dijkstra算法原理及MATLAB代码

最短路dijkstra算法Matlab程序

function [c0,c,path0,path]=dijkstra(s,t,C,flag)% Use the Dijkstra's algorithm to find the shortest path from% s to t and can also find the shortest path between s and all% the other points.% Reference: Graph Theory with Applications by J. A. Bondy and% U. S. R. Murty.% Input -- s is the starting point and also is the point s.% -- t is the given terminal point and is the point t.% -- C \in R^{n \times n}is the cost matrix, where% C(i,j)>=0 is the cost from point i to point j.% If there is no direct connection between point i and% j, C(i,j)=inf.% -- flag: if flag=1, the function just reports the% shortest path between s and t; if flag~=1, the% function reports the shortest path between s and t,% and the shortest paths between s and other points.% Output -- c0 is the minimal cost from s to t.% -- path0 denotes the shortest path form s to t.% -- c \in R{1\times n} in which the element i is the% minimal cost from s to point i.% -- path \in R^{n \times n} in which the row i denotes% the shortest path from s to point i.% Copyright by MingHua Xu(徐明华), Changhzou University, 27 Jan. 2014. s=floor(s);t=floor(t);n=size(C,1);if s<1 || t < 1 || s > n || t > nerror(' The starting point and the terminal point exceeds the valid range');endif t==sdisp('The starting point and the terminal point are the same points');endlabel=ones(1,n)*inf;label(s)=0;S=[s];Sbar=[1:s-1,s+1:n];c0=0;path=zeros(n,n);path(:,1)=s;c=ones(1,n)*inf;parent=zeros(1,n);i=1; % number of points in point set S.while i<n% for each point in Sbar, replace label(Sbar(j)) by% min(label(Sbar(j)),label(S(k))+C(S(k),Sbar(j)))for j=1:n-ifor k=1:iif label(Sbar(j)) > label(S(k))+C(S(k),Sbar(j))label(Sbar(j))=label(S(k))+C(S(k),Sbar(j));parent(Sbar(j))=S(k);endendend% Find the minmal label(j), j \in Sbar.temp=label(Sbar(1));son=1;for j=2:n-iif label(Sbar(j))< temptemp=label(Sbar(j));son=j;endend% update the point set S and SbarS=[S,Sbar(son)];Sbar=[Sbar(1:son-1),Sbar(son+1:n-i)];i=i+1;% if flag==1, just output the shortest path between s and t.if flag==1 && S(i)==tson=t;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path0(1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc0=c_temp;path(t,1:m)=path0;c(t)=c0;returnendend% Form the output resultsfor i=1:nson=i;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path(i,1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc(i)=c_temp;c0=c(t);path0=path(t,:);endreturn。

11基于遗传算法的机器人路径规划MATLAB源代码

基于遗传算法的机器人路径规划MATLAB源代码基本思路是：取各障碍物顶点连线的中点为路径点，相互连接各路径点，将机器人移动的起点和终点限制在各路径点上，利用最短路径算法来求网络图的最短路径，找到从起点P1到终点Pn的最短路径。

上述算法使用了连接线中点的条件，因此不是整个规划空间的最优路径，然后利用遗传算法对找到的最短路径各个路径点Pi (i=1,2,…n)调整，让各路径点在相应障碍物端点连线上滑动，利用Pi= Pi1+ti×(Pi2-Pi1)（ti∈[0,1] i=1,2,…n）即可确定相应的Pi，即为新的路径点，连接此路径点为最优路径。

