双曲线基础知识练习题
双曲线基础练习
双曲线基础练习1双曲线题目：1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是题目：2．双曲线36x 2－49y 2＝1的渐近线方程是题目：3．双曲线5x 2－4y 2＝1与5x 2－4y 2＝k 始终有相同的（）（A ）焦点（B ）准线（C ）渐近线（D ）离心率题目：4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（）题目：5．设双曲线1by a x 2222=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是43c ，则双曲线的离心率是（）题目：6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（）。
题目：7．双曲线9x 2－7y 2＝1的离心率是。
题目：8．已知方程k 3x 2++k2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是。
题目：9．若双曲线2222k4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是。
题目：10. 曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（）。
（A ）焦点在x 轴上的椭圆（B ）焦点在y 轴上的双曲线（C ）焦点在x 轴上的双曲线（D ）焦点在y 轴上的椭圆题目：11. 双曲线4x 2－9y 2=1的渐近线方程是题目：12. 若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋y=0，则此双曲线的标准方程是题目：13. 双曲线的两准线之间的距离是532，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是题目：14. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为题目：15. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±x 的双曲线方程是（）。
题目：16. 方程m 3x 2-－2m y 2+=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）。
《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7．已知双曲线22219y xa-=的两条渐近线与以椭圆221259yx+=的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A．54B．53C．43D．658．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63 D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。
双曲线练习题及答案
双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a运用双曲线的定义例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限练习1．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5y 2=1练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。
（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件例3. 已知|θ|<2π,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。
（A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±125π课堂练习1、已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1ay b x 2222=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是 。
双曲线基础题10道-含答案
近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2
双曲线练习题
双曲线练习题一、选择题1. 下列关于双曲线的方程中，正确的是（）A. x^2 y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. y^2 x^2 = 1D. x^2 y^2 = 02. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），则其渐近线方程为（）A. y = ±(a/b)xB. y = ±(b/a)xC. x = ±(a/b)yD. x = ±(b/a)y3. 双曲线的离心率e满足（）A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e ≤ 14. 下列关于双曲线的焦点坐标，正确的是（）A. (±c, 0)B. (0, ±c)C. (±a, 0)D. (0, ±a)二、填空题1. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，则其焦点到中心的距离是 _______。
2. 已知双曲线的一个焦点为(4, 0)，实轴长为6，则双曲线的方程为 _______。
3. 双曲线的离心率为2，实轴长为4，则双曲线的虚轴长为_______。
三、解答题1. 已知双曲线方程为 x^2/9 y^2/16 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）实轴长；（3）渐近线方程。
2. 设双曲线的方程为 y^2 x^2/4 = 1，求：（1）离心率；（2）焦点坐标；（3）渐近线方程。
3. 已知双曲线的两个焦点分别为(±5, 0)，且离心率为2，求双曲线的标准方程。
4. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。
5. 设双曲线的方程为 x^2/25 y^2/9 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）离心率；（3）渐近线方程。
四、计算题1. 已知双曲线的一个焦点为(2, 0)，且经过点P(4, 3)，求双曲线的标准方程。
2. 设双曲线的方程为 4x^2 9y^2 = 36，求该双曲线与直线 y = (2/3)x + 1 的交点。
双曲线基础专项练习含解析
双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线曲线练习题含答案
双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。
答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。
3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。
答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。
4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。
答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。
假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。
2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。
3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。
4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。
5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。
6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=A ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144y=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．42324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
双曲线函数基础练习题(必做)
双曲线函数基础练习题(必做)
本练题旨在帮助学生加深对双曲线函数的理解和应用。
下面是一些基础练题，供学生进行练和巩固知识。
题目一
设双曲线函数 $f(x) = \frac{2}{x}$，求解下列问题：
1. 计算 $f(1)$ 的值。
2. 求解方程 $f(x) = 3$ 的解，并用图示法表示。
3. 求解方程 $f(x) = -2$ 的解。
题目二
考虑双曲线函数 $g(x) = \frac{3}{x} - 1$，回答以下问题：
1. 求解方程 $g(x) = 0$ 的解。
2. 计算 $g(-1)$ 的值。
3. 求解方程 $g(x) = 2$ 的解，并用图示法表示。
题目三
对于双曲线函数 $h(x) = \frac{x - 2}{x}$，完成以下练：
1. 计算 $h(2)$ 的值。
2. 求解方程 $h(x) = 0$ 的解。
3. 求解方程 $h(x) = -1$ 的解，并用图示法表示。
题目四
设双曲线函数 $k(x) = \frac{1}{x - 3}$，回答以下问题：
1. 计算 $k(4)$ 的值。
2. 求解方程 $k(x) = 2$ 的解，并用图示法表示。
3. 求解方程 $k(x) = -\frac{1}{2}$ 的解。
这些练习题旨在帮助学生熟悉双曲线函数的基本知识和计算方法。
通过反复练习，学生将能够更好地掌握双曲线函数的特性和应用。
《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在Y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( )A.17B.15C.174D.1542．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）A ．x 2﹣y 2=1 B ．x 2﹣y 2=2 C ．x 2﹣y 2=D ．x 2﹣y 2=3.1（a ＞b ＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD 4．设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．5．的圆相切，）A B C D 6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )A.3B.62C.63D.337.已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为．12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝19．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．4810．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－82C ．14＋8 2D ．8 211．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ ）条。
