a b c +==，又双曲线过点2)，∴22241a b-=∴22222222012481a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎪⎩故所求双曲线的方程为221128x y -=．解法二：依题意设双曲线方程为221164x y k k-=-+，将点2)代入221164x y k k-=-+，解得4k =， 所以双曲线方程为221128x y -=．类型三：双曲线与椭圆 例5．讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于221x y m n+=：当0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线．【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为221259x y k k -=--．此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆2212736x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n>0)和椭圆221x y a b+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±①|MF 1|＋|MF 2|＝②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=⨯=<，又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，21320,22000a c ==得660,1000,a c ==∴222564400b c a =-= ∴点P所在曲线的方程是221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离． 【答案】米。