function [L1,XY1,L2,XY2]=JQRLJGH(XX,YY)%% 基于Dijkstra和遗传算法的机器人路径规划% GreenSim团队——专业级算法设计&代写程序% 欢迎访问GreenSim团队主页→/greensim%输入参数在函数体内部定义%输出参数为% L1 由Dijkstra算法得出的最短路径长度% XY1 由Dijkstra算法得出的最短路径经过节点的坐标% L2 由遗传算法得出的最短路径长度% XY2 由遗传算法得出的最短路径经过节点的坐标%程序输出的图片有% Fig1 环境地图（包括：边界、障碍物、障碍物顶点之间的连线、Dijkstra的网络图结构）% Fig2 由Dijkstra算法得到的最短路径% Fig3 由遗传算法得到的最短路径% Fig4 遗传算法的收敛曲线（迄今为止找到的最优解、种群平均适应值）%% 画Fig1figure(1);PlotGraph;title('地形图及网络拓扑结构')PD=inf*ones(26,26);for i=1:26for j=1:26if D(i,j)==1x1=XY(i,5);y1=XY(i,6);x2=XY(j,5);y2=XY(j,6);dist=((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)^0.5;PD(i,j)=dist;endendend%% 调用最短路算法求最短路s=1;%出发点t=26;%目标点[L,R]=ZuiDuanLu(PD,s,t);L1=L(end);XY1=XY(R,5:6);%% 绘制由最短路算法得到的最短路径figure(2);PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('由Dijkstra算法得到的初始路径')%% 使用遗传算法进一步寻找最短路%第一步：变量初始化M=50;%进化代数设置N=20;%种群规模设置Pm=0.3;%变异概率设置LC1=zeros(1,M);LC2=zeros(1,M);Yp=L1;%第二步：随机产生初始种群X1=XY(R,1);Y1=XY(R,2);X2=XY(R,3);Y2=XY(R,4);for i=1:Nfarm{i}=rand(1,aaa);end% 以下是进化迭代过程counter=0;%设置迭代计数器while counter<M%停止条件为达到最大迭代次数%% 第三步：交叉%交叉采用双亲双子单点交叉newfarm=cell(1,2*N);%用于存储子代的细胞结构Ser=randperm(N);%两两随机配对的配对表A=farm{Ser(1)};%取出父代AB=farm{Ser(2)};%取出父代BP0=unidrnd(aaa-1);%随机选择交叉点a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];%产生子代ab=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];%产生子代bnewfarm{2*N-1}=a;%加入子代种群newfarm{2*N}=b;for i=1:(N-1)A=farm{Ser(i)};B=farm{Ser(i+1)};newfarm{2*i}=b;endFARM=[farm,newfarm];%新旧种群合并%% 第四步：选择复制SER=randperm(2*N);FITNESS=zeros(1,2*N);fitness=zeros(1,N);for i=1:(2*N)PP=FARM{i};FITNESS(i)=MinFun(PP,X1,X2,Y1,Y2);%调用目标函数endfor i=1:Nf1=FITNESS(SER(2*i-1));f2=FITNESS(SER(2*i));if f1<=f2elsefarm{i}=FARM{SER(2*i)};fitness(i)=FITNESS(SER(2*i));endend%记录最佳个体和收敛曲线minfitness=min(fitness);meanfitness=mean(fitness);if minfitness<Yppos=find(fitness==minfitness);Xp=farm{pos(1)};Yp=minfitness;endif counter==10PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(3)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第10代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==20PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(4)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第20代')hold onx1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==30PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(5)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第30代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==40PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(6)PlotGraph;hold onx1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第40代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==50PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(7)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第50代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendLC2(counter+1)=Yp;LC1(counter+1)=meanfitness;%% 第五步：变异for i=1:Nif Pm>rand&&pos(1)~=iAA=farm{i};AA(POS)=rand;farm{i}=AA;endendcounter=counter+1;disp(counter);end%% 输出遗传算法的优化结果PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];L2=Yp;%% 绘制Fig3figure(8)PlotGraph;hold onhold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法最终结果')figure(9)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendhold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',2);hold onendtitle('遗传算法优化前后结果比较')%% 绘制Fig4figure(10);plot(LC1);hold onplot(LC2);xlabel('迭代次数');title('收敛曲线');源代码运行结果展示。