A ．1B ．2C ．3D ．412．F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 )二、填空题： 13．以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是 ．14．已知双曲线C 过点，一条渐近线方程为，双曲线C 的标准方程为 ．15.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．16．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1·PF 2的最小值为________．三、解答题：17．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围18.已知双曲线的两个焦点为的曲线C 上．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为，求直线l 的方程．19.已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．。
双曲线专题
双曲线专题典型例题：1.设动点到的距离与它到点的距离的差等于，则点的轨迹方程是（ ）A.B. C.D. 2.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A.B. C. D. 3.已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）A.B. C. D. 4. 已知双曲线离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 5.设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则的方程为M ()0,5-A ()0,5B 6M 116922=-y x 116922=-x y ()0116922<=-x y x ()0116922>=-x y x ()0,012222>>=-b a by a x F A OAF ∆O 112422=-y x 141222=-y x 1322=-y x 1322=-y x ()0,01:2222>>=-b a b y a x C 25⎪⎭⎫ ⎝⎛21,5C C 141622=-x y 1422=-x y 1422=-x y 1422=-y x ()0,012222>>=-b a b y a x 2636214822=-y x 181622=-y x 1121622=-y x 181222=-y x C ()2,21422=-x y C题组一：1.双曲线的焦距是（ ） A. B. C. D.与有关2.若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. B. C. D.4.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 题组二：焦点三角形1.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）A.2B.4C.6D.83.已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，且，则的面积等于（ ）A.24B.36C.48D.9614122222=--+my m x 4228m 151022=-+-ky k x k ()10,5()5,∞-()+∞,10()()+∞∞-,105,U 14222=+a y x 1222=-y a x a 212-1或211或11=+1-+222my m x 12-<<-m 12->-<m m 或0<m 0>m 21,F F 2:22=-y x C P C 212PF PF ==∠21cos PF F 4153435421,F F 1:22=-y x C P C o 6021=∠PF F =⋅21PF PF 1169:22=-y x C 21,F F P C 212=F F PF 21ΔF PF4. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，则的面积为 。
双曲线试题及答案
双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。
答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。
3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。
答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。
将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。
联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。
4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。
答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。
整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。
双曲线基础知识练习测试题
A． B． C． D．
9．椭圆 与双曲线 有公共焦点，则椭圆的离心率是()
A B C D
10.设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()
14.已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________
15.双曲线 与椭圆 有共同的焦点，则m=
16.与双曲线x2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2,2)的双曲线方程
三、解答题
17.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在 轴上，实轴长是10，虚轴长是6
（2）若经过点 的直线 交双曲线 于 两点，且 为 的中点，求直线 的方程。
22.已知直线 与双曲线 交于 两点，
（1）求 的取值范围；
（2）若以 为直径的圆过坐标原点，求实数 的值。
双曲线基础知识练习题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线 的焦点坐标为()
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.双曲线 的实轴长是()
A．2B．2 C．4Dห้องสมุดไป่ตู้4
3.双曲线 的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
4.如果方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（）
A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
6.设P是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于（）
双曲线基础练习题(后附答案)
双曲线基础练习题（后附答案）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题 1. 求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长＜|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点：1距离之差的绝对值;22a ＜|F 1F 2|;当|MF 1|－|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee ＞1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上：12222=-b y a x a ＞0,b ＞0焦点在y 轴上：12222=-bx a y a ＞0,b ＞01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a ＞0,b ＞0上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a ＞0,b ＞0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =； 2;离心率2=e ；3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±； 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠； 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点； b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点；20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点； 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点；0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2＞0,b ＞0⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．图3解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 十四、双曲线中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!2．设集合P＝错误!,Q＝{x,y|x－2y＋1＝0},记A＝P∩Q,则集合A中元素的个数是A．3 B．1 C．2 D．43．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为A．2 B．3 C．4 D．54．双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,－2,则它的离心率为6．设双曲线错误!－错误!＝1a>0的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为A．4 B．3 C．2 D．17．从错误!－错误!＝1其中m,n∈{－1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆x－32＋y2＝r2r>0相切,则r＝B．3 C．4 D．6图K51－19．如图K51－1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB＝2AD,设∠DAB＝θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2＝________.10．