Dijkstra、Floyd算法Matlab_Lingo实现

Dijkstra算法Matlab实现。

%求一个点到其他各点的最短路径function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)%W是邻接矩阵%start是起始点Array %terminal是终止点%min是最短路径长度%path是最短路径n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start;for i=1:nif i~=startlabel(i)=inf;endends(1)=start;u=start;while length(s)<nfor i=1:nins=0;forif i==s(j)ins=1;endendif ins==0v=i;if label(v)>(label(u)+w(u,v))label(v)=(label(u)+w(u,v));f(v)=u;endendendv1=0;k=inf;for i=1:nins=0;for j=1:length(s)if i==s(j)ins=1;endend-if ins==0v=i;if k>label(v)k=label(v);v1=v;endendends(length(s)+1)=v1;u=v1;endmin=label(terminal);path(1)=terminal;i=1;while path(i)~=startpath(i+1)=f(path(i));i=i+1 ;endpath(i)=start;L=length(path);path=path(L:-1:1);Floyd算法：matlab程序：%floyd算法，function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)%a是邻接矩阵%start是起始点%terminal是终止点%D是最小权值表D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)-D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendendif nargin==3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=[ ];while path(m(i),terminal)~=terminalk=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m;end1 6 5 5 5 66 2 3 4 4 65 2 3 4 5 45 2 3 4 5 61 4 3 4 5 11 2 4 4 1 6Floyd算法：Lingo程序：!用LINGO11.0编写的FLOYD算法如下;model:sets:nodes/c1..c6/;link(nodes,nodes):w,path; !path标志最短路径上走过的顶点;endsetsdata:path=0;w=0;@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):-@format(w(i,j),' 10.0f')),@newline(1));@text(mydata1.txt)=@write(@newline(1));@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):@format(path(i,j),' 10.0f')),@newline(1));enddatacalc:w(1,2)=50;w(1,4)=40;w(1,5)=25;w(1,6)=10;w(2,3)=15;w(2,4)=20;w(2,6)=25;w(3,4)=10;w(3,5)=20;w(4,5)=10;w(4,6)=25;w(5,6)=55;@for(link(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(link(i,j) |i#ne#j:w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,10000,w(i,j)));@for(nodes(k):@for(nodes(i):@for(nodes(j):tm=@smin(w(i,j),w(i,k)+w(k,j));path(i,j)=@if(w(i,j)#gt# tm,k,path(i,j));w(i,j)=tm)));endcalcend无向图的最短路问题Lingomodel:sets:cities/1..5/;roads(cities,cities):w,x;endsetsdata:w=0;enddatacalc:w(1,2)=41;w(1,3)=59;w(1,4)=189;w(1,5)=81;w(2,3)=27;w(2,4)=238;w(2,5)=94;w(3,4)=212;w(3,5)=89;w(4,5)=171;@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));endcalcn=@size(cities); !城市的个数;min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));@sum(cities(j):x(1,j))=1;-@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;@sum(cities(j):x(j,n))=1;@for(roads:@bin(x));endLingo编的sets:dian/a b1 b2 c1 c2 c3 d/:;link(dian,dian)/a,b1 a,b2 b1,c1 b1,c2 b1,c3 b2,c1 b2,c2 b2,c3 c1,d c2,d c3,d/:x,w;endsetsdata:w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;enddatamin=@sum(link:w*x);@for(link:@bin(x));n=@size(dian);@sum(link(i,j)|i#eq#1:x(i,j))=1;@sum(link(j,i)|i#eq#n:x(j,i))=1;@for(dian(k)|k#ne#1#and#k#ne#n:@sum(link(i,k):x(i,k))=@sum(link(k,i):x(k,i)));- sets:dian/1..5/:level; !level(i)表示点i的水平，用来防止生产圈;link(dian,dian):d,x;endsetsdata:d=0 41 59 189 8141 0 27 238 9459 27 0 212 89189 238 212 0 17181 94 89 171 0;enddatan=@size(dian);min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j));@sum(dian(j)|j#gt#1:x(1,j))>1;@for(dian(i)|i#gt#1:@sum(dian(j)|j#ne#i:x(j,i))=1);@for(dian(i)|i#gt#1:@for(dian(j)|j#ne#i#and#j#gt#1:level(j)>level(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j, i)));@for(dian(i)|i#gt#1:level(i)<n-1-(n-2)*x(1,i));@for(dian(i)|i#gt#1:@bnd(1,level(i),100000));@for(link:@bin(x));。

Dijkstra算法详解及MATLAB代码详解

图G=（N ，E ）（1）算法过程：图 G=(N,E)是一个带权网络拓扑图 N = 顶点集合= { A, B, C, D, E, F }E = 链路集合 ={ (A,B), (A,C), (B,C), (B,D), (C,D), (C,E), (D,E), (D,F) } S=已找到的最短路径的顶点集合={。

}U=未确定最短路径的顶点集合={ A, B, C, D, E, F }设源点st （starting ）=A ，终点e （end ）=F ，最短路径搜查过程如下表：步骤 S 集合中U 集合中1选入A ，此时S=｛A ｝此时最短路径<A,A>=0 以A 为中间点，从A 开始找U=｛B,C,D,E,F ｝ <A,B>=6 <A,C >=3;<A,其他U 中顶点>=inf 发现<A,C >=3权值最小2选入C ，此时S=｛A,C ｝此时最短路径<A,C>=3以C 为中间点，从<A,C>=3这条最短路径开始找U=｛B,D,E,F ｝<A,C,B>=5；（比第1步<A,B>=6要短，此时到B 的权值为<A,C,B>=5） <A,C,D>=6;<A,C,E>=7;<A,C,其他U 中顶点>=inf 发现<A,C,B>=5权值最小3选入B ，此时S=｛A,C,B ｝此时最短路径<A,C>=3; <A,C,B>=5以B 为中间点，从<A,C,B>=5这条最短路径开始找 U=｛D,E,F ｝<A,C,B,D>=10；（比第2步<A,C,D>=6要长，此时到D 的权值为<A,C,D>=6） <A,C,B 其他U 中顶点>=inf 发现<A,C,D>=6权值最小 4选入D ，此时S=｛A,C,B,D ｝此时最短路径<A,C>=3; <A,C,B>=5；<A,C,D>=6以D 为中间点，从<A,C,D>=6这条最短路径开始找 U=｛E,F ｝<A,C,D,E>=8；（比第2步<A,C,E>=7要长，此时到E 的权值为<A,C,E>=7 <A,C,D,F>=9发现<A,C,E>=7权值最小 5选入E ，此时S=｛A,C,B,D,E ｝此时最短路径<A,C>=3; <A,C,B>=5；<A,C,D>=6; <A,C,E>=7以E 为中间点，从<A,C,E>=7这条最短路径开始找 U=｛F ｝<A,C,E,F>=12；（比第4步<A,C,D,F>=9要长，此时到F 的权值为<A,C,D,F>=9 发现<A,C,D,F>=9权值最小6选入F ，此时S=｛A,C,B,D,E,F ｝此时最短路径<A,C>=3; <A,C,B>=5；<A,C,D>=6; <A,C,E>=7; <A,C,D,F>=9U=｛｝空集合，搜查结束（2）算法思想概括：把图中顶点集合N 分成两组，第一组：已求出最短路径的顶点集合，用S 表示。

最短路径 dijkstra算法的matlab代码实现

最短路径dijkstra算法的matlab代码实现如何用Matlab实现Dijkstra算法求解最短路径问题？Dijkstra算法是一种用于计算图中的最短路径的经典算法。

该算法以一个起始节点为基础，通过不断更新节点到其他节点的最短距离，直到找到最短路径为止。

本文将一步一步地回答如何使用Matlab实现Dijkstra算法，以及如何在Matlab中构建图并求解最短路径。

第一步：构建图Dijkstra算法是基于图的算法，因此我们首先需要在Matlab中构建一个图。

图可以用邻接矩阵或邻接表等方式表示。

这里我们选择使用邻接矩阵来表示图。

在Matlab中，可以使用矩阵来表示邻接矩阵。

假设我们的图有n个节点，我们可以创建一个n×n的矩阵来表示图的邻接矩阵。

如果节点i和节点j 之间有一条边，则将邻接矩阵中的第i行第j列的元素设置为边的权重，如果没有边相连，则将元素设置为一个较大的值（例如无穷大）表示不可达。

现在，我们可以开始构建邻接矩阵。

这里以一个具体的例子来说明。

假设我们有一个包含6个节点的无向图，如下所示：0 1 2 3 4 5-0 0 4 3 0 0 01 4 0 1 4 0 02 3 1 0 2 1 03 04 2 0 3 24 0 0 1 3 0 25 0 0 0 2 2 0在Matlab中，可以将邻接矩阵表示为一个n×n的矩阵。

在这个例子中，我们可以这样定义邻接矩阵：G = [0 4 3 0 0 0;4 0 1 4 0 0;3 1 0 2 1 0;0 4 2 0 3 2;0 0 1 3 0 2;0 0 0 2 2 0];第二步：实现Dijkstra算法在Matlab中，我们可以使用一些循环和条件语句来实现Dijkstra算法。

下面是一个基本的Dijkstra算法的实现流程：1. 创建一个数组dist，用于存储从起始节点到其他节点的最短距离。

初始时，将起始节点到自身的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。

dijkstra算法求解过程

Dijkstra算法求解过程简介Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法之一，它通过贪心策略逐步确定从源点到其他所有节点的最短路径。

该算法的核心思想是利用优先队列，不断选择最短路径中还未确定最短路径的节点，直到找到源点到目标节点的最短路径。

算法思路1.创建一个优先队列Q，并初始化源点到所有其他节点的距离为无穷大（表示未确定最短路径）。

2.将源点到自身的距离设置为0，将源点加入优先队列Q。

3.从Q中选择距离最短的节点u，并标记节点u的最短路径为确定。

4.遍历节点u的所有邻接节点v，更新源点到v的距离，如果发现新的最短路径，则更新路径长度并将节点v加入优先队列Q。

5.重复步骤3和4，直到优先队列Q为空。

算法步骤详解初始化首先，我们需要创建一个优先队列Q，并初始化源点到所有其他节点的距离为无穷大。

同时，将源点到自身的距离设置为0，将源点加入优先队列Q。

选择最短路径节点从优先队列Q中选择距离最短的节点u，将其标记为最短路径已确定的节点。

更新最短路径遍历节点u的所有邻接节点v，计算从源点到节点v的距离。

如果发现新的最短路径，则更新节点v的路径长度，并将节点v加入优先队列Q。

重复步骤3和4重复进行步骤3和4，直到优先队列Q为空。

这样就能够找到源点到所有其他节点的最短路径。

算法实例下面通过一个具体的示例来演示Dijkstra算法的求解过程。

假设有如下图所示的带权有向图，我们需要求解从源点A到其他所有节点的最短路径：4A -------> B| /|\| / || 2 | \3| \/ \/| C---D| / || /1 |2| \/ |--->E------>F我们先初始化距离表，将源点A到所有其他节点的距离设置为无穷大，源点A到自身的距离设置为0：节点距离A 0——- —-B ∞——- —-C ∞——- —-D ∞——- —-E ∞——- —-F ∞接着，将源点A加入优先队列Q。

matlab实现dijkstra算法

matlab实现dijkstra算法Matlab实现Dijkstra算法第一段：什么是Dijkstra算法，为什么它重要？Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。

它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1956年提出，被广泛应用于网络路由、地图导航和图论等领域。

该算法的核心思想是在给定的带权图中找到从起点到终点的最短路径，通过迭代的方式逐步推进，直到找到最短路径或处理完所有节点。

Dijkstra算法被广泛认为是一种高效、可靠的解决方案，具有良好的理论基础和实际应用性。

第二段：如何在Matlab中实现Dijkstra算法？在Matlab中实现Dijkstra算法，可以分为以下几个步骤：1. 创建带权图：我们需要将问题转化为带权图的形式。