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的一条渐近线方程为y＝错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________．12．13分双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且经过点错误!,4．1求双曲线C的方程；2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝120°,求△F1PF2的面积．13．16分已知双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝60°,则|PF1|·|PF2|＝A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A ．12-B ．2C ．12+D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,满分15分8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________． 三、解答题：本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12．本小题满分20分已知三点P5,2、1F －6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；2设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1．C解析双曲线方程可化为错误!－错误!＝1,所以a2＝4,得a＝2,所以2a＝4.故实轴长为4.2．B解析由于直线x－2y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1的渐近线y＝错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B解析双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x－4y＝0,由点到直线的距离公式可得d＝错误!＝3.故选B.解析双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线是错误!－错误!＝1,所以a＝3,b＝错误!,所以c＝4,所以离心率e＝错误!.能力提升5．D解析设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y＝±错误!x,因为点4,－2在渐近线上,所以错误!＝错误!.根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!,所以e＝错误!,故选D.6．C解析根据双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程得：y＝±错误!x,即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0,所以有a＝2,故选C.7．B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种：2,－1,3,－1,－1,－1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P＝错误!.故选B.8．A解析双曲线的渐近线为y＝±错误!x,圆心为3,0,所以半径r＝错误!＝错误!.故选A.9．1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB＝2,则DM＝sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD＝错误!,所以e1＝错误!＝错误!,e2＝错误!＝错误!,所以e1·e2＝1.10．2,＋∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°＝错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.－错误!＝1解析错误!＝错误!,即b＝错误!a,而c＝6,所以b2＝3a2＝336－b2,得b2＝27,a2＝9,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.12．解答1椭圆的焦点为F10,－3,F20,3．设双曲线的方程为错误!－错误!＝1,则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!－错误!＝1,②解①②得a2＝4,b2＝5或a2＝36,b2＝－27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1.2由双曲线C的方程,知a＝2,b＝错误!,c＝3.设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则|m－n|＝2a＝4,平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2＝m2＋n2－2mn cos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝错误!,所以△F1PF2的面积为S＝错误!mn sin120°＝错误!.难点突破13．1B2B解析1依题意有错误!·错误!＝1,化简整理得a2＋b2＝m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°＝错误!,＝错误!,＝错误!＋1＝错误!＋1.因为b＝1,所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.一、选择题1．D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2．C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4．A.5． A 思路分析：设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析：考察圆锥曲线的相关运算6． C 思路分析：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10． (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x += 12．1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； 2点P5,2、1F －6,0、2F 6,0关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。
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双曲线基础知识练习题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线
22
1169
x y -=的焦点坐标为( )
A.(
B.(0,
， C.(5,0)-，(5,0) D.(0,5)-，(0,5)
2. 双曲线的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ． 4 D ．4 2
3.双曲线
的渐近线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 5.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
6.设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ） A ．2 B ．18 C ．2或18 D ．16
7.已知双曲线)0(132
22>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ）
A. 2
B. 26
C. 25
D. 1
8.已知1F ，2F 为双曲线C ：
22
2=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F ( )
A ．14
B ．35
C ．54
D ．43
2
2
28x y -=11
22
2=+++m y m x m )1,2(--),1()2,(+∞---∞ )1,1(-)2,3(--
9．椭圆222
212x y m n +=与双曲线22
2212x y m n
-=有公共焦点，则椭圆的离心率是( )
A
B
C
D
10.设椭圆C 1的离心率为
13
5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )
A.1342222=-y x
B.15132222=-y x
C.1432222=-y x
D. 112
1322
2
2=-y x
11.已知双曲线2
22
2
1x y a
b 0,0a
b
的一条渐近线平行于直线l ：210y
x
，双曲
线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
A.221
520x y B.2
21
205x y
C.2
2331
25
100
x y D.2
2331
100
25
x y
12.直线(:l y k x =与双曲线22
1x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．-1
C ．1或-1 D. 1或-1或0
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线x 2
10－y 2＝1的顶点坐标是
14.已知P 是双曲线上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|
的值为________
15.双曲线
2212x y m m -=与椭圆22
1530
x y +=有共同的焦点，则m = 16.与双曲线
x 2－
y 2
4
＝1有共同渐近线且经过点(2, 2)的双曲线方程
三、解答题
17.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是6 （2）焦点（-5,0），离心率是2
18.求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(2
2=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程
19.已知双曲线与椭圆192522=+y x 共焦点,它们的离心率之和为5
14
,求双曲线的标准方程。
20. 已知双曲线
22
12416x y -=，P 为双曲线上一点，12,F F 是双曲线的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，求△12F PF 的面积。
21.已知双曲线的焦点为,且离心率为2； （1）求双曲线的标准方程；
（2）若经过点的直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程。
22.已知直线1y ax =+与双曲线2
2
31x y -=交于,A B 两点， （1）求a 的取值范围；
（2）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。
C 12(2,0),(2,0)F F -(1,3)M l C ,A B M AB l。