在Matlab中，可以使用邻接矩阵来表示图的连接关系，其中每个边的权重存储在矩阵中的对应位置。

2. 初始化距离和路径：将起点到每个节点的距离初始化为无穷大，并为每个节点设置一个空路径。

将起点的距离设置为0，表示起点到自身的距离为0。

3. 遍历节点：循环遍历所有节点，找到距离起点最近的节点，并标记为已访问。

更新与该节点相邻节点的距离和路径信息。

如果经过当前节点到达某个相邻节点的距离更短，则更新该节点的距离和路径。

4. 重复步骤3，直到所有节点都被遍历为止。

这样，我们就能得到从起点到其他节点的最短路径信息。

第三段：个人观点和理解Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一，它具有广泛的应用价值。

在日常生活中，我们经常需要找到最佳的路径规划，例如快递员送货时选择最短路径、地铁或公交车乘客选择最快到达目的地的路线等。

对于这些问题，Dijkstra算法可以提供一个可靠、高效的解决方案。

在使用Matlab实现Dijkstra算法时，我们可以利用Matlab强大的矩阵运算能力和易用的函数库来简化算法的实现过程。

Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以帮助我们直观地展示算法执行过程和结果。

最短路径之Dijkstra算法详细讲解(C#)

最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。

最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

Dijkstra算法步骤详述

Dijkstra算法步骤详述Dijkstra算法是一种经典的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

本文将详细介绍Dijkstra算法的步骤和实现。

1. 初始化首先，我们需要将算法的输入进行初始化。

假设我们有一个带权重的有向图，其中节点集合为V，边的集合为E。

对于每个节点v ∈ V，我们设置初始距离d[v]为正无穷大(INF)，表示从起点到节点v的距离为无穷大；同时，我们设置起点s的初始距离d[s]为0，表示从起点到自身的距离为0。

2. 确定最短路径接下来，我们将在图中逐步确定起点到其他节点的最短路径。

首先，我们从起点s开始，将s标记为当前节点。

然后，对于s的所有邻居节点v，我们更新其当前最短路径，并标记v为下一个当前节点。

这一步骤可以通过以下过程实现：a. 对于节点s的所有邻居节点v，计算通过s到达v的距离。

如果该距离小于d[v]，则将d[v]更新为该距离，并将s作为节点v的前驱节点（即最短路径上v的前一个节点）。

b. 从剩余的未标记节点中选择一个距离最短的节点作为下一个当前节点。

具体而言，从未标记节点中选择一个节点u，使得d[u]最小，并将其标记为当前节点。

3. 更新最短路径在上一步中，我们确定了起点到一个节点的最短路径。

现在，我们将以已选择的当前节点继续执行第2步，直到所有节点都被标记为止。

具体而言，重复进行以下步骤：a. 在当前节点的所有邻居节点中，更新其最短路径并选择下一个当前节点，过程与第2步相同。

b. 如果不存在未标记节点，则算法终止。

4. 输出最短路径当算法终止时，我们可以得到从起点到达所有节点的最短路径。

对于每个节点v，最短路径可以通过回溯每个节点的前驱节点得到。

具体而言，从目标节点开始，通过前驱节点一直回溯到起点，即可得到最短路径。

总结：Dijkstra算法通过逐步确定起点到其他节点的最短路径，从而找到整个图中的最短路径。

它的步骤包括初始化、确定最短路径和更新最短路径。

Dijkstra、Floyd算法Matlab_Lingo实现

Dijkstra算法Matlab实现。

%求一个点到其他各点的最短路径function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)%W是邻接矩阵%start是起始点Array %terminal是终止点%min是最短路径长度%path是最短路径n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start;for i=1:nif i~=startlabel(i)=inf;endends(1)=start;u=start;while length(s)<nfor i=1:nins=0;forif i==s(j)ins=1;endendif ins==0v=i;if label(v)>(label(u)+w(u,v))label(v)=(label(u)+w(u,v));f(v)=u;endendendv1=0;k=inf;for i=1:nins=0;for j=1:length(s)if i==s(j)ins=1;endend-if ins==0v=i;if k>label(v)k=label(v);v1=v;endendends(length(s)+1)=v1;u=v1;endmin=label(terminal);path(1)=terminal;i=1;while path(i)~=startpath(i+1)=f(path(i));i=i+1 ;endpath(i)=start;L=length(path);path=path(L:-1:1);Floyd算法：matlab程序：%floyd算法，function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)%a是邻接矩阵%start是起始点%terminal是终止点%D是最小权值表D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)-D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendendif nargin==3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=[ ];while path(m(i),terminal)~=terminalk=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m;end1 6 5 5 5 66 2 3 4 4 65 2 3 4 5 45 2 3 4 5 61 4 3 4 5 11 2 4 4 1 6Floyd算法：Lingo程序：!用LINGO11.0编写的FLOYD算法如下;model:sets:nodes/c1..c6/;link(nodes,nodes):w,path; !path标志最短路径上走过的顶点;endsetsdata:path=0;w=0;@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):-@format(w(i,j),' 10.0f')),@newline(1));@text(mydata1.txt)=@write(@newline(1));@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):@format(path(i,j),' 10.0f')),@newline(1));enddatacalc:w(1,2)=50;w(1,4)=40;w(1,5)=25;w(1,6)=10;w(2,3)=15;w(2,4)=20;w(2,6)=25;w(3,4)=10;w(3,5)=20;w(4,5)=10;w(4,6)=25;w(5,6)=55;@for(link(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(link(i,j) |i#ne#j:w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,10000,w(i,j)));@for(nodes(k):@for(nodes(i):@for(nodes(j):tm=@smin(w(i,j),w(i,k)+w(k,j));path(i,j)=@if(w(i,j)#gt# tm,k,path(i,j));w(i,j)=tm)));endcalcend无向图的最短路问题Lingomodel:sets:cities/1..5/;roads(cities,cities):w,x;endsetsdata:w=0;enddatacalc:w(1,2)=41;w(1,3)=59;w(1,4)=189;w(1,5)=81;w(2,3)=27;w(2,4)=238;w(2,5)=94;w(3,4)=212;w(3,5)=89;w(4,5)=171;@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));endcalcn=@size(cities); !城市的个数;min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));@sum(cities(j):x(1,j))=1;-@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;@sum(cities(j):x(j,n))=1;@for(roads:@bin(x));endLingo编的sets:dian/a b1 b2 c1 c2 c3 d/:;link(dian,dian)/a,b1 a,b2 b1,c1 b1,c2 b1,c3 b2,c1 b2,c2 b2,c3 c1,d c2,d c3,d/:x,w;endsetsdata:w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;enddatamin=@sum(link:w*x);@for(link:@bin(x));n=@size(dian);@sum(link(i,j)|i#eq#1:x(i,j))=1;@sum(link(j,i)|i#eq#n:x(j,i))=1;@for(dian(k)|k#ne#1#and#k#ne#n:@sum(link(i,k):x(i,k))=@sum(link(k,i):x(k,i)));- sets:dian/1..5/:level; !level(i)表示点i的水平，用来防止生产圈;link(dian,dian):d,x;endsetsdata:d=0 41 59 189 8141 0 27 238 9459 27 0 212 89189 238 212 0 17181 94 89 171 0;enddatan=@size(dian);min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j));@sum(dian(j)|j#gt#1:x(1,j))>1;@for(dian(i)|i#gt#1:@sum(dian(j)|j#ne#i:x(j,i))=1);@for(dian(i)|i#gt#1:@for(dian(j)|j#ne#i#and#j#gt#1:level(j)>level(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j, i)));@for(dian(i)|i#gt#1:level(i)<n-1-(n-2)*x(1,i));@for(dian(i)|i#gt#1:@bnd(1,level(i),100000));@for(link:@bin(x));。

dijkstra算法代码c语言

dijkstra算法代码c语言Dijkstra算法代码C语言简介Dijkstra算法是一种用于寻找带权有向图中最短路径的经典算法。

它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra于1956年发明。

本文将介绍Dijkstra算法的基本原理和用C语言实现的代码。

算法原理1.初始化：设定一个起始点，将起始点到其他所有点的距离初始为无穷大，将起始点到自身的距离设为0，创建一个空的集合用于存放已找到最短路径的点。

2.选取最短路径：从未找到最短路径的点中选择一个距离起始点最近的点，将其加入到已找到最短路径的点的集合中。

3.更新距离：对于新加入的点，更新它周围点到起始点的最短距离。

如果通过新加入的点到达某个点的距离比当前已知最短距离小，则更新该点的最短距离。

4.重复步骤2和步骤3，直到所有点都找到最短路径。

C语言实现下面是用C语言实现Dijkstra算法的代码：#include <>#include <>#define SIZE 10#define INFINITY 9999void dijkstra(int graph[SIZE][SIZE], int startNode) {int distance[SIZE];bool visited[SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++) {distance[i] = INFINITY;visited[i] = false;}distance[startNode] = 0;for (int count = 0; count < SIZE - 1; count++) {int minDistance = INFINITY;int minIndex;for (int i = 0; i < SIZE; i++) {if (!visited[i] && distance[i] <= minDistanc e) {minDistance = distance[i];minIndex = i;}}visited[minIndex] = true;for (int i = 0; i < SIZE; i++) {if (!visited[i] && graph[minIndex][i] && dis tance[minIndex] != INFINITY &&distance[minIndex] + graph[minIndex][i] < distance[i]) {distance[i] = distance[minIndex] + graph [minIndex][i];}}}printf("最短路径为:\n");for (int i = 0; i < SIZE; i++) {printf("%d 到 %d 的距离: %d\n", startNode, i, di stance[i]);}}int main() {int graph[SIZE][SIZE] = {{0, 6, 0, 1, 0},{6, 0, 5, 2, 2},{0, 5, 0, 0, 5},{1, 2, 0, 0, 1},{0, 2, 5, 1, 0}};int startNode = 0; // 起始点的索引dijkstra(graph, startNode);return 0;}总结Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种有效方法。

Dijkstra算法详细介绍

Dijkstra算法详细介绍Dijkstra算法详细介绍1,算法特点：迪科斯彻算法使⽤了⼴度优先搜索解决赋权有向图或者⽆向图的单源最短路径问题，算法最终得到⼀个最短路径树。

该算法常⽤于路由算法或者作为其他图算法的⼀个⼦模块。

2.算法的思路Dijkstra算法采⽤的是⼀种贪⼼的策略，声明⼀个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和⼀个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 (dis[s] = 0）。

若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为⽆穷⼤。

初始时，集合T只有顶点s。

然后，从dis数组选择最⼩值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加⼊到T中，OK，此时完成⼀个顶点，然后，我们需要看看新加⼊的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否⽐源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。

然后，⼜从dis中找出最⼩值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。

3.举例实现这次来介绍指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。

例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

我们⾸先要建⽴⼀个⼆维数组来记录点与点之间的关系，如下图所⽰：同时我们还需要⽤⼀个⼀维数组 dis 来存储源点（这⾥我们⽤使⽤1号点）顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下图所⽰：既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找⼀个离 1 号顶点最近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。

当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。

dijkstra matlab 代码

Dijkstra算法是一种用于寻找图中单源最短路径的算法，由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪科斯彻尔（Edsger Dijkstra）于1956年提出。

它主要用于计算从一个节点到其他所有节点的最短路径，通过不断更新起始节点到其他节点的最短距离来实现。

Dijkstra算法的基本思想是利用贪心算法，不断更新起始节点到其他节点的最短距离，直到所有节点的最短路径都被找到。

这个过程中，算法会维护一个距离数组，来记录起始节点到其他节点的最短距离，通过不断更新这个数组来找到最短路径。

对于一幅图G，Dijkstra算法可以描述如下：1. 初始化起始节点到其他所有节点的距禫数组，将起点到自己的距离设为0，其他节点的距离设为无穷大。

2. 从起始节点开始，选择距离数组中距离最小的节点，标记为已访问。

3. 遍历该节点的所有邻接节点，更新距离数组中的距离，如果有更短的路径，则更新距离数组。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过。

在Matlab中，我们可以通过编写Dijkstra算法的代码来实现对图的最短路径计算。

下面是一个简单的Dijkstra算法的Matlab实现：```matlabfunction [dist, path] = Dijkstra(graph, start)n = length(graph); 获取图的节点个数dist = inf(1, n); 距离数组初始化为无穷大path = ones(1, n) * -1; 路径数组初始化为-1visited = false(1, n); 标记数组初始化为falsedist(start) = 0; 起始节点到自己的距离为0for i = 1:n[mindist, u] = min(dist(~visited)); 找到距离数组中未访问节点的最小值以及对应的节点visited(u) = true; 标记该节点为已访问for v = 1:nif ~visited(v) graph(u, v) > 0 dist(u) + graph(u, v) < dist(v) 如果节点未访问且存在边u到v，并且通过u到v的距离小于dist(v) dist(v) = dist(u) + graph(u, v); 更新起始节点到v的距离path(v) = u; 记录最短路径中v的前驱节点endendendend```在这段Matlab代码中，我们首先定义了一个函数Dijkstra，输入参数为图graph和起始节点start，输出参数为距离数组dist和路径数组path。

DIJKSTRA算法详细讲解

DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。

它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。

DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。

下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。

初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。

2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。

首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。

3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。

如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。

重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。

4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。

5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。

根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。

下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。

将集合S设为空。

开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。

2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。

4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。

6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。

dijkstra算法

1、(求两点之间的最短路程)Dijkstra算法的MATLAB程序dijkstra.m如下：% Dijkstra’s Algorithmfunction [S, D]= dijkstra (i,m,W)% i为最短路径的起始点,m为图顶点数,W为图的带权邻接矩阵% 不构成边的两顶点之间用inf 表示% S的每一列从上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号% D是一个行向量,记录了S中所示路径的大小dd=[ ];tt=[ ];ss=[ ];ss(1,1)=i; v=1:m; v(i)=[ ];dd=[0;i];% dd的第二行是每次求出的最短路径的终点,第一行是最短路径的值kk=2; [mdd,ndd]=size(dd);while ~isempty(v)[tmpd,j]=min(W(i,v));tmpj=v(j);for k=2:ndd[tmp1,jj]=min(dd(1,k)+W(dd(2,k),v));tmp2=v(jj);tt(k-1,:)=[tmp1,tmp2,jj];endtmp=[tmpd,tmpj,j;tt]; [tmp3,tmp4]=min(tmp(:,1));if tmp3==tmpd,ss(1:2,kk)=[i;tmp(tmp4,2)];else, tmp5=find(ss(:,tmp4)~=0); tmp6=length(tmp5);if dd(2,tmp4)==ss(tmp6,tmp4)ss(1:tmp6+1,kk)=[ss(tmp5,tmp4); tmp(tmp4,2)];else, ss(1:3,kk)=[i; dd(2,tmp4); tmp(tmp4,2)];endenddd=[dd,[tmp3;tmp(tmp4,2)]];v(tmp(tmp4,3))=[ ];[mdd,ndd]=size(dd);kk=kk+1;endS=ss;D=dd(1,: );。

Dijkstra算法

Dijkstra算法百科名片简介(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转33．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。

此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法具体步骤（1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或∞(若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

图论MATLAB算法

第一章：Dijkstra 算法开始?dot i ≤输入，确定邻接矩阵a 确定邻接矩阵a 的节点数dot1=i算每一个节点到U 中每一个节点的最小值输出第n i 个节点到第一个节点的最小距离i L ,i=1∧dot结束算这dot 个最小值的最小值l ，并确定其节点位置i nl L i n =将第一个节点放入集合U 中将已经确定的第i n 节点到所有节点的权值赋为∞ 将所有节点到第i n 节点的权值加上l 并代替之 ?2>i1+=i i将第i n 节点放入集合U 中 YESNOYESNO求下面赋权图（左图）中顶点u0到其余顶点的最短路。

其邻接矩阵W 为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞=024782063446046340357630135102273201847210W)(i u l迭代次数0u 1u 2u 3u 4u 5u 6u 7u1 2 3 4 5 6 7 8 ０ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞１ 2 ∞ 7 ∞ 4 82 4 7 ∞ 4 83 7 ∞4 86 9 4 86 9 69 6 9 最后标记)(v l )(v z0 1 2 3 6 9 4 6 0u 0u 0u 2u 3u 3u 0u 6u1u 2u 3u 4u 5u 6u 7u 0ufunction dijkstra%注：此程序仅作参考，欢迎批评指正。

clcclear%Dijkstra算法:%%%%给邻接矩阵赋值%%%%%%%%%%%%a=[0,1,2,inf,7,inf,4,8;1,0,2,3,inf,inf,inf,7;0,0,0,1,5,inf,inf,inf;0,0,0,0,3,6,inf,inf;0,0,0,0,0,4,3,inf;0,0,0,0,0,0,6,4;0,0,0,0,0,0,0,2;];for i=2:8for j=1:i-1a(i,j)=a(j,i);endenddot=size(a,1);%节点数fprintf('\t邻接矩阵的标准形式：');afuquantu=a;%在赋权图中用到fprintf('\t其中，inf代表无穷大∞,a(i,j)代表第i个节点到第j个节点的权。

【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）

【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）找出最快的路径使⽤算法——狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）。

使⽤狄克斯特拉算法步骤(1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。

(2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。

(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

(4) 计算最终路径。

术语权重（weight）：狄克斯特拉算法⽤于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。

加权图/⾮加权图（weighted graph）带权重的图称为加权图（ weighted graph），不带权重的图称为⾮加权图（unweighted graph）。

要计算⾮加权图中的最短路径，可使⽤⼴度优先搜索。

要计算加权图中的最短路径，可使⽤狄克斯特拉算法。

环可从⼀个节点出发，⾛⼀圈后⼜回到这个节点。

⽆向图意味着两个节点彼此指向对⽅，其实就是环！狄克斯特拉算法只适⽤于有向⽆环图（directed acyclicgraph，DAG）。

负权边不能将狄克斯特拉算法⽤于包含负权边的图狄克斯特拉算法这样假设：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。

这种假设仅在没有负权边时才成⽴。

实现⽰例：求起点到终点的最短路径#创建所有节点和路径的散列表graph={'start': {'a': 6, 'b': 2}, 'a': {'fin': 1}, 'b': {'a': 3, 'fin': 5}, 'fin': {}}#创建已知节点花销的散列表costs={'a': 6, 'b': 2, 'fin': float("inf")} #float('inf') 表⽰正⽆穷#储存⽗节点的散列表parents={'a': 'start', 'b': 'start', 'fin': None}#存储已访问过节点的列表processed=[]#定义⼀个寻找最⼩花销的函数def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs: #遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed: #寻找花销最⼩，且没有访问过的点 lowest_cost = costlowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodenode = find_lowest_cost_node(costs) #找到花销最⼩的节点while node is not None: #这个while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys(): #遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n] #该节点到达该邻居的花销总和if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost #更新该邻居的花销parents[n] = node #同时将该邻居的⽗节点设置为当前节点processed.append(node) #将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下来要处理的节点，并循环print(parents)⼩结⼴度优先搜索⽤于在⾮加权图中查找最短路径。